苏科版七年级数学下册7.1《探索直线平行的条件》复习课件
7.1.6 探索两直线平行的条件 教学素材 (苏科版七年级下) (16)
你能找出 共同点吗?
请指出上面的图案中哪些线互相平行？
知识再现
我们通常用“//”表示平
· 行. ·
C
学科网 zxxk
D
A
· ·
B
AB//CD
读作:AB平行于CD
b
a//b
a 读作:a平行于b
画 用三角尺和直尺按下列要求画图： 一 画 已知直线a，画与a平行的直线b学
B
F
想一想
如图, ∠1=∠2, ∠B+∠BDE=180°. 图中哪些线互相平行，为什么？
A D
1 2
∠2与哪个角相等时，DE∥BC?
E
∠A与哪个角相等时，AB∥EF?
C
B
F
想一想
1.如图，∠１与∠B，∠３与∠４，∠２与 ∠４分别是哪两条直线被哪一条直线截成 的角？它们分别是什么角？
E １ A ３ ２ ４ B C D
c 1
3
c b
3
1 2 图2
b a
2
图1
a
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
2、 如图, ∠1=∠2, ∠B+∠BDE=180°. 图中哪些线互相平行，为什么？
A D
1 2 解:(1) AB∥EF. 因为∠1与∠2是AB、EF 被DE截成的内错角，且 E ∠１＝∠２, 所以AB∥EF. (2) DE∥BC 因为∠B与∠BDE是直线BC、DE C 被直线AB所截成的同旁内角，且 ∠B+∠BDE=180°， 所以DE∥BC
练一练
２．如图，填空： （１）因为∠１＝∠２，所以＿＿＿∥＿＿＿； （２）因为∠２＝＿＿，所以AD∥BE; (３）因为∠１＋∠B=180°所以＿＿∥＿＿＿； （４）因为∠１＋∠＿＿＝１８０°， 所以AB∥DE.
苏科版七年级数学下册7.1直线平行的条件和探索例题和同步练习(含练习答案)
苏科版七年级数学下册直线平行的条件和探索【直线平行的条件和性质】【学习目标】1.同位角、内错角、同旁内角的识别；2.会判定两条直线平行；3.平行线的性质.【基础知识梳理】1．如图，同位角的是；内错角的是；同旁内角的是．2．直线平行的条件：（1）基本事实：，两直线平行；（2）定理：，两直线平行；（3）定理：，两直线平行．3．平行线的性质：（1）基本事实：两直线平行，；（2）定理：两直线平行，；（3）定理：两直线平行，．【典型例题】一、三线八角模型例1：如图所示，同位角一共有对，分别是；内错角一共有对，分别是；同旁内角一共有对，分别是．【变式】已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1一同旁内角→∠9一内错角→∠3．路径2：∠1一内错角→∠12一内错角→∠6一同位角→∠10一同旁内角→∠3．试一试：（1）从起始∠1跳到终点角∠8；（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？二、平行线的判定例2：如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4：③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判断AB∥CD的有．（填写所有满足条件的序号）三、平行线的性质例3：如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，求图2中∠AEF的度数.【变式】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，求∠F的度数.四、综合运用例4：填空并完成以下证明：已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．证明：FH⊥AB（已知）∴∠BHF＝．∵∠1＝∠ACB（已知）∴DE∥BC（）∴∠2＝．（）∵∠2＝∠3（已知）∴∠3＝．（）∴CD∥FH（）∴∠BDC＝∠BHF＝．°（）∴CD⊥AB．例5：（1）如图(1)，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图(2)，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．【变式】问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【拓展应用】例6：如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【能力提升】1．如图所示，下列结论中不正确的是（）A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线3．如图，F A⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（）A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CD B．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CDC．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CD D．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD4．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在所作的图形中，∠A与是内错角；∠B与是同位角；∠ACB与是同旁内角．5．如图，已知∠1＝（3x +24）°，∠2＝（5x +20）°，要使m ∥n ，那么∠1＝ （度）．6．如图，BE ∥CF ，则∠A +∠B +∠C +∠D ＝ 度．7.如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，求∠2的度数.8.（1）如图①，若∠B +∠D ＝∠BED ，试猜想AB 与CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，要想得到AB ∥CD ，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．9.如图，AD ∥BC ，∠DAC ＝120°，∠ACF ＝20°，∠EFC ＝140°．求证：EF ∥AD ．10.【探究】如图①，∠AFH 和∠CHF 的平分线交于点O ，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB 、CD 交于点E 、C ．（1）若∠AFH ＝60°，∠CHF ＝50°，则∠EOF ＝ 度，∠FOH ＝ 度．（2）若∠AFH +∠CHF ＝100°，求∠FOH 的度数．