数学人教版八年级上册同底幂的乘法
幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版)25学年八年级数学上册
专题14.1幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的乘法法则+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【要点提示】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识点2】幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【要点提示】（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式：()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识点3】积的乘方法则()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【要点提示】（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c(n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点4】注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【题型目录】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................4;【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................7;【题型4】幂的混合运算.........................................................9;【题型5】幂的运算的应用.......................................................11;【题型6】直通中考.............................................................13;【题型7】拓展与延伸...........................................................14.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律①53( )222⨯=，②42( )a a a ⋅=，③( )555m n ⨯=，（2）规律( )m n a a a ⋅=（,m n 都是正整数）．即__________________________．（文字表达）（3）应用①计算31m m a a +⋅；②把(2)x y +看成一个整体，计算23(2)(2)x y x y +⋅+．【答案】（1）①8；②6；③;m n +（2）;m n +同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①41m a +；②5(2)x y +【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键；（1）（2）（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；解：（1）①853(35)2222+⨯==，②642(4+2)a a a a ⋅==，③555m n m n +⨯=，故答案为：8;6;;m n +（2）m n m n a a a +⋅=，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；故答案为：;m n +同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）①1314m m m a a a ++⋅=；②253.(2)(2)(2)x y x y x y +=+⋅+【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算3()()x y y x -⋅-=（）A ．4()x y -B ．4()x y --C ．4)y x -（D ．4()x y +【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，把()x y -看作一个整体，利用同底数幂的乘法法则即可求解．解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则．解：334()()()()()x y y x x y x y x y -⋅-=--⋅-=--，故选：B ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知1222162x x ⋅⋅=，则x =．【答案】4【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，将1222162x x ⋅⋅=变形为：241222x +=，从而得出2412x +=，再求出x 的值即可．解：42421622222x x x x x +⋅=⋅⋅⋅=，∵1222162x x ⋅⋅=，∴241222x +=，∴2412x +=，解得：4x =．故答案为：4．【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知23x =，求32x +的值；（2）若21464a +=，求a 的值．【答案】（1）24；（2）1a =【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键；（1）由33222x x +=⨯，再代入数据计算即可；（2）由21344a +=，再建立方程求解即可．解：（1）∵23x =，∴332238242x x +=⨯=⨯=；（2）∵21464a +=，∴21344a +=，∴213a +=，解得1a =．【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知23x =，26y =，则2x y +的值是（）A ．12B ．18C ．36D ．54【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．解：由8232261x y x y +=⨯=⨯=，故选：B ．【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知4222112x x +-⋅=，则x 的值为．【答案】3【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键．解：∵4222112x x +-⋅=，∴()13221112x +⨯-=，故142162x +==，解得：3x =故答案为：3．【题型2】幂的乘方运算及逆运算【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦．【答案】12x 【分析】先计算幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可．解：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦121212x x x =-++12x =．【点拨】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟记幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的知识．【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（）A ．224325a a a +=B ．3332a a a -=C ．235a a a ⋅=D ．()325a a =【答案】C【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐项计算即可判断选择．