四川省泸州市2014届高三第1次教学质量诊断性考试数学理试题：摘录
2014年四川省泸州市数学中考试题及参考答案2014年四川省泸州市数学中考试题及参考答案
2014年四川省泸州市数学中考试题及参考答案考试时间：120分钟 总分120分一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.只有一项是符合题目要求的.）1． 5的倒数为 A ．51 B ．5 C ．51- D ． -52．计算32x x ⋅的结果为A ．22xB ．22xC ．22xD ． 22x3．如右下图所示的几何图形的俯视图为A ．B ．C ．D ． 4．某校八年级（2）班6名女同学的体重（单位：kg ）分别为35，36，40，42，42，则这组数据的中位数是A ．38 B ．39 C ．40 D ．425．如图，等边△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则∠DEC 的度数为参考译文：谢景仁化学教案陈郡阳夏人化学教案本名和宋高祖刘裕重名化学教案所以只称呼他的字试卷试题他的祖父谢据化学教案是A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．已知实数x 、y 满足031=++-y x ，则y x +的值为A ．-2B ．2C ．4D ．-47．一个圆锥的底面半径是6cm ，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为A ．9 cm B ．12 cm C ．15 cm D ．18 cm 8．已知抛物线122++-=m x x y 与x 轴有两个不同的交点，则函数xmy =的大致图像是A ．B ．C ．D ．ADE9．“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y （千米）与汽车行驶时间x （小时）之间的函数图像，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是A ．2小时 B ．2.2小时 C ．2.25小时 D ．2.4小时lO 2O 1→第9题 第10题10．如图，⊙1O ，⊙2O 的圆心1O ，2O 都在直线l 上，且半径分别为2cm ，3cm ，cm O O 821=.若⊙1O 以1cm/s 的速度沿直线l 向右匀速运动（⊙2O 保持静止），则在7s 时刻⊙1O 与⊙2O 的位置关系是则表明了这份情感不会因距离而减弱试卷试题C 试卷试题“知君当此夕”中“知”字化学教案语气肯定化学教案A ．外切B ．相交C ．内含D ．内切11．如图，在直角梯形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB=90°, AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点E ,F ,则EFBF的值是 D.面对游学热的现象化学教案我们必须要学会摆正心态化学教案客观冷静的加以对待；而新闻媒体的报道评论化学教案有助于我们形成正确的认知试卷试题A ．1-2B ．22+C ．12+D ．2FABCD E第11题 第12题12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a ）(a >3),半径为3，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为24，则a 的值是步行走;“逛 ”散步,闲游;“晃”侧重摇动摆动试卷试题可以说,四个词都有慢步走的意思,根据语境,该语、A ．4B ．23+C ．23D ．33+二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将最后答案直接填在题中横线上.）13．分解因式：3632++a a = . 14．使函数)2)(1(12+-++=x x x y 有意义的自变量x 的取值范围是 .（15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和52，则它的面积为 . 16．如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为A (0,3)，O (0,0)，B (4,0)，C (4,3)，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数xky =的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ，给出下列命题：①若4=k ，则△OEF 的面积为38； ②若821=k ，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上； ③满足题设的k 的取值范围是120≤<k ；④若1225=⋅EG DE ,则k=1.其中正确的命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）.三、（本大题共3小题，每题6分，共18分） 17．计算：2)21()2(60sin 4-12-︒+++π18．化简：ab bb a b a a -÷+--)1(22 19．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且AE ⊥BF ，垂足为点G .求证：AE=BF .四、（本大题共2小题，每题7分，共14分） 20.某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量t （单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按20<≤t ，32<≤t ，43<≤t ，4≥t 分为四个等级，并分别用A 、B 、C 、D 表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题： GC D各种等级人数占调查总人数的百分比统计图x%15%10%DCB45%A（1）求出x 的值，并将不完整的条形统计图补充完整；x=100-45-10-15=30（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足42<≤t 的人数；（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的概率. 五、（本大题共2小题，每题8分，共16分）21.某工厂现有甲种原料380千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件.已知生产一件A 产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B 产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。
四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）A．B．C．D．2. 已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（ ）A．B．C．D ．23. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y＝4. 若数列满足，则的值为（ ）A ．2B．C．D．5. 已知圆内一点P (2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是（ ）A．B．C．D．6. 抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（ ）A．B ．1C．D．7. 下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4)8. 已知随机变量X 的分布列为X024Pm则（ ）A．B ．1C．D．9. 若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，则称这两函数为“伙伴函数”.下列函数中与函数不是“伙伴函数”是（ ）A．B．C．D．10. 下列说法正确的是（ ）A ．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好B．若随机变量，则四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(2)四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(2)三、填空题四、解答题C．现安排，，三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种D ．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）A ．函数在上单调递增B．存在，使得函数为奇函数C ．任意，D ．函数有且仅有2个零点12. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．图中的x 值为0.020B ．这组数据的极差为50C ．得分在80分及以上的人数为400D ．这组数据的平均数的估计值为7713. 已知函数.若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是____，___.（只需写出一组）14.是虚数单位，复数的共轭复数为______．15. 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为 鳖臑.已知直三棱柱中，，，，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个 鳖臑，则鳖臑的体积与其外接球的体积之比为 ______ .16. 已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数的最大值和最小值.17. 已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为．(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：直线轴；(3)以线段为直径作圆，交直线于，求的取值范围．18. 设抛物线方程为，其焦点为为直线与抛物线的一个交点，.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于两点，试问在抛物线的准线上是否存在一点，使得为等边三角形，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，.（1）证明：；（2）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.20. 如图，已知椭圆E：的离心率为，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线过点B且垂直于x轴，直线AP与交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为，△BQR的面积为，试判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围.21. 已知函数．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求证：．。
四川省绵阳市2014届高三第一次诊断——数学(理)
绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCDC ABBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．613．514．21()e e， 15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ） cos x ≠0知x ≠k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(m ax +=x f ． ……………………………………………………………8分（II ）由题意得1)4πx +≥0，即sin(2)4πx +解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ， 整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠k π，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x <k ππ+，k ∈Z }．………………………………………………12分 17．解：（I ）设{a n }的公差为d ，则由题知⎩⎨⎧=+++=+，，4874143111d a d a d a 解得a 1=2，d =4． ……………………………………4分 ∴a n =2+4(n -1)=4n -2．…………………………………………………………6分 （II ）设{b n }的公比为q ，若q =1，则S 1=b 1，S 2=2b 1，S 3=3b 1，由已知312322S S S +=⨯，代入得8b 1=4b 1，而b 1≠0，故q =1不合题意．…………………………………………………………7分 若q ≠1，则S 1=b 1，q b S -=)1(212，q b S -=)1(313，于是23111(1)(1)22311b q b q b q q--⨯⨯=+--，整理得：4q 2=3q +q 3，解得q =0（舍去），q =1（舍去），q =3， ………10分 ∴8031)31(244=--⨯=S ． ………………………………………………………12分18．解：（I ）由已知A =2，且有3)0sin(2=+⋅ϕω，即23sin =ϕ， 由|ϕ|<2π得3πϕ=．又∵ 最高点为(1，2)， ∴ ，2)3sin(2=+πω 解得6πω=．∴ )36sin(2ππ+=x y ．…………………………………………………………6分（II ）∵ B 点的横坐标为3，代入函数解析式得2sin(3)63B ππy =⨯+=1，∴ 2)34(122=-+=BD ．…………………………………………………8分 在△BCD 中，设∠CBD =θ，则∠BDC =180º-120º-θ=60º-θ． 由正弦定理有)60sin(sin 120sin θθ-︒==︒BCCD BD ， ∴ θsin 362=CD ，)60sin(362θ-︒=BC ， …………………………………9分 ∴ )]60sin([sin 362θθ-︒+=+CD BC ]sin 21cos 23[sin 362θθθ-+=)3sin(362πθ+=． ∴ 当且仅当6πθ=时，折线段BCD 最长，最长为362千米．…………12分 19．解：（I ）由于f (3+x )=f (-x )知函数f (x )关于23=x 对称， 即232=-b ，解得b =-3，于是 f (x )=x 2-3x +2．………………………………3分 22111()111x x x g x x x ⎧-≤-≥⎪=⎨--<<⎪⎩，或，，， 当x ≤-1，或x ≥1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥x 2-1，解得x ≤1， ∴ 此时x 的范围为x ≤-1，或x =1．当-1<x <1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥1-x 2，解得x ≤12或x ≥1， ∴ 此时x 的范围为-1<x ≤21．∴ 综上知，使不等式f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |x ≤12或x =1}． ………………………………………………………………7分（II ）⎩⎨⎧<<-+≥-≤++=，，，或，1151132)(2x bx x x bx x x h若b=0时，22311()51 1.x x x h x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩，或，，显然h (x )>0恒成立，不满足条件．…………………………………………………………………9分 若b ≠0时，函数ϕ(x )=bx +5在(0，1)上是单调函数， 即ϕ(x )在(0，1)上至多一个零点，不妨设0<x 1<x 2<2．