【拓展】如图②，∠AFH 和∠CHI 的平分线交于点O ，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB 、CD 交于点E 、G ．若∠AFH +∠CHF ＝α，直接写出∠FOH 的度数．（用含α的代数式表示）【能力提升】答案第1题 第3题 第4题 第5题 第6题1．如图所示，下列结论中不正确的是（）A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误，符合题意；B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；C、∠1和∠4是同位角，故本选项正确，不符合题意；D、∠3和∠4是内错角，故本选项正确，不符合题意；故选：A．2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线解：如图所示：不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．故选：D．3．如图，F A⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（）A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CDB．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CDC．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CDD．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD解：A、正确，同位角∠CAB＝∠NCD，故AB∥CD；B、错误，∠DCN＝∠BAC不是同位角，所以B不对；C、正确，∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，可得同位角∠BAN＝∠DCN，故AB∥CD；D、正确，同位角∠MAB＝∠ACD，故AB∥CD．故选：B．4．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在作的图形中，∠A与是内错角；∠B与是同位角；∠ACB与是同旁内角．解：如图所示，∠A与∠ACD、∠ACE是内错角；∠B与∠DCE、∠ACE是同位角；∠ACB与∠A、∠B是同旁内角．5．如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝75（度）．解：如图所示：∠1+∠3＝180°，∵m∥n，∴∠2＝∠3，∴∠1+∠2＝180°，∴3x+24+5x+20＝180°，解得：x＝17，则∠1＝（3x+24）°＝75°．6．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝180度．解：如图所示，由图知∠A+∠B＝∠BPD，∵BE∥CF，∴∠CQD＝∠BPD＝∠A+∠B，又∵∠CQD+∠C+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°.7.如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，求∠2的度数.解：如图，∵∠ACB＝90°∴∠1+∠3＝90°，∵∠1＝30°，∴∠3＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°.8.（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．解：（1）AB∥CD，理由：如图（1），延长BE交CD于F．∵∠BED＝∠B+∠D，∠BED＝∠EFD+∠D，∴∠B＝∠EFD，∴AB∥CD；（2）∠1＝∠2+∠3．理由如下：如图（2），延长BA交CE于F，∵AB∥CD（已知），∴∠3＝∠EF A（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2+∠EF A，∴∠1＝∠2+∠3．9.如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．证明：∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝40°，又∵∠EFC＝140°，∴∠BCF+∠EFC＝180°，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD．10. 【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝度，∠FOH＝度．（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF ＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含α的代数式表示）解：【探究】（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，∴∠OFH＝30°，又∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝30°；∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，∴∠FHO＝25°，∴△FOH中，∠FOH＝180°－∠OFH－∠OHF＝125°；故答案为：30，125；（2）∵FO 平分∠AFH ，HO 平分∠CHF ，∴∠OFH ＝12 ∠AFH ，∠OHF ＝12∠CHF ． ∵∠AFH +∠CHF ＝100°，∴∠OFH +∠OHF ＝12 （∠AFH +∠CHF ）＝12×100°＝50°． ∵EG ∥FH ，∴∠EOF ＝∠OFH ，∠GOH ＝∠OHF ．∴∠EOF +∠GOH ＝∠OFH +∠OHF ＝50°．∵∠EOF +∠GOH +∠FOH ＝180°，∴∠FOH ＝180°－（∠EOF +∠GOH ）＝180°－50°＝130°．【拓展】∵∠AFH 和∠CHI 的平分线交于点O ，∴∠OFH ＝12 ∠AFH ，∠OHI ＝12∠CHI ， ∴∠FOH ＝∠OHI －∠OFH＝12（∠CHI －∠AFH ） ＝12（180°－∠CHF －∠AFH ） ＝12（180°－α） ＝90°－12α．。
七年级数学下册教学课件《平行线的性质》
d
c
21 a
34
65 b
78
对应训练
1.如图，直线a∥b，c是截线，若∠1=60°，则∠2的度数为 __1_2_0_°_.
2.如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD 的平分线，若∠2=64°， 则∠3=__5_8_°__.
