高等代数论文
高等代数在理论力学领域的重要性与应用
高等代数在理论力学领域的重要性与应用引言：高等代数是数学中的一个重要分支，它在理论力学领域中具有重要的应用价值。
高等代数的概念和方法为理论力学的研究提供了强有力的工具，使得我们能够更深入地理解和解决力学问题。
本文将探讨高等代数在理论力学领域中的重要性和应用。
1. 线性代数在力学系统建模中的应用线性代数是高等代数的重要分支，它研究向量空间和线性变换的性质。
在力学系统建模中，线性代数的概念和方法被广泛应用。
例如，力学系统的状态可以用向量表示，而系统的运动方程可以用矩阵方程表示。
线性代数的理论和技巧可以帮助我们求解这些矩阵方程，从而得到系统的解析解或数值解。
此外，线性代数还可以用于分析力学中的刚体运动、弹性力学中的应力分析等问题，为力学系统的建模和分析提供了强有力的数学工具。
2. 矩阵理论在力学系统稳定性分析中的应用矩阵理论是高等代数的重要内容，它研究矩阵的性质和运算规律。
在力学系统的稳定性分析中，矩阵理论发挥了重要作用。
通过将力学系统的运动方程线性化为矩阵方程，我们可以利用矩阵理论的知识来研究系统的稳定性。
例如，通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到系统的稳定性条件。
此外，矩阵理论还可以用于研究系统的振动特性、分析系统的模态分布等问题，为力学系统的稳定性分析提供了重要的数学工具。
3. 群论在力学系统对称性研究中的应用群论是高等代数的一个重要分支，它研究代数结构中的对称性。
在力学系统的对称性研究中，群论发挥了重要作用。
力学系统的对称性可以用群的概念和方法来描述和分析。
例如，通过研究系统的对称群，我们可以得到系统的守恒量和守恒律，从而深入理解系统的运动规律。
此外，群论还可以用于研究系统的稳定性、分析系统的相变行为等问题，为力学系统的对称性研究提供了重要的数学工具。
4. 张量分析在连续介质力学中的应用张量分析是高等代数的一个重要分支，它研究张量的性质和运算规律。
在连续介质力学中，张量分析被广泛应用。
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
.。
....。
.。
....。
.。
.。
.。
.。
.。
.。
.。
...。
..。
....。
.。
.。
..。
.。
.。
1 关键词.。
....。
.。
..。
.。
..。
..。
.。
.。
...。
....。
..。
..。
...。
..。
...。
1 0、前言。
..。
.。
.。
.。
....。
...。
.。
....。
.。
.。
..。
.。
....。
..。
.。
..。
1 1、基础知识及预备引理.。
....。
..。
.。
.。
.....。
....。
..。
..。
.。
.。
.。
.。
.。
2 1.1行列式的由来及定义。
..。
..。
...。
.。
..。
...。
.。
...。
....。
..。
....。
....。
..2 1.2行列式的性质。
.。
..。
.。
...。
..。
..。
...。
..。
.。
.。
....。
.。
.。
...。
.。
.。
.。
3 1。
3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
.。
.。
..。
.。
.....。
.。
..。
4 2、行列式的计算方法。
.。
.。
...。
..。
...。
.。
..。
.。
...。
..。
..。
.....。
..。
.。
..。
.4 2。
1定义法。
.。
.。
...。
.。
...。
.。
...。
........。
.。
...。
.。
.。
.。
..。
..。
..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
.。
..。
..。
.。
.。
.。
.。
.。
..。
..。
..。
5 2.3拆行(列）法...。
..。
.。
..。
..。
.。
....。
.。
.。
...。
..。
.。
.。
..。
6 2。
4加边法（升阶法）。
..。
.。
....。
.。
..。
..。
...。
.。
.。
.。
..。
..。
..。
..。
.6 2。
5范德蒙德行列式的应用。
..。
...。
.。
.。
..。
.。
.。
.。
.。
.。
...。
.。
.。
..。
...。
.。
.7 3、n阶行列式的计算。
高等代数
一个线性变换的所有不变子空间探讨摘 要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的所有不变子空间，在高等代数教材中也只是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论.本文首先给出了线性变换与不变子空间的定义，然后介绍线性变换以及不变子空间的性质，讨论了复数域及一般数域P 上的线性空间的线性变换的不变子空间.同时本文总结了求解一个线性变换所有不变子空间的方法，并且结合一些实例加以应用.关键词：线性变换，子空间，不变子空间引言线性变换与不变子空间是高等代数中的重要的概念，但是对于一个线性变换的所有不变子空间的探讨，在高等代数教材中也只是粗略的讲解一下.为了增加这方面的知识，本文首先给出了线性变换，子空间的定义和不变子空间的性质,由线性变换与不变子空间的相关定理,得出复数域上和一般数域P 上的线性变换的所有不变子空间. 这样对每一个具体的线性变换,我们能表示出它的不变子空间,所以本文尝试探究一个线性变换的所有不变子空间的求法，又给出了一些具体应用事例.本文如不特别指明,所考虑的线性空间V 都是某一数域P 上的线性空间V，线性空间V 上的线性变换的集合为L(V).一、预备知识（一）、线性变换和不变子空间定义定义1[1] 线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对于V 中任意的元素,αβ和数域P 中任意数k ，都有()()()σαβσασβ+=+()()k k σασα=定义2[1] 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间.如果W中的向量在σ下的像仍然在W 中,换句话说,对于W 中任意一个向量ξ,有(),W σξ∈我们W是σ的不变子空间,简称σ-子空间.（二）、不变子空间的性质性质1[2] 设()L V σ∈，1V ，2V 都是σ的不变子空间，则1212,V V V V + 都是σ的不变子空间. 性质2[2] 设()L V σ∈，若1V 为σ的不变子空间，则1V 也是()f σ的不变子空间，其中()f x 是数域P 上x 的多项式. 性质3[3] 设()L V σ∈，若σ可逆且1V 为σ的不变子空间，则1V 也为1σ-的不变子空间.性质4[3] 设W 是线性变换σ，τ的不变子空间，则W 在στ+，στ下也不变.二、复数域上线性变换的所有不变子空间我们来研究Jordan 块mmJ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ11定理4[2] 设V 是复数域上n 维线性空间，σ是V 的线性变换，在基1α，2α， ，n α 下的矩阵是一若当标准形11A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：σ有且仅有{}0和以下非零不变子空间1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in =证明 由不变子空间性质可知，{}0是σ的不变子空间.又由于A 中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第n 列，因此一维不变子空间仅有()n L α；A 中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第1n -，n 列的主子式，故二维不变子空间只有1(,)n n L αα-，以此类推可得，A中所在列的其他元素均为零的1n -阶主子式为第2,,n 列的主子式为111n λλλ-.因此σ的1n -维不变子空间仅有2(,,)n L αα ，而n 维不变子空间只有12(,,,)n V L ααα=综上，于是得到σ的非零不变子空间有且仅有n 个1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in = .注：由此证明了以下推论：推论1 V 中包含1α的σ的不变子空间只有V 自身； 推论2 V 中σ的任一非零不变子空间都包含n α； 推论3 V 不能分解成σ的两个非平凡不变子空间的直和；1111(,,,)ii i i in n jn j n n W L ααα---++++= ，(1,2,,)i jn =，(1,2,,)is = .定理4[1] 在复数域上 （1）如果线性变换σ是一个对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（2）如果线性变换σ是一个反对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（3）如果线性变换σ是一个酉变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.三、一般数域P 上的线性变换的不变子空间例1 对任意的()L V σ∈,V本身及零子空间都是σ的不变子空间,称为平凡不变子空间.例2 对任意的()L V σ∈,分别称 (){V V σα=∈︱,}V βασβ∃∈=1(0){Vσα-=∈︱0}σα=为σ的像与核.容易证得()v σ与1(0)σ-都是σ的不变子空间.例3[6] 设()L V σ∈，λ是σ的一个特征值，()L V ε∈为V的恒等变换，则称{VVα*=∈︱存在正整数k ，()0}kλεσα-=为σ的对应于λ的根子空间，Vα*∈称为σ的属于λ的高为k 的根向量，V λ*为σ的不变子空间. 证明 若∀,V λαβ*∈，其高分别为12,k k ，令12m a x {,}kk k =，则,a bP∈，()()[()()][()Kkka b a b λεσαβλεσαλεσβ-+=-+- 1122[()()()][()()()]k k kk k k a b λεσλεσαλεσλεσβ--=--+--12[()(0)][()(0)]k k k k a b λεσλεσ--=-+-= 0故V λ*为V 的子空间.又设Vα*∈且高为k ，则()()[()]kkλεσσαλεσσα-=- = [()]kσλεσα-=(0)σ= 0 故V λ*为σ的不变子空间.四、应用举例例4[8]设σ是2R 的线性变换，σ在基12,εε下矩阵2512A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求σ的所有不变子空间解 在V 中至少有以下四个σ的不变子空间：2R ，{0}，2()R σ，1(0)σ-，又A ≠，知σ为可逆的线性变换. 故，2()R σ=2R ，1(0)σ-={0}，此外若还有其它不变子空间必是一维的，因而应为特征向量所生成，但是由于σ的特征多项式2()1f λλ=+无实根，故σ在R 中无特征值，从而没有实特征向量，这表明σ仅有两个平凡的不变子空间.结论 （1）在求σ的所有不变子空间时，既不能漏掉也不能重复. （2）给定σ后，线性空间V 中至少有V ，{0}，()V σ，1(0)σ-四个不变子空间， 然后再设法去找其他的不变子空间.结束语本文在一个线性变换的所有不变子空间等知识具备的条件下，借助一定的数学思想方法，探讨与研究了一个线性变换的所有不变子空间，通过一些具体事例的求解,归纳、总结了求解线性变换的所有不变子空间的方法. 由于学习知识的有限,对求解线性变换的所有不变子空间的方法可能不够系统与全面，在以后的学习中我会继续加强对相关知识的学习与总结, 进而进一步加深对相关理论知识的理解.。
行列式计算方法论文
本科生毕业论文（设计）题目：行列式计算及其应用研究系部数学系学科门类理学专业数学与应用数学学号**********姓名张大儒指导教师王吟2011年 5 月15 日行列式计算及其应用研究摘要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学和现实生活中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文阐述行列式的定义及基本性质，介绍了利用行列式的性质计算、化三角形法、代数余子式法、加边法（升阶法）、范德蒙得行列式法等5种基本计算方法和数学归纳法、递推法、利用矩阵特征值计算、拆项法、因式分解法等5种特殊计算方法.本文也介绍了行列式在解析几何、代数中的理论应用和在工程建设、经济管理中的实践应用.这些行列式的计算方法及其应用可以提高我们对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入.关键词：行列式；因式分解；化三角形法；解析几何ABSTRACTDeterminant of higher algebra curriculum content of basic and important one in mathematics and real life has a wide range of applications, know how to calculate the determinant is very important. This paper describes the definition and basic properties of determinant, the determinant of the nature described by calculation of the triangle method, algebraic method, adding edge method (Ascending Order), Vandermonde determinant method of 5 basic calculation methods and mathematical induction, recursion, the use of eigenvalue calculation, the dissolution of entry method, such as the factorization method of 5 special calculation methods. This article also describes the determinant in analytic geometry, algebra theory is applied and engineering construction, the practical application of economic management. The determinant of the calculation method and its applications can improve our understanding of the determinant, to facilitate the determinant of research depth.Key words: determinant; factorization; triangle method; analytic geometry.目录1 行列式的定义及性质 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.1.1排列 (1)1.1.2定义 (1)1.2 行列式的相关性质 (2)2 行列式的计算方法 (4)2.1 行列式计算的基本方法 (4)2.1.1 利用行列式的性质计算 (4)2.1.2 化三角形法 (5)2.1.3 代数余子式法 (5)2.1.4 加边法（升阶法） (7)2.1.5 范德蒙得行列式法 (9)2.2 行列式计算特殊方法 (12)2.2.1 数学归纳法 (12)2.2.2 递推法 (13)2.2.3 利用矩阵特征值计算 (16)2.2.4拆项法 (17)2.2.5 因式分解法 (18)3 行列式的应用 (19)3.1 行列式的理论应用 (19)3.1.1在解析几何中的应用 (19)3.1.2在代数中的应用 (21)3.2 行列式在实践中的应用 (24)参考文献 (1)1 行列式的定义及性质行列式的定义及性质是计算行列式的基础有必要进行介绍.1.1 行列式的定义 1.1.1排列]4[在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列.1.1.2定义]6[n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a (1-1)的代数和，这里n j j j j 321是n 2,1的一个排列，每一项（1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j j 321是偶排列时，（1-1）带有正号，当n j j j j 321是奇排列时，（1-1）带有负号.