解：222325a a a +=，故A 计算错误，不符合题意；3332a a a -=-，故B 计算错误，不符合题意；235a a a ⋅=，故C 计算正确，符合题意；()326a a =，故D 计算错误，不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键．【变式2】．若25 3 0x y +-=,则432⋅=x y ．【答案】8【分析】根据已知条件可得2+5=3x y ，根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．解：∵25 3 0x y +-=∴2+5=3x y ，∴432⋅=x y 2525322228x y x y +⨯===，故答案为：8．【点拨】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若23m n a a ==，，求32m n a +的值；（2）若2639273x x ⨯⨯=，求x 的值．【答案】（1）72；（2）5【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可；（2）把2639273x x ⨯⨯=变形为1232633x x ++=，得到关于x 的方程，解方程即可得到答案；熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键．解：（1）∵23m n a a ==，，∴32m na +32m na a =⋅()()32m na a =⋅3223=⨯89=⨯72=；（2）2639273x x ⨯⨯=，23263333x x=⨯⨯（）（），23263333x x ⨯=⨯，1232633x x ++=，12326x x ++=，5x =．【变式1】已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<【答案】A【分析】把a 、b 、c 三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a 、b 、c 的大小关系．解：∵a ＝（35）11＝24311，b ＝（44）11＝25611，c ＝（53）11＝12511，又∵125243256<<，∴c a b <<．故选：A ．【点拨】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知433,33a b ==，则239a b ⨯=．【答案】16【分析】直接根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．解：∵433,33a b==，∴()()()()222222243933333163a b a ba b ⎛⎫⨯=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：16．【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【题型3】积的乘方运算及逆运算25．【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）()34222x x x ⋅-;（2）()()23332232x y x y +-【答案】（1）6x ；（2）66x y 【分析】（1）根据同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则计算，再合并同类项即可；（2）根据积的乘方计算法则去括号，再合并同类项即可．解：（1）()34222x x x ⋅-662x x =-6x =；（2）()()23332232x y x y +-666698x y x y =-66x y =．【点拨】此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则、积的乘方计算法则、合并同类项法则是解题的关键．【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b+=+D ．235a b ab+=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．解：A 、268a a a ⋅=，计算正确，故此选项符合题意；B 、33(2)8a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2()22a b a b +=+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、23a b +，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am ＝10，bm ＝2，则（ab ）m ＝．【答案】20【分析】根据积的乘方计算法则解答．解：∵am ＝10，bm ＝2，∴（ab ）m ＝10220m m a b ⋅=⨯=，故答案为：20．【点拨】此题考查积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把结果相乘，熟记法则是解题的关键．【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算：(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()201720180.1258⨯-．【答案】(1)1-；(2)8-.【分析】（1）原式逆用积的乘方运算法则进行计算即可；（2）先将20188-变形为201788-⨯，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可．解：（1）88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8585715()()()(4)547=-⨯⨯⨯-8855751(4)574⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦58751(4)574⎛⎫⎡⎤=-⨯⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(1)=⨯-1=-；（2）()201720180.1258⨯-()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭20171888⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭18=-⨯8=-．【点拨】本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若n 为正整数．且24n a =，则()()223224nn a a -的值为（）A ．4B ．16C ．64D ．192【答案】D【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可．解：()()2232642444nnn na a a a -=-()()322232444444nna a =-=⨯-⨯()32444448192=⨯-=⨯=，故选D ．【点拨】此题考查了幂的有关运算，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方．【变式2】已知2232336x x x ++-⋅=，则x =．【答案】8．【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．解：2232336x x x ++-⋅=，根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：223(23)(6)x x +-⨯=，即22666x x +-=，226x x +=-，解得，8x =故答案为：8．【点拨】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程．【题型4】幂的混合运算【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ；（2）()()()22112()3------n n n nx x x x x ．【答案】（1）8425a b ；（2）31n x -．