高二数学超几何分布2
高二数学超几何分布
子几乎都不肯要庶女，低一些的，寒窗苦读出人头地封妻荫子倒还好，怕只怕苦读了也未必搏得过那些世家公子们，更怕辛苦几十年后真出 了头，把老妻弃之脑后，一生凄凉从何说起？宫中也不是什么好地方，吃人不吐骨头。但这把骨头，非要送出去的话，与其送予穷人作老妻、 抑或交于贵人作妾滕，那还不如作天子身边的女人。死也死得有名目些。这笔帐，明蕙算得清！“你实话跟我讲，”明秀又道，“谁告诉你 我要进宫的？”“外头都这么传。”明蕙回答。街头巷尾都啧啧称羡谢四 芳仪凤章，刘氏娘家人一叶知秋，忙传进话来，叫外甥女儿速速 抱牢未来金凤凰的粗腿。这当然是大太太传出去的风声，为了叫唐家早来提亲的。明秀秋水般的双眸，忽然添了层迷蒙的雾气。凭尽栏杆， 暗尘明月，那时元夜„„那个人为什么还不来提亲呢？明柯既然把扬琴送进来，怎么耽搁这么久才搬出去呢？不管怎么说，如果明柯要害她， 也绝抓不住把柄的。明秀递出去的心意，有这么的、这么的巧妙，除了唐静轩本人之外，其他任何人都无法利用。无论如何都没有办法。第 三十九章 梅香惹人约黄昏（1) 明柯拿着“这件东西”，呆了良久，笑了笑。“这好像就是一张纸。”青翘终于忍不住道。她从十一岁起就 跟着明柯了，一双眼睛又圆又大，老像好奇孩子见着什么宝贝似的那么睁着，唇角又总是翘起来一点，有点像笑、又像生着点气，这几种神 色揉在一起，是很讨人喜欢的。事实上她整个模样都有点像那种青冠子的鸟儿，又利落、又甜润，就算飞到人手上抢食物吃，人也很难生她 的气，明柯更不会生她的气，她在明柯面前就难免放肆一点。“是纸。”明柯弹了弹它，同意青翘的见解。“而且是一张黑不溜秋的纸！” 青翘叫起来，“四 回这一张纸，是什么意思呢？”“你猜？”明柯把这张黑如夜色的纸，轻轻在鼻子前面扇了扇。“莫不是，有复层？” 青翘压低嗓门。“不是。”明柯也神秘兮兮的压低嗓门。“但总有机关吧！”青翘埋头研究他手里的纸，凑得他这么近。她额头细细的绒毛 擦着他的面颊。他闭起眼睛，把嘴唇埋向她额际，像蜂子把自己埋在芳草中。青翘躲开了，嗔怪的乜了他一眼：“爷！”“香的。”他仍然 没有睁开眼睛，道。青翘喉咙里又发出了一个类似“唔”的音，应该是嗔怪，但发得这么含糊，尾音又一波三折，倒像是只被主人搔到痒处 的鸟儿。“这张桑皮黑纸，”明柯半撩起眼皮，眼皮下流露一缕笑意，“带着香味，是梅花香。”青翘“哼”了一声，这次音发得很利落， 确定无疑是嗔怪了，真的仔细去嗅一嗅这张还没巴掌大的小纸片，确实有梅香。“可是这代表什么呢？”“我不清楚，可是唐长孙公子一定 清楚。”明柯把黑纸重新收了起来，“我这位四姐作
4.2.3二项分布与超几何分布-高二数学课件(人教B版选择性必修第二册)
会被这种药物治愈.
(2)求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率;
如果用 A1，A2，A3，A4 分别表示甲被治愈、乙被治愈、丙被治愈、
丁被治愈，则不难看出
P( Ai
)
3 4
,
P(
Ai
)
1
P( Ai
)
1 4,i1,2,3,
4.