这一定义可以写成12121211121()212221212(1)n n nn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑(1-2)这里表示对所有n 级排列求和.1.2 行列式的相关性质]2[记111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，112111222212n n nnnna a a a a a D a a a '=，行列式D '称为行列式D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.证: 记111212122212n n n n nnb b b b b b D b b b '=，即ij ij b a = ),2,1,(n j i =，按行列式定义121212()12(1)n n nj j j j j nj j j j D b b b τ'=-∑121212()12(1)n n nj j j j j j n j j j b b b D τ=-=∑.性质2:互换行列式的两行(列)，行列式反号.证:11111212221pq n p q n n npnqnna a a a a a a a D a a a a =，交换第q p ,两列得行列式111112122211q p n q p n n nqnpnna a a a a a a a D a a a a =.将D 与1D 按(1.6)式计算，对于D 中任一项1212(1)p q n I i i i p i q i n a a a a a -其中I 为排列1pqn i i i i 的逆序数，在1D 中必有对应一项11212(1)q p n I i i i q i p i n a a a a a -（当q p j ,≠时，第j 列元素取ij a ，第p 列元素取q i q a ，第q 列元素取p i p a )，其中1I 为排列1qpn i i i i 的逆序数，而1pqn i i i i与1qpn i i i i只经过一次对换，由定理1知，(1)I -与1(1)I -相差一个符号，又因12121212(1)q p n p q n I i i i q i pi n i i i p i q i n a a a a a a a a a a =-,所以对于D 中任一项，1D 中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D 与1D 的项数相同，所以1D D -=.交换行列式j i ,两行记作),(j i r ，交换行列式j i ,两列，记作),(j i c .推论 若行列式有两行(列)元素对应相等，则行列式为零.性质3:行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式. 第i 行(列)乘以数k ，记作.))((k i r ))](([k i c .性质4:行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零. 性质5:若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如1112121222112212n n i i i i in inn n nna a a a a a D a a a a a a a a a ='''+++，则行列式D 等于下列两个行列式之和：1112111121212222122212121212n n n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a =+'''.性质6:把行列式某一行(列)的元素乘以数k ，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.例如，以数k 乘以第i 行上的元素加到第j 行对应元素上记作)]([k i j r +，有111211112112121211221211[()]()n n i i ini i inj j jn j j j j jn jnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a r j i k i j a a a a ka a ka a ka a a a a a a +≠+++2 行列式的计算方法这一部分阐述两个方面内容:2.1行列式计算的基本方法， 2.2 行列式计算特殊方法.2.1 行列式计算的基本方法基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法、升阶法、范德蒙的行列式法.2.1.1 利用行列式的性质计算例1： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称n D 为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零. 证：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----， 由行列式的性质A A '=，121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ =n n D )1(-当n 为奇数时，得n D =n D ，因而得n D = 0.2.1.2 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例2 计算n 阶行列式n ab b b a b D bb a=解：()[]a b b a bbb n a D n1111-+=()[]ba b a bbb n a ---+=000011()[])1()(1---+=n b a b n a2.1.3 代数余子式法在一个n 级行列式D 中,把元素ij a 所在的行与列划去后，剩下的2)1(-n 个元素按照原来的次序组成的一个)1(-n 阶行列式ij M ,称为元ij a 的余子式，ij M 带上符号)()1(j i +-称为的ij a 代数余子式,记作ij j i ij M A )()1(+-=定理1: 行列式等于其第 i 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即ij nj ij nn nn ij ij A a A a A a A a A a A a D ∑==+++++=1131312121111证：先证特殊情况元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;1121222120n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000ni iin nn nna a a D a a a a a a =+++++++++111211112111121121212120000n n n i i in n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++同理有:nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.例3 计算四阶行列式 4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.证: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.2.1.4 加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法.它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算.根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列.加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，例4计算n 阶行列式nn n nn a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x D ++++=321321321321. 解：110nn na a D D =1211002,,11001n i a a a x i n x x-=+--第行减第1行1211000000nj nj a a a a xx x x=+=∑11nj n j a x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑例5]3[ 计算)2(≥n n 阶行列nn a a a a D ++++=1111111111111111321，其中12n a a a ≠.解： 先将n D 添上一行一列，变成下面的1+n 阶行列式：nn a a a D +++=+1110111011101111211显然，n n D D =+1.将1+n D 的第一行乘以1-后加到其余各行，得nn a a a D 0010010011111211---=+ 因0≠i a ，将上面这个行列式第一列加第)1,,2(+=n i i 列的11-i a 倍，得：111122111111111100000100 00010ni in n nna a a D D a a a a =++-==-=-∑121211000011 1 10nnn i i i ina a a a a a a a ==⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.2.1.5 范德蒙得行列式法根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种.这种变形法是计算行列式最常用的方法.例1 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第1-n 行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏例2 计算1n +阶行列式122111111111122122222222122111111111n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ---------++++++++=．其中1210n a a a +≠．解 这个行列式的每一行元素的形状都是k i k n i b a -，k =0，1，2，…，n ．即i a 按降幂排列，i b 按升幂排列，且次数之和都是n ，又因0i a ≠，若在第i 行（i =1，2，…，n ）提出公因子n i a ，则D 可化为一个转置的范德蒙得行列式∏∏+≤≤≤+=+++++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111112111122222221121111121111n i j j j i i n i n i nn n n n n n nnn n n na b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b aa a D()∏+≤≤≤-=11n i j j i jib a ab例3 计算行列式xyxzyzz y x z y xD 222=.解：))()()((222222)1()3(22222)1)(()3(y z x z x y xz yz xy xzyz xy z xz yz xy y xz yz xy x z y x z y xxyz yz xz yz y yz xz xy z y x z y x D x z y ---++=+++++++++=++++++=+++例4 计算行列式n nn n n n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=解：作如下行列式,使之配成范德蒙行列式nn nn n n n n n n n n n n n nny x x x y x x x y x x x y x x x y x x x y P21111211222221222221211111)(--------= = ∏∏≤<≤=--ni j j ini i x xx y 11)()(易知n D 等于)(y P 中1-n y 的系数的相反数,而)(y P 中1-n y 的系数为∏∑≤<≤=--ni j j i nk kx x x 11)( ,因此,∑∏==≤<≤-=nk ni j j ikn x xx D 11)(例5 计算n 阶行列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型.先将的第n 行依次与第1-n 行，2-n 行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第1-n 行，2-n 行，…, 2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第1-n 行对换，这样，共经过2)1(12)2()1(-=+++-+-n n n n 次行对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：∏∏≤<≤≤<≤----=+--+--=ni j ni j n n n n n j i j n a i n a D 112)!(2)1()()1()]()[()1(2.2 行列式计算特殊方法在2.1中介绍了一些行列式基本计算方法，但基本方法只能处理一些较为简单的行列式，不能满足实际应用的需要.下面将在基本方法的基础上介绍一些较为复杂的方法.2.2.1 数学归纳法当n D 与 1+n D 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之. 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明.因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式.例6 计算行列式 xa a a a a x xx D n n n +---=--1232100000100001. 解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解当2=n 时，21221222)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-=假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .2.2.2 递推法 2.2.2.1基本概念定义1]7[： 形为02211=++++---r n r n n n d k d k d k d (2-1) 的关系式称为r 阶齐次线性递推关系式，其中n k k k k 321,,，均为常数，并且r k ≠0，对应的方程02211=++++--n r r r k x k x k x (2-2)称为(2-1)的特征方程. 定义2：对于序列 ,,,210a a a 定义 +++=2210)(x a x a a x G ,为序列 ,,,210a a a 的母函数.2.2.2.2 二阶常系数齐次递推表达式的解]8[已知递推表达式021=++--n n n qd pd d (p ，q 为常数且q 不为零) (2-3)对应的特征方程为02=++q px x (2-4)10,d d 的值已知.下面来解递推表达式(2-3)满足初始条件的特解： 对于序列 3210,,,d d d d令 332210)(t d t d t d d t G +++= 为序列 3210,,,d d d d 的母函数则 t pd d d t G qt pt )()()21(010++=++ 从而 21)()(010qtpt tpd d d t G ++++=再令 211)(qt pt t H ++=以下分三种情况来讨论：a) 特征方程02=++q px x 有两个相异实根:21,r r 时tr Bt r A t r t r t H 212111)1)(1(1)(-+-=--=n n n n nn n nt Br Ar t r B t r A)()()(2010201+=+=∑∑∑∞=∞=∞=其中212211,r r r B r r r A --=-= 所以)(])([)(010t H t pd d d t G ++=nn n n n n n n n n n nn n n t r r pd d t r r d r r d t r r r r pd d t r r r r d )])(()([1)()(2101121100210112110210112110210-++--+=--++--=++∞=+++∞=++∞=∑∑∑故=n d 211r r -)])(()(210112110n n n n n r r pd d t r r d -++-++ )2(≥n 特征方程02=++q px x 有两个共轭复根:21,r r 时这种情况下(5)式也正确，但其中含有复数形式，以下来消除复数形式)sin (cos 2,1θθi r r ±=，其中pp q b aq b a r --===+=2224arctanarctan ,θ 根据欧拉公式得 θ)1sin(2211211+=-+++n iqr r n n n （2-5）θn iq r r n n n sin 2)(221=- （2-6）把（2-6）、（2-7）代入（2-5）得]sin )()1sin([sin 1210120θθθn q pd d n q d d n n n -+++= （2-7）特征方程02=++q px x 有两个相等实根:221pr r -==时)()11()1(1)1(1)(02121∑∞==-=-=-=n nu du d udu d u t r u t r t H111111-∞=-∞=-∑∑==n n n n n t nr nu)(])([)(010t H t pd d d t G ++=nn n n nn n n n n t r pd d n r d n d t r pd d n tnr d ])()1[()(110111001101111110-∞=-∞=∞=--++++=++=∑∑∑故 110110)()1(-+++=n n n r pd d n r d n d （2-8）2.2.2.3 举例例7求n 阶行列式5000005100015100015100015的值解：利用行列式的性质，按第一行展开得递推关系式0521=+---n n n d d d )2(>n (2-9)对应的1,5=-=q p .