探究点2 两直线平行，内错角相等
你能结合图形，由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
c
两条直线平行
21 a
34
同位角相等
转化
内错角相等
65 b
78
探究点2 两直线平行，内错角相等
你能结合图形，由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
c
解：∵a∥b（已知）， ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）.
21 a
34
又∵∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠3=∠5（等量代换）.
拓展提升
我们生活中经常接触的小刀刀柄外形是一个直角梯形（下底 挖去一小半圆），刀片上、下是平行的．把处于闭合状态的 刀片打开，得到如图所示的图形． （1）若∠1=55°，求∠2的度数； （2）在刀片打开过程中，若∠2始终为钝角，试说明 ∠2=∠1+90°．
解:（1）如图，延长CB交AD于点E. 由题意可知∠BAG=90°，AG∥CE， ∴∠EAG=∠1+∠BAG=55°+90°=145°， ∠EAG=∠DEC. ∴∠DEC=145°. ∵刀片上、下是平行的，即AD∥CF， ∴∠2=∠DEC=145°. （2）由（1）可知 ∠DEC=∠DAG=∠1+∠BAG=∠1+90°， ∠2=∠DEC，∴∠2=∠1+90°.
21 a
苏科版七年级下册数学全套ppt课件
77 88
99 10 10
同位角相等，两直线平行.
例题讲解
类型之一 直接运用 例1、如图所示：∠1=∠C，∠2=∠C请你找出图中互相平行 的直线，并说明理由。
解：（1）AB∥CD ∵∠1与∠C是 AB，CD 被AC截成的同位角， ∠1=∠C ∴AB∥CD (2) AC∥BD. ∵∠2与∠C是 BD, AC被CD截成的同位角， ∠2=∠C 运用“同位角相等,两直线平行” ∴ AC∥BD
概念辨析 如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
2 1
∠1和∠2不是同位角，
1
2
∠1和∠2是同位角， 因为∠1和∠2有一边共 因为∠1和∠2无一边共线。 且不共顶点。 线、同向，
概念辨析
变式题： 如图,∠1和∠2是同位角的是（ D ） A. ⑴、⑵、⑶， B. ⑵、⑶、⑷， C. ⑶、⑷、⑸， D. ⑴、⑵、⑸
练习检测 3、如图，在同一平面内,如果两条直线b、c都垂直于同 一条直线a,那么这两条直线平行吗?为什么?
解： ∵ a⊥b，c⊥a（已知） ∴ ∠1=90°,∠2=90°（垂直定义） . ∴ ∠1=∠2=90°（等量代换） ∵ ∠1=∠2， ∠1和∠2是同位角 ∴ b∥c (同位角相等,两直线平行).
2、已知
∠ADE=60 ° ∠B=60 °∠AED=40°
证：（１）DE∥BC （２） ∠C的度数
A
（1）∵∠ADE=60 ° ∠B=60 ° （已知） ∴∠ADE=∠B （等量代换）
E
D
∴DE∥BC
C
(同位角相等，两直线平行)
B
（2）∵ DE∥BC
（已证）
∴∠AED=∠C (两直线平行，同位角相等)
∵ ∠1=139°，∠2=139°（已知） ∴ ∠1=∠2（等量代换） ∵ ∠1=∠2,∠1和∠2是同位角 ∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）
2.2.1.1 探索直线平行的条件 课件(20张PPT) —2024学年北师大版数学七年级下册
·C
· A·
B
·D
结论：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
（2) 在图中，分别过点C，D画直线AB的平行线EF，GH， 那么EF与GH有怎样的位置关系？ 平行
平行线的传递性： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
2.如图，因为∠1=∠2（ 已知 ）
所以_同_位__角__相__等//，_两__直__线__平__行
(
)
A
CE )
F
)
B
D
一、放 二、靠 三、推 四、画
用三角尺和直尺画平行线的方法.
A
n
●
m
应用同位角判定两直线平行
思考:在画图过程中，三角尺起着什么样的作用？请说 明其中的道理
●
平行线的公理及推论
当∠1＜∠2时 ③直线a和b不平行
认识同位角
直线c称为 截线
12
探究∠1与∠2的位置关系： ①在截线c的同一侧（上侧） ②在被截直线a、b的同一方（右方）
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角.