【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可；（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可．解：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ，=62484916a a b a b ⋅⋅+，=8484916a b a b +，=8425a b ；（2）()()()22112()3------n n n nx x x x x ，=()()21212()3n n n n xx x x x -----，=()2112123n n n n x x -+++--+，=313123n n x x ---+，=31n x -．【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（）A ．－3xy ·（－2xy ）2＝12x 3y 3B ．4x 2·（－2x 3）2＝16x 12C ．（－a 2）·a 3＝a 6D ．2a 2b ·（－ab ）2＝2a 4b 3【答案】D【分析】根据幂的运算法则逐一计算，可得结果．解：A 、()2333212xy xy x y -⋅--=，故选项错误；B 、()22384216x x x ⋅-=，故选项错误；C 、()236a a a -⋅=-，故选项错误；D 、()224322a b ab a b ⋅-=，故选项正确；故选D ．【点拨】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2】已知2,3x x a t ==，则24x =.（用含,a t 的代数式表示）【答案】3a t解：∵2x =a ，3x =t ，∴24x =（23×3）x =23x ×3x =（2x ）3×3x =a 3t ．故答案为a 3t ．【题型5】幂的运算的应用【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为m n m n a a a += ，()()n m mn m n a a a ==，()mm m a b ab =；（m ，n 为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：(1)已知552a =，443b =，334c =，请把a ，b ，c 用“<”连接起来：；(2)若2a x =，3b x =，求32a b x +的值；(3)计算：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭．【答案】(1)a c b <<；(2)72；(3)8.【分析】（1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小；（2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解；（3）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解；本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键．（1）解：∵()11555112232a ===，()11444113381b ===，()11333114464c ==＝．又∵326481<<，∴a c b <<，故答案为：a c b <<；（2）解：32a bx +32a b x x =⋅，()()32a b x x =⋅，∵2a x =，3b x =，∴原式3223=⋅，89=⨯，72=；（3）解：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭()200210110031222⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，4001003031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，400403122⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，40040031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，40031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，402312=⨯，8=．【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．解：（1）22242a a a a ≠＋＝，故（1）错误；（2）2356a a a a ⋅≠＝，故（2）错误；（3）22n n n n a a a a ⋅≠＝，故（3）错误；（4）()4488a a a a ---⋅≠＝，故（4）错误，综上所述，错误的个数为4个，故选：D ．【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，12320202021S S S S S +++++= ．【答案】202111()2-【分析】先具体计算出S 1，S 2，S 3，S 4的值，得出面积规律，表示S 2021，再设12320202021S S S S S S =+++++ ①，两边都乘以12，得到42320212022111111((()()+()222222S =++++ ②，利用①−②，求解S ，从而可得答案．解：∵42320211234202111111111,(,(),(),(242821622S S S S S ======== 设S =42320211234202111111()()((22222S S S S S +++++=+++++ ①12320202021111111222222S S S S S S ∴=+++++ 4232021202211111(()()()+()22222=++++ ②①-②得，2022111()222S ∴=-202111()2S ∴=-故答案为：202111()2-．【点拨】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考【例9】（2024·河北·中考真题）若a ，b 是正整数，且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b +=B ．38a b =C ．83a b +=D ．38a b=+【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：()8822a b ⨯=，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．解：由题意得：()8822a b ⨯=，∴38222a b ⨯=，∴38a b +=，故选：A ．【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可解：A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ．12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．【题型7】拓展延伸【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n +，则20,5,2,mz nz ny nx a ====，即4=m n ，可确定1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，由题意可判断A 、B 选项，根据题意可得运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，故可判断C 、D 选项．解：设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n+如图：则由题意得：20,5,2,mz nz ny nx a ====，∴4mz nz=，即4=m n ，∴当2,1n y ==时， 2.5z =不是正整数，不符合题意，故舍；当1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，如图：，∴A 、“20”左边的数是248⨯=，故本选项不符合题意；B 、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴a 上面的数应为4a ，如图：∴运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，∴D 选项符合题意，当2a =时，计算的结果大于6000，故C 选项不符合题意，故选：D ．【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（）A ．﹣2B ．1或﹣2C ．0或1D ．1或﹣2或0【答案】D 【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得．解：情况一：指数为0，底数不为0即：a +2=0，2a －1≠0解得：a =－2情况二：底数为1，指数为任意值即：2a －1=1解得：a =1情况三：底数为－1，指数为偶数即：2a －1=－1，解得a =0代入a +2=2，为偶数，成立故答案为：D【点拨】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注．。