此时，甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为 A1A2 A3 A4，
则 X 的取值范围是 {0，1， , k, , n},
而且
P( X k) Cnk pk qnk , k 0,1, , n,
因此 X 的散布列如下表所示.
X
0
1
k
n
P
Cn0 p0qn Cn1 p1qn1
Cnk pk qnk
Cn0 pnq0
注意到上述 X 的散布列第二行中的概率值都是二项展开式
( p q)n Cn0 p0qn Cn1 p1qn1 Cnk pk qnk Cnn pnq0
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
例1：设上述思考题：“已知某种药物对某种疾病的治愈率为 3 ，
4
现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，视察其 中有多少患者会被这种药物治愈”中，能正常工作的设备数为 X . （1）写出 X 的散布列； （2）求出计算机网络不会断掉的概率. 要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少 有一台，即 X ≥1，因此所求概率为
，
，
3 4
3
1 4
27 64
2.2超几何分布
淅川中学 高二数学（理）2-3第二章 编写 牛会芬 年级主任 王明璞 审核 田杜鹃 编号§2.2 超几何分布一.教学目标1．理解离散型随机变量的分布列的两种形式； 2．理解并运用两点分布和超几何分布．二.教学重、难点 重点：理解并运用两点分布和超几何分布．难点：理解什么是超几何分布三.预习提纲（预习教材P 38~ P 40，回答下列问题）1.什么是超几何分布？2.超几何分布中的参数 N,M ，n 的大小关系是3.回答课本第40页的思考交流（1）（2）4.超几何分布是 抽 四.自我梳理1.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是（ ）．A ．2B ．2或1C ．1或0D ．2或1或02.将一颗骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差是2的概率是 ．3.已知某社区的10位选民代表中有5位支持候选人A ，现随机采访他们中间的4位，求其中至少有2名支持候选人A 的概率。
4．设随机变量ξ只可能取5，6，7，……，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ≥9)= ；P (6<ξ≤14)= ．五.课堂探究例1在掷一枚图钉的随机试验中，令⎩⎨⎧=.,0;,1针尖向下针尖向上X 如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X的分布列．变式：篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他一次罚球得分的分布列新知1：两点分布列：X 0 1 Pp -1 p 称X 服从 ；)1(==X P p 为例2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．变式：袋中装有4个红球和3个黑球，从袋中随机取出一个球，若取出红球得2分，取出黑球得1分，从中任取4个球，求得分X 的分布列.新知2：超几何分布列：X0 1 … m P n N n MN M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n Nm n M N m M C C C --练习现有10张相同的卡片，其中有5张上印有“奖”字。
7.4.2 超几何分布 课件-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
N—总体中的个体总数
n—样本容量
M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)
k—样本中的特殊个体数(如次品数)
2.根据题意列式计算,不必机械记忆
3. “任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式.
4.各对应的概率和必须为1.
7.4.2 超几何分布 深圳第二外国语学校 梁洋老师
小试牛刀
课堂小结
CMk CNnkM
, k m, m 1, m 2,, r.
1.超几何分布 P( X k )
n
CN
nM
2.超几何分布的均值 E ( X ) np
N
3.二项分布与超几何分布区别和联系
一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,
而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.
3.二项分布
若X ~ B(n, p)，则 P ( X k ) Cnk p k (1 p ) n k , k 0,1, 2,
X
0
P
Cn0 p 0 q n
1
C n1 p1q n 1
k
n
k
k nk
C pq
, n.
