江苏省启东市惠萍初级中学苏教版七年级数学上册 三阶幻方教案
初中幻方的操作方法
初中幻方的操作方法
初中幻方的操作方法主要有以下几个步骤：
1. 确定幻方的阶数：幻方的阶数指的是幻方每行、每列以及对角线上的数字个数。
常见的初中幻方阶数为3阶和4阶。
2. 给定幻方的初始状态：在初始状态下，把不同的数字填入幻方的方格中，使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
初始状态下可以是全空白的方格，也可以是已经填入部分数字的方格。
3. 利用幻方的基本特性填写其他数字：根据幻方的特性，可以通过已经填入的数字推导出其他未填入的数字。
常见的推导方法包括：
- 按顺序填写数字：从1开始，按照顺序填写每个空格中的数字，确保每行、每列以及对角线上的数字之和相等。
- 利用对角线数字的特性：对于3阶幻方，可以通过对角线上已填入的数字来确定另外两个数字。
对于4阶幻方，则可以通过已填入数字形成的交叉对角线来填写其他数字。
4. 检查幻方是否符合要求：在填写完所有数字后，需要进行检查，确保每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
如果有不相等的情况，则需要进行调整和修正。
5. 根据需要进行操作：根据题目要求，可以对幻方进行一些操作，如交换行或列的位置、旋转幻方等，以生成新的幻方。
以上是初中幻方的操作方法的基本步骤，具体的操作方法还需根据具体情况进行调整。
探寻神奇的幻方优质课教学设计一等奖及点评
《探寻神奇的幻方（一）》教学设计一、教学内容解析探寻神奇的幻方是一节综合与实践课.是在学习了有理数及其运算、整式及其加减、一元一次方程之后，有了探究规律活动经验的基础上，以洛书三阶幻方为素材，进而探究三阶幻方的本质特征，是对一、二学段数字规律探究的延伸，是对数量关系符号化的进一步深入和拓展，是对人类智慧的数字化解读。
帮助学生感受图形的对称，感受综合运用有理数运算的有关知识解决问题，感受一种全新的以自主探究为特色的学习方式，体验数形结合的思想，丰富学生的数学活动经验.在探究的过程中从洛书中呈现的三阶幻方这一特殊模型入手，转入对一般三阶幻方本质规律的探究，充分体现从具体到抽象的思考问题的方法和归纳的思想，从发现规律、认识规律、到表达规律是教材的核心意图，本节课是认识所有幻方的基础，应用三阶幻方的本质规律构造三阶幻方应是基本要求和目标，探索的内容和方法具有一般性,是今后学习方程、函数等内容的基础，为高中学习算法初步、排列组合、统计概率等内容做了准备，为后续综合与实践课的学习提供思路.本节课设计2课时完成，本次设计的是第1课时.据此，确定本节课的教学重点是：1、经历探究三阶幻方的本质特征的过程.2、学会构造三阶幻方的基本方法.二、教学目标设置依据《数学课程标准》和教学内容的特点及学生的认知水平，确定如下教学目标：1.运用有理数运算探索三阶幻方的本质特征.2.经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验.3.通过洛书的引入，使学生了解我国古代文化价值，感受数学与生活的联系.通过探索幻方中蕴含的规律，使学生感受类比、归纳、化归的数学思想，激发学生探究的积极性，培养合作精神.三、学生学情分析学生知识基础：幻方是对数、字母表示数等知识的综合应用，前面学生已经学习了有理数及其运算、整式及其加减、一元一次方程等相关知识，对图形的对称性也有了初步了解，这使本节课探究幻方中数字背后的一般规律成为可能.学生活动经验：七年级学生正处在由合情推理初步向演绎推理过渡的阶段，小学学生经历了找规律、推理、建模等专题活动的学习，初中阶段在探究日历中数字规律时，又经历了由特殊到一般的过程,体会了代数推理的特点和作用，具备了探究规律的能力和初步的模型思想意识，这些都为探究三阶幻方本质特征做好了准备.但七年级学生初次接触综合与实践课，部分学生对研究幻方本质规律的思路不清晰，对于从什么角度关注幻方中奇偶数的分布特点没有意识，对用9个连续自然数构造一个三阶幻方缺乏条理性的思考,操作时会有困难.据此，我确定本节课的教学难点为：探究三阶幻方的本质特征.