计算21,d d 得24,521==d d 对于（2-10）令2=n ,得0d =1,( 0d 无实际意义) 递推关系（2-10）对应的特征方程为0152=+-x x (2-10)得两个不同实特征解为2215,221521-=+=r r 代入（2-5）得212)215()215(111+++--+=n n n n d例2]9[ 求n 阶行列式2000002100012100012100012的值解 利用行列式的性质用第一行展开得递推关系式0221=+---n n n d d d )2(>n (2-11)对应的1,2=-=q p .计算21,d d 得3,221==d d 对于（2-11）令2=n ,得0d =1,( 0d 无实际意义) 递推关系（2-11）对应的特征方程为0122=+-x x (2-12)得两个相同实特征解为121==r r把1,2=-=q p ,0d =1,21=d 以及121==r r 代入（2-9）得1+=n d n2.2.3 利用矩阵特征值计算1.特征值的定义]5[设 A 是n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x ，使得 x Ax λ= 成立，则称λ是A 的一个特征值.非零n 维列向量x 称为矩阵A 的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A 的特征向量.求矩阵特征值的方法：x Ax λ=，等价于求λ，使得0)(=-A E λ其中E 是单位阵，0为零矩阵，0=-A E λ求得的λ值即为A 值.定理2:如果n 阶矩阵A 的全部特征值为n λλλλ 321,,，则n A λλλλ⋅⋅⋅⋅= 321. 定理3:设λ为方阵A 的特征值，)(A ϕ为A 的多项式，则)(λϕ为)(A ϕ的特征值. 利用特征值的求法及定理2可以计算行列式的值，举例如下例8 已知三阶矩阵A 特征值为-1,1,2.设(),523A A A -=Φ求：EA A A 5,)(,-Φ]3[解 ① 由定理2得： 22)1(1-=⨯-⨯=A② 因为(),523A A A -=Φ由定理3得)(A Φ的特征值为：1,6,4321-=-=-=λλλ 所以24)1()6()4()(-=-⨯-⨯-=ΦA③A 的特征多项式为)1)(2)(1()()(+--=-=λλλλA E x f令5=λ，得72)15)(25)(15()5()5(=+--=-=A E f故725)1(53-=--=-A E E A例9 求n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110A 的特征值及行列式． 解 ααμλλ'-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-E E A E 111111111)1( ，其中1+=λμ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 α．由以上讨论ααμ'-E 的根是0=μ（1-n 重）和n ='=ααμ.于是A 的特征值中有1-n 个满足01=+λ，另一个满足n =+1λ.所以A 的特征值为111-===-n λλ 和1-=n n λ．又=A )1()1(121--=-n n n λλλ2.2.4拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算.例10 计算行列式 nn n n n a a a a a a a a a D λλλ+++=21221211.解： nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a D λλλλλ+++++=212212121221211122100-+=n nnnD a a a a λλλ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∑=-ni i in n n a D a 12111211λλλλλλλ . 2.2.5 因式分解法如果行列式D 是某个变数x 的多项式)(x f ，可对行列式施行某些变换，求出)(x f 的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为)(x g ，则)()(x cg x f D ==，再比较)(x f 与)(x g 的某一项的系数，求出c 值.例11计算行列式1321321311321+++=x n x n x n D n.解：时1=x ,,0=n D 所以，n D x |1-.同理)1(,,2---n x x 均为n D 的因式,又因为i x -与)(j i j x ≠-各不相同n D n x x x |)1()2)(1(+--- 所以 ，但n D 的展开式中最高次项1-n x 的系数为1，故)1()2)(1(+---=n x x x D n .计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法.总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值.学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算.3 行列式的应用3.1 行列式的理论应用 3.1.1在解析几何中的应用例12 设),(11y x A ,),(22y x B 是平面上两个不同的点，那么过A ，B 的直线方程是1112211y x y x y x ＝0. 设直线的方程为， 0321=++a y a x a (1) 这里321,,a a a 不全为零. 由于A ，B 在直线上，故它们满足方程(1)，代入后得⎩⎨⎧=++=++.003222131211a y a x a a y a x a (2)将(1)与(2)合并，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.0003221232111321a a y a x a a y a x a ya xa (3)这是一个关于待定系数321,,a a a 的齐次线性方程组，由于321,,a a a 不全为零，所以(3)有非零解. 于是方程组的系数行列式为零，即 1112211y x y x y x (4)凡是在直线上的点必须满足(4)，反之，满足方程(4)的每一点必在经过A ，B 两点的直线上. 因此，方程(4)是通过平面上两定点),(11y x A ,),(22y x B 的直线方程.类似地有例13 设通过几何空间中不在同一直线上三点),,(111z y x ,),,(222z y x 与),,(333z y x 的平面方程为04321=+++a z a y a x a .把上述三点的坐标代入方程，得到关于4321,,,a a a a 的齐次线性方程组，它有非零解，因此系数行列式应等于零，即1111333222111z y x z y x z y x z y x ＝0. (5) 这是一个由行列式表示的平面方程.例14 设,0:,0:,0:321=++=++=++αγββαγγβαy x L y x L y x L 是三条不同的直线，若1L ,2L ,3L 交于一点，试证0=++γβα设交点为),(b a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.000αγββαγγβαb a b a b a (6)由于齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x αγββαγγβα (7)有非零解1,,===z b y a x ，故系数行列式D ＝αγββαγγβα＝0.根据行列式的性质D=αγββαγγβα＝αγγβαβαγβαγβγβα++++++＝)(γβα++αγβαγβ111＝)(γβα++γαβγγββαγβ----001＝])())()[((2γβγαβαγβα-+--++＝])()())[((21222αγγββαγβα-+-+-++. 由于1L ,2L ,3L 是三条不同的直线，所以 αγγββα---,, 不全为零. 且均为实数，因此，由0=D 知0=++γβα.3.1.2在代数中的应用]10[3.1.2.1分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例15ab c c ab bc a ＝abc c b a 3222-++ 而a b c c a b b c a ＝a b c b a c a c b a b c c b a ++++++＝)(c b a ++ab c a b c 111＝)(c b a ++ba cb bc c a bc ----001＝))((222bc ac ab c b a c b a ---++++.故有分解因式))((3222222bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++.例16 分解因式 b a bc ac bc ab c a 222222---++. 原式＝)()()(222222b a ab c a ac c b bc -+---=22c c b b -22c c a a ＋22b b aa ＝222111c c b b a a=222111c b a c b a ＝))()((b c a c a b ---. (范德蒙行列式) 所以))()((222222b c a c a b b a bc ac bc ab c a ---=---++.3.1.2.2 证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例17]10[ 已知0=++c b a , 求证abc c b a 3333=++. 证明 令abc c b a D 3333-++=, 则0000321==++++++==++ac b b a c acbb ac c b a c b a c b a a cb b a cc b a D r r r .命题得证.例18已知0≥≥≥c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 333333++≤++. 证明 令)(333333c a b c a b a c c b b a D ++-++=, 则21312222222222221111c c c c ab bc caab bc ab ca abbc ab ca ab D cb ac a c b c a c b c ------==--=--()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c =-+---+-()()()()b c a c a b c a c =--++-而0≥≥≥c b a , 则0≥D , 命题得证.例19]1[“杨辉三角形”中的行列式问题. 考察下面的行列式D ＝2010411063143211111,它的结果等于1，同时不难发现1＝1,2111＝1, 631321111＝1. 这一现象并非偶然. 经观察，发现这些行列式的元素从某一角度看构成“杨辉三角”的一部分，现表示如下：1 1 1 12 1 13 3 1 1 46 4 1 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 217 1… … … … … … … … … … … … … … … … …规定00C ＝1，上面的三角形可写成下面的形式： 00C01C11C 02C 12C 22C03C13C 23C 33C 04C 14C 24C 34C 44C … … …… … … … … … 01-n C 11-n C … … … … … 21--n n C 11--n n C 0n C 1n C … …… r n C… … ⋯ 1-n n C n n C于是，猜想有如下命题：n D ＝1222322110113224221102121231211122221100----+--------------n n n n n nn n n n n n n n n nn n n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C＝1.下面证明这个猜想是对的.我们用数学归纳法来证明.(1)1D ＝|00C |＝1，命题成立； (2)假设k D ＝1，即k D ＝1222322110113224221102121231211122221100----+--------------k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C＝1.对1+k D 讲，1+k D ＝k kk k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 2112222110121222321012213224211021121120111221100----+-------------+-------.从最后一行起，每一行减去相邻的上一行，并根据组合数的性质m n C 1+-m n C ＝1-m nC 得 1+kD =1122221101222321011121302121120111221100001----+------+------k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C.按照第1列展开1+k D ，得=+1k D 11222211012223210111213021211201----+------+----k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C从最后一列起，每一列减去它相邻的前1列，并根据组合数的性质m n C 1+-1-m nC ＝mn C 得 1+k D ＝122232101322421101121120211221101-----------------k k k k kkk k k k k k k kk k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C＝k D ＝1.因此，由数学归纳法原理知n D =1.3.2 行列式在实践中的应用例18]11[江堤边一洼地发生了管涌，江水不断的涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台？解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，每台抽水机每分钟可抽水c 立方米（0≠c ），由此再设x 台抽水机抽完水需t 分钟，则依题意，即得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+00641608040xtc tb a c b a c b a 这是一个关于c b a ,,为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系数行列式D ＝016416180401=---xtt展开，得:23160-=x t ∵ 10≤t ，∴ 1023160≤-x ，解之得:6≥x ，所以如果在10分钟内抽完水，至少需要抽水机6台.行列式在诸如建筑小区的楼房排列、单片机设计等工程中，都有很大的用途.合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）参考文献[1] 蒋省吾．杨辉三角中的行列式[J]，教学通报，1988，5：8-10[2] 张禾瑞．郝新高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1996.[3] 王品超.高等代数新方法[M].济南,山东教育出版社，1989.[4] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社,2003.[5]同济大学数学教研室．工程数学线性代数(第三版) [M]．北京：高等教育出版社，1999.[6] 王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[7] 李宇寰.组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，1988.[8] 杨振声.组合数学及其算法[M].北京：中国科学技术出版社，1997.[9] 陈景润.组合数学简介[M].天津：天津科学技术出版社，1988.[10] 汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008，3：9-10.[11] [美]David y.Linear Algebra and Its Applications[M].电子工业出版社，2004.1。
