基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用

1．基本不等式

若a>0,，b>0，则a ＋b

2≥ab ，当且仅当 时取“＝”．

这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定）

(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式

(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．

2

a b

+()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和

2

b

a +≥a

b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2

b a +）2

.

(3)ab ≤2

2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．

(4)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号且不为0)．

(5)22⎪⎭

⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 2

2(a ，b ∈R ).

（6）

b

a a

b b a b a 112

2222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤a 3＋b 3＋c 3

3;(),,0a b c > (8)a ＋b ＋c 3≥3

abc ；(),,0a b c >

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .

(2)求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .

设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A.6 B.42 C.2 2

D.26

解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝3

2时取等号，故选B.

若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) A.1

2 B.1 C.2 D.4

解：∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1

2.当且仅当a ＝1，b ＝1

2时等号成立.故选A.

小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )

A.a ＜v ＜ab

B.v ＝ab

C.ab ＜v ＜a ＋b 2

D.v ＝a ＋b 2 解：设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a ＜b ，∴v ＝2s s

a ＋s b

＝2ab a ＋b ＜2ab

2ab

＝ab. 又v －a ＝2ab

a ＋

b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b

＝0，∴v ＞a.故选A.

(2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________. 解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±4

2时等号成立.故填22.

点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.

解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1， 所以mn ≤⎝

⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1

4， 当且仅当m ＝n ＝1

2时取等号，

∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 21

4＝－2，故填－2.

类型一 利用基本不等式求最值 (1)求函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）

x ＋1(x ＞－1)的值域.

解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）

m

＝m ＋4

m ＋5≥2

m ·4

m ＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.

又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).

(2)下列不等式一定成立的是( )

A.lg ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )

C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )

D.1

x 2＋1>1(x ∈R )

解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋1

4＝x. B 中，sin x ＋1

sin x ≥2(sin x ∈(0，1])； sin x ＋1

sin x ≤－2(sin x ∈[－1，0)). C 中，x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2≥0(x ∈R ). D 中，1

x 2＋1

∈(0，1](x ∈R ).故C 一定成立，故选C. 点拨：

这里(1)是形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c

x ＋d 的最值问题，只要分母x ＋d ＞0，都可以将

f (x )转化为f (x )＝a (x ＋d )＋

e

x ＋d

＋h (这里ae ＞0；若ae ＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.

(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.

(1)已知t ＞0，则函数f (t )＝t 2－4t ＋1

t 的最小值为 .

解：∵t ＞0，∴f (t )＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋

1

t －4≥－2， 当且仅当t ＝1时，f (t )min ＝－2，故填－2.