n
n
n
n 0
C pq
若X ~ B(n, p)，则
7.4.2 超几何分布 深圳第二外国语学校 梁洋老师
E ( X ) np
nM
N
D( X )
nM ( N M )( N n)
N 2 ( N 1)
7.4.2 超几何分布 深圳第二外国语学校 梁洋老师
例题讲解
例3.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白
高二数学超几何分布
P X k
C
k M
C
nk NM
k 0， 1， ， minM， n
C
n N
此时，随机变量 X 服从超几何分布
二、新课：超几何分布
如果随机变量 X 的分布列为
P X kNn
k 0， 1， ， minM， n
其中N， M， n均为自然数．
；资讯 / 资讯
；
增长率为100%，令董事部雀跃万分。不过，业绩进入第十一年、第十二年及第十三年时，则停滞下来，每个月维持同样的数字。董事部对此三年的业绩表现感到不满，便召开全国经理级高层会议，商讨对策。会议中，有位年轻经理站起来，对总裁说：“我手中有张纸，纸里有个建议，若 您要使用我的建议，必须另付我5万元！”总裁听了很生气地说：“我每个月都支付你薪水，另有分红、奖励，现在叫你来开会讨论，你还要另加5万元，是否过分？”“总裁先生，请别误会。若我的建议行不通，您可以将它丢弃，一分钱也不必付。”年轻的经理解释说。“好！”总裁接 过那张纸后，阅毕，马上签了一张5万支票给了那位年轻经理。那张纸上只写了一句话：将现有的牙膏开口扩大1毫米。总裁马上下令更换新的包装。试想，每天早上，每个消费者多用1毫米牙膏，每天牙膏消费量将多出多少倍呢？这个决定，使该公司第十四年的营业额增加了32%. 一个创 见，既让这位年轻的经理获得了5万元报酬，又使公司度过困境，重振雄风。你对此有何感想？请以“创见”为话题，联系社会生活实际，写一篇文章。 注意：1.立意自定。2.文体自选。3.题目自拟。4.不少于800字。 ? [提示] 这个创见给我们的启示是：一个小小的改变，往往会引起 意想不到的效果。当我们面对新知识、新事物或新创意时，千万别将头脑密封，置之于后，应该将头脑打开1毫米，接受新知识、新事物。也许一个新的创见，能让我们从中获得不少启示，从而改进业绩，改善生活。 ? 十四、阅读下面一段文字，根据要求作文。 在美国西点军校，遇到 军官问话，只能有4种回答：“报告长官，是。”“报告长官，不是。”“报告长官，不知道。”“报告长官，没有任何借口。”西点军校是美国陆军军官学校的别称，因其坐落在哈德逊河畔的西点镇而得名。两百多年来，西点军校为美国培养了3个总统、5个五星上将、3700个将军，以 及无数的精英人才。让世人惊讶的是，可口可乐、通用公司、杜邦化工的总裁，均出身于西点。大批西点军校的毕业生，在企业界获得了非凡的成就。美国商业年鉴的资料显示，二战后，在世界500强里，西点军校培养出来的董事长有一千多名、副董事长有两千多名，总经理、董事有五 千多名。可以说，任何商学院都没有培养出这么多优秀的经营管理人才。为什么如此众多的精英来自西点？其实，全部的秘密就在于“没有任何借口”。“没有任何借口”的核心是敬业、责任、服从、诚实。这正如《哈佛商来评论》所说：“西点军校对学生的要求：准时、守纪、严格、 正直、坚毅，在工商管理学专家看来，这正是21世纪企业管理所必备的”。 你对此有何看法？请以“没有任何借口”为话题，联系社会生活实际，写一篇文章。 注意：1.立意自定。2.文体自选。3.题目自拟。4.不少于800字。 ? [提示] “没有任何借口”，体现的是一种完美的执行能 力，一种服从、诚实的态度，一种负责、敬业的精神。