四、教学策略分析本节课以两个猜数游戏为出发点，以洛书这一奇闻趣事创设情景,以三阶幻方为载体，以探寻由1〜9这9个数所构造的三阶幻方本质特征为主线，重点探究1到9这9个数所构造的三阶幻方，采用“问题导学，引导发现”的教学方法，使学生经历观察、猜想、类比、归纳等一系列活动，通过观察尝试、动手实践、小组讨论、归纳类比等方法进行自主探究学习，并采用导学案、数字卡片、数字磁贴，借助多媒体动画直观形象的演示，帮助学生感知数字规律，形成构造三阶幻方的策略，不断拓展思维，发展数感，培养学生创新意识和能力.五、教学活动设计基于对教材特点和学生情况分析，设计如下教学环节，通过形式多样的课堂活动，进一步激发了学生的学习潜能.1、情境导入你能猜出表格中被盖住的数是几吗?猜数游戏：以上两个猜数游戏，同学们发现这些表格中隐藏着一定的规律，我们就把这样的一些表格就叫做幻方，那么同学们的想法对不对呢？本节课我们就一起来探究类似这样的问题（板书课题《探寻神奇的幻方（一）》）【设计意图】设计数字游戏，帮助学生初步感知此类数表中存在着一定的规律，激发学生进一步探究的欲望，为幻方的引入埋下伏笔.2、探究新知相传大禹治水时，发生了一件神奇的事情，洛水中浮现出一只神龟，龟背上有一个神奇的图案给了大禹启示，这个图案被称为洛书,古人认为洛书是一种祥瑞，预示着抗洪救灾工作马上成功，其实这些圈圈点点就是我们熟悉的1〜9这9个数，将它们翻译过来就得到这样一个方格表，这其中蕴含着中国古代劳动人民的智慧，是中国历史文化的渊源，今天我们一起来探究这个方格表.【设计意图】从一个历史故事引出洛书这一三阶幻方，体现了数学建模思想，使学生了解我国古代文化价值，感受数学与生活的密切联系.问题1：观察方格表中的数字，你能发现什么？问题2：这个方格表是否也有这样的规律?再比如像这样四行四列、五行五列的方格表…幻方的概念：像这样每行、每列、每条对角线上的数的和都相等的方格表就叫做幻方，三行三列的幻方就叫三阶幻方，类似的四行四列的幻方就叫四阶幻方，幻方里出现的相等的和就叫做幻和.【设计意图】以洛书三阶幻方为起点，设置问题1、问题2,激励学生借助观察、类比、归纳等方法，去发现幻方中存在的恒等关系.活动一、判断下列方格表是幻方吗？m_3_£()()【设计意图】引导学生利用发现的恒等关系进行尝试，让学生经历三阶幻方特征的内化过程，强化了学生对幻方特征的认识，为后续探究三阶幻方的本质特征做好准备.3、探究发现活动二、在下列由1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造的三阶幻方中你能推算出表格中老师遮盖住的数是几吗?【设计意图】引导学生发现最中间位置的数确定了，其它位置上的数也就迎刃而解，感知构造三阶幻方的核心是确定中心数，这一发现为下一环节进一步探究三阶幻方的一般规律奠定基础.在下列由1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造的三阶幻方中你能推算出表格中老师遮盖住的数是几吗?【设计意图】进一步引导学生感知构造三阶幻方的核心和关键，通过独立思考和合作交流，发现计算幻和和确定中心数的方法，初步感受幻方中的数成对出现.摆一摆:用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9张数字卡片摆一个和下列三阶幻方不一样的三阶幻方*2、[X 三4 3【设计意图】给学生准备数字卡片和数字磁铁，把填表活动改成摆拼活动，引导学生在动手实践中产生疑问，体会幻方中的数成对出现，奇偶数的分布呈现一定的规律性，分析并体会分类研究问题的必要性，发现三阶幻方通过旋转或轴对称得到的仍是幻方，解释构造三阶幻方的关键所在，理解三阶幻方的本质特征是构造三阶幻方的重要依据，发展学生的空间观念，培养了学生的数据分析能力，从而突出本节课的重点，突破难点，促使感性思维初步向理性思维过渡，让有价值的质疑生成成为课堂的核心标准.4、应用新知猜数游戏：这个数我们猜的是1有道理吗？现在你能说出剩下的几个数吗?再看看这个表格，我们猜的是4对吗？