九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

九年级数学上册圆几何综合中考真题汇编[解析版]

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC 与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）?

（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；

（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：

①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；

②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．

【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．

【解析】

试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；

②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．

试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．

理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，

∵t=5，∴AP=2×5=10．

∵点Q是AP的中点，

∴AQ=PQ=5．

∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，

∴EF==5，

∴PQ=EF=5．

∵AC∥EF，

∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．

又∵∠QHA=∠FDE=90°，

∴△AHQ∽△EDF，

∴．

∵AQ=EF=5，

∴AH=ED=4．

∵AE=12-4=8，

∴HE=8-4=4，

∴AH=EH，

∴AQ=EQ，

∴PQ=EQ，

∴平行四边形EFPQ是菱形；

（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，

此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．

∵EF∥AC，

∴△DEM∽△DAQ，

∴，

∴，

解得t=；

②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图③，

则有∠HQD=∠HDQ=45°，

∴QH=DH．

∵△AHQ∽△EDF（已证），

∴，

∴，

∴QH=，AH=，

∴DH=QH=．

∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，

∴++t=12，

∴t=5；

Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图④，

同理可得DH=QH=，AH=．

∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t，

∴-+t=12，

∴t=10．

综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．

考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．

2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．

（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示） （2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值； （3）在点P ，Q 整个运动过程中，

①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）

【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或104

33

与△ABC 的边相切．②点F 11365

72

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m ?2.

（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3

cos30cos302

FG EF PE EP =?=?=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．

（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .

当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )?(m ?2)=4，如图3中，设

O 切AC 于H .连接

OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .

分别求解即可．

②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m ?2. 故答案为2+m ，m ?2. (2)如图1中，

在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，

3

cos30cos30FG EF PE EP ∴=?=?=

， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553

AC BC EP AB ??=

==，

3

tan30(2)3

EP AP m =?=+?， 533

(2)m ∴

=+?，

∴m =5.5

(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设

O 切AC 于H ，连接OH .

则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.

当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )?(m ?2)=4， 如图3中，设

O 切AC 于H .连接OH .

则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设

O 切BC 于N ，连接ON .

在Rt △OBN 中, 43

sin60OB ON ==

43

10AO ∴=- 43

12AP ∴=-

43

212m ∴+= 3

103

m ∴=-

综上所述,当m =1或4或43

10O 与△ABC 的边相切。 ②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .

易知122353

,,5332

AF CF AC =

==，

122353113

53326

F F ∴=-

-=，

60,30FEP PEB ∠=∠=，

90FEB ∴∠=，

tan EF EP EBF EB EB

∴∠=

=为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ， 在2Rt BF C 中, 222222535

5(

)722

BF BC F C =+=+=，

∴点F 的运动路径的长为

115

37.62

+

3．如图1，四边形ABCD 中，

、

为它的对角线，E 为AB 边上一动点（点E 不与点

A 、

B 重合），EF ∥A

C 交BC 于点F ，FG ∥B

D 交DC 于点G ，GH ∥AC 交AD 于点H ，连接H

E ．记四边形EFGH 的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD 为“四边形”， 此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD 中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为 ．

（1）等腰梯形 （填“是”或 “不是”）“四边形”； （2）如图3，是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，，点为

上的一动

点，将△

沿

的中垂线翻折，得到△

．当点运动到某一位置时，以、、、

、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有 个． 【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个． 【解析】

试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可； （1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；

（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断. 矩形ABCD 中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10； （1）等腰梯形是“四边形”；

（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“

四边形”最多，最多有5个. 考点：动点问题的综合题

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

4．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，45ABC ∠=?，12BC cm =，半圆O 的直径

12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，

点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ?的重叠部分的面积为(

)2

S cm

．

（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．

（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ?重叠部分的面积

S ；

（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ?的边所在的直线相切？

【答案】（1）24cm ，()

926cm ；（2）2

(189)cm π+；（3）0x =或6x =或

932x =-【解析】 【分析】

（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON

AB ⊥于N ，与半圆交于点

M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，

2

61218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+===

=，所以

926()MN ON OM cm =-=-；

（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，

2901

6669183602

BOH HOC S S S ππ?=+=

?+??=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为

612621862()cm +-=-，运动时间为1862

9322

x -=

=-（秒)． 【详解】

解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=

如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，

MN ON OM =-，

45ABC ∠=?， 45NOB ∴∠=?，

在Rt ONB ?中，61218()OB OC CB cm =+=+= 2

92()ON BN OB cm ∴==

=， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，

故答案为24cm ，(926)cm -；

（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，

设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．

BC 为直径，

90CHB ∴∠=?，

45ABC ∠=?