人教版八年级数学上册《同底数幂的乘法》教学设计
《14.1同底数幂的乘法》教学设计一、教学内容解析：同底数幂的乘法是幂的一种运算，在整式乘法中具有基础地位。
在整式的乘法中，多项式的乘法要转化为单项式的乘法，单项式的乘法要转化为幂的运算，而幂的运算以同底数幂的乘法为基础。
同底数幂的乘法将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算，其中，底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。
同底数幂的乘法是类比数的乘方来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出同底数幂的乘法的性质，进而通过推理加以推导，这一过程蕴含数式通性、从具体到抽象的思想方法。
二、学情分析从学生的知识情况来看，指数概念虽早已学过，但由于时间和自身的原因，对指数概念中所含名称：底数、指数、幂的含义并不十分明确。
前面虽然学习了用字母表示数以及整式的加减运算，但是用字母表示幂以及幂的运算，尚属首次，幂的运算抽象程度较高，不易理解。
特别是对于a m+n的指数的理解，因为它不仅抽象程度较高，而且运算结果反映在指数上，学生第一次接触，也很难理解。
教学时，应引导学生回顾乘方的意义，从数式通性的角度理解字母表示幂的意义，进而明确同底数幂的乘法的算理。
三、教学目标：1、识记目标：①熟记同底数幂乘法的法则；②能正确地运用同底数幂乘法的运算性质，并能应用它解决一些实际问题。
2、能力目标：经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，并从同底数幂乘法法则的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。
3、情感目标：通过同底数幂乘法法则的推导和应用，使学生初步理解“特殊——一般——特殊”的认知规律和辨证唯物主义思想，体味科学思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新精神四、课程标准“同底数幂的乘法”法则的教学目标应是“熟练掌握”。
为了使“熟练掌握”，一方面要正确理解法则，让学生自己得出法则，是正确理解法则的措施之一；同时还要扫除正确理解的障碍，即消除一些容易混淆之处。
人教版数学八年级上册 14.1.1同底数幂的乘法-教案
同底数幂的乘法 【教学目标】1．经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义；了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。
2．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力；学习同底幂乘法的运算性质，提高解决问题的能力。
3．在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学生学习数学的信心。
【教学重难点】1．正确理解同底数幂的乘法法则。
2．同底数幂的乘法运算法则的灵活运用。
【教学过程】一、情境引入。
一种电子计算机每秒可进行次运算，它工作秒可进行多少次运算呢？按照题意列式为，可怎样计算呢？二、探究新知。
1．乘方的意义。
①什么叫乘方？②αn 表示的意义是什么？α、n 、αn 分别叫做什么？③请你说出下列各幂的底数和指数：（-0.5）3；x m ；（-4）2；（m-n ）4+2n ；3；-42。
2．观察算式1431010⨯的特点，两个幂的_____是相同的，类似这样的运算都叫做_____幂的乘法。
3．尝试计算：4966⨯=_____；52a a ⋅=_____。
4．你发现了什么规律？用语言叙述出来：_____。
5．把你发现的规律推广到一般，用式子表示出来：m n a a ⋅=_____（m ，n 都是正整数）6．①同底数幂乘法的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：m n m n a a a +⋅=（m ，14103103141010⨯n 都是正整数）。
②三个或三个以上同底数幂相乘也具有上述性质：m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（，，是正整数）。
③把同底数幂乘法的法则逆过来用，可将一个幂拆成两个，同底数的幂的积：m n m n a a a +=⋅。
7．例题讲解：①x 2·x 5②a·a 6③2×24×23④x m ·x 3m+1⑤（-m ）3·m 5⑥（x-2y ）2·（2y-x ）3⑦b m =3，b n =5求b m+n 。
八年级数学上册第十四章同底数幂的乘法教学课件新版新人教版ppt
新课导入
规 律 以上6个式子都是两个底数相同的幂相乘，其结果的幂的底数仍与 原来两个幂的底数相同，结果的幂的指数是原两个幂的指数相加. （其中指数均为正整数）
思考：你能总结出同底数幂相乘的运算法则吗?
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法 性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am×an=(a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a)(a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a)
m个a
n个a
=a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a
m+n个a
=am+n
符号表示：am×an=am+n （m，n 都是正整数）.
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法 性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
符号表示：am×an=am+n （m，n 都是正整数）.
(1)使用该性质运算的前提条件有两个：①乘法运算； ②底数相同. (2)单个字母或数字可以看成指数为1的幂，参与同底数幂的乘法运 算时， 不能忽略指数为x+2=36，则 3x 2 . 2
提示：3x+2=3x·32=36，3x=4.
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法
示例：
指数相加
指数相加
a3×a5 = a8
(-a)×(-a)2×(-a)3 = (-a) 1+2+3 =(-a)6
底数a不变
底数-a不变
(-a)的指数为1
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法 (1)同底数幂的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底
数幂相乘，即 am∙ an∙ ap = am+n+p（m，n，p都为正整数）. (2)同底数幂的乘法的性质可以逆用，即 am+n = am∙ an （m，n都为正 整数）.