环的同态与反同态(大学优秀论文)
齐齐哈尔大学毕业（设计）论文题目环的同态与反同态学院理学院专业班级数学与应用数学专业062班学生姓名赵娜指导教师李立成绩2010年 6 月 16 日摘要环的同态与反同态在代数学中具有非常重要的地位, 因此研究环的同态与反同态是尤为重要的. 本文主要从环的同态的性质、环的反同态的性质、环的同态与反同态的应用三个方面研究了环的同态与反同态. 通过利用环的同态的一些基本性质诱导出环的反同态所具有的性质, 给出了环的反同态的性质. 这些反同态性质有些是环的同态所具有的, 还有些是同态所不具有的, 这些性质为以后研究反同构问题提供了有利条件.本文重点研究了无零因子环的幂自同态、有限交换幺环的自同态以及矩阵上的反自同态与反自同构, 还有商环的结构以及在此基础上又研究了反商环的结构, 展现了环的同态与反同态的鲜明对比. 最后研究了同态与反同态在向量空间中和在证明商环同构等问题中的应用, 体现了环的同态与反同态的广泛应用, 从而反映了研究环的同态与反同态的重要性.关键词：环；同态；反同态；无零因子环；商环AbstractThe problems of the homomorphism and the anti-homomorphism are very important positions in algebra. It is particularly important to study the homomorphism and the anti-homomorphism. This article mainly studies the homomorphism and the anti-homomorphism of ring from the three aspects whice are the homomorphism properties, the anti-homomorphism properties and the application of the homomorphism and the anti-homomorphism. This article induces the anti-homomorphism with the properties through reference some basic properties of the homomorphism. Moreover, I give the properties through the anti-homomorphism of ring. In these properties, some belong to the homomorphism, but some do not. These properties provide favorable conditions for the research on the isomorphism in future. This paper mainly studies power endomorphism of no zero factor ring, endomorphism of finite commutative unitary ring and matrix anti-endomorphism and anti-automorphism, the structure quotient ring also, and on this basis. I study the structure of anti-quotient ring, shows a sharp contrast of the homomorphism and the anti-homomorphism. Finally, I study the application of the homomorphism and anti-homomorphism in vector space and the problem of proofing quotient ring isomorphism. It reflects the widely applied of the homomorphism and the anti-homomorrphism, Thus those reflects the importance of studying the homomorphism and the anti-homomorphism.Key words: Ring; Homomorphism; Anti-homomorphism; No zero factor ring; Quo-tient ring目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章环的同态的性质 (2)1.1 环的同态与同构 (2)1.2环的同态的基本性质 (3)1.3无零因子环的幂自同态 (4)1.4环的同态象的结构 (6)1.5同态下的交换环 (7)1.5.1 有限交换幺环的自同态 (7)1.5.2 同态下交换环的素理想的象 (8)第2章环的反同态的性质 (10)2.1环的反同态与反同构 (10)2.2环的反同态的基本性质 (10)2.3反商环的结构 (13)2.4反同态下交换环的素理想的象 (14)2.5矩阵上的反自同态与反自同构 (15)2.5.1n nF 上的反自同态与反自同构 (16)上的反自同构 (19)2.5.2)(FGLn第3章环的同态与反同态的应用 (21)3.1环的同态的应用 (21)3.1.1 环的同态在向量空间中的应用 (21)3.1.2环的同态在商环中的应用 (22)3.2环的反同态的应用 (24)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)绪论群的同态与反同态在代数学中具有非常重要的地位, 群是研究一个代数运算的代数系统, 但是我们在高等代数中经常会遇到很多重要的讨论对象. 例如: 数、多项式、函数以及矩阵和线性变换等. 都有两个代数运算. 这一事实说明, 在近世代数中研究有两个代数运算的代数系统也是具有非常重要的现实意义. 因此, 研究环的同态与反同态是尤为重要的. 根据环的同态与反同态, 可以诱导出其他环的同态与反同态. 例如: 无零因子环、HX环及商环, 还可以利用环的同态简化商环同构问题的证明过程. 除此之外, 环的反同态也为以后研究反同构问题打下好的基础, 因此, 对环的同态与反同态的研究在代数学中是至关重要的.同时环的同态与反同态在国内外也具有广泛的研究. 1996年陈国慧在同态基本定理的应用中用具体的例子说明了当所给的环是商环时, 利用同态基本定理可以简化商环同构问题的证明过程. 2001年姚炳学在LF商环的同态中研究了LF商环的性质, 得到了一系列的同态基本定理. 1998年李月芬和赵英在反商群和反同态中利用反同态和反同构的概念得到了一系列和商环, 群同态、同构完全相同的性质, 同时也得到了反同态基本定理. 1961年Herstein把Jacobson最初的环R满足nx n=即可交换的结果推广为: 如果对环R有使n xx→为R的一个自同态[1]. 则R是交换的, 并且对幂自同态的结果进行了研究.本文将主要对环的同态与反同态的性质进行研究. 为了体现环的同态的性质, 首先给出了环同态的所有基本性质. 然后再进一步研究环的同态, 本文将通过对无零因子环的幂自同态、有限交换幺环的自同态、环的同态象的结构、环的同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现环同态的广泛研究性. 在对环的反同态的研究中, 我们将采取同样的方法, 通过对环的反同态象的结构和环的反同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现环的同态与反同态的区别和联系. 本文最后研究了同态与反同态在几个方面的主要应用, 例如: 在向量空间中的应用和在证明商环同构问题中的应用, 反映了环的同态与反同态的应用广泛. 从而体现了研究环的同态与反同态的重要性.第1章 环的同态的性质1.1 环的同态与同构为研究环的同态所具有的性质. 首先, 在本节中我们先简单介绍一下环的同态与同构.定义1.1[2] 设R 与R 是两个环, 如果有一个R 到R 的映射φ满足)()()(b a b a φφφ+=+)()()(b a ab φφφ=, ),(R b a ∈∀则称φ是环R 到R 的一个同态映射.如果φ是环R 到R 的一个同态满射时, 简称R 与R 同态, 记为R R~, 特别, 当R R =时, 称φ是环R 的一个自同态. 如果φ是环R 到R 的一个同态映射, 而且φ又是双射时, 则称φ是环R 到R 的一个同构映射, 当R 与R 之间存在同构映射时, 称R 与R 同构, 记为R R ≅.特别, 当R R =时, 称φ是环R 的一个自同构.当R 与R 为除环或域时, 则以上的同态映射、自同态、同构映射和自同构就称为环或域的同态映射、自同态、同构映射和自同构.定义 1.2 设φ是环R 到R 的一个同态映射, R 的零元0在φ之下的所有原象)0(1-φ成的集合, 叫做φ的同态核, 记作φKer , 即==-)0(1φφKer }0)({=∈x R x φ同态核是环R 的理想, φ是单同态的充要条件是}0{=φKer环R 中所有元素在φ之下的象作成的集合)(R φ, 称为φ的同态象, 记为φIm , 即==)(Im R φφ})({R x x ∈φ显然同态象也是R 的一个子环.例1.1 设R 与R 是两个环, 定义映射0: x φ, 对任何R x ∈, 则φ是环R 到R 的一 个同态映射, 且同态象为}0{)(=R φ, 此同态称为零同态, 是任何两个环之间都存在一个同态.以上我们给出了环的同态和同构的概念, 下一节我们具体介绍一下环的同态的基本性质.1.2 环的同态的基本性质定理1.1[2] 设N 是环R 的一个理想，则N R 对陪集的加法与乘法作成一个环, 称为 为R 关于N 的商环, 且N R R~.定理1.2[2] 如果φ是环R 到R 的一个满同态, 则R Ker R ≅φ.定理1.3 设I 是环R 的任意一个理想, 则I R R ~.这个定理表明环R 的任何商环I R 是R 的同态象, 而定理1.1表明环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.定理1.4[2] （环同态基本定理）设R 与R 是两个环, 且R R~, 则(1) 这个同态核N 是R 的一个理想；(2) ~N R .定理1.5 设R 与R 是各有两个代数运算的集合, 且R R~, 则当R 是环时, R 也是一 个环.定理1.6 在环R 到环R 的同态映射下, 则(1) R 的子环（理想）的象是R 的一个子环（理想）;(2) R 的子环（理想）的逆象是R 的一个子环（理想）.命题1.1 环R 到环R 的任意满同态的核都是R 的理想.证明 ∀y ,x ∈φKer , 由同态核的定义0)(=x φ, 0)(=y φ.而)(y x -φ=000)()(=-=-+y x φφ)(rx φ00)()()(=⋅==r x r φφφ0)(0)()()(=⋅==r r x xr φφφφ, R r ∈∀所以由核的定义有 y x -, rx , φKer xr ∈.综上说明φKer 是环R 的理想.定理1.7设R 与是R 两个环, 且R R~, 则R 的零元的象是R 的零元；R 的元素a 的 负元的象是a 的象的负元；当R 是交换环时, R 也是交换环；当R 有单位元时, R 也有, 并且单位的象是单位元.但是大家要注意 环有没有零因子, 在同态映射下不一定能够保持.例1.2 设Z 是整数环, R 为4阶循环环, 即R =,2,,0{a a }3a其中a 在加群,1)(R 中的阶为4, 且2a =a , 则易知映射φ: n →na是环Z 到环R 的一个同态满射, 可知整数环Z 没有零因子, 但是循环环R 却有零子,因为在R 中04222==⋅a a a所以a 2是环R 的零因子.例1.3 设Z 是整数环, 又R =),{(b a b a ,}Z ∈, 则可以验算R 对运算),(11b a +),(22b a =),(2121b b a a ++),(11b a ),(22b a =),(2121b b a a作成一个环, 且易知φ: ),(b a →a是环R 到Z 的一个同态满射, 又因为,0)1(,1)0(=,0)0(即环R 有零因子, 但是它的同态象Z 却没有零因子. 以上两例说明了若环R R~, 当R 无零因子时, R 也可以有；反之当R 有零因子时, R 可以没有. 如果R 没有零因子, 那么我们可以得到以下性质:性质1.1设环R 与环R 同态, 如果R 是整环, 且环R 无零因子, 则R 也是整环. 性质1.2设环R 与环R 同态，如果R 是主理想环，且是R 无零因子环，那么R 也是主理想环.证明 设R 是主理想环, 故φ是R 到R 的同态满射, 由于R 是整环, 由性质1.1知R 也是整环. 设A 是R 的任意一个理想, A 是A 在φ作用下的完全原象, 即A 是R 的一个主理想, 所以R 也是主理想环.性质1.3[3] 设环R 与环R 同态，如果R 是欧式环，且R 是无零因子环，那么R 也是 欧式环.性质1.4 设环R 与环R 同态, 并且R ≅R , 如果R 是除环(域), 并且R 无零因子环, 那么R 也是除环(域).1.3 无零因子环的幂自同态上一节我们总结了环同态的基本性质, 本节我们具体来研究一下无零因子环的幂自同态. 文献[4]把Jacobson 最初的环R 满足n x =x 的结果推广为：如果对环R 有n >1, 使x n x 为R 的一个自同态, 则R 是交换的. Caslar 在文献[5]中证明了, 特征数是p 的除环是可换的充分必要条件是对于其中任意元b a ,有p p p b a b a +=+)(. 本小节通过对环的幂自同态的结构的研究, 刻画出无零因子环的所有幂自同态的形式.定义1.3 设R 使一个环, 如果有整数n >1, 使映射ϕ：x n x 为R 的一个自同态, 则称ϕ是R 的一个幂自同态.例1.4 设R 是一个具有素数特征p 的交换环，则Frobeinius 同态x k p x ，Z k ∈ 是R 的一个幂自同态.定理1.8[6] 设R 是一个环, R 2≥，：φx n x )1(>n 是R 的一个幂自同态，当满足下列条件之一时, 就有0≠charR 且22-n charR(1)R 是一个幺环；(2)φ是一个满同态.例1.5 考虑剩余类环4Z , 44=charZ 由于4不整除22-n )1(>n , 故4Z 不存在任何幂自同态.引理1.1[6] 若无零因子环R 存在幂自同态, 则R 是一个交换环.引理1.2[6] 设p 是一个素数, 则i nC p )1,,2,1(-=n i 的充要条件是存在N k ∈使得k p n =引理1.3[7] 设1>q , 则q 为素数的充要条件是存在N n ∈使 q i n C )1,,2,1(-=n i引理1.4[7] 设R 是一个无零因子交换环, 如果有N n ∈, R n ≤<1, 对任意R b ,a ∈, 满足n n n b a b a +=+)( , 则charR p =（素数）, 且存在R k ∈, 使k p n =.定理1.9 设F 是特征为p 0≠的域, 则存在N n ∈, 使得n b a )(+n n b a +=对于任意 F b ,a ∈都成立的充分必要条件是(1) 当F 为无限域时, 存在非负整数k , 使得k p n =；(2) F 为有限域时, 存在非负整数k , 使得k p n ≡)1(-F mod 0)(>n .定理1.10[7] 设R 是一个无零因子环, 如果存在1>n 使x n x 为R 的一个自同态的 充要条件是R 是交换的, charR p =（素数）, 并且(1) 当n R ≥时, 存在N k ∈使得k p n =；(2) n R <<2时, 存在N k ∈, 0≥q , 使得q n =)1(-R k p +；(3) 当2=R 时, n Z R =, N n ∈.推论1.1 设R 是一个无零因子环, 如果存在1>n 使a a n =对任何R a ∈都成立, 则 charR p =（素数）, 并且当n R ≥时存在N k ∈使得k p n =；当n R <时, 存在0>q 及0≥k , 使得q n =)1(-R k p +.1.4 环的同态象的结构由环的第一同态基本定理可知, 研究环的同态象的性质, 等价于研究相应环的商环的性质. 为此, 我们希望有一种非常简单的方法, 明确表示商环的元素. 本节将在一些特定的环上讨论商环的结构, 并得到商环的最简表达式.性质1.5[8] 设][x F R =为数域F 上的多项式环, R 的理想))((x f N =. 其中∈)(x f R , 且0)(≠x f . 