①如果0<x 1<1，1≤x 2<2时，则0)1()0(<ϕϕ，且(1)(2)h h ≤0，即50(5)(211)0b b b +<⎧⎨++≤⎩，，解得112-≤5b <-． 经检验211-=b 时，)(x h 的零点为1011，2（舍去），∴112-<5b <-． ②若1≤x 1<x 2<2时2(1)1(2)0124240h h b b ≥⎧⎪>⎪⎪⎨<-<⎪⎪->⎪⎩，，，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<<->+≥+，或，，，626248011205b b b b b 得：-5≤b <- ∴ 综上所述b的取值范围为112b -<<- ……………………………12分 20．解：（I ）由02312>-+x x 解得221<<-x ．即)221(，-=M ．……………2分∵x x x x x f 24)2(3243)(22⋅-⋅=-⋅=+， 令2x =t ，则422<<t ， 34)32(343)()(22+-=-==t t t t g x f ， ∴ g (t )在)422(，上是增函数． ∴ g (t )在)422(，上无最小值，即f (x )在M 上无最小值． ……………………………………………………7分（II ）∵0)1()1(2)(222>+-+='x x tx x g ，∴ g (x )在M 上是增函数． ……………………………………………………8分 设1+tx -x 2=0的两根为α，β(α<β)，则α+β=t ，αβ=-1，M =(α，β)． 于是1212)()(22+--+-=-ααββαβt t g g )1)(1()1)(2()1)(2(2222+++--+-=βαβααβt t 12)()())(()(2)(222+-+++-----=αββααββαβαβαβααβt224)()(4t t +----=βαβα=αβ- αββα4)(2-+=42+=t ．由题意知，要使原不等式恒成立，只需342<+t ，解得[t ∈．……………………………………………………………………………13分21．解：（I ）∵a x e x f x --=')(，∴ a f -='1)0(．于是由题知1-a =2，解得a =-1． ∴ x x e x f x +-=221)(． ∴ (0)1f =，于是1=2×0+b ，解得b =1．……………………………………………………4分 （II ）由题意0)(>'x f 即0>--a x e x 恒成立， ∴ x e a x -<恒成立．设x e x h x -=)(，则1)(-='x e x h ．∴ min ∴ a <1．…………………………………………………………………………9分 （III ）由已知ax ax e x ax ax x e x g x x --=+---=22222121)(， ∴ a ax e x g x --='2)(．∵ x 1，x 2是函数g (x )的两个不同极值点（不妨设x 1<x 2），∴ a >0（若a ≤0时，0)(>'x g ，即g (x )是R 上的增函数，与已知矛盾），且0)(1='x g ，0)(2='x g ． ∴ 0211=--a ax e x ，0222=--a ax e x ． 两式相减得：21212x x e e a x x --=，于是要证明a xx 2ln 221<+，即证明2122121x x e e ex x x x --<+， 两边同除以2x e ，即证21212121x x e e x x x x --<--，即证(x 1-x 2)221x x e ->121--x x e ，即证(x 1-x 2)221x x e --121x x e -+>0，令x 1-x 2=t ，t <0． 即证不等式012>+-t t e te 当t <0时恒成立．设2()1t t φt te e =-+，∴ ttt e e t et -⋅⋅+='21)(22ϕ t te e t-+=2)12( )]12([22+--=tee t t ． ∵由(II)知122+>t et ，即0)12(2>+-te t， ∴ ϕ(t )<0，∴ ϕ(t )在t <0时是减函数．∴ ϕ(t )在t =0处取得极小值ϕ(0)=0． ∴ ϕ(t )>0，得证． ∴ a x x 2ln 221<+．……………………………………………………………14分。
2024届四川省泸州市泸县高三一模理科数学试题含解析
泸县高2021级高三一诊模拟考试数学（理工类）（答案在最后）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C2.已知复数z 满足(1i)2z +=，则z 的虚部为（）（i 为虚数单位）A.12-B.1- C.1i 2D.i-【答案】B 【解析】【分析】先对已知式子化简求出复数z ，从而可求出其虚部【详解】由(1i)2z +=，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以z 的虚部为1-，故选：B3.已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是（）A.a 2<－abB.|a |<|b |C.11a b> D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D ，由指数函数的单调性可知选项C 正确.【详解】法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a|＝|b|，1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a<0，ab <0，所以110b a a b ab --=>，所以11a b>一定成立，故选C.法二：因为a >0>b ，所以110a b>>，所以11a b >一定成立，故选：C.【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．4.已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上的一点P 的坐标为()1,3-，则cos α=（）A.31010-B.10-C.1010D.31010【答案】B 【解析】【分析】直接利用三角函数的定义即可求解.【详解】r ==，10cos10x r α===-故选：B5.已知函数2()22f x x x =+-的图像在点M 处的切线与x 轴平行,则点M 的坐标是A.(1,3)- B.(1,3)--C.(2,3)-- D.(2,3)-【答案】B 【解析】【分析】先设()()00,M x f x ,再对函数求导得()22,f x x =+'由已知得00()220f x x '=+=，即可求出切点坐标.【详解】设()()00,M x f x ,由题得()22,f x x =+'所以000()220,1,(1)3f x x x f '=+=∴=--=-,∴()1,3M --.故选：B .【点睛】本题主要考查对函数求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-.6.函数()2xf x e x x =--的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】从各项图象的区别，确定先判断函数奇偶性(对称性)，再求导研究()()1,2f f ''的符号,判断单调性即可.【详解】22()()()xxf x ex x e x x f x --=----=--= ，()f x ∴是偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项AB.当0x >时，2()x f x e x x =--，则()21x f x e x '=--，由(1)30f e '=-<，()2250f e '=->，故存在0(1,2)x ∈使得()0f x '=，即函数在区间(1,2)上不单调，排除D.故选：C.【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7.已知2sin 5αα=，则2sin(cos()36ππαα+++=（）A.45-B.25-C.0D.25【答案】B 【解析】【分析】利用两角和的正弦和余弦公式化简后可得所求的值．【详解】因为2sin 5αα=，所以1sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而211sin(cos(sin cos cos sin 362222ππαααααα+++=-++-2sin 5αα=-=-，故选：B ．8.天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度.星体的视星等m ，绝对星等M ，距地球的距离d 有关系式05lgd M m d=+（0d 为常数）.若甲星体视星等为1.25，绝对星等为 6.93-，距地球距离1d ；乙星体视星等为1.15，绝对星等为1.72，距地球距离2d ，则12d d =（）A. 1.7510B. 1.7210 C. 1.6510 D. 1.6210【答案】A 【解析】【分析】利用对数的运算可求得12d d 的值.【详解】由已知可得01025lg 6.93 1.258.185lg 1.72 1.150.57d d d d ⎧=--=-⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，上述两个等式作差得0012125lglg 5lg 0.578.188.75d d d d d d ⎛⎫-==+= ⎪⎝⎭，因此， 1.751210d d =.故选：A.9.将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为（）A.32B.2C.3D.72【答案】A 【解析】【分析】利用平移变换得出()sin 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由对称轴的性质得出122k ω=--，Z k ∈，结合0ω>得出ω的最小值.【详解】将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象对应的函数为()sin sin 4444g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-所以4442k ωπωππππ--+=+，Z k ∈解得122k ω=--，Z k ∈，又0ω>所以当1k =-时，ω取最小值，为32故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合0ω>得出ω的最小值.10.已知偶函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，且0.15log 2,ln2,2a b c ===-，则()()(),,f a f b f c 满足A.()()()f b f a f c << B.()()()f c f a f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f a f b f c <<【答案】D 【解析】【详解】55110log 2log ,1ln 2ln 22a b ===,故()()()1f a f b f <<,又()()()()0.10.1221f c f f f =-=>,故()()()f a f b f c <<,故选D.11.已知函数()sin cos sin f x x x x =+，则下列关于函数()f x 的说法中，正确的个数是（）①2π是()f x 的周期；②()f x 是偶函数；③()f x 的图像关于直线2x π=对称；④()f x 的最小值是4-A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式一一代入验证即可判断①②③，对函数求导，利用导数判断④；【详解】解：()()()()()2sin 2cos 2sin 2sin cos sin f x x x x x x x f x ππππ+=+++-+=+=①正确；()()()()()sin cos sin sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+--=--≠②错误；()()()()()sin cos sin sin cos sin f x x x x x x x f x ππππ-=-+--=-≠，③错误；()222cos cos sin 2cos cos 1f x x x x x x =+-=+-'令()0f x '=.解得cos 1x =-或1cos 2x =·当1cos 2x =即sin 2x =-时，()f x 有最小值﹐最小值为4-.④正确.故选：B .12.已知函数321()(0)3f x ax x a =+>，若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为（）A.2,53⎛⎫⎪⎝⎭B.2,3(3,5)3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C.18,67⎛⎫⎪⎝⎭ D.18,4(4,6)7⎛⎫⋃⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据导数判断函数的单调性，画出函数的大致形状，然后根据题意进行求解即可.【详解】32'212()()2(3f x ax x f x ax x ax x a=+⇒=+=+，因为0a >，所以当0x >或2x a<-时，'()0f x >，()f x 单调递增，当20x a-<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，()00f x x =⇒=或3x a=-，函数图象大致如下图所示：因为存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以有21221(1)1(1)()2a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，或312(2)2a a -<-<-，解(1)得：1847x <<，解(2)得46x <<，故选：D【点睛】关键点睛：根据单调性画出图象大致形状，分类讨论、数形结合进行求解.第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数()4log 0201x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪+⎩，，则()0f f ⎡⎤⎣⎦______．【答案】12【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】由函数的解析式可得：2(0)201f -==-+，则()410(2)log |2|2f f f =-=-=⎡⎤⎣⎦.故答案为12．【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)0f x f x ++=，且(1)2f =-，则(2019)(2018)f f +的值为__________．【答案】2【解析】【分析】由()f x 为奇函数且()()20f x f x ++=可得函数()f x 是周期为4的周期函数.可将()()20192018f f +转化为()()()()2019201832f f f f +=+，由奇函数特点可得()00f =，在()()20f x f x ++=中，令1x =，可得()32f =，问题得解．【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，又()()20f x f x ++=，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数.所以()()()()201920184504345042f f f f +=⨯++⨯+()()32f f =+，又()00f =，在()()20f x f x ++=中，令1x =，可得()()312f f =-=，∴()()()()2019201832022f f f f +=+=+=.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的应用，考查运算求解能力、等价变换的能力，还考查了赋值法，属于中档题．