人教版八年级数学上册14.1.1 同底数幂的乘法(001)
第十四章整式的乘法与因式分解同底数幂的乘法....(1)10000=_______;(2)1亿（2）(-3)×3×（-1）×（-7）______数时，积是时，积是负数（填“奇”或“偶”）.______，其结果叫做，n是________，即na a a a____个a二、新知预习问题引入：神威·太湖之光超级计算机是世界上首台每秒运算速度超过十亿亿次的超级计算机.它工作103s可进行多少次运算？填一填：1.十亿亿次用科学记数法可以表示为__________;2.根据题意，可列算式为__________×103；议一议：3.观察所列算式，两个因式有何特点？归纳：把形如____________这种运算叫作同底数幂的乘法.想一想：1.根据乘方的意义，如何计算1017×103？1017 × 103 = 10( )==101010101010101010____个10 ____个10 ____个102.根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？(1) 25×22=2 ( ); (2)a3·a2=a ( ); （3）5m× 5n =5 ( ).你发现的规律是：a m· a n =___________.证一证：要点归纳：同底数幂的乘法法则：a m· a n =_________ (m、n都是正整数).即同底数幂相乘，底数______,指数三、自学自测计算：(1) 105×106=_____________; (2) a7(3) x5·x7=_____________; (4) (-b)3·四、我的疑惑_____________________________________一、要点探究探究点1：同底数幂的乘法法则算一算：根据乘法的运算律，计算下列各题：（1）a2·a6·a3=（a2· ______）·（2）x ·x2·x3=（x · ______）·比一比：a m· a n=_________ a m·想一想：如果将a m中a的换成（x+y）,由.（x+y）m·（x+y）n _________ （x+y）m+n(理由是：要点归纳：公式a m · a n = a m+n 中的底数a 不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他代数式.例 计算：(1)(a+b)4 · (a+b)7 ; (2)(m-n)3 ·(m-n)5 ·(m-n)7 ; (3)(x －y)2·(y －x)5.方法总结:当底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算.偶次幂与奇次幂的符号变化：(1)(－a)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n （n 为偶数）－a n （n 为奇数）； (2)(a －b)n＝⎩⎪⎨⎪⎧（b －a ）n （n 为偶数），－（b －a ）n（n 为奇数）.探究点2：同底数幂乘法法则的逆用 想一想：a m+n 可以写成那两个因式的积？填一填：若x m =3 ，x n =2，那么，（1）x m+n =_____×_____=_____×_____ =_____； （2）x 2m =_____×_____=_____×_____ =_____； （3）x 2m+n =_____×_____=_____×_____ =_____.方法总结：关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求代数式转化为几个已知因式的乘积的形式，然后再求值.例3：(1)若x a ＝3，x b ＝4，x c ＝5，求2x a ＋b ＋c 的值； (2)已知23x ＋2＝32，求x 的值.方法总结：第（2）问的关键是将等式两边化为底数相同的幂的形式，然后根据指数相等列方程解答.1.下面的计算对不对？ 如果不对，应当怎样改正. (1)b 3·b 3=2b 3； (2)b 3+b 3=b 6；(3)a·a 5·a 3=a 8； (4)(-x)4·(-x)4=(-x)16； 2.计算：①b3·b＝_______; ②y2n-2·y m+2＝_______;③10×103×105＝_______;④23333-444⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝_______; ⑤(x－y)(x－y)3(x－y)2＝_______.3.（1）已知a m＝3，a n＝21，求a m＋n的值．（2）若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．二、课堂小结同底数幂的乘法法则：a m· a n =_________ (m、n都是正整数). 即同底数幂相乘，底数______,指数______.1.下列各式的结果等于26的是( )A.2+25B.2·25C.23·25D.0.22· 0.242.下列计算结果正确的是( )A.a3·a3=a9B.m2·n2=mn4C.x m·x3=x3mD.y·y n=y n+13.计算：(1) x n+1·x2n=_______; (2) （a-b)2·（a-b)3=_______;(3) -a4·（-a)2=_______;(4) y4·y3·y2·y =_______.4.填空：(1)x·x2·x( )=x7; (2)x m·（）=x3m;(3)8×4=2x，则x=( ).5.计算下列各题：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3；(2)(a-b)3·(b-a)4; (3) (-3)×(-3)2×(-3)3;(4)－a3·(－a)2·(－a)3.。
2014年秋人教版八年级数学上册：14.1.1《同底数幂的乘法》ppt课件
2、转化为同底数幂运算。
检测五：
完成下列各题，并思考解题依据是什么？
计பைடு நூலகம்: (1) (2) (3)
a a a a
8 8
8 8 同底数幂乘法
2 2
8
8 合并同类项
先合并同类项，再同底数幂乘法
运用同底数幂的乘法法则要注意： 1.必须具备同底、相乘两个条件； 2.注意 am ·an 与am + an的区别；
通过观察可以发现1014、 103这两个因数都是同底
17个10
=1017
数幂的形式，所以我们
把像1014×103的运算叫
做同底数幂的乘法.