直线a，b称为被截 线
图中还有哪些同位角？
两同：①在截线的同一侧 ②在被截两直线的同一方
识别同位角
1.如图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截的8个 角中（简称：三线八角），有几组同位角？
情境过渡
想一想：生活中的问题能用数学知识解决吗？
c c
a
a
b
b
探索新知
做一做 如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b，c，
转动木条a. 随着∠2的变化，它与∠1的大小关系有几种情况？
苏教版七年级数学下册 7.1 探索直线平行的条件 知识点
7.1 探索直线平行的条件知识点知识点一、认识同位角、内错角、同旁内角两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，如图所示：1. 同位角：如图所示，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角，位置特征：在两条被截直线同一方，在截线同侧；图形结构特征：形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）.2. 内错角：如图所示，像∠7与∠2这样的一对角称为内错角；位置特征：在被截的两条直线之间，在截线两旁（交错）；图形结构特征：形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）.3. 同旁内角：如图所示，像∠7与∠6这样的一对角称为同旁内角；位置特征：在被截的两条直线之间，在截线同侧；图形结构特征：形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）.PS：（1）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系是不确定的；（2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，都没有公共顶点，“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.例：下列图中，∠1与∠2是同位角的是（）A．B．C．D．【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．【解答】解：选项A中的两个角是同旁内角，因此不符合题意；选项C中的两个角既不是同位角、也不是内错角、同旁内角，因此不符合题意；选项D不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；只有选项B中的两个角符合同位角的意义，符合题意；故选：B．【点评】本题考查同位角的意义，掌握同位角的意义是正确判断的前提．知识点二、两条直线平行的条件判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.除了三个判定方法外，我们还可以通过平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线），平行的传递性（平行于同一条直线的两条直线互相平行）来进行判定.例：如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件：①∠3＝∠6；②∠1＝∠8；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠1＝180°．其中能判断a∥b的是（）A．①③④B．①②③C．②④D．①②【分析】利用同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行即可得到正确的选项．【解答】解：①∵∠3＝∠6，∴a∥b，本选项符合题意；②∵∠1＝∠7，∠1＝∠6，∴∠7＝∠8，∴a∥b，本选项符合题意；③∵∠4+∠7＝180°，∠4＝∠6，∴∠6+∠7＝180°，∴a∥b，本选项正符合题意；④∵∠5+∠1＝180°，不能判定a∥b，本选项不符合题意，则其中能判断a∥b的是①②③．故选：B．【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．巩固练习一．选择题（共12小题）1．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断BD∥AC的是（）A．∠3＝∠A B．∠D＝∠DCEC．∠1＝∠2 D．∠A+∠ACD＝180°2．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°3．如图，下列推理中正确的是（）A．∵∠1＝∠4，∴BC∥ADB．∵∠2＝∠3，∴AB∥CDC．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BCD．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD4．如图，由下列已知条件推出的结论中，正确的是（）A．由∠1＝∠5，可以推出AD∥BCB．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BCC．由∠1+∠4＝90°，可以推出AB∥CDD．由∠ABC+∠BCD＝180°，可以推出AD∥BC5．下列各项正确的是（）A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角6．如图，下列条件中不能判断a∥b的是（）A．∠2＝∠6 B．∠1＝∠4 C．∠4+∠6＝180°D．∠3+∠5＝180°7．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A8．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．15°B．25°C．35°D．50°9．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（）A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD （0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（）A．60°和135°B．45°、60°、105°和135°C．30°和45°D．以上都有可能11．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个12．下列语句中，正确的有（）（1）两点之间直线最短（2）同位角相等（3）不相交的两条直线互相平行（4）垂直于同一条直线的两直线互相平行（5）同一平面内，过一点有且仅有一条直线平行于已知直线A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共12小题）13．如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是．14．如图，直线c与a，b相交，∠1＝40°，∠2＝70°，要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是°．15．根据给出的图形，写出一个使得a∥b的条件：．（写出一个即可，多写不加分）16．如图，下列能判定AB∥CD的条件有个．①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．17．如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有．（填序号）18．如图，将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB∥CD，依据是．19．如图，有下列3个结论：①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是．20．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有．（填序号）21．如图，两块三角板形状、大小完全相同，边AB∥CD的依据是．22．如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4：③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判断AB∥CD的有．（填写所有满足条件的序号）23．两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点F，B，E，C在一条直线上，则有DF∥AC，理由是．24．如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A 与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是（只填序号）．