15.已知在三棱锥-P ABC 中，90,4,30BAC AB AC APC ︒︒∠===∠=，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________．【答案】80π【解析】【分析】根据已知条件确定,ABC PAC 的外接圆圆心12,O O ，及三棱锥-P ABC 的外接球球心O 、AC 边中点H 的位置关系--四边形12OO HO 为矩形，进而应用正弦定理、侧面外接圆半径与外接球半径、点面距之间的关系，求外接球半径，即可求球的表面积.【详解】如图12,O O 分别为,ABC PAC 的外心.由90BAC ∠=︒，即1O 为BC 中点，取AC 的中点,H 则1O H AC ⊥，又面PAC ⊥面ABC ，面PAC 面ABC AC =，1O H ⊂面ABC ，即1O H ⊥面,PAC 设球心为O ，则2OO ⊥平面,PAC ∴12//O H OO ，又2O H AC ⊥，2O H ⊂面PAC ，面PAC 面ABC AC =，面PAC ⊥面ABC ，∴2O H ⊥平面ABC ，又1OO ⊥平面ABC .∴12//OO O H ，即四边形12OO HO 为矩形.由正弦定理知：228sin ACO P APC==∠，即24O P =，∴若外接球半径为R ，则2222216420R O P OO =+=+=，∴2480S R ππ==.故答案为：80π.【点睛】关键点点睛：利用面面垂直、等腰直角三角形的性质，应用三棱锥侧面外接圆半径、外接球半径、点面距之间的几何关系，结合正弦定理求外接球半径，进而求表面积.16.已知函数()()e ln xf x x a x x =-+(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(,)e +∞【解析】【分析】求出()()1x xe af x x x-'=+⋅，当0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不满足条件，当0a >，讨论出()f x 的单调性，得出最小值，根据条件可得出答案.【详解】由()e (ln )xf x x a x x =-+，得()()()11(1)1x xxe af x x e a x x x-'=+-+=+⋅，且0x >由0x >，则100x x xe +>>，若0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.若0a >，设()xh x xe a =-，则()()10xh x x e '=+>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增由()00h =，所以x xe a =有唯一实数根，设为0x ，即00x x ea=则当00x x <<时，x xe a <，()0f x '<，则()f x 在()00x ，单调递减，当0x x >时，x xe a >，()0f x ¢>，则()f x 在()0x +∞，单调递增，所以当0x x =时，()()()00000min ln xf x f x x e a x x ==-+由00x x ea =可得()00ln ln x x e a =，即00ln ln ln x x e a +=，即00ln ln x x a+=所以()()0min ln f x f x a a a ==-，()0a >又当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得()f x →+∞所以函数()e (ln )x f x x a x x =-+有两个不同零点，则()()0min ln 0f x f x a a a ==-<设()ln g x x x x =-，则()ln g x x'=-当()0,1x ∈时，有()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增.当()1,x ∈+∞时，有()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减.又当0x →时，()0g x →，()0g e =所以当0<<x e 时，()0g x >，当>x e 时，()0g x <，所以ln 0a a a -<的解集为a e >故答案为：(,)e +∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()ππ2sin cos cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 单调递增区间；（2）若825f α⎛⎫=⎪⎝⎭，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin α的值.【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z ；（2）310+.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，再根据正弦函数的递增区间可得结果；（2）由825f α⎛⎫= ⎪⎝⎭得到π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得π3cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再根据ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求得结果.【详解】（1）()πsin 22cos 222s 6πin 22f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()πππ2π22π262k x k k -≤+≤+∈Z ，得()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ，则函数单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z .（2）由825f α⎛⎫= ⎪⎝⎭得π82sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，π2π7π,636α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得π3cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4313sin 525210α=⨯+⨯=.【点睛】关键点点睛：第（2）问将α拆为已知角6πα+和特殊角6π是本题解题关键.18.已知函数()()sin λf x ωx φ=+(0λ>，0ω>，02πϕ<<)的部分图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC的面积()22234S a c b =+-.（1）求ABC 的角B 的大小；（2）若3b =，点B 的坐标为1,3λ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求()f x 的最小正周期及ϕ的值.【答案】（1）3π；（2）最小正周期为2，6πϕ=.【解析】【分析】（1）根据()22234S a c b =+-，利用余弦定理和三角形面积公式，易得3122accosB acsinB =，即3tanB =求解.()2由2,3,3a cb B π===，利用余弦定理可得1c =，进而得到函数()f x 的最小正周期为2，然后由13,32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，求得()f x 即可.【详解】（1）()22234S a c b =+- ，∴由余弦定理得32S accosB =，又12S acsinB =，3122accosB acsinB =，即3tanB =，()0,B π∈ ，3B π∴=.()2由题意得，2,3,3a cb B π===，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2224433c c c cos π+-=，即1c =，设边BC 与x 轴的交点为,D 则ABD ∆为正三角形，2λ∴=且1AD =，∴函数()f x 的最小正周期为2，22πωπ∴==，()()2f x sin x πϕ=∴+又点13B ⎛ ⎝⎭在函数()f x 的图象上，1332f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，3πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭2,32k k Z ππϕπ∴+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈又02πϕ<<，6πϕ∴=.【点睛】方法点睛：（1）求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝2π＋k π(k ∈Z )，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．（3）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2πω；（3）奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝A sin ωx 或y ＝A cos ωx ＋b 的形式．19.已知函数3()f x x ax b =-+在=1x -处取得极值．（1）求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在[0,2]内有零点，求实数b 的取值范围．【答案】（1）3a =；（2）[2,2]-.【解析】【分析】（1）根据(1)0f '-=，求出a 的值，再验证即可；（2）利用导数得出函数在[0,2]是的最值，由max min ()20()20f x b f x b =+≥⎧⎨=-≤⎩求解即可.【小问1详解】解：∵3()f x x ax b =-+,所以2()3f x x a '=-，又()f x 在=1x -处取得极值，∴(1)30f a '-=-=，解得3a =.经验证3a =时，2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<，所以()f x 在=1x -处取得极值.所以3a =；【小问2详解】解：由（1）知3()3f x x x b =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，∴()y f x =的极值点为1,1-，将x ，()f x ，()f x '在[0,2]内的取值列表如下：x0(0，1)1(1，2)2()f x '3-－0＋9()f x b单调递减极小值b －2单调递增b ＋2∵()y f x =在[0,2]内有零点，∴max min ()20()20f x b f x b =+≥⎧⎨=-≤⎩，解得22b -≤≤，∴实数b 的取值范围是[2,2]-.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ；（2）若2AB =，求平面PCD 与平面PBD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF ，由已知易证四边形ADFE 是平行四边形，即//DF AE ，再由线面平行的判定证结论；（2）设O 是AB 中点，根据题设构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】如图，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，∵E 、F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，122EF BC ==∵//AD BC 且122AD BC ==，∴//EF AD 且EF AD =，故四边形ADFE 是平行四边形，∴//DF AE ，AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，∴//AE 平面PCD .【小问2详解】设O 是AB 中点，作//Oy BC ，由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，得Oy AB ⊥，因为PA PB =，所以PO AB ⊥，由面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，故PO ⊥面ABCD ，以O 为原点，,,OB Oy OP 所在直线分别为,,x y z轴建空间直角坐标系，如下图所示：∴()1,0,0A -、()1,0,0B 、()1,4,0C 、()1,2,0D -、(3P ，则(3BP =- ，(1,2,3PD =- ，()2,2,0DC =，设面PBD 的法向量(),,n x y z = ，则30230n BP x z n PD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取3x =)3,3,1n = ；设面PCD 的法向量(),,m a b c = ，则220230m DC a b m PD a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取1a =，得(1,1,3m =-- ；设平面PCD 与平面PBD 的夹角为θ，则3105cos 3575m n m nθ⋅===⨯⋅ ，∴平面PCD 与平面PBD 105.21.已知函数()213e 28xf x a x =--有两个极值点1x ，()212x x x <．（1）若()10f x =，求a 的值；（2）若212x x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）2e（2）ln 20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据取得极值点处导函数等于0即可求解；（2）令212x t x =≥，根据()111e 0x f x a x '=-=，()222e 0x f x a x '=-=，求出()1ln 21t x t t =≥-，构造函数()()ln 21th t t t =≥-求出1x 的范围，再构造函数()(]()0,ln 2e x x x x ϕ=∈，求出范围即可求解a 的范围.【小问1详解】依题意知，x ∈R ，因为函数()213e 28xf x a x =--有两个极值点1x ，()212x x x <，所以()e xf x a x '=-，()111e 0x f x a x '=-=，()222e 0x f x a x '=-=，则有()e 0xf x a x '=-=有两个根，等价于e xxa =有两个根，令()e x x g x =，则()1e xxg x ='-，令()10ex xg x -'==，解得1x =，所以(),1x ∈-∞时，()10e x xg x -'=>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()10ex xg x -'=<，()g x 单调递减，所以1x =时，()g x 取得最大值()()max 11eg x g ==，又x 趋向于无穷大时，()g x 趋向于0，所以10ea <<且1201x x <<<.若()10f x =，即()121113e 028xf x a x =--=，由11121e 013e 028x x a x a x ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得：11e ,22e x a ==或1233e ,22e x a ==（舍去），所以若()10f x =，a的值为：2ea =.