拉氏变换和z变换表

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质

2．常用函数的拉氏变换和z变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即

11

10

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -L 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。

（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即

∑=-=-++-++-+-=n

i i

i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122

11)(ΛΛ （F-1）

式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，

可按下列两式计算：lim()()i

i i s s c s s F s →=- （F-2） 或

i

s

s i

s A s B c ='=

)()

( （F-3）

式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为

[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11

1

)()(＝1

i

n s t

i i c e =∑ (F-4)

（2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

())

()()()

(11n r r

s s s s s s s B s F ---=

+Λ =

n

n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11

111

111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算：

)()(lim 11

s F s s c r s s r -=→

11lim

[()()]i

r r s s d

c s s F s ds

-→=- M

)()(lim !11)()

(1s F s s ds

d j c r j j s s j

r -=→- (F-5) M

)()(lim )!1(11)1()

1(11s F s s ds

d r c r r r s s --=--→

原函数)(t f 为 [])()(1

s F L

t f -=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ11

111

1111)()()

( t s n

r i i t s r r r r i

e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211

1

)!2()!1(Λ （F-6）