三．解答题（共6小题）25．填空：已知：如图，B、C、E三点在同⼀直线上，A、F、E三点在同⼀直线上，∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．证明：∵∠2＝∠E∴（内错⻆相等，两直线平⼀）∴∠3＝（两直线平⼀，内错⻆相等）∵∠3＝∠4∴∠4＝∠DAC（）∵∠1＝∠2∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，（）即∠BAF＝∴∠4＝∠BAF∴AB∥CD（同位⻆相等，两直线平⼀）26．光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行．如图标注有∠1～∠8共8个角，其中已知∠1＝64°，∠7＝42°．（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；（2）直接写出∠2，∠3，∠6，∠8的度数．27．已知∠DAC＝∠ACB，∠D+∠DFE＝180°，求证：EF∥BC．28．如图，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠ECG＝90°﹣∠HAE．求证：BH∥CD．29．如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1＝∠2．求证：DE∥BC．30．如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC．（1）填空：∠OEC+∠OFC＝；（2）求证：EG∥FH．一．选择题（共12小题）1．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断BD∥AC的是（）A．∠3＝∠A B．∠D＝∠DCEC．∠1＝∠2 D．∠A+∠ACD＝180°【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．【解答】解：A、由∠3＝∠A不能判断BD∥AC，故本选项不合题意；B、∵∠D＝∠DCE，∴BD∥AC，故本选项符合题意；C、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本选项不合题意；D、∵∠A+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．2．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可．【解答】解：由∠1＝∠3，可得直线a与b平行，故A能判定；由∠2+∠4＝180°，∠5+∠4＝180°，可得∠2＝∠5，故直线a与b平行，故B能判定；由∠1＝∠4，∠4＝∠3，可得∠1＝∠3，故直线a与b平行，故C能判定；由∠1+∠4＝180°，不能判定直线a与b平行，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．3．如图，下列推理中正确的是（）A．∵∠1＝∠4，∴BC∥ADB．∵∠2＝∠3，∴AB∥CDC．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BCD．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD【分析】结合图形分析相等或互补的两角之间的关系，根据平行线的判定方法判断．【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故选项错误；B、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故选项错误；D、∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，故选项正确；C、∵∠CBA+∠C＝180°，∴AB∥CD，故选项错误．故选：C．【点评】考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．4．如图，由下列已知条件推出的结论中，正确的是（）A．由∠1＝∠5，可以推出AD∥BCB．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BCC．由∠1+∠4＝90°，可以推出AB∥CDD．由∠ABC+∠BCD＝180°，可以推出AD∥BC【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误；B、∵∠2＝∠6，∴AD∥BC，故本选项正确；C、由∠1+∠4＝90°无法证明AB∥CD，故本选项错误；D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的判定定理，熟知平行线的三个判定定理是解答此题的关键．5．下列各项正确的是（）A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角【分析】分别利用平行公理以及垂线以及点到直线的距离以及对顶角的定义分别分析得出即可．【解答】解：A、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误，不合题意；B、在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，故此选项错误，不合题意；C、同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，正确，符合题意；D、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故此选项错误，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了平行公理以及垂线以及对顶角和点到直线的距离等定义，正确把握相关定义是解题关键．6．如图，下列条件中不能判断a∥b的是（）A．∠2＝∠6 B．∠1＝∠4 C．∠4+∠6＝180°D．∠3+∠5＝180°【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∠2＝∠6可以判定a，b平行，不符合题意；B、∠1＝∠4，不能判定a，b平行，符合题意；C、∠4+∠6＝180°，可以判断a、b平行，不符合题意；D、∠3+∠5＝180°，可以判定a，b平行，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．7．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．8．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．15°B．25°C．35°D．50°【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a 旋转的度数．【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．9．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（）A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．【解答】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD （0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（）A．60°和135°B．45°、60°、105°和135°C．30°和45°D．以上都有可能【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：如图，当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．11．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．【解答】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．12．下列语句中，正确的有（）（1）两点之间直线最短（2）同位角相等（3）不相交的两条直线互相平行（4）垂直于同一条直线的两直线互相平行（5）同一平面内，过一点有且仅有一条直线平行于已知直线A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据平行公理，平行线的判定和性质，线段的性质一一判断即可．【解答】解：（1）两点之间直线最短．错误．应该是两点之间线段最短．（2）同位角相等，错误．条件是两直线平行．