它和我们刚才研究的广9这9个数所构造的三阶幻方有什么不同之处呢?AAE4?3【设计意图】首尾呼应，通过类比，将所学知识进一步延伸，引导学生从化归的角度思考一般的三阶幻方之间的关联性，这为构造三阶幻方提供了新的思路，学生在感受幻方奇妙无比的同时，学会了多角度解决问题的策略，实现了知识的迁移和学习能力的提升，体现了转化的数学思想.活动三、用下列9个数构造一个三阶幻方,【设计意图】通过这样的活动，帮助学生获得构造三阶幻方的基本方法，提高学生的实践能力，使知识的内化过程成为课堂的关键环节，增强学生的应用意识和创新意识.对不断显现的规律不断加深感悟，从而关注构造三阶幻方方法的本质所在.5、小结升华：(1)通过实践与探究，同学们认为三阶幻方有什么奥妙？(2)对于幻方你还有什么猜想？【设计意图】此环节既是对知识的系统小结，更是对思想方法的小结，问题2为学生潜能的释放搭建了平台，给学生提供了大胆质疑的机会，为第2课时的学习做好准备.6、知识拓展：正因为幻方中蕴含着奇妙的数学美，因此吸引了很多人的兴趣。
人教版初中七年级上册数学导学案《三阶幻方》教学设计
人教版初中七年级上册数学导学案《三阶幻方》教案一、教材分析：本课题学习是在”有理数及其运算“”的基础上，通过阅读与欣赏引导学生数形结合上感受幻方的均衡对称美；借助有理数的运算探索规律揭示三阶幻方的本质特征；以探寻神奇的幻方为载体，在活动过程中提高学生对蕴含在客观现实事物中的规律性结论进行感受、发现、分析、拓展的能力。
强调数学知识的关联性、整体性和综合应用性。
二、目标分析1．知识与技能（1）体验有理数混合运算、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；（2）借助洛书、杨辉幻方等史料，让学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心;（3）引导学生从图形上感受幻方的均衡对称美；设计开放性问题引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作;（4）以探寻神奇的幻方为载体提高学生对蕴含在客观现实事物中的规律性结论进行感受、发现、分析、拓展的能力。
2．过程与方法（1）通过材料，对三阶幻方中所蕴含的规律进行分析、抽象。
（2）教师起到适当引导的作用，并对学生的回答给予肯定与鼓励。
（3）课件演示，辅助教学。
采用学为主导，以学生为主体。
3．情感态度与价值观（1）经历本节课的阅读与欣赏，养成主动探索、求知的学习态度，激发学生对数学的好奇心和求知欲,培养学生的合作精神。
（2）通过这节课让学生感受数学的好玩、欣赏的优美、体会数学家治学的严谨，初步感知数学中的真、善、美。
三、教学思路：通过阅读欣赏河图、洛书的典故，了解九宫格（三阶幻方）的由来，感受祖国文化的博大精深通过鉴赏杨辉对三阶幻方规律的总结，让学生感知并寻找数学中的乐趣，激发他们的好奇心和求知欲通过学生的小组合作，完成提出的问题，让学生感受成功的快乐。
通过欣赏三阶幻方的诗，感受数学也是具有诗歌的内在气质的。
四、教学过程一、阅读欣赏：幻方起源相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一图，作为礼物献给他，这就是“河图”，伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
幻方在初中数学解题中的意义
4华东师大版教材则是在七上安排了阅读 材料“幻方”
阅读材料介绍了三阶幻方的传说，由于阅读材料是 设置在有理数内容之前，教材没有安排题目给学生做，但 用2个图反映了四阶幻方的一种构造方法，女吓图：
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(1)
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图6
2201年第12期
综上所述,含参不等式恒成立问题可转化为函 数的性质、求函数最值等问题，基本方法有:变换主 元、分离参数、根的分布等等•覆盖的知识点多，解题 方法灵活多样，需要我们持续不断的去领悟、总结.
