椭圆的焦点弦长公式
高中数学：四大类弦长公式
高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则ak x x k AB ∆+=-+=221211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） ak y y k AB ∆+=-+=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则222d r AB -=（其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2p x x p AB =++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=） ②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的左焦点)0(1c F -，的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -===②AB 中点M 对应的参数为221t t +，则.221t t PM += 证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++,∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得： 例如：③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .（∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 (b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根） ③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .（∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=，则21ρρ-=AB②若21θθ≠，则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。
高中数学圆锥曲线弦长公式(一)
高中数学圆锥曲线弦长公式(一)高中数学圆锥曲线弦长公式1. 椭圆的弦长公式•椭圆是圆锥曲线中的一种•弦是椭圆内部的两点之间的线段•椭圆的弦长可由弦与椭圆的焦点坐标计算得到2. 椭圆弦长公式•假设椭圆的焦点为F1(0, c)和F2(0, -c)，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•椭圆的弦长公式为：d = 2a * √(1-(Ax-Bx)²/(4a²)) + 2b * √(1-(Ay-By)²/(4b²))举例说明•假设有一个椭圆的长轴长度为6，短轴长度为4，焦点坐标为F1(0, 2)和F2(0, -2)•弦的端点坐标为A(3, -2)和B(-3, 2)•根据椭圆弦长公式：d = 26 √(1-(3+3)²/(46²)) + 24 * √²/(4*4²))•化简得：d = 12 * √(1-36/144) + 8 * √(1-16/64)•继续化简得：d = 12 * √(1-1/4) + 8 * √(1-1/4)•最终结果为：d = 12 * √(3/4) + 8 * √(3/4)•进一步化简得：d = +•因此，该椭圆的弦长为约。
3. 抛物线的弦长公式•抛物线是圆锥曲线中的一种•弦是抛物线内部的两点之间的线段•抛物线的弦长公式可通过两点间的距离计算得到举例说明•假设有一个抛物线的焦点为F(0, p)，准线方程为y = -p，焦距为2p•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•则抛物线的弦长公式为：d = √((Ax-Bx)²+(Ay-By)²)4. 双曲线的弦长公式•双曲线是圆锥曲线中的一种•弦是双曲线内部的两点之间的线段•双曲线的弦长公式可通过两点间的距离计算得到举例说明•假设有一个双曲线的焦点为F1(c, 0)和F2(-c, 0)，双曲线的长轴长度为2a，短轴长度为2b•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•则双曲线的弦长公式为：d = √((Ax-Bx)²-(Ay-By)²)以上是高中数学中圆锥曲线弦长公式的相关介绍和举例说明。
圆锥曲线焦点弦长公式
圆锥曲线焦点弦长公式
椭圆：
对于椭圆，其标准方程为 a2x2+b2y2=1（其中 a>b）。
焦点到椭圆上任意一点的距离之和为常数，等于椭圆的长轴长，即 2a。
焦点弦长的一般公式比较复杂，但如果是过焦点的直线与椭圆相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：
L=a2k2+b22b2
双曲线：
对于双曲线，其标准方程为 a2x2−b2y2=1。
焦点到双曲线上任意一点的距离之差为常数，等于双曲线的实轴长，即 2a。
对于双曲线的焦点弦长，情况与椭圆类似，但公式会有所不同。
如果过焦点的直线与双曲线相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：L=b2−a2k22b2
抛物线：
对于抛物线，其标准方程为 y2=4px（其中 p 是焦距）。
焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
对于抛物线的焦点弦长，如果过焦点的直线与抛物线相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：
L=k22p。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
椭圆交点弦长公式
椭圆交点弦长公式椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。
椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。
掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。
椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。
首先，我们需要了解椭圆的定义。
椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。
这两个焦点与椭圆的长轴平行。
在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。
现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。
我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。
根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。
接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。
利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。
将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。
简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)+ 4(AF2)²。
由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。
代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。
进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。
圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。
组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。
一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。
法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。
设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin pθ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.【解析】（1）求离心率套公式即可1cos 1e λθλ-=+，代入求得23e =套用公式22215|AB |||1cos 4ep e θ==-解得252a p c c =-=又因为23e =，故可解出3,a b ==，椭圆方程为22195x y +=例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。