（3）不相交的两条直线互相平行，错误，条件是同一平面内．（4）垂直于同一条直线的两直线互相平行，错误，条件是同一平面内．（5）同一平面内，过一点有且仅有一条直线平行于已知直线，错误，应该是过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．故选：A．【点评】本题考查平行线的判定，平行公理，线段的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二．填空题（共12小题）13．如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是①②③．【分析】①由∠BAD+∠ABC＝180°，利用同旁内角互补得到AD∥BC，本选项符合题意；②由∠1＝∠2，利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，本选项符合题意；③由∠3＝∠4，利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，本选项符合题意；④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．【解答】解：①由∠∠BAD+∠ABC＝180°，得到AD∥BC，本选项符合题意；②由∠1＝∠2，得到AD∥BC，本选项符合题意；③由∠3＝∠4，得到AD∥BC，本选项符合题意；④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．故答案为：①②③．【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．14．如图，直线c与a，b相交，∠1＝40°，∠2＝70°，要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是30°．【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠3减去∠1即可得到直线a顺时针旋转的度数．【解答】解：如图．∵∠3＝∠2＝70°时，a∥b，∴要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是70°﹣40°＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．15．根据给出的图形，写出一个使得a∥b的条件：∠1＝∠3．（写出一个即可，多写不加分）【分析】根据对顶角的性质和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：∠1＝∠3，理由：∵∠3＝∠4，∠3＝∠1，∴∠1＝∠4，∴a∥b；故答案为：∠1＝∠3．【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．16．如图，下列能判定AB∥CD的条件有1个．①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．【分析】据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：（1）∵∠B+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；（2）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；（3）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本小题正确；（4）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本小题不符合题意；故答案为：1．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．17．如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有③④．（填序号）【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．【解答】解：①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；④中，∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；故答案为：③④．【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．18．如图，将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB∥CD，依据是内错角相等，两直线平行．【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：如图所示：∵∠1＝∠2＝30°，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故答案为：内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．19．如图，有下列3个结论：①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是①②．【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断．【解答】解：①能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个，即∠EF A和∠EDC，故正确；②能与∠EFB构成同位角的角的个数只有1个：即∠F AE，故正确；③能与∠C构成同旁内角的角的个数有5个：即∠CDE，∠B，∠CED，∠CEF，∠A，故错误；所以结论正确的是①②．故答案为：①②．【点评】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关的定义．20．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有①⑤．（填序号）【分析】根据平行线的判定解答即可．【解答】解：①∵∠1＝25.5°+∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30'，所以，m∥n；②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2＝2∠1，不能判断直线m∥n；③∠1+∠2＝90°，不能判断直线m∥n；④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判断直线m∥n；故答案为：①⑤【点评】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．如图，两块三角板形状、大小完全相同，边AB∥CD的依据是内错角相等两直线平行．【分析】利用平行线的判定方法即可解决问题．【解答】解：由题意：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）故答案为：内错角相等两直线平行．【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4：③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判断AB∥CD的有①③④．（填写所有满足条件的序号）【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥BC，根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥BC；②∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；③∠A＝∠DCE，根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；④∠D+∠ABD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD．故答案为：①③④．【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．23．两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点F，B，E，C在一条直线上，则有DF∥AC，理由是内错角相等两直线平行或（垂直于同一条直线的两直线平行）．【分析】根据平行线的判定定理填空即可．【解答】解：依题意得：∠DFE＝∠ACB，则DF∥AC（内错角相等两直线平行．或（垂直于同一条直线的两直线平行））故答案是：内错角相等两直线平行．