它要求每个西点学员克服一切困难，想尽办法完成任务，绝对不能为没有完成任务去寻找借口，即使是看似合理的借口。现在，它已成为美国无数商业界精英的行为理念和价值观，被众多企业奉为圭臬。在现实生活中，我们缺少的正 是这种人。 ? 十五、阅读下面两则文字，根据要求作文。 ①莎士比亚曾经充满深情地对一个失去了父母的少年说，你是多么幸运的一个孩子，你拥有了不幸。当时这个刚刚失去了父母的孩子，正处在孤苦无依的时候，孩子充满疑惑地看着这个被人尊敬的艺术大师。莎士比亚摸着孩子的 头说，因为不幸是人生最好的历练，是人生不可缺少的历程教育，因为你知道失去了父母以后，一切就只能靠你自已了。这个孩子似乎领悟了什么，悄悄地离开了莎士比亚的目光。40年后，这个孩子，可克？詹姆士，成为英国剑桥大学的校长，世界著名的物理学家。 ②如果我们稍稍留 意一下那些在人类的历史上留下了杰出脚印的人们，我们会惊奇地发现，所有那些有着卓越建树的人们，几乎都无一例外地从幼小的时候就遇到了不幸。给人类留下了《战争与和平》、《复活》、《安娜？？卡列尼娜》等不朽作品的俄国伟大作家列夫？托尔斯泰，3岁丧母，10岁丧父。 曾经被英国女王授予“荣誉侍从”称号的英国著名小说家毛姆，刚出生不久父母就相继去世了。而著名的法国哲学家萨特也是幼年丧父，母亲改嫁，在外祖父的家里长大。而我们熟悉的伟大的苏联作家高尔基就有着更为不幸的童年了，他幼年丧父，11岁开始自已就到“人间”谋生。而伟 大的法国作家巴尔扎克，因为父母经济拮据，出生不久就把他送到乡村寄养，童年几乎没有得到读书的机会。 以上两则材料都讲到了人生的“不幸”，而材料中的人物都在这种“不幸”的环境下，成为闻名天下的人物。你对此有何看法？请以“不幸”为话题，联系社会生活实际，写一 篇文章。 注意：1.立意自定。2.文体自选。3.题目自拟。4.不少于800字。 ? [提示] 这些取得了杰出成就的人们，正是因为不幸，才迫使他们认真思考自已的人生，是不幸给他们提供了开掘自已智慧的契机。因为不幸，使他们处在了一个人生的最低点，他们懂得了人生中每一点阳光的 不易和艰难。因为不幸，因为没有亲人的呵护，因为一切都要靠自已的双手，所以他们懂得了要扎扎实实，要刻苦勤勉。是的，当我们退一步去想的时候，不幸就是幸运，因为不幸，我们就与平庸的人截然不同了。 ? 十六、阅读下面一段文字，根据要求作文。 布拉特岛的水域中，有一 种王鱼。王鱼有一种本领，能吸引一些较小的动物贴在自已的身上，然后慢慢地吸收为自已身上的一种鳞片，其实那不是鳞，只是一种附属物，当王鱼有了这种附属物后，便会比没有鳞的王鱼，最少大出四倍。可怜的是，当王鱼到后半生时，由于身体机能的退化，使他重新回到原本那个 较小的外形。被剥夺了鳞的王鱼，是非常痛苦难堪的，他无法再适应这个世界，游动得也很不自然，最后他去自残，往岩石上猛撞，然后挣扎数日，死去。 凡是看过王鱼惨死的人，都会觉得王鱼太惨，也都会认为，他们不该选择附属物作为自身的鳞片。那本来就不是自已的。作为人， 一生中很多情景，确实很像王鱼。很多人尝到了丢官的凄惨，体会到了英雄不再的失落，接受到了人世间种种必然返回本色的事实。你是如何看待“王鱼现象”的？请以“本色”为话题，联系社会生活实际，写一篇文章。注意：1.立意自定。2.文体自选。3.题目自拟。4.不少于800字。 [提示] 一个人的高位，一个人的名誉。当这一切到来时，确实会使人变为另一种模样，比以往“高大”上数倍，就像王鱼，问题是，它们总是要脱离你而去。王鱼的可怜，往往也是我们的可怜。人们纷纷到布拉特岛观光，真正目的是去王鱼，希望从中得到更多的领悟，早早从泥潭中拔 脚，避免走王鱼可怜的老路，找回自我本色的生活。 十七、阅读下面一段文字，根据要求作文。 ①有人曾向世界歌坛超级巨星卢卡诺？