猜想:am · an= am+n (m，n都是正整数) am · an = a· …· a） （a· a· …· a）×（a· m个a = a· a· …· a (m+n)个a =am+n n个a （乘法结合律） （乘方的意义）
（乘方的意义）
am·an =am+n (m，n都是正整数)
检测一
完成下列各题（请同学口答，并说出解题依据）
3 3
3 2
5 3 3 3 3 3
3
a a a m n m n （m、n都是正整数） a a a
5 8
13
通过这三道题，你能发现这种运算的规律吗？ 运算法则：底数 不变 ，指数 相加 。
检测二：
下面的计算是否正确，如果不对，应怎样改正？ 你的做题依据是什么？
14.1.1同底数幂的 乘法
学习目标
学会同底数幂的乘法法 则，并能熟练的应用。
1、
a 表示n个a相乘，我们把这种运算 叫做乘方。
n
请同学们自学大屏幕的知识点，为本节课的 重点知识做好准备。（2分钟）
人教版《同底数幂的乘法》教案.docx
人民教化出版社教材八年级上册第十四堂《同底数幕的乘法》教案博乐市笫一中学于H教学目标学问和技能1 .理解同底数案的乘法法则：2 .运用同底数密的乘法法则解决一些实际问题：3 .从同底数屏乘法法则的推导过程中，培育学生的视察、猜想和探究实力,初步理解特别到一般再到特别的认知规律。
过程和方法创设情景一主体探究一应用提高情感看法和价值观通过同学们合作探究，激发同学们的学习爱好，体现合作的作用。
教学重难点重点：同底数杼的乘法法则及正确应用。
难点，同底数席的乘法法则的敏捷运用。
教学过程一、复习什么是乘方？一方FJ结号是什么?例：3×3×3×3=q∙4-f指数j --------------- ►¥底数二、创设情境，感觉新知•种电子计算机每秒可进行10"次运算，它工作10'秒可进行多少次运算？(学生列式并猜想结果)1.θ"χ∣θ'=(10χ…X1.O)X(IOX1.OXIO)12个10≈Jθ×-√∙∙×1.θ15个IO=IoKHP：1011×103=10,sβ(老师出示课题：同底数新的乘法)三、自主探究，得出结论计算下列各式：(1)a i×a2i<2)5"×5"引导学生得出结论：同底数零相乘，底数不变，指数相加.数学语言：∕xa"=尸(团，〃均为正整数)四、巩固成果例】.计算(1)x1×x s t(2)(-8)2×(-8)J；(3)(a-b),(a-b)小结：同底数黎的乘法，底数可为字母，可为有理数，也可为多项式，但必需是底数相同。
五、深化分析例2、计算(I)2×25χ27; (2)(-α)2χ(-Λ)4×(-<05;(3)-α2×(-«)*；(4)χχ(-x)1∙χ(—X)。
小结：同底数塞相乘，可以两项相乘，也可以多项相乘，但不是同底数塞且能化成同底数解的，必需先化成同底数碌,然后运用同底数呆乘法法则计算。
人教版-同底数幂的乘法教学设计2024-2025学年八年级上册数学
《同底数幂的乘法》教学设计一、课题名称同底数幂的乘法二、课程课时1课时三、教材内容分析本节课是人教版八年级上册数学第十五章《整式的乘除与因式分解》中的第一节内容。
同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，在整式运算中具有重要地位。
教材通过实际问题引入同底数幂的乘法运算，让学生在具体情境中体会数学的应用价值，同时引导学生通过观察、分析、归纳等方法总结出同底数幂的乘法法则。
四、课标目标1.理解同底数幂的乘法法则。
2.能运用同底数幂的乘法法则进行计算。
五、教学重点、难点1.教学重点同底数幂的乘法法则的推导过程。
运用同底数幂的乘法法则进行计算。
2.教学难点对同底数幂的乘法法则的理解。
法则中指数的运算。
六、课的类型及主要教学方法1.课的类型：新授课。
2.主要教学方法：讲授法、探究法、练习法。
七、教学过程1.导入新课教学环节：提出问题。
教师活动：同学们，我们知道细胞每分裂一次，数量会翻倍。
如果一个细胞经过一次分裂变为2个，经过两次分裂变为2×2个，经过三次分裂变为2×2×2个，那么经过n 次分裂后细胞的数量是多少呢？学生活动：学生思考问题，尝试用式子表示细胞经过n 次分裂后的数量。
设计意图：通过实际问题引入同底数幂的乘法，激发学生的学习兴趣。
目标达成预测：学生能够积极思考问题，用式子表示细胞经过n次分裂后的数量，为后续学习同底数幂的乘法做好铺垫。
2.讲授新课探索同底数幂的乘法法则教学环节：计算式子。
教师活动：现在我们来计算一下2×2×2×2×2和2×2×2的乘积是多少？并观察式子的特点。
学生活动：学生进行计算，得出结果为2×2×2×2×2×2×2=2⁷，并发现式子中底数都是2。
设计意图：通过具体的计算，让学生初步感受同底数幂相乘的特点。
目标达成预测：学生能够正确计算式子的结果，并观察到式子的底数相同。
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•请同学们先根据自己的理解，解答下列各题.