或（垂直于同一条直线的两直线平行）【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．24．如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A 与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是①②③（只填序号）．【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，故答案为：①②③．【点评】考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．三．解答题（共6小题）25．填空：已知：如图，B、C、E三点在同⼀直线上，A、F、E三点在同⼀直线上，∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．证明：∵∠2＝∠E∴AD∥BC（内错⻆相等，两直线平⼀）∴∠3＝∠DAC（两直线平⼀，内错⻆相等）∵∠3＝∠4∴∠4＝∠DAC（等量代换）∵∠1＝∠2∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，（等式性质）即∠BAF＝∠DAC∴∠4＝∠BAF∴AB∥CD（同位⻆相等，两直线平⼀）【分析】根据平行线的判定可得AD∥BC，根据平行线的性质和等量关系可得∠4＝∠BAC，再根据平行线的判定可得AB∥CD．【解答】证明：∵∠2＝∠E，∴AD∥BC（内错⻆相等，两直线平⼀），∴∠3＝∠DAC（两直线平⼀，内错⻆相等），∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠DAC（等量代换），∵∠1＝∠2∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式性质），即∠BAF＝∠DAC，∴∠4＝∠BAF，∴AB∥CD（同位⻆相等，两直线平⼀）．故答案为：AD∥BC，∠DAC，等量代换，等式性质，∠DAC．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．26．光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行．如图标注有∠1～∠8共8个角，其中已知∠1＝64°，∠7＝42°．（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；（2）直接写出∠2，∠3，∠6，∠8的度数．【分析】（1）根据同位角，内错角，同旁内角的定义即可求解；（2）根据平行线的性质即可求解．【解答】解：（1）同位角：∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6（写两对即可）；内错角：∠5与∠7；同旁内角：∠6与∠8；∠1与∠3；∠2与∠4（写一对即可）；（2）∠2＝∠1＝64°，∠3＝180°﹣∠1＝116°，∠6＝∠5＝∠7＝42°，∠8＝180°﹣∠6＝138°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、同位角、内错角以及同旁内角，解题的关键是：（1）能够找出一个角的同位角、内错角以及同旁内角；（2）熟悉各平行线的性质．27．已知∠DAC＝∠ACB，∠D+∠DFE＝180°，求证：EF∥BC．【分析】根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明AD∥BC，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明AD∥EF，根据平行线的传递性即可证明EF∥BC．【解答】证明：∵∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵∠D+∠DFE＝180°，∴AD∥EF，∴EF∥BC．【点评】本题考查了平行线的判定以及性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理．28．如图，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠ECG＝90°﹣∠HAE．求证：BH∥CD．【分析】过点E作EF∥BH，根据平行线的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：过点E作EF∥BH，∴∠HAE＝∠AEF，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°即∠AEF+∠CEF＝90°，∴∠HAE+∠CEF＝90°，∴∠CEF＝90°﹣∠HAE，∵∠ECG＝90°﹣∠HAE，∴∠CEF＝∠ECG，∴EF∥CD，∵EF∥BH，∴BH∥CD．【点评】本题考查了平行线的判定，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．29．如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1＝∠2．求证：DE∥BC．【分析】根据CD⊥AB，FG⊥AB，可判定CD∥FG，利用平行线的性质可知∠2＝∠BCD，已知∠1＝∠2，等量代换得∠1＝∠BCD，故可证DE∥BC．【解答】证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠2＝∠BCD，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DE∥BC．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解题时注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．30．如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC．（1）填空：∠OEC+∠OFC＝180°；（2）求证：EG∥FH．【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；（2）根据四边形的内角和和平行线的判定解答即可．【解答】解：（1）在四边形OECF中由∠C＝90°，a⊥b，得∠OEC+∠OFC＝180°，故答案为：180°；。
7.1.1 探索直线平行的条件(三线八角)苏科版数学七年级下册基础知识讲与练
专题7.1 探索直线平行的条件（三线八角）（知识讲解）【学习目标】1.了解“三线八角”模型特征；2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．【要点梳理】要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB 、CD 与直线EF 相交(或者说两条直线AB 、CD 被第三条直线EF 所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.特别说明：：⑴两条直线AB,CD 与同一条直线EF 相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB 、CD 的同一方，并且都在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB 、CD 之间，并且在直线EF 的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB 、CD 之间，并且在直线EF 的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.特别说明：：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征图1特别说明：：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．【典型例题】类型一、三线八角➽➼同位角1．下列图中和是同位角的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②【答案】D【分析】根据同位角的定义，即两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．对每个图进行判断即可．解：①图中∠1和∠2是同位角，符合题意；②图中∠1和∠2是同位角，符合题意；③图中∠1和∠2不是同位角，不符合题意；④图中∠1和∠2不是同位角，不符合题意；图中是同位角的是①②．故选：D．【点拨】本题考查了同位角的定义，掌握基本概念是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，和∠A是同位角的有___．