帕瓦罗蒂请教成功秘诀，他每次都提到自已父亲的一句话。从师范院校毕业之后，痴迷音乐并有相当素的帕瓦罗蒂问父亲：“我是当教师，还是做个歌 唱家？”其父回答说：“如果你想同时坐在两把椅子上，你可能会从椅子中间掉下去，生活要求你只能选一把椅子坐上去。” ②巴尔扎克曾经不顾家人的反对，立志从事文学创作。然而，在初期创作失败后，为了维持在巴黎的生活，他决定投笔从商，去当出版家。但这个外行的出版家 尽受人家的欺骗，很快就失败了。紧接着，他又当了一家印刷厂的老板。可不管他如何拼命挣扎，也还是失败。为此，他欠下了不少债，而且债务越滚越大，以至于警察局下通缉令要拘禁他，他只好隐姓埋名躲了起来。巴尔扎克终于醒悟过来，开始严肃认真地进行写作，成为惊人的高产 作家。 在人的一生中，我们会面临诸多的问题，特别是在涉世之初或创业之始，此时的目标选择非常重要。请以“目标与成败”为话题，，联系社会生活实际，写一篇文章。注意：1.立意自定。2.文体自选。3.题目自拟。4.不少于800字。 [提示] 人一旦看准了前进的方向，选定了目标， 就要坚定不移地走下去。哪怕这条路崎岖不平，障碍重重，为众人所不齿，同行者寥寥无几，你都要“板凳坐得十年冷”，忍受孤独和寂寞，朝着一个主攻方向，尤其在诱人的岔路口，你必须不改初衷，有心无旁骛的坚定信仰和超然气度将它走完，一直走进美好的未来。 ? 十八、阅读 下面一段文字，根据要求作文。 24岁的美国陆军专业兵约瑟夫·达比在虐囚风波前是美驻伊第372宪兵连的一名普通士兵。如今，虐囚丑闻曝光后，他一跃成为美国家喻户晓的知名人物。正是这位勇敢的约瑟夫·达比，凭着良知捅开了阿布格莱布监狱令人发指的虐囚黑幕。7日，在虐囚 风波中处于尴尬境地的美国国防部长拉姆斯菲尔德，在国会参议院军事委员会的听会上也不得不赞扬约瑟夫·达比：“有许许多多尽职尽守的士兵，其中的一位就是约瑟夫·达比，他提醒上司，虐待正在发生。”“约瑟夫·达比所做的事照亮了那个正在发生这种丑行的黑暗的地方。”正 因为如此，约瑟夫·达比母亲才为自已的儿子感到骄傲。虽然约瑟夫·达比的母亲布兰克患了癌症，为此已失去了一只眼睛，还患有糖尿病，但是“本周，她过得非常愉快”。布兰克说：“说真话，永远对自已说真话，对你的国家说真话。我认为他这三个方面都做到了。”采访她的记者 说：“这就是她为什么为儿子感到骄傲的原因。” 一个国家，只要有足够多的人能够为说真话的人感到骄傲，就会有足够多的人勇于站出来说真话，一个国家也才能因此不断地让真话的光芒、真理的光芒照到那些“黑暗的地方”，让邪恶的势力不可能一天天扩大。请以“真话与骄傲” 为话题，联系社会生活实际，写一篇文章。注意：1.立意自定。2.文体自选。3.题目自拟。4.不少于800字。 ? [提示] 不论是对自已说真话，还是对国家说真话，都是一个人具有良知和勇气的表现。在人类历史发展的过程中，正是一个个具有良知和勇气的人敢于说真话，才使得一个又 一个“黑暗的地方”被照亮，从而让尽可能多的人逐步享受到尽可能多的文明与进步。从某种意义上说，具有良知和勇气说真话的人，是人类共有的英雄和“福星”，这样的人既是家人的骄傲也是国家的骄傲。一个人能够为说真话的人感到骄傲，并不是一件容易
高二数学超几何分布
n N
, 记为 : H (k；n, M , N )
例如.从全班任取n个人,取到女生的人数; 从扑克牌中取n张，取到黑桃的张数；买n 张彩票，中奖的张数，等等都可以用超几 何分布描述。
例1:一个口袋中装有10个红球,20个白球, 这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出 5个球,摸到4个红球1个白球的就中一等奖 求中一等奖的概率.