解析:第一问：因为这1个数的和是-6,可以 组成 3 组，和是-2:( -1, -2,1,1)( -1, -4,
3,9)( -8, -6,5,5),这3组数字分别放在最外一
・85 •
《数学之友》
层，中间一层，最里面一层正方形的四个顶点处，每 一组数的里外、顺序可以随便放.
第二问:不成立，因为这12个数相加和为6,6 除以3是2,这时每个正方形4个顶点处的和是2.
1人教版教材中，安排了一道实验与探究题
填幻方： 有人建议向火星发射如图1的图案.它叫做幻 方，其中9个格中的点数分别是1,2,3,4,5,6,5,3,9. 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和 都是15.如果火星上有智能生物，那么他们可以从这 种“数学语言” 了解到地球上也有智能生物(人
你能将-4,-3, -2, -1,0,1,2,3,4这9个数分别 填入图2的幻方的9个空格中，使得处于同一横行、同 一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都得0吗？
七年级数学幻方题
七年级数学幻方题一、基础幻方题（1 10）1. 用1 9这九个数字构造一个三阶幻方。
解析：方法一：“罗伯法”。
首先把1放在第一行中间一列，即第一行第二列。
然后按顺序向右上方向填写数字。
如果右上方向出了幻方（比如到了最上面一行的上面或者最右边一列的右面），则把数字填到幻方相对的位置（如果出了上面就填到最下面一行对应的列，如果出了右面就填到最左面一列对应的行）。
当右上方向已经有数字时，就把数字填在当前数字的下面。
按照这个规则，1在第一行第二列，2就填在2行3列（1的右上方向），3填在3行1列（2的右上方向），4填在4行2列（3的右上方向，因为出了幻方的顶行，所以填到最下面一行对应的列），5填在5行3列（4的右上方向），6填在6行1列（5的右上方向），7填在7行2列（6的右上方向，因为右上方向已有数字4，所以7填在6的下面），8填在8行3列（7的右上方向），9填在9行1列（8的右上方向）。
得到的三阶幻方为：begin{bmatrix}816 357 492end{bmatrix}幻和为15（每行、每列、每条对角线上数字之和），计算方法为(1 +2+3+·s+9)÷3=(45÷3) = 15。
2. 在一个三阶幻方中，已知左上角数字为3，幻和为18，请完成这个幻方。
解析：设这个幻方为begin{bmatrix}3ab cde fghend{bmatrix}。
因为幻和为18，所以第一行的和3 + a + b=18，则a + b = 15。
又因为对角线上3 + d+h = 18，所以d + h=15。
同理，c + d+e = 18。
由于中间数d在计算幻和时用到了4次（行、列、两条对角线），根据幻方的性质，幻和等于中间数的3倍，所以d = 18÷3 = 6。
因为3 + d+h = 18，d = 6，所以h = 9。
因为a + b = 15，设a = 7，则b = 8。
再根据幻和为18求出其他数字，得到幻方begin{bmatrix}378 5671053end{bmatrix}。
研究性学习报告之神奇的幻方
竭诚为您提供优质文档/双击可除研究性学习报告之神奇的幻方篇一：综合与实践—探寻神奇的幻方七年级数学上册综合与实践《探寻神奇的幻方》第1课时课型：新授课时间：12月19日主备人：黄国有审核人：一、学习目标：（1分钟）1.运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征2.会构造简单的三阶幻方二、学习过程：情景创设：（3分钟）背诵古诗：“四海三山八仙洞，九龙王子一枝莲。
二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
”自学指导一：（7分钟）构造三阶幻方方法介绍一、阶梯法（如图）。
口诀为“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”二、杨辉法：以方阵中间一行最上方的一格为出发点，再向右上方依序填入数字，若右上格已有数字则往下退一格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便跳到方阵的另一头。
三、方阵斜线对换法：例1、将2、4、6、8、10、12、14、16、18填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