则})()()({R x g x g x f N ∈=且N R =}))(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q N x q ︒︒∂<∂=∈+证明 前一个等式是显然的, 在后一个等式中右包含于左也是显然的. 若R x h ∈)(, 则由带余除法可知, 存在)(x g , )(x q R ∈, 使得)()()()(x q x g x f x h +=其中)(x q 0=, 或者))(())((x f x q ︒︒∂<∂, 于是N x q N x h +=+)()(属于右, 即: 左包含于右.定义1.4 设R 是环, K 是R 的非空子集, N 是R 的理想, 如果(1) R r ∈∀, 存在K k ∈使得 K k N r +=+；(2) 21,k k ∀∈K , N k N k +=+21, 当且仅当21k k =,则称K 为商环N R 的完全代表元集.性质1.6 在结论1.5 的条件下, K ))}(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q x q ︒︒∂<∂=∈= 为商环N R 的完全代表元集.性质1.7 在结论1.5的条件下, 如果)(x f 是不可约多项式, 那么N R ≅}][)()({1x F x q q n -∈β其中 )}({x f n ︒∂=, β是)(x f 的一个复根.性质1.8 设=X )}(,),(),({21x f x f x f n , )(X N =是由X 生成的理想, 其中)(x f i ∈ ][x F , 且)(x f i 0≠, 则=N }][))()({1∑=∈ni i i i x F (x h x h x f ]}[)()()({x F x h x h x d ∈=其中=)(x d ))(,),(),((21x f x f x f n于是N R =))((x d R证明 设=H }][)()({1x F x q q n -∈β, 并令φ: N R ,H → N x q +)()(βq∀)(x q R ∈, 且)(x q 0≠or n x q <∂︒)}({. 如果)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 并且)(1x q ≠ )(2x q , 则=-)))()((),((21x q x q x f 1所以存在)(x u , )(x v ][x F ∈, 使得)(x f )(x u +)}()({21x q x q -)(x v 1=此式在复数域C 上仍然成立. 而0)(=βf , 显然)()(21ββq q -0≠, 因此φ是单射. 至于φ是满射是显然的. 所以φ是N R H →的恒等映射.∀)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 有-)(1x q )(2x q ∈][1x F n -, 即})({1N x q ++})({2N x q +=)}()({21x q x q +N +所以=+++)})(())({(21N x q N x q φ)()(21ββq q +=φ})({1N x q ++φ})({2N x q +另一方面, 设)()(21x q x q =)()(x g x f +)(x q而)(x q ∈][1x F n -, 因此)(βq =)(1βq )(2βq于是=++)})()()({(21N x q N x q φ)(βq =φ})({1N x q +φ})({2N x q +所以φ是N R H →的同构映射.1.5 同态下的交换环1.5.1 有限交换幺环的自同态本节我们具体来研究一下有限交换幺环的自同态.定义1.4 设G 为有限无向无环简单图. G 的点色数记为)(G χ，G 的顶点集与边集分别记为)(G V 与)(G E . )(G V 的一个子集X 被称为是G 的一个团, 如果X 在G 中的导出子图为完全图. G 中所有团的基数的上确界称为G 的融数, 记为)(G c . 若G 是H 的子图, 则记为H G ≤. 此时, )()(H c G c ≤.引理1.5[9] 若H G ≤, 则)()(H G χχ≤.性质1.9 若H G f →:为图同态, 则))(()(G f G χχ≤.性质1.10若EndG f ∈, 则))(())(()(f D G f G χχχ==.性质1.11 设R 为有限交换幺环, 则)()()()(R l R t R c R +==χ.性质1.12 设R , S 均为有限交换幺环, S R f →:为保幺同态, 则)()(:S G R G f → 为图同态, 并且)())(())(())((S G R f D R f G R G f ≤≤≤定理1.11设R , S 均为有限交换幺环, S R f →:为保幺同态, 则(1) )()(S R χχ≤；(2) )()(S c R c ≤；(3) )()(S l R l ≤.定理1.12[9] 设R 为有限交换幺环, )(1R End f ∈, 则(1) ))(()(R f R χχ=；(2) ))(()(R f c R c =；(3) ))(()(R f l R l =；(4) ))(()(R f t R t =；(5) )()()(R l R t R f +≥.推论1.2 设R 为有限交换幺环, )(1R End f ∈, 则(1) )(R J Kerf ⊆, 并且)()(R J Kerf Rad =；(2) 若R 是Jacobson 半单环, 则f 是环R 的自同构, 从而)()(1R Aut R End =.证明 (1) 有定理1.12(4)知)(()(R f t R t =, 而由环的同态定理知)((R f t 等于R 中包含Kerf 的极大理想的数目, 故R 得极大理想均包含Kerf . 故)(R J Kerf ⊆.(2) 若R 是半单环, 则0)(=R J , 由(1)得0=Kerf , 从而f 为单同态. 由R 的有限性知f 也是满同态, 故f 是同构, 即)(R Aut f ∈.1.5.2 同态下交换环的素理想的象众所周知, 在环的同态映射下素理想的完全原象仍是素理想, 但是素理想的象却未必是素理想. 本节将要给出在环的同态下交换环的素理想的象仍是素理想的一个充分条件.对于环R , 以)(R P 表示R 上的全体素理想构成的集合, 我们知道, 给定一个素理想集⊆A )(R P , 则P AP ∈ 是R 的理想, 由此, 我们便可征得下述结果 性质1.13 R 是交换环, ⊆A )(R P , f 是R 到P R AP ∈ 的自然同态, 则对每个A P ∈, )(P f 是P R AP ∈ 的素理想, 并且))((1P f f P -=. 推论1.3 设R 是交换环, ⊆A )(R P , 令*A )}()({1P R P Q Q f AP ∈-∈= , 则∈A *A , 这里f 是R 到P R AP ∈ 的自然同态. 定理1.13 如果交换环R 与1R 同态, 同态映射为f , 且=Kerf P P(R)P ∈ , 则)(P f 是1R 的素理想.本章我们重点对无零因子环的幂自同态、有限交换幺环的自同态、环的同态象的结构、环的同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现了环同态的广泛研究性.在下一章在对环的反同态的研究中, 我们将采取同样的方法, 通过对环的反同态象的结构和环的反同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现环的同态与反同态的区别和联系.第2章 环的反同态的性质在上一章中我们研究了环的同同态及其性质, 相应的这一章我们将要研究一下环的反同态, 反同态在教学中往往是个难点, 我们将仿照环的同态来研究环的反同态.2.1 环的反同态与反同构文献[10]引用了群的反同态与反同构的概念, 利用它们得到了一系列与群同态、同构完全相应的性质. 本节我们首先给出环的反同态与反同构的概念.定义2.1 设R 与R 是两个环, 如果有一个R 到R 的映射φ满足)()()(b a b a φφφ+=+)()()(a b ab φφφ=, ),(R b a ∈∀则称φ是环R 到R 的一个反同态映射.如果φ是环R 到R 的一个同态满射时, 简称R 与R 反同态, 记为反~R R .特别地, 环R 到自身的反同态叫做环R 的反自同态.交换环的反自同态显然就是自同态.如果φ是环R 到R 的一个反同态映射, 而且φ又是双射时, 则称φ是环R 到R 的一个反同构映射, 当R 与R 之间存在同构映射时, 称R 与R 反同构, 记为R R 反≅. 特别, 当R R =时, 称φ是环R 的一个反自同构. 当R 与R 为除环或域时, 则以上的反同态映射、反自同态、反同构映射和反自同构就称为环或域的反同态映射、反自同态、反同构映射和反自同构.定义 2.2设φ是环R 到R 的一个反同态满射, R 的零元0在φ之下的所有原象)0(1-φ作成的集合, 叫做φ的反同态核, 记作φKer 反.在下一节中我们将进一步研究环的反同态与反同构的性质.2.2 环的反同态的基本性质之前我们引入了反同态和反同构的概念, 利用他们我们可以得到一系列好的结果, 我们根据环同态的性质类比的给出环的反同态的性质, 利用反同态在以后的学习中可以讨论各类代数关系.性质2.1 设R 与R 是两个环, 且反~R R , 则(1) R 的子环H 的象)(H ϕH =是R 的子环;(2) R 的理想的象)(N ϕN =是R 的理想;(3) R 的子环H 的逆象)(1H -ϕH =是R 的子环;(4) R 的理想的逆象)(1N -ϕN =是R 的一个理想.证明 (1) 由于)(H ϕ})({H h h ∈=ϕ, 且)0(ϕ0=∈)(H ϕ, 所以)(H ϕΦ≠, ∀)(x ϕ, )(y ϕ∈)(H ϕ, 其中x ,H y ∈则y x -H ∈, H xy ∈. 从而)()(y x ϕϕ-)(y x -=ϕ∈)(H ϕ)(x ϕ)(y ϕ)(xy ϕ=∈)(H ϕ即可证)(H ϕH =是R 的子环.(2) 如果ϕ: R R →是环的反同态满射, 由(1)知)(N ϕ是R 的子环, ∀)(x ϕ∈)(N ϕ 其中N x ∈, R a ∈, 存在R y ∈, 是的)(y ϕa =, 于是)(x a ϕ=)(y ϕ)(x ϕ)(xy ϕ=∈)(N ϕ同理a x )(ϕ∈)(N ϕ, 因此, )(N ϕ是R 的理想. (3), (4)证明从上略.引理2.1[11] 设1φ是环1R 到2R 的一个反同态映射, 2φ是环2R 到3R 的一个反同态映射, 则2φ1φ是环1R 到3R 的一个反同态映射.引理2.2[11] (1)奇数个反同态映射之积是反同态映射;(2) 偶数个反同态映射之积是同态映射;(3) 一个反同态映射与一个同态映射之积是反同态映射.引理2.2[11] 设φ是环R 到R 的一个反同态映射, 则φ是单射的充要条件是}0{=φKer 反这里我们设R 是一个环, N 是R 的一个理想, 令}{R a aN S ∈=, 若对于∀aN , S bN ∈, 定义aN N b a bN )(+=+ aN baN bN =⋅. 这种法则是S 的一个加法和乘法.证明 显然aN N b a bN )(+=+. 设=aN N a ', N b bN '=, 因为∃N n n ∈21,, 使得21,n b b n a a '='=, 所以=ba 2n b '1n a '. 又因为N 是R 的一个理想, 所以N a a N a n '='∈'2, 所以N n ∈∃3 使得 32n a a n '=', 所以=ba )(21n n a b '', 所以N a b N ba )()(''=, 即aN =⋅bN N a 'N b '⋅.故所定义的法则是S 的一个加法和乘法. 由文献[12]知S 对上面的运算作成一个环. 定义2.3 环R 的一个理想N 的陪集对于上面规定的加法和乘法所作成的环叫做R 关于N 的反商环, 记作N R 反.定理2.1 一个环同它的一个反商环N R 反反同态.证明 令→R :φN R 反, aN a , 易知φ是一个满射, 对于R b a ∈∀,有=+=+N b a b a )()(φaN =+bN +)(a φ)(b φ)(b a ⋅φ==⋅N b a )(bN aN )(b φ=)(a φ⋅故φ是R 是N R 反一个反同态满射, 因此R 反同态于N R 反. 对于任意一个环R , 总可以做出一个环R , 使之与R 反同构. 这只需要取集合R =R , 及环R 的加法为R 的加法, 然后利用给定的环R 的乘法定义R 的乘法⨯为ba b a =⨯ ),(R b a ∈∀即可.因为)()()(ba c c ba c b a =⨯=⨯⨯a cb cb ac b a )()()(=⨯=⨯⨯)(ba c =及c a b a ca ba a c b c b a ⨯+⨯=+=+=+⨯)()(a c ab ac ab c b a a c b ⨯+⨯=+=+=⨯+)()(c a b a ⨯+⨯=知),,(⨯+R 构成环, 易知恒等映射x x 是),,(⋅+R 到),,(⨯+R 的反同构, 称环),,(⨯+R 为环),,(⋅+R 的反向环. 环R 的反向环记作 R . 显然, R 到任一环的反同构就是 R 到该环的一个同构.定义2.4 一个环同它的每一个反商环N R反反同态, 称这样的反同态映射为自然 反同态映射.定理2.2 （反同态基本定理） 设R 是一个环, 则R 的任意一个反商环都是R 的反 同态象；反之, 若R 是R 的反同态象,R )(R f =, 则反≅R Kerf R反. 定理2.3 设R 与R 是两个环, 且反~R R ，则R 的零元的象是R 的零元；R 的元素a的负元的象是a 的象的负元；当R 是交换环时, R 也是交换环；当R 有单位元时, R 也有, 并且单位的象是单位元.定理2.4 在环R 到环R 的反同态映射下, 则(1) R 的子环的象是R 的一个子环；(2) R 的理想的逆象是R 的一个子环理想.定理2.5 设R 与R 是各有两个代数运算的集合, 且反~R R , 则当R 是环时, R 也是 环.定理 2.6 设R 与R 是两个环, 且R 与R 反同态, 如果R 是整环, R 是无零因子环, 那么R 也是整环.证明 由于R 是整环, 故R 满足交换律, 有单位元, 由文献[2]定理2知R 也满足交换律, 有单位元, 又因为R 是无零因子环, 因此R 是整环.定理 2.7 设R 与R 是两个环, 且R 与R 反同态, 如果R 是除环(域), R 是无零因子环, 那么R 也是除环(域).定理 2.8设R 与R 是两个环, 并且R 与R 反同态, 如果R 是主理想环, R 是无零因子环, 那么R 也是主理想环.证明 设R 是主理想环, 故R 是整环, 令ϕ是R 到R 的一个反同态满射, 由定理 2.6知R 也是整环. 设N 是R 的任意一个理想, N 是N 在ϕ下的逆象, 则由文献[2]定理3知N 是R 的理想. 由于R 是一个主理想环, 故N 是R 的一个主理想. 设N )(u =, ∈u N , 则u N u ∈=)(ϕ, 于是)(u ⊂N . 任取∈n N , 存在)(u N n =∈, 使得n n =)(ϕ, 设ru n =, 则 )()()()()()(u r u r u ru n n ∈====ϕϕϕϕϕ, 于是N ⊂)(u , 因此 N =)(u . 即N 是R 的一个主理想, 所以R 是一个主理想环.2.3 反商环的结构由环的反同态基本定理可知, 研究环的反同态象的性质, 等价于研究相应环的反商环的性质. 按同构意义对反商环进行分类, 其结构就完全由环的理想所确定了, 因此我们希望能够有一种非常简单的方法可以明确表示反商环的元素.性质2.2 设][x F R =为数域F 上的多项式环, R 的理想))((x f N =, 其中)(x f R ∈, 且)(x f 0≠. 则})()()({R x g x g x f N ∈=, 且反商环N R 反}))(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q N x q ︒︒∂<∂=∈+=定义2.5 设R 是环，K 是R 的非空子集，N 是R 的理想，如果(1) R r ∈∀, 存在K k ∈使得 K k N r +=+；(2) 21,k k ∀∈K , N k N k +=+21, 当且仅当21k k =, 则称K 为反商环N R反的完全代表元集性质2.3 在结论2.1 的条件下K }))(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q x q ︒︒∂<∂=∈= 为反商环N R 反的完全代表元集.事实上, )(1x q ∀, K x q ∈)(2,=+N x q )(1N x q +)(2当且仅当)(x f ))()((21x q x q -也就是当且仅当=)(1x q )(2x q否则))(())()((21x f x q x q ︒︒∂≥-∂这是不可能的.性质2.4 在结论2.1的条件下, 如果)(x f 是不可约多项式, 那么N R 反反≅}][)()({1x F x q q n -∈β 其中 n )}({x f ︒∂=, β是)(x f 的一个复根.证明 设=H }][)()({1x F x q q n -∈β, 并令φ：N R 反,H → N x q +)()(βq∀)(x q R ∈, 且)(x q 0≠or n x q <∂︒)}({.