103 ×102 =（10×10×10）×（10×10） = 10（ 5 ） ； 23 ×22 =（2×2×2）×（2×2） =2×2×2×2×2
= 2（5 ） ；
a3×a2 =（a a a）（a a）= a a a a a = a（ 5 ） .
3个a
2个a
解： (1)原式= x2+5 = x7
(2)原式= a1+6 =
(3)原式=
(4)原式=
（2） a a6； （4） xm x3m 1.
人教版初中数学《同底数幂的乘法》 精美版
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1.计算： （1）107 ×104 ； 解：（1）原式=107 + 4 = 1011
am×an×ap
=（a×…×a）×（a×…×a）×（a×…×a）
m个a相乘
= a× a ×…× a
n个a相乘
p个a相乘
（ m+n+p ）个a相乘
= am+n+p
人教版初中数学《同底数幂的乘法》 精美版
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同底数幂的乘法运算法则
➢am ·an = am+n
(当m、n都是正整数)
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）
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例 计算： （1） x2 x5； （3）（-2）（-2）4 （-2）3；
5个a
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人教版 数学八年级上册14.1.1同底数幂的乘法教案
《同底数幂的乘法》教学设计【教材的地位和作用】同底数幂的乘法是在学习了有理数的乘方和整式的加减之后，为了学习整式的乘法而学习的关于幂的一个基本性质（法则），又是幂的三个性质中最基本的一个性质，学好了同底数幂的乘法，其他两个性质和整式乘法的学习便容易了．因此，同底数幂的乘法法则既是有理数幂的乘法的推广又是整式乘法的重要基础，在本章的学习中具有举足轻重的地位和作用。
【教学流程】复习旧知——创设情境，引出课题——合作学习、探索新知——巩固新知，创新设计——延伸拓展创新应用——归纳小结，布置作业.【活动五】延伸拓展创新应用1计算下列各式，结果用幂的形式表示：(1) (-7)8×73(2) (-5)3×(-5)2×54(3) －m6·(-m)3(4)(a-b)(b-a)3【活动六】归纳小结，布置作业拓展延伸：1.计算：(1)(－2)3×25(2) (－3)5×37× (－3)22.已知| x-2| +| 3x-2y-8 | =0 ,则 y x· y2 ___3.210–29– 28–27–26– 25– 24– 23– 22 +2 =___让学生体验更深层次的同底数幂的乘法形式，注意符号的判断，提高自己的解题能力。
另一方式的归纳总结法、既能让学生自己总结应用课堂所学的知识，也能让学生体验成功的喜悦教学反思：本课我采用探究合作教学法进行教学，充分发挥了学生的主体作用，积极为学生创设一个和谐宽松的情境，学生在自主的空间里自由的奔放地想象思维和学习取得较好的效果。
在这次教学中导入环节，我利用多媒体为学生创设积极向上的生活情境，充分调动了学生的兴趣和积极性；在同底数幂乘法公式推导过程中学生思维经历了猜测、质疑。
推理论证的科学发现过程，也渗透了转化和从特殊到一般的数学辩论思想，充分体现了自主探究的学习方式；而在巩固深化环节上精心设计开放式题目。