【小问2详解】由（1）知，()e xf x a x '=-，()111e 0x f x a x '=-=，()222e 0x f x a x '=-=，整理可得2121ex x x x -=，令212x t x =≥，所以21ln x x t -=，易得12ln 1ln 1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，令()()ln 21th t t t =≥-，则()()211ln 1t t h x t --'=-，令()11ln u t t t =--()2t ≥，则()210tu t t -'=<，所以()u t 在[)2,+∞上单调递减，所以()()12ln 202u t t ≤=-<，所以()h t 在[)2,+∞上单调递减，所以()()02ln 2h t h <≤=，即(]10,ln 2x ∈，所以(]()1110,ln 2e x x a x =∈，令()(]()0,ln 2e x xx x ϕ=∈，则()10ex xx ϕ-'=>恒成立，所以()x ϕ在(]0,ln 2x ∈上单调递增，所以()()()ln 2ln 2ln 200ln 2e 2x ϕϕϕ=<≤==，即ln 202a <≤，所以a 的取值范围为：ln 20,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系中，曲线C 1的方程为()(2211x y -+=，曲线C 2的参数方程为23x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线l 过原点O 且与曲线C 1交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上且OP ⊥AB ．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C 1的极坐标方程并证明OA OB ⋅为常数；（2）若直线l 平分曲线C 1，求△PAB 的面积．【答案】（1）22cos sin 30ρρθθ--+=，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）写出1C 的极坐标方程，设直线l 的极坐标方程为θα=，代入1C 的方程，利用韦达定理证明OA OB ⋅为定值；（2）直线l 平分曲线1C 得直线l 的方程，因为OP AB ⊥，得直线OP 的方程，求得点P 的坐标，计算三角形面积.【小问1详解】1C的一般方程为22230x y x +--+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C的极坐标方程为22cos sin 30ρρθθ--+=，证明：设直线l 的极坐标方程为θα=，点()1,A ρα，()2,B ρα，将θα=代入22cos sin 30ρρθθ--+=，得1ρ，2ρ为方程22(cos )30ραθρ-++=的两个根，123OA OB ρρ=⋅=.【小问2详解】因为直线l 平分曲线1C ，所以直线l过点(，直线l的方程为y =，因为OP AB ⊥，所以直线OP为3y x =-，曲线2C 的普通方程为2y x =，与直线OP的方程联立，得(3,P ，点P 到直线l 的距离d ==1C 的直径2AB =，所以PAB 的面积12S AB d =⨯=[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2f x m x mx =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=，求证：≤.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最大值，让最大值等于6即可得m 的值；（2）由（1）知，2x y z ++=，由222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用基本不等式即可求证.【详解】（1）由题意得()2()(2)3f x x m x m x m x m m =+--≤+--=，因为函数()f x 的最大值为6，所以36m =，即2m =±.因为0m >，所以2m =；（2）由（1）知，2x y z ++=，因为0x >，0y >，0z >，所以222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y z ==时，即1x =，12y z ==等号成立，2m ≤=≤当且仅当11,2x y z ===时，等号成立.。
精品解析：四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试数学(理科)试题(原卷版)
泸州市高2018级第一次教学质量诊断性考试数学(理科)一､选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合{}240A x x x =-≤，{}21,B x x n n ==-∈N ，则AB =（ ） A. {}3 B. {}1,3 C. {}1,3,4 D. {}1,2,3,42. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 已知3log 5a =，1ln2b =， 1.11.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A. b c a << B. b a c <<C. a c b <<D. a b c << 4. 我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon ）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 的公式2log 1S C W N ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，其中W 是信道带宽（赫兹），S 是信道内所传信号的平均功率（瓦），N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中SN叫做信噪比．根据此公式，在不改变W 的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C 大约增加了60%，则λ的值大约为（ ）（参考数据：0.210 1.58≈）A. 1559B. 3943C. 1579D. 25125. 下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）A. 10πB. 8πC. 9πD. 10π 6. 函数3e e x xx y -=+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ） A. B.C. D.7. 已知两点1(,0)A x ，2(,0)B x 是函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>与x 轴两个交点，且两点A ，B 间距离的最小值为3π，则ω的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 58. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()g x x =的图象的交点个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 69. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点，O ，M 分别为BD ，EF 的中点，则下列说法错误的是（ ）A. 四点B ，D ，E ，F 在同一平面内B. 三条直线BF ，DE ，1CC 有公共点C. 直线1A C 与直线OF 不是异面直线D. 直线1A C 上存在点N 使M ，N ，O 三点共线10. 已知方程22log 0x x --=的两根分别为1x ，2x ，则（ ）A. 1212x x <<B. 122x x >C. 121=x xD. 1201x x << 11. 已知三棱锥A BCD -中，BAC 和BDC 是边长为2的等边三角形，且平面ABC ⊥平面BCD ，该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 163πC. 8πD. 203π 12. 已知函数321()(0)3f x ax x a =+>，若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ） A. 2,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 2,3(3,5)3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C. 18,67⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 18,4(4,6)7⎛⎫⋃⎪⎝⎭ 二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上)13. 已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 14. 曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形面积为______．15. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1tan 3α=，则tan()αβ-=______．16. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点(不含端点)，有下列结论：①平面A 1D 1P ⊥平面A 1AP ；②多面体1D CDP -的体积为定值；③直线D 1P 与BC 所成角可能为3π； ④APD 1能是钝角三角形. 其中结论正确的序号是___________(填上所有序号).三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知函数2()32cos12x f x x =-+． （Ⅰ）若()236f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值； （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围． 18. 已知曲线()sin f x kx x b =+在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为230x y --=． （1）求k ，b 的值；（2）判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上零点的个数，并证明． 19. ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin()sin2B C a A B c ++=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）已知1b =，3c =，且边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S =，求AD ． 20. 如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，G 是线段AB 上一点(不含,A B )，在平面SGD 内过点G 作GP //平面SBC 交SD 于点P.（1）写出作点P ､GP 的步骤(不要求证明)；（2）若3BAD π∠=，2AB SA SB SD ====，P 是SD 的中点，求平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小.21. 已知函数1()ln f x x m x m x=---，其中[]1,e m ∈，e 是自然对数的底数． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）设关于x 的不等式1()ln f x x x kx n x ≤--+对[]1,x e ∀∈恒成立时k 的最大值为[](),1,c k R n e ∈∈，求n c +的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 是圆心在()0,2，半径为2的圆，曲线2C 的参数方程为22224x t y t π⎧=⎪⎨⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎩（t 为参数且02t π≤≤），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线2C 与坐标轴交于A 、B 两点，点P 为线段AB 上任意一点，直线OP 与曲线1C 交于点M （异于原点），求OMOP 的最大值．23. 若0,0a b >>且223a b ab ++=，已知ab 有最小值为k . （1）求k 的值；（2）若0x R ∃∈，使不等式2x m x k -+-≤成立，求实数m 的取值范围.。
四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题(3)
一、单选题二、多选题1. 若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ）A ．1B．C ．2D ．32. 如图所示，在三棱锥A -BCD 中，平面ACD ⊥平面BCD ，△ACD 是以CD为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．40πB ．20πC ．32πD ．80π3. 已知函数，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．4.已知，则（ ）A．B．C．D．5. 在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（ ）A．B．C．D．7. 已知O 为坐标原点，椭圆上两点A ，B满足．若椭圆C 上一点M 满足，则的最大值为（ ）A ．1B．C．D ．28.定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19. 某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm ），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是（ ）A ．若男、女样本量分别为，，则总样本的平均值为171.4B．若男、女样本量分别为，，则总样本的方差为36C．若男、女的样本量都是，则总样本的平均值为170D．若男、女的样本量都是，则总样本的方差为6110. 已知平面向量，且，则（ ）A．B．C．D．四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(3)四川省泸州市2024届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(3)三、填空题四、解答题11. 已知圆，恒过点的直线与圆交于两点．下列说法正确的是（ ）A．的最小值为B．C．的最大值为D ．过点作直线的垂线，垂足为点，则点的运动轨迹在某个定圆上12. 若实数m ，，满足，以下选项中正确的有（ ）A ．mn的最大值为B ．的最小值为C．的最小值为D ．最小值为13.已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是___________.14. 已知实数，，，满足：，，，则的最大值为___________.15. 已知，则的值为________.16. 如图，在四棱锥中，已知平面，为等边三角形，，，与平面所成角的正切值为.(Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)若是的中点，求二面角的余弦值.17. 文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔.某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出.(1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率；(2)抽取3次后，记取出红笔的数量为，求随机变量的分布列；(3)因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n 次抽取中抽出第2支红笔的概率为，求的通项公式.18.已知等差数列的公差为，且方程的两个根分别为，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.19.已知函数（其中，），该函数的最大值为2，相邻两对称轴之间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)当时，求的单调递增区间和值域；(3)若，，求的值．20. 已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.(1)求数列的通项和数列的通项；(2)若，求数列的前项和.21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点，平面平面．（1）求证：平面；（2）已知，求与平面所成角的正弦值．。