如果)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 且)(1x q ≠)(2x q , 则=-)))()((),((21x q x q x f 1, 所以存在)(x u , )(x v ][x F ∈, 使得)(x f )(x u +)}()({21x q x q -)(x v 1=, 此式在复数域C 上仍然成立, 而0)(=βf , 显然)()(21ββq q -0≠, 因此φ是单射. 至于φ是满射, 那是显然的. 所以φ是N R 反H →的恒等映射.∀)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 有-)(1x q )(2x q ∈][1x F n -, 即})({1N x q ++})({2N x q +=)}()({21x q x q +N +所以=+++)})(())({(21N x q N x q φ)()(21ββq q +=φ})({1N x q ++φ})({2N x q +另一方面, 设)()(21x q x q =)()(x g x f +)(x q , 而)(x q ∈][1x F n -, 因此)(βq =)(2βq )(1βq于是=++)})()()({(21N x q N x q φ)(βq =φ})({2N x q +φ})({1N x q +所以φ是N R反H →的反同构映射.2.4 反同态下交换环的素理想的象上一章中，我们也给出了同态映射下交换环的素理想的象仍是一个素理想的充分条件. 我们知道在环的反同态映射下素理想的完全原象仍是素理想, 但是素理想的象却未必是素理想，本节将给出在环的反同态下交换环的素理想的象仍是素理想的一个充分条件.对于环R , 以)(R P 表示R 上的全体素理想构成的集合, 我们知道, 给定一个素理想集)(R P A ⊆，设W 是R 的全体素理想的交，则知W 也是R 的理想，由此，我们便可证得下述结果：性质2.5 我们设R 是交换环, )(R P A ⊆, f 是R 到W R反的自然反同态，则对每个A P ∈, )(P f 是W R 反的素理想, 并且))((1P f f P -=.证明 设A P ∈, )(P f 是W R 反的理想, 这是显然的. 若x , y ∈W R 反, xy ∈)(P f则存在a , b ∈R , P c ∈, 使得)(a f x =, )(b f y =, )(c f yx =. 从而)()()()()(c f yx a f b f ba f ab f ====故∈-c ab W , 而P c ∈, 从而得P ab ∈. 再由P 是素理想，则必有P a ∈或者P b ∈，即 )(P f x ∈或者)(P f y ∈, 所以说)(P f 是W R 反的素理想.其次, ))((1P f f P -⊆是显然的. 设))((1P f f x -∈, 即)()(P f x f ∈, 必有P y ∈, 使得)()(y f x f =, 从而∈-y x W . 由P y ∈得P x ∈, 说明P P f f ⊆-))((1, 所以))((1P f f P -=.推论2.1 设R 是交换环, ⊆A )(R P , 令*A )}()({1W R P Q Q f 反∈=-, 则)(R P A ⊆,⊆A *A , 这里f 是R 到W R 反的自然反同态.证明 设A P ∈，有上面结论可知)(P f ∈)(W R P 反，并且))((1P f f P -=∈*A ，即⊆A *A .定理2.9 如果交换环R 与1R 反同态, 反同态映射为f , 且W Kerf =反,，则)(P f 是1R 的素理想.证明 由于≅R W R 反=Kerf R 反, 设反同构映射为g , 则f g h =是R 到W R反的反同构映射. 由上面结论得)(R P P ∈∀, ))(()(P f g P h =为W R反的素理想, 从而)())((1P f P h g =-为1R 的素理想.2.5 矩阵上的反自同态与反在自同构映射1φT )(A A =；2φ*=A A )(；⎩⎨⎧=⨯-不可逆若,0可逆若,)(13A A A A n n φ 分别是n n F ⨯和)(F GL n 上的三个重要的反自同态和反自同构, 反同态与反同构在代数系统中是非常重要的, 同时它们也是非常难理解和掌握的, 本节对上述结果给予了一种简单的证明, 该种证明方法简明易懂.2.5.1 n n F ⨯上的反自同态与反自同构设F 是一个域, 记n n F ⨯为F 上所有n n ⨯矩阵关于矩阵乘法构成的幺半群. 称n n F ⨯到n n F ⨯的映射φ为n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态, 如果(1) )(B A ⋅φ)()(A B φφ=, A ∀, ∈B n n F ⨯；(2) )(n I φn I =, n I 为n n F ⨯中的幺元, 即单位元. 如果φ还是双射, 则称φ是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同构. 定理2.10 1φ：n n F ⨯→n n F ⨯, 1φT )(A A =是nn F ⨯到n n F ⨯的反自同构；2φ：n n F ⨯→nn F ⨯2φ*=A A )(及3φ：n n F ⨯→n n F ⨯任意的⎩⎨⎧=⨯-不可逆若,0可逆若,)(13A A A A n n φ ∈∀A nn F ⨯都是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态.我们主要证明第二个结论, 首先给出一个引理. 引理2.4[13] 对于任意的C , D n n F ⨯∈, 都有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*D I C n-0001**-*-*⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛C D I I C D n n 00000011（2-1） 证明 设)(,j i c C =, )(,j i d D =, 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D I C n-0001⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0001n I C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-D I n 0001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---00001,211,222211,11211n n n n n n c c c c c c c c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000,12,11,12222111211n n n n n n d d d d d d d d d于是D I C n-⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001的),(j i 的代数余子式为ji j i K +-=)1(,1,211,12,11,11,12,11,11,11211--+++-----n n n n n i i i n i i i n c c c c c c c c c c c cnn j n j n n nj j n j j d d d d d d d d d d d d ,11,11,11,121,21,22111,11,111-+----+-+-nj in D C ⋅=其中nj in D C ,分别为C 的),(n i 元的代数余子式和D 的),(j n 元的代数余子式. 于是=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*D I C n-0001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n D D D 21),,,(21nn n n C C C 而=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*-*0001n I C D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n D D D D D D D D D 212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0001,211,222211,11211n n n n n n C C C C C C C C C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n D D D 21),,,(21nn n n C C C故=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*D I C n-0001*-*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001n I C D 同理可证**-*-*⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D I I C D n n 00000011证明 (2) 由于)(2n I φn n I I ==*, 为证2φ是反自同态, 只需证=)(2AB φ)(2B φ)(2A φ即***=A B AB )(1 },min{B A 秩秩n =时, 1)()(-*=AB AB .**--=⋅==A B A A B B AB A B AB --))((11112 },min{B A 秩秩=1-n 时, 若秩A n =, 秩1-=n B , 设=B P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0001n I Q , P , Q 可逆, 于是由上面引理及1 得=*)(AB *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛Q I AP n 0001 **-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)(0001AP Q I C n =***-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛A P Q I n 0001**-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A Q I P n 0001=**A B若秩1-=n A , 秩B n =, 类似可证***=A B AB )(. 若秩=A 秩B 1-=n , 设1P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0001n I 1Q ；2P B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0001n I 2Q 其中1P , 1Q , 2P , 2Q 都可逆. 由引理及1 得*)(AB *--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212111000000Q I P Q I P n n =*-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21000Q I n *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111000P Q I P n =*-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛21000Q I n *)(21P Q *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00011n IP =***-⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221000Q P Q I n *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00011n I P =*-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212000Q I P n *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111000Q I P n =**⋅A B3 },min{B A 秩秩1-<n 时, 不妨设A 1-<n , 则n n A ⨯*=0, 而秩<AB 秩A 1-<n , 于是*)(AB =n n ⨯0, 从而有*)(AB =n n ⨯0 =**⋅A B故 2φ是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态. (3) 由于)(3n I φn nI I ==-1, 为证3φ是反自同态, 只需证=)(3AB φ)(3B φ)(3A φ1 当0≠AB 时, A , B 都可逆.=)(3AB φ111)(---=A B AB =)(3B φ)(3A φ2 当0=AB 时, 不妨令0=A , 则A 不可逆, 0)(3=A φ；从而=)(3AB φ)(3B φ)(3A φ故 3φ是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态.2.5.2 )(F GL n 上的反自同构定理2.11 记)(F GL n 为域F 上所有n n ⨯非奇异矩阵的全体关于矩阵乘法构成的群.)(F GL n 到)(F GL n 的映射1φT )(A A =, ∈∀A )(F GL n2φ*=A A )(, ∈∀A )(F GL n3φ1)(-=A A , ∈∀A )(F GL n都是)(F GL n 到)(F GL n 的反自同构. 并且1φ, 2φ, 3φ都是可换的.证明 (1) 对任意A , ∈B )(F GL n , 有1φ)()()()(11T T T A B A B AB AB φφ===2φ)()()()()(22111A B A B A A B B AB AB AB AB φφ==⋅⋅⋅===**---*3φ)()()()(33-111A B A B AB AB φφ===--故1φ, 2φ, 3φ都是)(F GL n 到)(F GL n 的反自同态. (2) 对任意A ∈)(F GL n , 由0≠A , 有1φA A =)(T2φ=⋅)(-11A A n-=⋅*)(-11A A n-A A A A A A A A ===---**-1111)()()(3φA A A ==---111)()(故1φ, 2φ, 3φ都是满射.(3) 设A , B 是)(F GL n 中任意两个矩阵,如果=)(1A φ)(1B φ, 则TT B A =, 于是B A =. 如果=)(2A φ)(2B φ, 那么**=B A , 从而有。
行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文
