经济数学基础讲义-第7章-多元函数微分学

第4章 多元函数微分学

4.2.1 二元函数的概念

多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较．

一元函数是含有一个自变量的函数：)(x f y =。多元函数是含有多个自变量的函数，例如： 二元函数：),(y x f z =，三元函数：),,(z y x f u =等等．

例1 如果圆锥体底半径为r ,高为h ，则其体积v

它是二元函数.其中，r 和h 是自变量，v 是因变量（函数）.定义域：

{}0,0),(>>=h r h r D . 例2黑白电视：在t 时刻屏幕上坐标为),(y x 处的灰度z 为：),,(t y x z z =，它是三元函数. 例3在一个有火炉的房间里，在t 时刻，点),,(z y x 处的温度u 是t z y x ,,,的函数： ),,,(t z y x u u =，称为温度分布函数，它是四元函数．

例4 求函数222y x a z --=的定义域．

解：0222≥--y x a ，定义域为{}

222),(a y x y x D ≤+= 例5 求y

y x z )ln(+=的定义域． 解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有

4.3 ——4.4偏导数

二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处关于x 的偏导数

x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（注意到：y 取值不变，恒为0y ） 记作：)

,(00y x x z ∂∂或),(00y x f x '.类似地，关于y 的偏导数： 例如：y x z 3sin 2=

求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x 求偏导，一个是对y 求偏导.对x 求偏导时，应把y 看作常数.这样z 就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y 求偏导也类似.

注意：

一元函数)(x f y =在0x 处可导，则在0x 处连续.

多元函数),(y x f z =在),(00y x 可导和在),(00y x 连续，二者不能互推.

全微分

),(y x f z =称

为函数),(y x f z =在点),(y x 处的全微分.

例1: 求y x y x f z 3sin ),(2

==在点)0,1(处关于x 的偏导数. 解： 将y 看作常数，y x x z 3sin 2=∂∂，03sin 2)0,1()0,1(==∂∂y x x z 例2: 求x

y y x z +=2在点)1,1(-处的全微分. 解： 112)2()

1,1(2)1,1(-=+-=-=∂∂--x y xy x z ，2)1()1,1(2)1,1(=+=∂∂--x x y z 因此，y x z d 2d d +-=

4.5 复合函数与隐函数微分法

复合函数求导法

设),(v u f z =，而),(y x u u =，),(y x v v =，则

x

v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例1: )sin(e y x z xy +=.

解法1：（利用复合求导公式）设xy u =，y x v +=，则v z u sin e =

v z u sin e =，xy u =，y x v +=

解法2：（直接求）

x

y x y x x x z xy

xy ∂+∂++∂∂=∂∂))(sin(e )sin()e ()cos(e )sin(e y x y x y xy xy +++= 同理，=∂∂y

z )cos(e )sin(e y x y x x xy xy +++ 例2:),(y x xy f z +=，求y

z x z ∂∂∂∂,． 解:设y x v xy u +==,,则),(v u f z =，

x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1⋅'+⋅'=v u f y f v u f f y '+'= 例3 ),(2xy x f z =，求

解: 设2,xy v x u ==,则),(v u f z =，x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂21y f f v u ⋅'+⋅'= 例4 )sin ,3(2x x f z =，求dx

dz ． 注意：f 是二元函数：),(v u f ， x v x u sin ,32==

而z 是关于v u ,的二元函数，最终是关于x 的一元函数．

例5 )(3

2y x f z =，求y z x z ∂∂∂∂,． 注意：f 是一元函数，而z 是关于y x ,的二元函数．

32),(y x u u f z ==，32xy f x

u f x z ⋅'=∂∂⋅'=∂∂，223y x f y u f y z ⋅'=∂∂⋅'=∂∂ 例6 方程)0(0),(222≥=-+=y a y x y x F 其图形为上半圆周，相应的函数为

2

2)(x a x y y -==。显然，2222d d x a x x y --=y x -= 另一种观点：0222=-+a y x ，0)(2

22≡-+a x y x 022:d d ='+y y x x

，y x y -=' 例7 设函数)(x y y =由方程02e ln =-+xy y y x 所确定，求 )(x y '

解: 无法由已知方程解出)(x y ．但此)(x y 应满足

由此解出:y 'xy xy xy

xy y x y y y y e

e e ln 23+++-='， 4.6 二元函数的极值

二元函数的极值

多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似．

若对),(00y x 附近的),(y x 均有),(),(00y x f y x f <，则称),(00y x 是),(y x f 的极小点，),(00y x f 是极小值．若，则称是的极大点，是极大值．

极大值点、极小值点统称为极值点．极大值、极小值统称为极值．

极值存在的必要条件

若一元函数)(x f y =在0x 处可导，且0x 是极值点，则0)(0='x f

若二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可导，且),(00y x 是极值点，则