x P
0
1
2
3
4
5
超几何分布的概率背景
一批产品有 N件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品．现从中取出 n 件． 令 X：取出 n 件产品中的次品数． 则 X 的分 布列为
k n k CM CN M PX k n CN
k 0， 1， ， minM， n
此时，随机变量 X 服从超几何分布
二、新课：超几何分布
如果随机变量 X 的分布列为
k nk CM CN M PX k n CN
k 0， 1， ， minM， n
其中N， M， n 均为自然数．
则称随机变量 X 服从超几何分布．
记为：X•～•H ( n, M , N )
C C P(X=k)= C
M
k
n k N M
变题：至少摸出4个红球就中一等奖?
例2:生产方提供50箱的一批产品, 其中有2箱不合格 产品, 采购方接收该批产品的准则是:从该产品 中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格 便接收该批产品,问:该批产品被接收的概率是 多少?
例4.盒中装有一打(12个)乒乓球,其中9个 是新的,3个旧的,从盒中任取3个来用,用 完装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个 随机变量,求X的概率分布
例5.老师要从10首古诗中随机抽取3首让 学生背诵，规定至少要背出其中2首才能 及格，某同学只能背诵其中的6首，试求： (1)抽到他能背诵的古诗的数量的分布表 (2)他能及格吗？及格的概率有多大？
北师大版数学高二选修2-3学案第二章2超几何分布
§2超几何分布[对应学生用书P23]超几何分布已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X 表示取得的次品数． 问题1：X 可能取哪些值？ 提示：0,1,2.问题2：“X ＝1”表示的试验结果是什么？P (X ＝1)的值呢？ 提示：任取2件产品中恰有1件次品．P (X ＝1)＝C 13C 15C 28.问题3：如何求P (X ＝k )？(k ＝0,1,2)提示：P (X ＝k )＝C k 3C 2－k 5C 28.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件是次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．(1)超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M (M ≤N )件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N①(k ≤l ，l 是n 和M 中较小的一个)．(2)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而写出X 的分布列．[对应学生用书P23]利用超几何分布公式求概率[例1] 个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N 对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n ＝5，这5个球中红球的个数X 是一个离散型随机变量，X 服从超几何分布．[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布．由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－420C 530＝70023751≈0.0295，所以获一等奖的概率约为2.95%.[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M ，N ，n ，k 的取值．1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.2845 B.1645 C.1145D.1745解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18C 210＝1645.答案：B2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数为________(即定义中的N ，M ，n )的超几何分布．答案：10,3,53．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56.超几何分布的分布列[例2] (10分)从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会火炬接力活动，若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，(2分)所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156. (8分)从而随机变量X 的分布列为X ＝k 0 1 2 3 P (X ＝k )52815281556156所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝528＋1528＝57.(10分)[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为5．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求其员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)用Y 表示新录用员工的月工资，求Y 的分布列． 解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 4C 4－k 4C 48(k ＝0,1,2,3,4)． 则X 的分布列为(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500. 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170， P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370，则Y 的分布列为Y ＝k 2 100 2 800 3 500 P (Y ＝k )53708351701．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品有较明显的两部分组成．2．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出随机变量X 取k 时的概率P (X ＝k )，从而列出随机变量X 的分布列．[对应课时跟踪训练(十)]1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：设X 表示2名代表中有甲的个数，X 的可能取值为0,1， 由题意知X 服从超几何分布，其中参数为N ＝6，M ＝1，n ＝2，则P (X ＝1)＝C 11C 15C 26＝13.答案：B2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )A.27 B.38 C.37D.928解析：黑球的个数X 服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23C 15C 38＋C 33C 05C 38＝27.答案：A3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则C 35C 37C 612是表示的概率是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2)D ．P (X ≤3)解析：6人中“三好生”的人数X 服从超几何分布，其中参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6，所以P (X ＝3)＝C 35C 37C 612.答案：B4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.答案：D5．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 答案：8156．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．解析：由题意知小张抽到选择题数X 服从超几何分布(N ＝10，M ＝6，n ＝4)， 小张抽到选择题至少2道的概率为：P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 26C 24C 410＋C 36C 14C 410＋C 46C 04C 410＝3742.答案：37427．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220，P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39C 312＝84220＝2155.所以X 的分布列为8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y的分布列为。
7.4.2 超几何分布 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三
我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结
果相互独立，此时服从二项分布，即~（4，0.08）.