自学检测：（9分钟）1、自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于60.2、试将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
让我们的每一份作业都超出日本同龄人的水平！例1自学指导二：5分钟仔细观察p189图1中的幻方，先独立思考议一议问题，然后小组讨论你没有解决的问题，7分钟后，每个小组选派一名代表展示你们的答案，比一比哪一个小组完成的更好！总结：性质1：“幻和”的3倍等于这九个数之和；性质2：所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。
自学检测：10分钟1、如图所示，方格中的格子被填上了数，每一行，每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等，则x的值为（）。
2、请完成下面的三阶幻方：第2题三、课堂小结：（2分钟）1.本节课主要学习了什么知识？你有哪些收获？回顾两个目标：（1）幻方的特点：（2）构造幻方的方法：四、课堂评价：1.学案、节清是否按时完成：是（）否（）2.本节学案任务总数难入手的任务个数3.请划出本节难入手的问题并修改。
江苏省启东市惠萍初级中学八年级数学上册11.6《多边形》教案
最后，总结回顾环节，虽然学生们能够跟随我的引导回顾所学内容，但我感觉他们的反馈还不够积极。可能是因为我对学生的关注度不够，没有充分调动他们的积极性。在今后的教学中，我会尽量让更多的学生参与到总结回顾环节，提高他们的课堂参与度。
其次，在讲授三角形和四边形的性质时，我发现学生们对于不同类型的区分还不够明确。这可能是因为我对这些概念的解释不够清晰，或者举例不够充分。在今后的教学中，我会尽量使用更直观的教具和图示，帮助学生更好地理解和记忆。
此外，实践活动中的分组讨论和实验操作环节，学生们表现得积极主动，但我也注意到有些小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论的效率，我需要在引导学生讨论时，更加明确主题和目标，确保学生们能够围绕核心问题展开讨论。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对于多边形的概念和性质掌握得还算不错，但在具体应用和解决实际问题时，部分学生还是显得有些吃力。我觉得有几个方面值得我们共同反思。
首先，关于多边形内角和公式的推导和应用，虽然我在课堂上进行了详细的讲解，但仍有部分学生对此感到困惑。我意识到，可能需要通过更多的实例和具体操作，让学生在实际中感受这个公式的意义，以便更好地理解和运用。
江苏省启东市惠萍初级中学八年级数学上册11.6《多边形》教案
一、教学内容
江苏省启东市惠萍初级中学八年级数学上册11.6《多边形》教案：
1.多边形的定义与性质
-多边形的定义
-多边形的边数与角数的关系
-多边形内角和的计算
2.三角形的分类与性质
七年级数学综合与实践探寻神奇的幻方教案
一、教学目标：1.了解幻方的概念及特点；2.能够通过分析、推理构造幻方；3.培养学生的逻辑思维、观察力和团队合作能力。
二、教学重点和难点：1.掌握幻方的基本概念；2.通过分析和推理构造幻方。
三、教学准备：1.幻方的定义、特点和构造方法的教学PPT；2.黑板、粉笔等教学工具。
四、教学过程:步骤一：导入（10分钟）1.引入幻方的概念：告诉学生一个有趣的故事，故事中的主人公通过数学的方法破解谜题，大家一起探索其中的奥秘。
2.展示宫殿幻方：通过PPT展示宫殿幻方，诱发学生思考。
步骤二：理论讲解（15分钟）1.幻方的定义：幻方是一个由n×n个数字组成的方阵，使得每一行、每一列及对角线上的数字之和都相等。
2.幻方的特点：幻方的和是一个固定值。
3.构造方法：以3阶幻方为例，通过讲解填写数字的规律，引导学生理解构造方法。
步骤三：小组探究（25分钟）1.分小组活动：将学生分成小组，每个小组自行构造3阶幻方。
2.让学生根据构造方法进行推理，填写幻方的其余数字。
3.引导学生讨论、交流，解决问题。
步骤四：展示和总结（10分钟）1.每个小组展示他们构造的幻方，并解释他们的构造方法。
2.教师进行点评，总结幻方的构造规律，引导学生得出结论。
五、巩固练习（20分钟）1.要求学生利用所学的幻方构造方法，尝试构造4阶幻方。