ANAMtm tJhi・I TV本科生毕业论文题目：姓名：学号：系别：年级：专业：指导教师：指导教师：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用2008020230462008 级数学职称:副教授职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级学生姓名韦诚毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：20H年9月5日至2012年4月20指导老师签字:学生签字:《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律, 选择合适的il•算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized coinpulsory of the basic mathematic- The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation , alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours • There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,“nd we will find that their elements are arranged in row s or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an importanf theory in linear equations and it is an indis pensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and proinotion. It is not only the solution of linear equations of the important took but also in some other branch has a wide range of app lications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言1屛介行列式的定义 2屛介行列式的性质 3计算屛介行列式的具体方法与技巧利用行列式定义直接计算 利用行列式的性质计算 化为三角形行列式逆推公式法拆开法3.4 降阶法 3.6 利用范德蒙德行列式 3.7 加边法（升阶法） 3.8数学归纳法 10 4行列式在线性方程组中的初步应用 11 4.1克拉默（Gramer ）法则 12 4.2克拉默（Gramer ）法则的应用1211421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13 422克拉默法则及其推论在几何上的应用14 结论16 参考文献17 致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位•因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir = V求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是®要的内容.对于二元线性方程组当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即”•…“ _ “山一如勺Aj — * ---------------- —^*11^22 -如切如“处-0皿21我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组«21(»2 2«11 %“21 ©2勺心22你如一竹S I =«21如5內+如兀2+"/3=久+"22X2 +^23^3 =®， «3 內 +432大2 +"33X3 =%利'彳弋 工弋 1^22^^33 + ^12^23^^31 + ^13^21^^321^23^32 ^12^^21^^33 ^^13^^22^31 丿7^5行列式，用符号表示为:"H "22"33 +“12°23"刃 +«)3«21^32 "^^11^23^32 "如①心彳 _'WWsi =我们有：当三级行列式«11 «12 "|3«21 «22 «23“31 ^32 “33时，上述三元线性方程组有惟一解，解为4厶X 严+，尤2=〒，a a其中S «12 勺3«H 勺"|3£ =■■■«23,J,="21 勺 “23，〃3 =5 U" b 、妇"32 “33«31 % "33如］“32 S在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组4内+4胪2+…+你忑=勺 “2 內+"22兀2+…+ “2届=2弘内+0小：2+…+ 4汁為="/<的情形•为此，我们首先要给出〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是 本论文的主要内容.«11 ®2 ®3"21 ^22 "23 "31 “32 “33cl =1 n阶行列式的定义“21 “22.... -^211"川...... 弘"等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几（1）的代数和，这里jj2…h是12…，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j|j2…人是偶排列时，（1）带正号，当是奇排列时，（1）带有负号•这一定义可以写成二2（_严"5畑..％恥…人这里X表示对所有阶排列求和・丿"2・・・人定义表明，为了计算《阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元素构成的乘积。
论文 浅谈行列式的计算方法
浅析行列式的计算方法刘欣（数学科学学院,2007（4）班，07211448）[摘 要]行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍几种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法. [关键词]行列式 加边法 递推公式法行列式是线性代数中的一个基本工具.无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有直接或间接的联系，所以本文针对几种行列式的结构特点归纳了行列式计算的常用计算方法，并以实例加以说明.一、 按照行列式的性质将行列式化成上三角(下三角或反三角)法运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式.行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可. 其计算步骤可归纳如下:(1)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行) (2)有公因子的提出公因子.(3)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式. (4)由行列式的定义进行计算.由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.例1 计算行列式3214214314324321.解 显而易见,该行列式的行和相等,知32102140143043203214214314324321=1112220311*******321121411431432110-----==例2 计算n 阶行列式ab bb a b b b a D n=.解 ()[]a b bab b b n a D n1111-+=()[]ba b a b bb n a ---+=0011()[]1)(1---+=n b a b n a .二、 行列式的乘法原理法行列式的乘法原理:对任意两个同阶矩阵A ,B ,都有B A AB ⨯=,大家都知道,对于矩阵的乘法已是非常麻烦了.尤其是对高阶矩阵而言,其难度越明显.若按照常规办法,先计算AB 再计算AB ,显然过于烦琐.直接应用行列式的原理,就显得方便简洁.同样,如果D=AB ,其中A ,B 为同阶方阵,则B A AB ⨯=,从而达到优化计算的目的,应用行列式的乘法原理,主要是会将一个方阵拆成两个易计算行列式的同阶方阵,使矩阵的行列式计算简洁化.⋅=---=160444003110432110例3 设221;,2,1,0,-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=j i ij k n k k k S a k x x x S .),,3,2,1,(n j i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=求ij a .解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---22121110)(n nn n n ij s s s s s s s s s a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++++=------222211111122111111n nn nn nn n n nn nnn n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=------11221111121121111111n n nn n n n n n n x x x x x x x x x x x x，由行列式的乘法原理：ij a 11221111121121111111------⨯=n nnn n n nn n n x x x x x x x x x x x x∏∏<<--=j i i j ji i jx x x x)()(2)(∏<-=ji i j x x .三、 递推公式法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用.适用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一行（列）展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值.运用递推法求解行列式，一般会用到两个公式: （1）若1-=n n pD D 时，则11D p D n n -=（2）若2211--+=n n n D A D A D 时，则122111--+=n n n t A t A D （其中1A ，2A 为待定系数）由（1）的计算过程显然易见，而（2）中却出现了两个未知数，1t ,2t ,这两个未知数可以通过0212=--A x A x 的两根来确定.例4 计算n 阶行列式ba ab b a b a ab b a ab b a D n +++++=0000010001000.解 将n D 按第一行展开，得ba ab b a b a ab ab D b a D n n +++-+=-100000001)(1，于是得到一个递推关系21)(---+=n n n abD D b a D ，变形得)(111-----=n b n n b n D D a D D ， 易知)()(4333221--------==n b n n b n n b n D D a D D a D D[]nn bn a b a b ab b a aD D a=+--+==---)()()(22122，所以1-+=n n n bD a D ，据此关系式在递推，有22121)(----++=++=n n nn n nn D b b aabD ab aDnn n nn n n nbab b aa D bb a b a a ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=-----1111221，如果我们将n D 的第一行元素看作b a +，1+0,…0+0,按第一行拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式如下：1-+=n nn bD aD ，同样可得nD 的值.例5 计算n 阶行列式accb ac b b aD n=，其中0,≠≠bc c b .解 将n D 的第一行视为c c c c a +++-0,,0,)( ，据行列式的性质，得accb ac b b c a cb a b bc a a ccb ac b b c c a D n+-=+++-=000因为11)()(---+-=n n n b a c D c a D （1）由b 与c 的对称性，不难得到11)()(---+-=n n n c a b D b a D （2） 所以联立（1），（2）解之，得[]n n n b a c c a b c b D )()()(1----=-用递推公式法计算行列式，逻辑性较强，其适用于计算那些有一定规律但却十分费解的行列式.四、 提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法： （1）有一行（列）元素相同，称为“a a a ,,, 型”.（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”. （3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”.满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a 变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶.满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法.例6 计算行列式nn n n a x a a a a x a a a a x D +++=212121.解 该行列式各行元素之和等于∑=+ni i a x 1，属于“全和型”，所以nn n ni i n a x a a a x a a a x D +++=∑= 2221111)(xx a a a x n ni i001)(21∑=+=)(11∑=-+=ni in a x xabb a abb a n ⨯=-1nb a )(22-=.五、 加边法计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。
数学专业本科毕业论文--矩阵求逆的若干方法
数学专业本科毕业论文--矩阵求逆的若干方法矩阵求逆摘要本文在借鉴参考文献的基础上，对高等代数学这门课程中的一些有关矩阵求逆的内容简要地进行了分析、研究和总结。
笔者在参考的各种不同版本的教材中发现，大多教材给出矩阵的求逆的方法无非三种，即：定义法，初等变换法，伴随矩阵法。
其中初等变换包括初等行变换和初等列变换。
这三种方法虽然在大多情况下都能很好解决问题，但有时候使用这些方法就会显得很繁琐。
比如，对于阶数大于4的矩阵我们用初等变换和伴随矩阵就会显得很麻烦，而且容易出错。
本文在这里详细讨论了6种逆矩阵的求解方法，首先介绍了常用的那三种矩阵求逆方法，而且对于初等变换法，本文做了进一步的探讨，给出了同时初等行变换与列变换法。
然后又介绍了分块矩阵法、分解矩阵法、Hamilton-Caylay定理法等方法，其中分块矩阵法中又包括三角矩阵的分块求逆法和非三角矩阵的分块求逆法。
本文对于每一种方法不仅给出了这些方法的理论依据并给出了具体应用，有的还给出了具体方法步骤，就是为了使读者明白各种方法的特点，在使用的时候能够选择合适的方法进行快速解题。
关键字逆矩阵；初等变换；伴随矩阵；分块矩阵；Hamilton-Caylay定理Six methods to find inverse matrixAbstract In this paper, on the basis of reference, some relevant content of the inverse matrix in the course of higher algebra is analyzed, researched and summarized briefly. There are only three methods of inverse matrix in most different teaching materials referred. The methods are definition method, adjoint matrix methodand elementary transformation method. The elementary transformation method Includes elementary row transformation and elementary column transformation. Though the three methods can well solve problem in most cases, sometimes these methods will appear very complicated. As for the matrix whose rank is more than four, if we use adjoint matrices or elementary transformation, it will be very troublesome, and error-prone. Six kinds of inverse matrix solution was discussed in this paper in detail. Firstly we introduces the three frequently-used methods, and also makes a further discussion for elementary transformation method, giving elementary row transform and column transform method. Then this paper introduces the partitioned matrix method, the decomposition of matrix method, Hamilton - Caylay theorem method. The partitioned matrix method includes the partitioned matrix method of triangle matrix and the partitioned matrix method of common matrix. In this paper every method not only includes the theoretical basis and the specific application, but also includes the concrete steps, the purpose is to make the reader understand the characteristics of every methods, and can choose appropriate methods to solve problems quickly. Keywords Inverse matrix; elementary transformation;adjoint matrix; partitioned matrix; Hamilton-Caylay theorem矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。