45HCB ∴∠=?，

HC HB ∴=，

OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，

2901

6669183602

BOH HOC S S S ππ?=+=

?+??=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12， 0x ∴=（秒)或6（秒)；

当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，

连接OH ，则OH AB ⊥，6OH = 45B ∠=?，90OHB ∠=?， 262OB OH ∴==， 1262OC BC OB =-=-，

移动的距离为612621862()cm +-=-， 运动时间为1862

932x -=

=-（秒)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ?的边所在的直线相切． 【点睛】

本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.

5．如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点G ，E 是CD 上一点，且BE ＝DE ，延长EB 至点P ，连接CP ，使PC ＝PE ，延长BE 与⊙O 交于点F ，连结BD ，FD ． （1）连结BC ，求证：△BCD ≌△DFB ； （2）求证：PC 是⊙O 的切线； （3）若tan F ＝

23，AG ﹣BG ＝

5

33

，求ED 的值．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE ＝

133

9

．

【解析】

【分析】

（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是

∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．

（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=2

3

=

BG

CG

，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是

直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG?AG，可得出AG的表达式（用

x表示），再根据AG-BG=53

3

求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，

最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】

解：（1）证明：因为BE＝DE，

所以∠FBD＝∠CDB，

在△BCD和△DFB中：

∠BCD＝∠DFB

∠CDB＝∠FBD

BD＝DB

所以△BCD≌△DFB（AAS）．

（2）证明：连接OC．

因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，

∠COB＝2∠EDB，

所以∠COB＝∠PEC，

因为PE＝PC，

所以∠PEC＝∠PCE，

所以∠PCE＝∠COB，

因为AB⊥CD于G，

所以∠COB+∠OCG＝90°，

所以∠OCG+∠PEC＝90°，

即∠OCP＝90°，

所以OC⊥PC，

所以PC是圆O的切线．

（3）因为直径AB ⊥弦CD 于G ， 所以BC ＝BD ，CG ＝DG ， 所以∠BCD ＝∠BDC ， 因为∠F ＝∠BCD ，tanF ＝23

， 所以∠tan ∠BCD ＝

23＝BG CG

， 设BG ＝2x ，则CG ＝3x ． 连接AC ，则∠ACB ＝90°，

由射影定理可知：CG 2＝AG?BG ，

所以AG ＝229922

x C x

G x G B ==

，

因为AG ﹣BG ，

所以

23

92x x -=

，

解得x ，

所以BG ＝2x CG ＝3x ＝

所以BC =，

所以BD ＝BC ， 因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ， 所以△DEB ∽△DBC ， 所以

B

DB DC DE

D =，

因为CD ＝2CG ＝

所以DE ＝2DB CD =

． 【点睛】

本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．

6．如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边CDE

?恰好与坐标系中的OAB

?

重合，现将CDE

?绕边AB的中点(

G G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180?到

△

1

C DE的位置．

（1）求1

C点的坐标；

（2）求经过三点O、A、1C的抛物线的解析式；

（3）如图③，G是以AB为直径的圆，过B点作G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；

（4）抛物线上是否存在一点M，使得:16:3

AMF OAB

S S

??

=．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）

1

3)

C；（2）2

33

33

y x x

=-；（3）

323

33

y x

=+；（4）12

8383

4,,2,

33

M M

???

-

?

?

????

．

【解析】

【分析】

（1）利用中心对称图形的性质和等边三角形的性质，可以求出．

（2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．

（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F，B的坐标即可求出解析式．（4）当M在x轴上方或下方，分两种情况讨论．

【详解】

解：（1）将等边CDE

?绕边AB的中点G按顺时针方向旋转180?到△

1

C DE，

则有，四边形'

OAC B是菱形，所以

1

C的横坐标为3，

根据等边CDE

?的边长是2，

利用等边三角形的性质可得

1

3)

C；

（2）抛物线过原点(0,0)

O，设抛物线解析式为2

y ax bx

=+，

把(2,0)

A，3)

C'代入，得

420

933

a b

a b

+=

??

?

+=

??

解得

3

3

a=，

23

b=

∴抛物线解析式为233

y x x =

-；

（3）90ABF ∠=?，60BAF ∠=?，

30AFB ∴∠=?， 又2AB =， 4AF ∴=， 2OF ∴=，

(2,0)F ∴-，

设直线BF 的解析式为y kx b =+，

把B ，(2,0)F -代入，得20k b k b ?+=??-+=??