2.挑战更高级别的幻方，如5阶、6阶幻方。
六、拓展延伸（15分钟）1.展示其他类型的幻方，如双幻方、负幻方等。
2.让学生探究其他幻方的构造方法。
七、课堂小结（5分钟）通过本节课的学习，学生能够认识到幻方是一种特殊的方阵，并能够利用构造方法来构造幻方。
八、作业布置1.要求学生完成课堂练习中未解决的问题。
2.让学生设计自己的幻方，并写下构造规律或心得体会。
九、教学反思通过本节课的学习，学生对幻方的概念有了初步的认识，并能够通过分析和推理构造幻方。
但是由于时间有限，学生在构造高级别的幻方时可能遇到一些困难，需要在以后的课堂上进行更深入的探究。
探寻神奇的幻方优秀教学设计
《探寻神奇的幻方》教学设计一、教学目标1.通过学生间的相互交流与合作，探索三阶幻方中数的分布规律。
在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力。
2.通过探索，能够发现构造幻方的方法，激发学生对幻方的兴趣及探索热情，从而拓宽学生的知3.借助洛书等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美.二、教材分析本节课是北师大版七年级数学上册综合与实践的第一个课题。
教材考虑到不同年龄段学生在思维水平，活动经验等方而的差异，在课题设置上给出了层次性设讣，针对七年级以给出明确的研究课题，具体到本节课是以“有理数及其运算”与“整式及其加减”的知识为基础，以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对实际问题中的数量关系符号化抽象的过程，达成领会问题研究方法、提升问题解决能力的目标•三、学情分析：“探寻神奇的幻方”是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践X学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1〜9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决左了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式.四、教法学法分析：教法：问题解决教学法.综合实践活动课是以实际问题为载体，以解决问题为目标，让学生在“活动”中学习、借助“行动”来研究，学习过程是“动手与动脑”的结合与统一•适宜于选择问题解决教学法。
学法：自主探索、合作交流.研究性学列要求学生既要能独立的多角度观察和思考，也要能关注别人不同的思路和见解，同时研究课题的综合性、开放性以及学生之间客观存在的学情差异，共同决立了本节课要以自主探索和合作交流做为主要的学习方式•四、教学重难点分析及解决措施教学重点：探索三阶幻方的本质特征教学难点：根据探索的规律，能够构造符合要求的三阶幻方解决策略：一方而充分小组讨论，自主探究，合作交流，在交流中产生火花：另一方而，借助于多媒体辅助教学，帮助学生完成探究过程。
例谈三阶积幻方
例谈三阶积幻方王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)这是北师大版初中数学教材七年级上册第198页第25题，是一个如何制作三阶积幻方的问题。
什么是三阶积幻方？把9个数填在3行3列的方阵中，使每行每列及两条对角线上3个数的积都相等，这样的方阵就叫做三阶积幻方。
相等的积叫做幻积。
一、有0的三阶积幻方如果所给9个数中有0，那么这个三阶积幻方的幻积就是0，这样所给9个数中至少有 3个数是0，把其中的3个0放到对角线位置上，其余6个数随意填。
这时的三阶积幻方不唯一。
例1 用－2,0,0,0,3,7,13,23,100这9个数制作一个三阶积幻方。
解：由于所给9个数中有0，制作的三阶积幻方不唯一。
这里仅写出2个三阶积幻方。
（表1） （表2）二、无0的三阶积幻方 1. 所给9个数都是正数。
设1234567890a a a a a a a a a <≤≤≤≤≤≤≤≤，用(1~9)i a i =如何制作一个三阶积幻方呢？例2 用1,2,3,4,6,9,12,18,36制作一个三阶积幻方。
解法1: 第一步，求幻积。
幻积=所给9=36=216。
第二步，分解幻积。
把幻积分解为所给9个数中某3个数之积，得到8个等式。