四川省绵阳市2014届高三第一次诊断性考试数学(理)试题 清晰扫描版含答案
绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCDC ABBAD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．613．514．21()e e15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．……7分若q ≠1，则S 1=b 1，q q b S --=1)1(212，qq b S --=1)1(313，于是23111(1)(1)22311b q b q b q q--⨯⨯=+--整理得：4q 2=3q +q 3，解得q =0（舍去），q =1（舍去），q =3， ………10分 ∴8031)31(244=--⨯=S ． ………………………………………………………12分 18．解：（I ）由已知A =2，且有3)0sin(2=+⋅ϕω，即23sin =ϕ， 由|ϕ|<2π得3πϕ=．又∵ 最高点为(1，2)， ∴ ，23sin(2=+πω 解得6πω=．∴ )36sin(2ππ+=x y ．…………………………………………………………6分∴ 综上知，使不等式f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |x ≤12或x =1}． ………………………………………………………………7分（II ）⎩⎨⎧<<-+≥-≤++=，，，或，1151132)(2x bx x x bx x x h若b=0时，22311()51 1.x x x h x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩，或，，显然h (x )>0恒成立，不满足条件． (9)分若b ≠0时，函数ϕ(x )=bx +5在(0，1)上是单调函数， 即ϕ(x )在(0，1)上至多一个零点，不妨设0<x 1<x 2<2．①如果0<x 1<1，1≤x 2<2时，则0)1()0(<ϕϕ，且(1)(2)h h ≤0，即50(5)(211)0b b b +<⎧⎨++≤⎩，，解得112-≤5b <-． 经检验211-=b 时，)(x h 的零点为1011，2（舍去），∴112-<5b <-． ②若1≤x 1<x 2<2时224)()(4t t +----=βαβα=αβ-42+=t ．由题意知，要使原不等式恒成立，只需342<+t ，解得[t ∈．……………………………………………………………………………13分21．解：（I ）∵a x e x f x --=')(，∴ a f -='1)0(．于是由题知1-a =2，解得a =-1．∴ x x e x f x +-=221)(． ∴ (0)1f =，于是1=2×0+b ，解得b =1．……………………………………………………4分 （II ）由题意0)(>'x f 即0>--a x e x 恒成立， ∴ x e a x -<恒成立．设x e x h x -=)(，则1)(-='x e x h ．∴ ttt e et e t -⋅⋅+='21)(22ϕ )]12([22+--=tee t t ． ∵由(II)知122+>t et ，即0)12(2>+-te t， ∴ ϕ(t )<0，∴ ϕ(t )在t <0时是减函数．∴ ϕ(t )在t =0处取得极小值ϕ(0)=0． ∴ ϕ(t )>0，得证． ∴a x x 2ln 221<+．……………………………………………………………14分。
【泸州三质测】2014届四川省泸州市高三第三次诊断性考试理科数学解析版
泸州市2011级高三第三次教学质量诊断性考试数 学（理工类） 2014.4.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。
第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。
考试时间120分钟。
第一部分 （选择题 共50分）注意事项：用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上。
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1、若{1,2,3,4}U =，{1,2}M =，{2,3}N =，则=⋂)(N M C U （ ） 【答案】：C【解析】：本题考查集合的基本概念；显然{}2=⋂N M ，∴{}{}4,3,12=U C .选C. A 、{1,2,3} B 、{2} C 、{1,3,4} D 、{4}2、如图，向量OZ 对应的复数为z ，则4z z+对应的复数是（ ）【答案】：D.【解析】：本题考查复数的基本概率和综合应用；由图得)1,1(-z ，既i z -=1.∴i i i i i i i i z z +=+=+-++-=-+-=+3262)1)(1()1)(42(14)1(42.选D.A 、13i +B 、3i --C 、3i -D 、3i + 3、命题p ：(,0]x ∀∈-∞，21x ≤，则（ ）A 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x >B 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x ≥C 、p 是真命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x >D 、p 是真命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x ≥ 【答案】：C .【解析】：本题考查命题的四种基本形式；显然命题p 是真命题，排除A 、B ；只有C 满足.4、已知α为锐角，sin()410πα+=，则sin α的值是（ ） A 、35 BC、 D 、45 【答案】：A . 【解析】：本题考查三角函数的基本公式；计算时不要马虎.531027*********sin -=⨯-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-+ππα，而⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα.选A. 5、在区间[0,1]上任取三个数x ，y ，z ，若向量(,,)m x y z =，则事件||1m ≥ 发生的概率是（ ） A 、12π B 、16π- C 、112π- D 、6π 【答案】：B .【解析】：本题考查综合度较大，中档题 .设),,(z y x m OM ==，则),,(z y x M =，由题意得：]1,0[,,∈z y x ，故点M 对应的基本事件(反面）℘是一个棱长为1的正方体，故它的体积为1.1对应事件为P1≤得1222＜z y x ++,即事件P 对应的基本事件空间是以坐标原点为球心，半径为1的球体在第一象限内的部分，其体积为球体体积的81. ∴6134812ππ=⨯⨯=P V .∴61)111π-=-=≥P P .选B.6、用0，1，2，3，…，9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A 、324B 、328C 、360D 、648【答案】：B 【解析】：本题考查事件分类. ①当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256②当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72种，根据分类计数原理知共有256+72=328种.故选B. 7、某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每单位需A 种原料8克，B 种原料24克，每单位利润60元；生产乙种产品每单位需A 种原料和B 种原料各16克，每单位利润80元。
2021届四川省泸州市高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学(理)试题Word版含解析
2021届四川省泸州市上学期第一次教学质量诊断性考试高三数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2}B xx =≤‖，则A B =（ ）A ．{3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{0,1,2,3}【答案】B【解析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 解：{0,1,2,3},{|22}A B x x ==-≤≤，{0,1,2}A B ∴⋂=．故选：B ． 【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题．2．下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（ ）A ．()f x =B ．()2xf x -=C ．()ln f x x =D ．3()f x x =【答案】B【解析】对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”，可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项即可判断． 【详解】解：“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”， ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项可知，()f x =(0,)+∞单调递增，不符合题意，1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，符合题意， ()ln f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，3()f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3．“sin 0α=”是“sin 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由sin 0α=可得α，由sin 20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果.【详解】 解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈， 所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，故选：A. 【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 4．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选：D5．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行 C ．相交 D ．不确定 【答案】B【解析】如图所示，直线a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，求证a ∥b ．只需考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解：由a ∥α得，经过a 的平面与α相交于直线c ，则a ∥c ，同理，设经过a 的平面与β相交于直线d ， 则a ∥d ，由平行公理得：c ∥d ，则c ∥β，又c ⊂α，α∩β=b ，所以c ∥b ， 又a ∥c ，所以a ∥b ． 故答案为B ．6．如图所示的图象对应的函数解析式可能是A ．221x y x =-- B ．2sin 41x xy x ⋅=+C ．ln x y x=D ．()22e xy x x =-【答案】D【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2xy =趋向于0，21y x =+趋向于+∞∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x xy x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时，ln 0x < ∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x <>时，0y >；当01x <<时，0y <；且0xy e =>恒成立∴2()2xy x x e =-的图像在x 趋向于-∞时，0y >；01x <<时，0y <；x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 7．已知:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<，0:q x ∃∈N ，200210x x --=，则下列选项中是假命题的为（ ）A ．p q ∨B ．()p q ∧-C ．p q ∧D ．()p q ∨-【答案】C【解析】命题p ：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q ：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可． 【详解】解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ， 过P 作PM x ⊥轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin MP α=，弧长PA 即为角α；显然MP <弧长PA ；∴:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<是真命题；命题q ：解方程200210x x --=，则12x =因此0:q x ∃∈N ，200210x x --=，是假命题．则下列选项中是假命题的为p q ∧．而A ，B ，D 都是真命题． 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，x =确定x 的值，的值为（ ）A ．3BC ．6D ．【答案】A【解析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可． 【详解】(0)m m =>，则两边平方得，则23m +=， 即232m m +=，解得，3,1m m ==-舍去． 故选：A ． 【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．9．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，下列关于()f x 的描述中，正确的是（ ）A ．3tan ϕB ．最小正周期为2πC ．对任意x ∈R 都有()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后图象关于坐标原点对称 【答案】D【解析】由三角函数图象得,,A ωϕ的值，得到()f x 的解析式，进而再判断每个命题的真假． 