【答案】【分析】同位角的含义：若两个角在截线的同旁，都在被截线的同侧，则这两个角为同位角，根据此含义即可判断．解：由图知：与∠A都是同位角故答案为：【点拨】本题考查了同位角的识别，关键是掌握同位角的含义并能在图中正确识别．【变式2】如图，在图中与∠1是同位角的角有_____个．【答案】4【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答即可．解：如图，根据同位角的定义，与∠1是同位角的角有：∠2，∠3，∠4，∠5，共4个．故答案为：4．【点拨】此题主要考查了“三线八角”中的同位角的概念，掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形是解答此题的关键．类型二、三线八角➽➼内错角2．如图，的内错角是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据内错角的定义判断即可；解：、的内错角是，故此选项符合题意；、与是同旁内角，故此选项不合题意；、与是同位角，故此选项不合题意；、与不是内错角，故此选项不合题意；答案：．【点拨】本题主要考查了内错角的判定，准确分析判断是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，与∠1构成内错角的所有角是_____．【答案】∠DEF或∠DEC【分析】根据内错角的定义即可判断，注意有两解．解：∠1与∠DEF可以看成直线AB与直线EF被直线DE所截的内错角，∠1与∠DEC可以看成直线AB与直线AC被直线DE所截的内错角，故答案为∠DEF或∠DE C．【点拨】本题考查内错角、同位角、同旁内角等知识，解题的关键是理解内错角的定义，属于基础题．【变式2】如图，下列两个角是内错角的是（）A．B．∠1与∠3C．∠2与∠3D．∠2与∠4【答案】A【分析】内错角是Z字型．解：是内错角，A正确；∠1与∠3同旁内角，B错误；∠3与∠2是邻补角，C错误；∠2与∠4是同位角，D错误；故选A【点拨】此题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角的概念，掌握内错角的定义是解题的关键．类型三、三线八角➽➼同旁内角3．如图，直线a，b被直线c所截，那么∠2的同旁内角是（ ）A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5【答案】C【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．解：∵直线a、b被直线c所截，∴∠2的同旁内角是∠4．故选：C．【点拨】本题主要考查了同旁内角的概念，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．举一反三：【变式1】如图，直线a，b被直线c所截，那么∠2的同旁内角是（ ）A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5【答案】C【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．解：∵直线a、b被直线c所截，∴∠2的同旁内角是∠4．故选：C．【点拨】本题主要考查了同旁内角的概念，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．【变式2】如图所示，∠EDB的同旁内角有_____．【答案】∠BED，∠FED，∠B【分析】根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角．解：∠EDB的同旁内角有∠BED，∠FED，∠B．故答案为：∠BED，∠FED，∠B．【点拨】本题考查了同旁内角．解题的关键是掌握同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．类型四、三线八角➽➼同位角✬✬内错角✬✬同旁内角4．如图：与成内错角的是______；与成同旁内角的是______．【答案】、和、和【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．解：如图，与成内错角的是、和，与成同旁内角的是：、和．故答案分别是：、和，、和．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．举一反三：【变式1】如图所示，下列说法不正确的是（ ）A．∠1和∠4是内错角B．∠1和∠3是对顶角C．∠3和∠4是同位角D．∠2和∠4是同旁内角【答案】D【分析】根据内错角、对顶角、同位角、同旁内角的定义逐一分析即可．解：由图可得，∠1和∠4是内错角，∠1和∠3是对顶角，∠3和∠4是同位角，∠2和∠4是同位角，而不是同旁内角，故选：D．【点拨】本题主要考查了三线八角，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．【变式2】两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．【答案】(1)见解析；(2) 36°【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；（2）利用邻补角的关系可求出∠3的度数．解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，故x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3的度数为36°．【点拨】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．中考真题专练5．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【答案】D【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．举一反三：【变式1】（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】B【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角，据此作答即可．解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意；∠1与∠3是同位角，选项B符合题意；∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意；∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意；故选：B．【点拨】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．【变式2】（2021·广西百色·中考真题）如图，与∠1是内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【答案】C【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角，解答即可．解：根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是．故选：C【点拨】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义．。
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1
B
C
本节课你有哪些收获？
布置作业： P11习题7.1 2、 4
自我检测 1、如图8.1-9，∠C=31°，当∠ABE= 就能使BE//CD？
度时，
1题
2题
2、如图8.1-8，∠1=150°，∠2=150°， AB//CD吗？
3、如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C，试说明 AB∥DC． A D E
解:∵AD//BC（已知） ∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等） ∵∠A＝∠C（已知） ∴∠1=∠C（等量代换） F ∴AB//DC（同位角相等，两直线平行）
复习目标: 1、会正确识别同位角、内错角、同旁内角。 2、掌握基本事实：同位角相等，两直线平行。 3、运用直线平行的条件：内错角相等（同旁 内角互补），两直线平行。复习指导Fra bibliotek5分钟
P6-P10
1、直线平行的条件是： （1）同位角相等，两直线平行 —————————————————— （2）内错角相等，两直线平行 —————————————————— （3）同旁内角互补，两直线平行 —————————————————— 2、仔细看例题的解题格式。 5分钟后比一比谁能回答上面的问题