216 = 36×1×6 = 36×2×3 = 18×1×12 = 18×2×6 = 18×3×4= 12×2×9 = 12×3×6 = 9×4×6第三步，统计。
统计以上8个等式中每一个数出现的次数。
第四步，填幻方。
首先确定最中间数(统计中出现4次的数)，其次确定四角数(统计中出现3次的数)，最后填出三阶积幻方。
（表4，确定四角数） （表5，三阶积幻方）解法2：根据笔者文[1]论证得到制作三阶积幻方的方法制作。
三阶积幻有妙术，一行中间最小数1a ，二行中央中位数5a ，三行最右二小数2a ，幻积中位立方数(幻积是中位数的立方)，由此推出空格数。
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苏教版七年级数学
三阶幻方
“幻方”中的游戏 教学设计
一、学情分析：
七年级学生已经较熟练的掌握了有理数的运算，并在无理数、代
数式和方程知识方面有一定积累，小学阶段已经了解“三阶幻方”并
有较浓厚的兴趣，但他们对“幻方”的历史背景比较模糊，填写方法
比较含糊，内在联系的研究不够深入，需要“再学习”“再探究”和
“再提升”。
二、教材分析：
“三阶幻方”是一种特殊的矩阵，具有悠久的历史，是我国劳动
人民智慧的体现，因为本节课的内容既传承了华夏文明，又接“数独”
游戏之底气，所以是培养学生兴趣、提高学生运算技能的较好载体。
本节课以“三阶幻方”为依托，以有理数运算为基础，以实验操
作为手段，以思考为基本学习方式，让学生经历“感受幻方、构造幻
方和创新幻方”的过程。“感受幻方”不仅要感受“三阶幻方”的历
史背景，还要感受“三阶幻方”数据间的内在联系，让学生在宽松、
快乐的氛围中获得数学知识。“构造幻方”的方法尽管多样，但基本
方法仍是学习的重点，特殊策略仅是学习过程中的“副产品”，一般
与特殊相结合可提高学生的推理意识和有理数的运算技能。“创新幻
方”的目的是为了拓展研究内容，激发探究欲望，培养创新意识。
“感受——构造——创新”是本节课教学的三部曲，没有深切的
“感受”就难有精心的“构造”，没有深入的“构造”研究就难有精
彩的“创新”。因此，“感受”是学习的重点，“构造”是学习的难点，
“创新”是学习的亮点，三者之间层次分明，互为影响。
三、教学目标：
1.让全体学生了解幻方的历史背景，理解幻方的相关知识，从中
产生学习兴趣和激发探究欲望。
2.通过感受“三阶幻方”的内在联系增强运算技能和推理意识，
能掌握三阶幻方的基本构造方法，领会构造的特殊策略，从而在游戏
的过程中感受问题间联系，优化运算策略，进一步增强探究兴趣。
3.在“构造”与“创新”幻方的操作中学会“自主与合作” ，
在交流中学会“分享”。
四、教学重点、难点：
重点：在学习幻方构造方法的过程中提高有理数运算能力
难点：幻方的理解及基本构造方法
五、教学方法：实验操作、合作探究
六、教学过程：
活动一 认识“幻方”
由伏羲时代的“河图”，大禹治水时期的“洛书”导入本课内容，
并介绍“杨辉”构造法。
设计意图：通过古代的传说，创设神秘的情境，激发学生的学习
兴趣，引入本课的内容。
活动二 感受“幻方”：
问题1（辨一辩）:下面的两个3×3的方格是幻方吗，为什么？
问题2（算一算）：
1.每一行的数字之和是几？ ，每一列上的数字之和是几？
两条对角线上的数字之和是几？
2.九个数的总和是几？
3.你发现问题1、2中的“和”与中心数存在怎样的倍数关系？
问题3（填一填）：
根据幻方中的已有信息，求出字母所表示的数
（1）a= （2）b= （3）c= （4）d=
32 3 3
4
37 3
5
1
2
31 3
8
a
6 8
7
c
6
3
7
6
b
9
d
3
6 1 8
7 5 3
2 9 4
3 -2 5
4 2 0
-1 6 1
（图1）
（图2）
（图3）
设计意图：让学生在经历“辨—算—填”的活动过程中，理解“三
阶幻方”概念，发现内在规律，感受幻方奇妙，特别在问题3中，所
给信息层层递进，规律运用由浅入深，算术与方程同频，兴趣和能力
共振，为“构造幻方”做好铺垫。
活动三 构造“幻方”
问题4（做一做）：下图8、图9的3×3的方格中给出了部分数
据，你能填写剩余的数据，使其成为一个幻方吗？这个幻方唯一吗？
问题5（试一试）：在如图10的3×3方格中，给出了部分数字，
你能另填7个不同的有理数，构造一个新“幻方”吗？
问题6（议一议）：图8与图9所填的数与图1中的数之间有什
么样的对应关系？
问题7（练一练）：在3×3方格纸中填写9个不同的有理数，在
图10构造一个新的“幻方”.