思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布？
如果不服从，那么的分布列是什么？
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，
−
C
C−
（＝）＝ C ，＝，
+ 1， + 2， … ，.
∗
其中，， ∈ ， ≤ ， ≤ ，＝{0， − + }，＝{，}.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布.
超几何分布的均值
（）＝.
RJ·A
例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少
有1件不合格的概率.
解：设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且＝30，＝3，
＝10. 的分布列为
10−
C3 C27
（＝）＝
，＝0，1，2，3.
10
C30
至少有1件不合格的概率为
（ ≥ 1）＝（＝1） + （＝2） + （＝3）
C13 C927 C23 C827 C33 C727
＝ C10 + C10 + C10
30
30
30
≈ 0.719 2.
也可以按如下方法求解：
10
C30 C27
（ ≥ 1）＝1 − （＝0）＝1 − 10 ≈ 0.719 2.
C30
14
0.004 85
0.002 17
7.4.2超几何分布课件高二下学期数学人教A版选择性(1)
3 =
C6
C23 C13
P(X=2)= 3 =
C6
P(X=0)=
9
C33
,P(X=3)= 3
20
C6
所以 X 的分布列为
X
0
1
P
20
=
9
,
20
=
1
.
20
1
9
20
2
9
20
3
1
20
规律方法
超几何分布的求解步骤
(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布
模型.
-
C C-
B 错误,A,C,D 正确.
2.从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是“3”
的概率可表示为( D )
C 34 C 248
A. C 5
52
C 348 C 24
B. C 5
52
C 148 C 44
C.1- 5
C 52
C 34 C 248 +C 44 C 148
D.
C 552
解析 设 X 为抽出的 5 张扑克牌中含“3”的张数,则
解析 正品数比次品数少,有两种情况:0 个正品、4 个次品或 1 个正品、3 个
次品,由超几何分布的概率可知,当 0 个正品、4 个次品时,概率为
C44
C410
C16 C34
当 1 个正品、3 个次品时,概率为
C410
=
24
210
1
4
所以正品数比次品数少的概率为210 + 35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
个红球和5个白球,这些球除颜色外完全相同,若一次性从中摸出5个球,摸
7.4.2超几何分布 高二数学知识点总结与题型专练
0
1
P
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.记作
判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有 N 个)内含有两种不同 的事物个)、个)，任取 个，其中恰有 X 个 符合该条件的即可断定是超几何分布。如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布.
(3)超几何分布的均值若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率
知识点2：二项布与超几何布的区别和联系
(1)区别由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道 “成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
A.取出的最小号码服从超几何分布B.取出的白球个数服从超几何分布C.取出2个黑球的概率为 D.若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为
【分析】根据超几何分布的概念判断A，B；利用超几何分布的概率计算求解可判断
√
√
【详解】对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故A错误；对于B，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确；对于C，取出2个黑球的概率为，故C正确；对于D，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则取出三个白球的总得分最小，总得分最大的概率为，故D不正确. 故选：BC.