【详解】解：由图知：71,,4123T A T πππ==-∴=， 而2,2,3T x ππωω=∴==时，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭又在递减区域，22,Z 3k k πϕππ∴⋅+=+∈，而0,3πϕπϕ<<∴=，所以()sin 2,tan tan 333f x x ππϕ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以A 不正确， 最小正周期222T πππω===，所以B 不正确， sin 2sin(2)sin 2()333f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 不正确； 函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得sin 2sin 263x x ππ⎡⎛⎫⎤-+=⎢⎪ ⎥⎭⎦⎝⎣，关于原点对称，所以④正确． 故选：D ． 【点睛】考查三角函数的图象得函数解析式，及三角函数的性质，属于简单题．10．若将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，则x min 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nxf x ae =（其中e 是自然对数的底数）.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min 后，甲桶中的水只有L 4a ，则m 的值为（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3【答案】C【解析】由题意，函数()nxy f x ae ==满足1(5)2f a =，解出11ln 52n =．再根据1()4f k a =，建立关于k 的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k 的值，由5m k =-即可得到． 【详解】解：∵5min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数()nty f t ae ==，满足51(5)2nf aea ==可得11ln 52n =， 因此，当k min 后甲桶中的水只有4a升， 即1()4f k a =， 即111ln k ln 524⋅=， 即为111ln 2ln 522k ⋅=，解之得10k =，经过了55k -=分钟，即5m =． 故选：C ． 【点睛】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．11．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，2DPA π∠=，23AD =，2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为（ ）A ．163π B ．323π C ．643π D ．16π【答案】B【解析】连接AC 交BD 于F ，球心O 在底面的射影必为点F ，取AD 的中点E,在截面PEF 中，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥P −ABCD 的外接球的体积． 【详解】连接AC 交BD 于F ，球心O 在底面的射影必为点F ，取AD 的中点E,在截面PEF 中，连结PO在PAD ∆中，2DPA π∠=，PA PD =，23AD =3,PE ∴=又由已知得1EF =， 设OF x =，在Rt OAF ∆中，224OA x =+， 在截面PEF 中，221(3)x OP =+OP OA =2241(3)x x ∴+=+得0x =， ∴球的半径为2，∴四棱锥P −ABCD 的外接球的体积为3432233ππ⋅=． 故选：B. 【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥P −ABCD 的外接球的体积，属于中档题．12．已知函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()71,2log 3 B ．()52,2log 3--C ．()52log 3,1--D ．71log 3,2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【解析】把函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，转化为3log ()k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象，转化为关于k 的不等式组求解．【详解】解：由函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3xg x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()()131xh x g x =-=-， 函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，即3log ()k x h x =-有3个不同根， 画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象如图：要使函数3log y k x =与()y h x =-的图象有3个交点，则k 0<，且33log 32log 52k k >-⎧⎨<-⎩，即522log 3k -<<-． ∴实数k 的取值范围是()52,2log 3--． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．二、填空题13．函数y =的定义域是 ．【答案】]4,0( 分析:由得40≤<x . 【解析】试题【考点】函数的定义域.14．设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(18)f 的值为________.【答案】9【解析】推导出(18)(353)(3)f f f =⨯+=，由此能求出结果． 【详解】解：∵函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，∴2(18)(353)(3)39f f f =⨯+===． 故答案为：9． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．当0x x =时，函数()cos 22sin 2f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭有最小值，则0sin x 的值为________.【答案】±【解析】利用诱导公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：函数2()cos 22sin cos 22cos 2cos 2cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+- ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质可知，当01cos 2x =-时，函数取得最小值，则0sin x =±⎩⎨⎧≥->0log 202x x故答案为：3±． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题．16．已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的________.（写出所有正确结论的编号） ①每个面都是直角三角形的四面体； ②每个面都是等边三角形的四面体； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体. 【答案】①②④【解析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可． 【详解】 解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E −ABC ，所以①正确； ②每个面都是等边三角形的四面体；如E −BGD ，所以②正确； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A −BDE ，所以④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．三、解答题 17．已知函数321()3f x x x ax =-+（其中a 为实数）. （1）若1x =-是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间；（2）若()f x 在(2,)-+∞上是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）(1,3)- （2）[1,)+∞【解析】（1）对()f x 求导，代入1x =-使导函数为零，求出a 的值，进而利用导数可求出()f x 的减区间.（2）()f x 在(2,)-+∞上是增函数转化为'()f x 在(2,)-+∞上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）因为321()3f x x x ax =-+，所以2()2f x x x a '=-+， 因1x =-是()f x 的极值点，所以(1)0f '-=，即120a ++=，所以3a =-， 故2()23f x x x '=--，当1x <-或3x >时，()0f x '>，当13x 时，()0f x '<，所以3a =-符合题意， 且()f x 的减区间为(1,3)-；（2）因为()f x 在(2,)-+∞上为增函数，所以2()20f x x x a '=-+≥在(2,)-+∞上恒成立， 所以22a x x ≥-+在(2,)-+∞上恒成立，因为2()2g x x x =-+在(2,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数， 所以()(1)1g x g ≤=，所以1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞， 【点睛】本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Cb Cc +=. （1）求B ；（2）已知2c =，AC 边上的高7BD =，求a 的值.【答案】（1）3B π=（2）3a =或6a =【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果． （2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积的应用求出结果． 【详解】解:（1）由sin sin 2A Cb Cc +=， 所以sin sin 22B b C c π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即sin cos 2B b C c =，由正弦定理得sin sin sin cos2BB C C =， 由于C 为ABC ∆的内角，所以sin 0C ≠， 所以sin cos2B B =，即2sin cos cos 222B B B = 由于B 为ABC ∆的内角，∴cos02B≠， 所以1sin22B =， 又因为(0,)B π∈，所以3B π=；（2）因为11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入2c =，7BD =，sin B =，得b ，由余弦定理得22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-，代入b =，得29180a a -+=， 所以3a =或6a =.【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．如图，已知BD 为圆锥AO 底面的直径，若4AB BD ==，C 是圆锥底面所在平面内一点，2CD =，且AC 与圆锥底面所成角的正弦值为42.（1）求证：平面AOC ⊥平面ACD ；（2）求二面角B AD C --的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）21cos 7OFH ∠=【解析】（1）首先找到AC 与圆锥底面所成角ACO ∠，求出,AC OC ，可得CD OC ⊥，结合圆锥的性质，可证明CD ⊥平面AOC ，进而可得平面AOC ⊥平面ACD ；（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量和平面ABD 的一个法向量，通过夹角公式，可求得两法向量的夹角，进而得到二面角B AD C --的平面角的余弦值；解法二：过点O 作OF AD ⊥交于F .过F 作FHAD ⊥交DC 于H ，连接HO ，得OFH ∠为二面角B AD C --的平面角，通过三角形的边角关系求出OFH ∠的余弦. 【详解】（1）证明：由4AB BD ==及圆锥的性质， 所以ABD ∆为等边三角形，AO ⊥圆O 所在平面， 所以23AO =，ACO∠是AC 与底面所成角，又AC 与底面所成的角的正弦值为42， 在Rt AOC ∆中，1442AC ==，222OC AC AO =-=，由2CD =，2OD =，在OCD ∆中，222OC CD OD +=， 所以CD OC ⊥，圆锥的性质可知：AO ⊥圆O 所在平面， 因为CD ⊂圆O 所在平面，所以AO CD ⊥， 又AO ，OC ⊂平面AOC ，所以CD ⊥平面AOC ， 又DC ⊂平面ACD ， 故平面AOC ⊥平面ACD ；（2）解法一：在圆O 所在平面过点O 作BD 的垂线交圆O 于点E ，以O 为坐标原点，OE 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，由题可知，(0,2,0)B -，(0,2,0)D ，(0,0,23)A ， 由2OC =4DOC π∠=，所以(1,1,0)C ，设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，因为(1,1,23)AC =-，(0,2,23)AD =-，所以2302230x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1z =，则(3,3,1)=m ，平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)n =， 所以21cos ,7||||m n m n m n ⋅〈〉==，二面角B AD C --的平面角的余弦值为217. 解法二：过点O 作OF AD ⊥交于F .过F 作FH AD ⊥交DC 于H ，连接HO ，所以OFH ∠为二面角B AD C --的平面角，在Rt OFD ∆中，因为4=AD ，6FOD π∠=，所以1FD =，3OF =因为Rt Rt HFD ACD ∆∆，所以HF ACDF CD=，即7HF = 则22HD = 故C 是HD 的中点， 所以2OH =，在OFH ∆中，2222cos OH OF FH OF FH OFH =+-⨯∠， 即2243)7)237OFH =+-∠，所以21cos OFH ∠=【点睛】本题考查面面垂直的证明以及向量法求面面角，考查学生的计算能力，是中档题. 20．已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x x R =+∈. （1）求函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，且3()3g α+=，3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，求2g πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）()f x 的最小值是1x 的集合为3|,8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z（2）43+【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数()f x 得解析式，再根据正弦函数的最值求得函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合．