设计意图：设计环环相扣的问题串，意在让学生探索构造“幻方”
的一般方法和特殊方法。学生在“做一做”中体会“不在过中心数的
直线的三个数据可以确定一个幻方”的道理；在“试一试”中既巩固
了构造幻方的一般方法，又感受到“知二求一”的内在联系；在“议
一议”中，学生通过观察与思考，归纳构造幻方的特殊方法，即对“标
准幻方”中的每个数据同时进行“加、减、乘、除”一个不为0的数
8
9 5
12
16
10
（图4）
（图5）
（图6）
（图7）
（图8）
（图9）
（图11）
12
10
（图10）
后得到的结果仍为幻方。具有开放性的“练一练”既是构造“幻方”
方法的运用，又让学生体验到如何选择数据的个数与位置是快速构造
“幻方”的前提。总之，通过学生的“做、试、议、练”，感受“归
纳、类比”是获得新知的重要方法，同时“变量、对应”等数学思想
也渗透其中。
活动四 创新“幻方”
问题8（移一移）：如图12，将九宫格中的数字移至圆中，使得
横排五个数字和与竖排五个数字和相等.
思考：将5去掉，你能发现横、竖及内外两圈上的4个数字之和
有什么特殊关系吗？
问题9（变一变）：由上面问题的启发，你能对“3阶幻方”进行
变化吗？各小组交流，并提出你们的创意方案。
设计意图：对于七年级的学生来说，创新需要引导，问题8就是创新
的一种方式，也为他们“再创新”提供了范式，他们可能从“形”和
“数”两个角度对“三阶幻方”进行创新。爱因斯坦说：“提出一个
问题比解决一个问题重要”，提出问题就是创新的前提。所以，本活
动重在让学生比创意，在此过程中培养他们的创新品质和创新意识。
活动五 回顾“幻方”
回顾今天的内容，用自己的话说说我们是怎样来研究幻方的？并
在“追问”和“反问”中完善认知。
设计意图：回顾不应是重复，回顾应是概括和提炼。因此，教学
中的“反问”可让思考变得“深刻”，“追问”可让思维变得“深邃”。
6 1 8
7 5 3
2 9 4
九宫图
7 3
1
9
5
（图12）
（六）课后作业：
你能用和为2013的9个有理数构成一个新的“幻方”吗？
设计意图：通过本环节的设计，让学生在自主小结的过程中梳理
所学数学实验操作知识和方法，感受研究幻方的方法、步骤和过程，
积累数学的经验，并引发学生对创新幻方形式的新思考。
七、板书设计
课题：“幻方”中的游戏
一、感受幻方：每行、每列及两条条对角线上的数字之和都相等
幻和=3中心数 总和=9中心数
二、幻方数变游戏——构造幻方
数变：加、减、乘、除
二、“幻方”形变游戏——创新幻方
新形：由方到圆，由方到？
新数：有理数到无理数，代数式；三阶到多阶
（备用图）