，

解得k =

b =

∴直线BF 的解析式为33

y x =

+

；

（4）①当M 在x 轴上方时，存在2()M x ，

211

:[4)]:[216:322

AMF OAB S S ??=???=，

得2280x x --=，解得14x =，22x =-，

当14x =时，244y ，

当12x =-时，2(2)(2)y =--=

1M ∴，2(M -；

②当M 在x 轴下方时，不存在，设点2()M x x ，

211

:[4)]:[216:322

AMF OAB S S ??=-???=，

得2280x x -+=，240b ac -<无解，

综上所述，存在点的坐标为1M ，2(M -． 【点睛】

此题主要考查了旋转，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，以及待定系数法求解二次函数解析式和切线的性质定理等，能熟练应用相关性质，是解题的关键．

7．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．

（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；

（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6

MN

【解析】

【分析】

（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到

2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；

（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；

（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG2，可求得2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形

的性质可得到2x，然后依据S△BHG=1

2

2，可求得x=2，故此可得到HB、

GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∴∠BAC+2∠C=180°．

∵BD⊥AC，

∴∠ADE=90°．

∴∠E+∠CAE=90°．

∴2∠CAE+2∠E=180°．

∵∠E=∠ACB，

∴2∠CAE+2∠ACB=180°．

∴∠BAC=2∠CAE．

（2）连接OB、OC．

∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，

∴△ABO≌△ACO．

∴∠BAO=∠CAO．

∵∠BAC=2∠CAE，

∴∠BAO=∠CAE．

在△ABF和△ACE中，

ABF ACE

AB AC

BAF CAE

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

∴△

ABF≌△ACE．

∴BF=CE．

（3）连接HG、BM．

∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，

∴AG⊥BC，BG=CG．

∵BH=DH，

∴HG是△BCD的中位线．

∴HG∥CD．

∴∠GHF=∠CDE=90°．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．

∴HO=OF．

∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°， ∴∠OGH=∠OHG ． ∴OH=OG ． ∴OF=OG ． ∵OM=OC ，

∴四边形MFCG 是平行四边形． 又∵MC 是圆O 的直径， ∴∠CBM=90°． ∴四边形MFGB 是矩形． ∴MB=FG ，∠FMB=∠AFN=90°． ∵MF ∥BC ， ∴△MFH ∽△CBH ．

∴

1

2HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2． ∴HF=FD ．

在△ADF 和△GHF 中，

AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ADF ≌△GHF ． ∴AF=FG ． ∴MB=AF ．

在△MNB 和△NAF 中，

90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=???

∠=∠??=?

， ∴△MNB ≌△NAF ． ∴MN=NF ．

设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ， ∴S 四边形BHOG

． ∴

． 设HF=x ，则BH=2x ．

∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ， ∴△GFH ∽△BFG ． ∴

HF GH HG BH =，即2x HG

HG x

=． ∴

．

∴S△BHG=1

2

BH?HG=

1

2

×2x?2x=42，

解得：x=2．

∴HB=4，GH=22．

由勾股定理可知：BG=26．

∴MF=26．

∴MN=NF=6．

【点睛】

本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．

8．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的AC中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．

（1）求证：PE是⊙O的切线；

（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；

（3）若tan∠P＝

5

12

，试求

AH

AG

的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

13

10 AH

AG

=．

【解析】

【分析】

（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则

∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；

（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；

（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝

5

12

OF

DF

=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得

出

2

3

AE

BE

=，证明△PEA∽△PBE，得出2

3

PA

PE

=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝

∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．

【详解】

解：（1）证明：如图1，连接OE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB+∠B＝90°，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠AEO，

∴∠B+∠AEO＝90°，

∵∠PEA＝∠B，

∴∠PEA+∠AEO＝90°，

∴∠PEO＝90°，

又∵OE为半径，

∴PE是⊙O的切线；

（2）如图2，连接OD，

∵D为AC的中点，

∴OD⊥AC，设垂足为M，

∴∠AMO＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠AFD＝90°，

∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，

∵∠AEB＝∠EFB＝90°，

∴∠B＝∠AEF，

∵∠PEA＝∠B，

∴∠PEF＝2∠B，

∵DE⊥AB，

∴AE AD

，

∴∠AOD＝2∠B，

∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，

∴HE＝HG；

（3）解：如图3，

∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，

∴tan∠P＝tan∠ODF＝

5

12 OF

DF

=，

设OF＝5x，则DF＝12x，

∴OD22

OF DF

+13x，

∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，

∵DE⊥OA，

∴EF＝DF＝12x，

∴AE22

AF EF

+13，BE22

EF BF

+13，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，

∴△PEA∽△PBE，

∴

4132

3

613

PA AE

PE BE

===，

∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，

∴∠P＝∠FAG，

又∵∠FAG＝∠PAH，

∴∠P＝∠PAH，

∴PH＝AH，

过点H作HK⊥PA于点K，

∴PK＝AK，

∴

1

3 PK

PE

=，

∵tan∠P＝

5 12

，

设HK＝5a，PK＝12a，∴PH＝13a，