（2）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用两角和的正弦公式求得2g πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 【详解】解：（1）2()2cos sin 2cos f x x x x =+，sin2cos21x x =++214x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当2242x k πππ+=-+，即3()8x k k ππ=-∈Z 时， sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值是-1，所以函数()f x 的最小值是1 此时x 的集合为3|,8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）()f x 的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x所以()g x 的最小正周期为4π，故1()124g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为1()11243g παα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，所以11sin 243πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭又3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1,242ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 111122244g πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11sin cos cos sin 1244244ππππαα⎤⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦113⎛=-⨯+ ⎥⎝⎭⎣⎦43+=. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，两角和的正弦公式，属于中档题．21．已知函数()ln f x x =，1()g x a x=+（其中a 是常数）. （1）求过点(0,1)P -与曲线()f x 相切的直线方程；（2）是否存在1k ≠的实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，若这样的实数k 存在，试求k ，a 的值；若不存在.请说明理由. 【答案】（1）1y x =-（2）存在,2k e =, a =【解析】（1）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程，（2）假设存在1k ≠的正实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，转化为1ln 0kx x a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，分类讨论求1ln kx x a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值，令其大于等于零，利用导数求出k ，a 的值即可． 【详解】解：（1）设过点(0,1)P -的直线与曲线()f x 相切于点()00,ln x x ， 因()ln f x x =，则1()f x x'=， 所以在()00,ln x x 处切线斜率为()001f x x '=， 则在()00,ln x x 处切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入切线方程得0ln 0x =，所以01x =， 所以切线方程为1y x =-；（2）假设存在实数1k ≠，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即111ln a x k x x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立， 取1x =，可知0k >， 因为0x >，0a >，所以1ln 0kx x a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，令1()ln (0)kx m x x x a a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， 则2()1(1)k a akx a k m x a ax a ax '-+=-=++，由()00m x '=得20a kx ak-=.（1）当20k a <<时，()00,x x ∈时，()00m x '<，则()m x 在01,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，()0,x x ∈+∞时，()00m x '>，则()m x 在()0,x +∞上为增函数，则()min 02()1ln 0k a m x m x a k==--≥，即2ln 1k a a k +≤，令2()ln (k ah a a a k=+>，则233122()k a k h a a a a'-=-=，由()00h a '=，得0a a =>， )0a a ∈时，()0h a '<，则()h a 在区间)0a 上为减函数，()0,a a ∈+∞时，()0'>h a ，则()h a 在区间()0,a +∞上为增函数，因此存在唯一的正数a >()1h a ≤，故只能min ()1h a =.所以()min 01()12h a h a ==+=，所以2k e =，此时a 只有唯一值e. （2）当2k a ≥时，()00m x '>，所以()m x 在(0,)+∞上为增函数，所以0lim ()ln 0x m x a →=≥，则1a ≥， 故1k >.所以满足1a ≤≤a 不唯一综上，存在实数2k e =，a ，当0x >时，恒有原式成立. 【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．22．如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为2,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB .（1）求曲线1M 的极坐标方程；（2）设点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，点2,3Q πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的值.【答案】（1）4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭ （2）3πθ=【解析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果．（2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（1）设以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ，所以该圆的极坐标方程为4cos ρθ=，则1M 的方程为4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭； （2）由点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，则114cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭， 点2,3Q πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线2M 上，则24cos 3233ππππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即224cos 363πππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为12||,||OP OQ ρρ==，所以12||||OP OQ ρρ+=+，即||||4cos 4cos 3OP OQ πθθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为32ππθ≤≤，且263ππθ-≤≤，所以32ππθ≤≤，因为||||6OP OQ +=，所以63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 32πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以3πθ=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．23．设()|-3||4|f x x x =+-.（1）解不等式()2f x ≤；（2）已知x ，y 实数满足2223(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值. 【答案】（1）[2.5,4.5]（2）65a = 【解析】（1）讨论x 的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2f x ≤的解集；（2）结合题意，利用柯西不等式求得2()x y +的最大值，列方程求出a 的值． 【详解】解：（1）当3x <时，不等式化为342x x -+-+≤，此时2.53x ≤<，当34x ≤≤时，不等式化为342x x --+≤，成立，当4x >时，不等式化为342x x -+-≤，此时4 4.5x <≤，综上所述，原不等式的解集为[2.5,4.5]；（2）柯西不等式得22222))()x y ⎡⎤⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，因为2223(0)x y a a +=>， 所以25()6x y a +≤，（当23x y =时，取等号），又因为x y +的最大值为1，所以65a =. 【点睛】 本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．。
四川省泸州市2024届高三上学期一诊模拟(二)数学(理)试题(解析版)
泸州老窖高2021级高三上期一诊模拟(二)数学（理科）（答案在最后）第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2=+28<0A x x x -，{}4,2,0,2,4B =--，则A B = （）A.{}2,0- B.{}4,2,0,2-- C.{}0,2 D.{}2,0,2,4-解：因为{}{}2=+28<0=4<<2A x x x x x --，{}4,2,0,2,4B =--，所以{}2,0A B ⋂=-.故选A2.已知34a =，2log 3b =，则ab =（）A .2 B.9C.4D.5解：因为34a =，所以3log 4a =，所以322lg 2lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⨯=⨯=.故选：A3．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β解：对于A 选项，设α∩β＝a ，若l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，此时α与β相交，故A 选项错误；对于B 选项，l ∥α，l ⊥β，则存在直线a ⊂α，使得l ∥a ，此时a ⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B 选项正确；对于C 选项，若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β或l ⊂β，故C 选项错误；对于D 选项，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系不确定，故D 选项错误．选B.答案：B4.当某种药物的浓度大于100mg/L （有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L（安全水平）．从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L ，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈，lg86 1.935≈）A.4小时 B.6小时 C.8小时 D.12小时【分析】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y -=⨯-，由题意可得()160010.14100n -⨯-<，两边取常用对数求解即可.解：设n 小时后药物浓度为()160010.14n y-=⨯-若n 小时后药物浓度小于100mg/L ，则需再服药.由题意可得()160010.14100n -⨯-<，即110.866n -<所以()1lg 0.86lg 6n -<-，则lg 6lg 2lg 30.3010.4770.778111.969lg 0.86lg 86lg100 1.93520.065n -++->=-=-=≈--所以12.969n >所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适故选：D5.已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）A .()1,0- B.[]0,1C.(]()10,-∞-+∞ , D.(](),11,-∞-⋃+∞解：若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则21440a a a <⎧⇒≤-⎨∆=-≤⎩，由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q 假，则满足：0101a a a <⎧⇒-<<⎨>-⎩；若q 真p 假，则满足：01a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，综上10a -<<故选：A6.已知πsin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.3-D.3【分析】以π6α+为整体，结合倍角公式可得πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式运算求解.解：因为22πππ1cos 2=cos212sin 1236633ααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2πππ1cos 2cos π2cos 23333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A.7．若1a b >>，01c <<，则（C）A ．c ca b <B ．c cab ba <C ．log log b a a c b c<D ．log log a b c c<解：用特殊值法，令a =3，b =2，12c =，可知选项A 错误；11223223⨯>⨯，选项B 错误；2313log 2log 22<，选项C 正确；3211log log 22>，选项D 错误.故选C.考点：指数函数与对数函数的性质8.在梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD CD CB ====∥，将△ACD 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -体积最大时,其外接球的表面积为（）A ．9π4B ．5π2C ．9π2D ．5π【分析】注意到三棱锥D ABC -体积最大时，平面ACD ⊥平面ABC ，可知以B 为顶点时，BC 为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面ACD 的距离、ACD 外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.