行列式的性质及应用论文范文
华北水利水电学院行列式的性质及应用课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2012年11月05 日摘要： 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。
本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。
通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。
关键词： 递推法 行列式 三角化法 公式法 数学归纳法英文题目: Determinantal properties and applicationAbstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat,on our learning will bring very useful help.Key words: Recurrence method Determinant triangularization method formula method mathematical induction 正文：1 引言: 问题的提出在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题，如①11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩②11112211121222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 运用行列式可以解决如②的n 元一次方程组的问题。
高等数学教学论文(5篇)
高等数学教学论文(5篇)高等数学教学论文(5篇)高等数学教学论文范文第1篇爱好是最好的老师，数学又是美的，但是数学学习往往是枯燥的，同学很难体会到这种奇妙。
如何提高同学对高等数学的爱好是授课老师需要思索的问题。
我在教学中为了让教学更加生动加入了一些生活中的数学应用。
比如，为什么人们能精确猜测几十年后的日食，却没法精确猜测明天的天气；为什么人们可以通过https平安地扫瞄网页而不会被监听；为什么全球变暖的速度超过一个界限就变得不行逆了；为什么把文本文件压缩成zip体积会削减许多，而mp3文件压缩成zip大小却几乎不变；民生统计指标究竟应当采纳平均数还是中位数；当人们说两种乐器声音的音高相同而音色不同的时候究竟是什么意思在这些例子中数学是好玩的，体现了基础、重要、深刻、美的数学。
二、培育同学自我学习力量授人以鱼不如授人以渔，单纯教会同学某一道题目的计算不如使同学把握解题的方法。
因此讲解题目时可以结合方法论：开头解一道题的时候我会告知同学这就和解决任何一个实际问题一样，首先从要观看事物开头，把数学题目观看清晰；接下来就需要分析事物，搞清晰题目的特点、有什么样的函数性质、证明的条件和结论会有什么样的联系，依据计算状况预备相应的定理和公式；最终就是解决问题，结合把握的计算和推理技巧完成题目的求解。
通过这样的讲解，和必要的练习，同学完成的不再是一道道独立的数学题目，实现的是方法论的应用，也是更清楚的规律思维的训练，有助于提高同学的自我学习力量。
“教是为了不教”，把握解题方法，有自学力量，以后工作遇到实际问题也能迎刃而解。
三、重视规律思维的训练不管是工作还是生活中人们都会遇到数学问题，假如没有规律思维只是表面理解就有可能陷入“数学陷阱”。
在教学中我经常举这样一个例子：有个婴儿吃了某款奶粉后突发急病死亡，而奶粉厂却高调坚称奶粉没有问题，是否有股对这个黑心奶粉厂口诛笔伐并将之搞垮的冲动呢？且慢，不妨先做道算术题：假设该奶粉对婴儿有万分之一的致死率，同时有100万婴儿使用这款奶粉，那就应当有约100名孩子中招，但事实上称使用该奶粉后死亡的说法却远远没有100个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论聂晓柳(数学与应用数学系 指导教师:杨忠鹏)摘 要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向.关键词：幂等矩阵 对合矩阵 换位子 矩阵的秩 可逆性Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future.Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility0、符号说明及引言幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明.用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。
假设2,n n A C A A ⨯∈=，称A 为幂等矩阵。
设复矩阵()ij n n A a ⨯=为A 的共轭矩阵,其中ij a 为ij a 的共轭复数.'A 即对A 进行转置.'A 表示A 的共轭转置矩阵. 在本文中用*A 表示A 的共轭转置矩阵;假设3,n n A C A A ⨯∈=，称A 为三次幂等矩阵。
假设,n nmA CA A ⨯∈=，称A 为m 次幂等矩阵；假设2,n n A C A E ⨯∈=，称A 为对合矩阵。
假设,n n m A C A E ⨯∈=,称A 为幂么矩阵；分块矩阵()m n k M C ⨯+∈,[],M A B =,m n A C ⨯∈,m k B C ⨯∈.()m l n N C +⨯∈,A N C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,m n A C ⨯∈,l n C C ⨯∈。
假设2,P P λ=称P 为scalar-potent 矩阵，以下简记为S -矩阵；,,n n A B C AB BA ⨯∈-称为A 与B 的换位子.()R T 表示T 的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:()()r i r j ±表示矩阵的第i 行加上或减去第j 行，()()p i p j ±表示矩阵的第i 列加上或减去第j 列，()()r i k r j ±⋅表示第i 行加上或减去第j 行的k 倍；()()p i p j k ±⋅表示第i 列加上或减去第j 列的k 倍.Yongge Tian ，George P.H.Styan 在文献[1]中得到了同一种类型矩阵的差，和，换位子的秩等式，即两个幂等矩阵的差,和,换位子的有关秩等式,同时相应地得到了两个对合矩阵的换位子的秩等式. 左可正在文献[2]中分别得出了幂等矩阵的换位子与对合矩阵的换位子的可逆性的等价条件,至此根本上很少人涉及过幂等矩阵P 和对合矩阵A 的差P A -，和P A +，换位子PA AP -的秩等式，及其可逆性等一些相关性质. 本文就从这里开始研究,因为研究换位子的秩等式有很强的概括性，当()0r AB BA -=，那么说明AB BA =，说明它们可以同时对角化；假设()r AB BA n -=，那么说明换位子AB BA -两条研究思路：①“求同存异〞，即把不同的两类矩阵化成同一类矩阵，从而便于研究讨论，在此利用根本工具对对合矩阵和幂等矩阵进行相互转化；②直接考虑一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和，换位子的秩等式，利用分块矩阵的高斯消元法直接进行研究讨论.文章在第三局部还对研究内容进行了延伸，讨论了其它几种特殊类型的矩阵换位子的相应性质,并提出了以后的研究方向.1、预备定理我们首先引入本论文用到的根本工具: 引理 1 (见[20],200P ),n n A B C ⨯∈,如果1(),2A B E =+那么2A A =当且仅当2B E =.引理 2 ,n n A B C ⨯∈,如果1(),2A E B =-那么2A A =当且仅当2B E =. 证明 ""⇒的证明由22211()(2)44A EB E B B =-=-+,1(),2A EB =-且2A A =,那么当且仅当2B E=时才成立. ""⇐的证明由1(),2A EB =-得2B E A =-,那么222(2)44B E A E A A E =-=-+=,那么当且仅当2A A =成立时才可以. 引理 3 ,,n n P Q C ⨯∈如果2Q E P =-,那么2Q E =当且仅当2P P =.证明 ""⇒的证明222(2)44Q E P E P P E =-=-+=当且仅当2P P =成立.""⇐的证明由2Q E P =-,得1()2P E Q =-,由2211(2),(),42P E Q Q P E Q =-+=-根据2P P =,得到2Q E =.引理 4 ,,n n P Q C ⨯∈如果2Q P E =-,那么2Q E =当且仅当2P P =.证明 与引理3的证明类似,因此在此省略.引理 5 (见[1],103P ) 假设,,n nP Q C⨯∈且都为幂等矩阵,那么有(,)()(),r P Q r P r Q PQ =+- () (,)()()r P Q r Q r P QP =+- () ()()P r r P r Q QP Q ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭() ()()P r r Q r P PQ Q ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭() 引理6 〔见[1]〕 设P ，Q 是复数域上的两个n 阶幂等矩阵，那么有以下秩等式:()(,)()()r P Q P r r P Q r P r Q Q -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭()()()r P PQ r PQ Q =-+- () ()()r P QP r QP Q =-+- ()引理7 (见[1]，推论)假设,,n n P Q C ⨯∈且都为幂等矩阵,那么有以下秩等式:()r E P Q --()()()()r PQ r QP r P r Q n =+--+)()()r E P Q PQ r PQ =--++ ) ()()r E P Q QP r QP =--++ )更进一步,有()0a P Q E PQ QP +=⇔==且()()()r P Q r P r Q n +=+=()b E P Q --是非奇异的当且仅当 ()()()()r PQ r QP r P r Q ===.引理8 (见[1],定理) 设m n A C ⨯∈且是任意选取的,,,m m n n P C Q C ⨯⨯∈∈且22,P P Q Q ==,那么()r PA AQ -(,)()()PA r r AQ P r P r Q Q ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭)()()r PA PAQ r PAQ AQ =-+- ) 假设0PAQ =，那么()r PA AQ -()()r PA r AQ =+ . ) 引理9 (见[1],推论2.20),P Q 是复数域上n 阶幂等矩阵，那么[](),2()PQ r PQ QP r r QP P r P P ⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦)[],2()QP r r PQ Q r Q Q ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦ )()()r PQ PQP r PQP QP =-+-)()()r QP QPQ r QPQ PQ =-+- )()r QP PQ =-. 引理10 (见[1],定理2.11) ,P Q 是复数域上n 阶幂等矩阵，那么PQ QP +和满足以下4个秩等式: ()()()r PQ QP r P Q r E P Q n +=++---) ()()()()()r P Q r PQ r QP r P r Q =+++--)()()()()r P PQ QP QPQ r PQ r QP r P =--+++-() ()()()()r Q PQ QP PQP r PQ r QP r Q =--+++- )引理11 (见[1],110P ] ),P Q 都是S -矩阵,,μλ是复数域上任意的数,那么有以下秩等式成立: [](),()()r P Q P r r P Q r P r Q Q μλ-⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ ) ()()0P Q r P Q r r Q Q μλ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()0Q P r r P P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ )()()()()()r E P Q r PQ r QP r P r Q λμμλ--=+-- )()()()r PQ QP r P Q r E P Q nμλλμμλ-=-+---) ()()()r PQ QP r P Q r E P Q nμλλμμλ+=++---) 引理12 (见[11],499P ) 设A 为n 阶矩阵，()r A r =,那么A 为幂等矩阵的充要条件是存在可逆矩阵T ,使000r E A T T -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 引理13 (见[11],504P ) 设A 为n 阶矩阵，那么下面三个命题是等价的： 1〕2A E =；2〕存在可逆矩阵T ，使得100r n r E T AT E --⎛⎫= ⎪-⎝⎭；3〕()()r E A r E A n -++= 2、主要结果由于本文主要研究的是幂等矩阵与对合矩阵的换位子的秩,利用的根本工具是引理1中的幂等矩阵与对合矩阵的相互转化公式,所以首先把幂等矩阵与对合矩阵的关系进行详细分类.2.1、幂等矩阵与对合矩阵相互转化之后秩的分类情况由引理1,引理2可知:一个对合矩阵可以产生两个幂等矩阵:假设 12,,,n nB B A C⨯∈且2A E =,令11(),2B E A =+21(),2B E A =-那么211B B =,222B B =,且有1221B B B B =和12()()r B r B n +=.因为由引理13,可知存在可逆矩阵T ,使得 00rn r ET AT E --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 那么00rn r EA T T E --⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 所以有 0002n r E A T TE --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭2000rEE A T T -⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 那么()(),r E A r E A n ++-=即12()()r B r B n +=成立.定理 2.1.1 两个对合矩阵的差与和的秩可以表示成两个幂等矩阵之差的秩. 证明 设,P A 是对合矩阵，令121211(),(),2211(),()22P E P P E P A E A A E A =+=-=+=-由引理1,引理2,可知1212,,,P P A A 都是幂等矩阵,且相对应地有: 12122222P P E E P A A E E A =-=-=-=-那么1122()()()r P A r P A r A P -=-=- (.1) 1212()()()r P A r P A r A P +=-=- (.2)即两个对合矩阵的差与和的秩转化为两个幂等矩阵之差的秩. 定理 2.1.2 两个幂等矩阵的差的秩可以表示成两个对合矩阵的差或和；两个幂等矩阵和的秩可以表示成两个对合矩阵的和的秩. 证明 设22,P P Q Q ==,令122,2P E P P P E =-=-； 122,2Q E Q Q Q E =-=-由引理3,引理4可知1212,,,P P Q Q 都是对合矩阵，那么1211()()()r P Q r P Q r Q P -=+=- 2122()()r P Q r P Q =+=-(2.1.3)1112()(2)1111[()()]2222r P Q r E P Q r E P E Q +=--=-++ ()又有引理1,引理2,可知 1122E P -,21122E Q +都是幂等矩阵.即两个幂等矩阵的差的秩能转化为两个对合矩阵的差或和的秩；两个幂等矩阵的和的秩转化为两个对合矩阵的和的秩。