解：过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，ABCD 为等腰梯形，2,1AB CD ==，12BE ∴=，3B π∴=由余弦定理得2222cos33AC AB BC AB BC π=+-⋅=，即3AC =222AB BC AC =+ ，BC AC∴⊥易知，当平面ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，此时，BC ⊥平面ACD ，易知，23D π∠=123sin 234ACD S AD CD π∴=⋅= ，13313412D ABC V -∴=⨯⨯=记O 为外接球球心，半径为RBC ⊥ 平面ACD ，OB OC =，∴O 到平面ACD 的距离12d =又ACD 的外接圆半径122sin 3ACr π==，22254R r d ∴=+=245S R ππ∴==故答案为：5π9.将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为（）A ．32B ．72C ．2D ．3【分析】利用平移变换得出()sin 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由对称轴的性质得出122k ω=--，Z k ∈，结合0ω>得出ω的最小值.解：将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象对应的函数为()sin sin 4444g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-所以4442k ωπωππππ--+=+，Z k ∈解得122k ω=--，Z k ∈，又0ω>所以当1k =-时，ω取最小值，为32故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合0ω>得出ω的最小值.10．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB（km ），CD ＝km ），在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，∠BED ＝150°，则两山顶A 、C 之间的距离为（）A B ．C (km)D (km)【分析】先计算BE ，DE ，利用余弦定理计算BD ，再利用勾股定理计算AC ．解：在Rt △ABE 中，∵AB ＝，CD ＝3，∠AEB ＝30°，∠CED ＝45°，∴BE ＝3，DE ＝3，又∠BED ＝150°，∴BD ＝＝3，过A 作AF ⊥CD 于F ，则AF ＝BD ＝3，CF ＝CD ﹣AB ＝2，∴AC ＝＝＝5（km ）．故选：B ．11.已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（）A ．BC ．1D ．e【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.解：函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，当1e x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x '<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P '=+=⇒=⇒=⇒，所以min PQ==故选：A12.已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )+g (2–x )=5，g (x )–f (x –4)=7.若y =g (x )的图象关于直线x =2对称，g (2)=4，则221()k f k ==∑（）A ．–21B ．–22C ．–23D ．–24第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形面积为______．【答案】2【分析】直接利用定积分0sin S xdx π=⎰求解.解：由题得00sin (cos )|cos (cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰.所以所求的图形的面积为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：求定积分的方法：(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解：由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C 1ABCD )，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC 1.由正方体棱长AB ＝2知最长棱AC 1的长为2 3.答案：2315.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=___________．5-解：∵()f x =sin 2cos x x -5255(sin cos )55x x -令cos ϕ=55，25sin 5ϕ=-，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+，当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=255-.中点，点G 是11A D 上的动点，下列结论中正确的有①11//C D 平面ABH ②③直线EF 与1BC 所成的角为【答案】②③④【分析】①根据AB C ∥BD ⊥面1ACC 得到1AC ⊥1BDA ；③取AD 中点I ，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以A ，B ，1C ，1D 四点共面，即C 连接BD ，AC ，1AB ，1A B ，1AC ，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC 1CC BD ⊥，1AC CC C = ，AC ，1CC ⊂面ACC 1AC ⊂面1ACC ，∴1AC BD ⊥，又∵11A B AB ⊥，11B C ⊥面11ABB A 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．所成角的正弦值．)0,2,1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.的极坐标；，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到30,2MOK ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.。
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2014届四川省高考模拟20
1
2014年四川省高考模拟试题20
2013.12.6
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知函数, 0 , 12, 0 ,21)(xxxfxx，则该函数是
A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
2．将函数()sin(2)()22fxx的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数()gx的图象，若
()fx
、()gx的图象都经过点3(0,)2P，则的值可以是
A．53 B．56 C．2 D．6
3．若函数aaxxf213)(在区间)1,1(内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A．51a B．51a或1a C．511a D．1a
4．△ABC所在平面上一点Ｐ满足PA＋PB ＋PC＝AB,则△PAB的面积与△ABC的面积比为（ ）
A.2:3 B.1:3 C.1:4 D.
1:6
5. ABC△中，角ABC，，的对边为abc，，，向量(31)(cossin)AA，，，mn，若mn，且
coscossinaBbAcC，则角AB，
的大小分别为（ ）
A．ππ36， B．2ππ36， C．ππ63， D．ππ33，
6
．设ABC的内角,,ABC所对的长分别是,,abc，且2222cab，可导函数()fx满足
/
()2()xfxfx
，则
A.22sin(sin)sin(sin)AfBBfA B. 22sin(sin)sin(sin)AfABfB
C.22cos(sin)sin(cos)BfAAfB D.22cos(sin)sin(cos)BfAAfB
7．对于函数()fx，若在定义域内存在实数x，满足()(),fxfx 称()fx为“局部奇函数”，若
12()423xxfxmm
为定义域R上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
.1313Am .1322Bm .2222Cm .2213Dm
8．已知函数()fx是定义在R上的以4为周期的函数，”当x∈（－1，3]时，()fx＝21(1,1](12),(1,3]xxtxx－,－－－
其中t>0．若函数y＝()fxx－15的零点个数是5，则t的取值范围为( )
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A．（25，1） B．（25，65） C．（1，65） D．（1，＋∞）
9．已知定义在R上的函数()yfx对任意的x都满足(1)()fxfx，当11x≤＜ 时，3()fxx，
若函数()()logagxfxx至少6个零点，则a取值范围是（ ）
（A）10,5,5（]（） （B）10,[5,5（）） （C）
11,]5,775（（） （D）11
,[5,7
75
（））
10．对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成
立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数：
①； ②；③ ； ④.
其中为“敛1函数”的有
A．①② B．③④ C． ②③④ D．①②③
第II卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）
11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当0x≥时，2()fxx，若对任意[,2]xaa，不等式
()(31)fxafx≥
恒成立，则实数a的取值范围是 ．
12．设CBAP,,,半径为2的球面上四点，且满足PAPB=0,PAPC=0,PBPC=0,则
PBCPACPABSSS
的最大值是_______________
13．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当0x≥时，2()fxx，若对任意[,2]xaa，不等式
()(31)fxafx≥
恒成立，则实数a的取值范围是 ．
14．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末理）在直角三角形ABC中，90ACB，2ACBC，
点P是斜边AB上的一个三等分点，则CPCBCPCA ．
15．已知集合22{()|()()()()}AfxfxfyfxyfxyxyR，、，有下列命题：
①若1,0()1,0xfxx≥，则()fxA； ②若()fxkx，则()fxA；
③若()fxA，则()yfx可为奇函数；④若()fxA，则对任意不等实数12,xx，总有
12
12
()()0fxfxxx
成立．
其中所有正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
D
yfx
c
,xD
0|()|fxc
yfx
c
fxxxZ
1
12xfxxZ
2
logfxx
1xfxx
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16．（本小题满分12分）已知AB、分别在射线CMCN、（不含端点C）上运动，23MCN，在
ABC
中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；
（Ⅱ）若3c，ABC，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值．
M
N
θ
A
CB
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17．(湖北省黄冈市2013年3月高三质量检测理)（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，
甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物
成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，
则称该次试验是失败的.
（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.
（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的
概率.
（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的期望.
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18．（本小题满分12分）在等腰梯形PDCB中（如图1），PBDC//,33CDPB,2PD，PBDA,
垂足为A，将PAD沿AD折起，使得ABPA，得到四棱锥ABCDP(如图2)
（1）求证：平面PAD平面PCD；
（2）点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥ABCDP分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比，
即45ABCMPMACDVV时，求MBPM的值；
（3）在（2）的条件下，求证：PD//平面AMC.
P
A
B
C
D
M
图2
P
A
B
D
C
图1
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19．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分14分）已知数列{an}的前n
项和)(2)21(*1NnaSnnn，数列{bn}满足nnnab2.
（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设数列nann1的前n项和为Tn，证明：*Nn且3n时，125nnTn；
（3）设数列{cn}满足ncannnn1)1()3(（为非零常数，*Nn），问是否存在整数，使得对任
意*Nn，都有nncc1.
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20（本小题满分13分）已知函数)()(baxexfx，曲线)(xfy经过点)2 , 0(P，且在点P处的切
线为l ：24xy．
⑴ 求常数a，b的值；
⑵ 求证：曲线)(xfy和直线 l只有一个公共点；
⑶ 是否存在常数k，使得]1 , 2[x，)24()(xkxf恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若
不存在，简要说明理由．
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21. （本小满分14分）已知函数()(1)ln15afxxaxax，322()23(2)664Fxxaxxaa，其中
0a且1a
．
(1) 当2a，求函数()fx的单调递增区间；
(2) 若1x时，函数()Fx有极值，求函数()Fx图象的对称中心坐标；
（3）设函数2(()66(1))e,1,()e(),1.xFxxaxxgxfxx≤ （e是自然对数的底数），是否存在a使()gx在
[,]aa
上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．