小波与函数空间

第五章函数的小波分解及应用

+∞ −∞
ψ (t)eitz dt.
ˆ (z )在区域{z : |Imz | < a}内解析。显然，ψ 由定理3和（2），得
+∞ −∞
tl ψ (t) dt = 0, ∀l ∈ Z+ ,
ˆ(l) (0) = 0, ∀l ∈ Z+ . 所以解析函 ˆ(l) (ω ) = (iω )l +∞ ψ (t)tl dt, ω ∈ R, 得ψ 故由ψ −∞ ˆ (z )在z = 0的某邻域内为零，从而恒为零。这推出ψ (t) = 0。这与{ψj,k } 生数ψ j,k 成L2 (R)矛盾。对于给定的滤波函数m0 (ω )以及尺度函数ϕ(t)，我们构造了小波ψ (t)，它们的联系是 ˆ(ω ) = e−iω/2 m0 (ω/2 + π )ϕ ψ ˆ(ω/2), ϕ ˆ(0) = 1. 由于m0 (π ) = 0, m0 (ω )在ω = π 处有零点。当要求ψ 有更高的光滑性时有
(8)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003
7
定理 4：对L ∈ Z . 若m0 ∈ C (R),且 ˆ ∈ C L , ψ (l) (t) 有界, ∀l ∈ L. ψ 和对某 > 0, |ψ (t)| ≤ C (1 + |t|)−L−1− 则m0 (ω )在ω = π 有L + 1重零点。证：由定理3,
f (l) (2j0 k0 ) l!
+∞ −∞
˜ (t)dt + J 2(l+1)j tl f
f (l) (2j0 t0 ) l! 故有 f (l) (2j0 t0 ) l!

完美通俗解读小波变换,终于懂了小波是什么

完美通俗解读小波变换，终于懂了小波是什么要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。

要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。

很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。

变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。

如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。

那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。

小波变换自然也不例外的和basis有关了。

再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。

既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis 的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。

一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。

比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis 能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。

而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n=av_n，a是eigenvalue)。

总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。

好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。

当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。

接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。

傅立叶级数最早是Joseph Fourier这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于function space。

小波变换理论及应用

2011-2012 学年第一学期2011级硕士研究生考试试卷课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）；B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）；C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。

一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。

（20分）二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。

（25分）三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。

（25分）四、平时成绩。

（30分）（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(⎰∞+∞--=ψψ （ 1.1）其中，a ∈R 且a ≠0。

式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b 为时间平移因子。

其中)(||1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。

从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。

① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。

② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。

如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。

C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。

小波变换系数依赖于所选择的小波。

因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。

图1.5 计算小波变换系数示意图③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。

有界变差函数空间

有界变差函数空间有界变差函数空间是泛函分析中的一个重要领域，它在数学和工程领域中有广泛的应用。

在本文中，我将介绍有界变差函数空间的定义、性质、应用以及相关的研究方向。

有界变差函数空间是定义在某个区间上的实值函数的集合，它是由有界变差函数组成的。

有界变差函数是指在给定的区间上，其波动幅度有界的函数。

具体地说，给定一个区间[a, b]，函数f称为有界变差函数，如果存在一个实数M，使得对于任意的分割[a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b]，有以下不等式成立：| f(x_i) - f(x_{i-1}) | ≤ M这里的|·|表示绝对值。

根据这个性质，我们可以说有界变差函数的变化是有限的，其波动幅度受到上界M的限制。

有界变差函数空间在实际问题中有许多应用。

例如，在信号处理中，有界变差函数空间可以用来描述信号的平滑性和波动性。

它在图像处理、音频处理和视频处理等领域中都有广泛的应用。

此外，有界变差函数空间也在数学分析的研究中起着重要的作用，例如在傅里叶级数的收敛性以及函数逼近理论的研究中。

有界变差函数空间具有许多重要的性质。

首先，它是一个向量空间，对于任意的有界变差函数f和g，以及任意的实数a和b，我们有af+bg仍然是一个有界变差函数。

此外，有界变差函数空间是一个完备空间，也就是说，任何收敛序列在这个空间中都有极限。

这使得有界变差函数空间成为研究动态系统和非线性泛函分析的有用工具。

另一个重要的性质是有界变差函数空间与L^p空间的关系。

对于1≤p<∞，有界变差函数空间包含在L^p空间中，并且这两个空间之间存在嵌入关系。

特别地，当p=1时，有界变差函数空间就是L^1空间。

这个结果表明有界变差函数空间在测度论和函数空间的研究中具有一定的联系。

在研究有界变差函数空间时，人们关注的一个重要问题是函数的逼近性质。

给定一个函数f，我们希望通过有界变差函数来逼近它。

这个问题在函数逼近理论中有广泛的研究，涉及到泛函分析、小波分析、数值逼近等领域。

小波分析-经典解读

时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

高斯小波函数

高斯小波函数摘要：一、高斯小波函数的定义与性质1.高斯小波函数的概念2.高斯小波函数的性质二、高斯小波函数在信号处理中的应用1.滤波与去噪2.信号压缩三、高斯小波函数在图像处理中的应用1.图像去噪2.图像压缩3.图像特征提取四、高斯小波函数在数据挖掘中的应用1.数据降维2.异常检测正文：高斯小波函数是一种常用的小波函数，它在信号处理、图像处理以及数据挖掘等领域具有广泛的应用。

一、高斯小波函数的定义与性质高斯小波函数是一种具有高斯核函数的小波函数，它具有局部性、正交性和对称性等性质。

其定义如下：$$G(x, y, s) = frac{1}{sqrt{2pi s^2}} e^{-frac{x^2+y^2}{2s^2}}$$其中，$x$ 和$y$ 分别表示二维空间中的水平和垂直坐标，$s$ 表示小波基函数的尺度。

二、高斯小波函数在信号处理中的应用1.滤波与去噪高斯小波函数可以用于信号滤波和去噪，通过选择合适的小波基函数尺度，可以有效地去除噪声和保留信号特征。

2.信号压缩高斯小波函数可以用于信号压缩，通过对信号进行小波变换，可以将信号表示为一系列小波系数，从而实现信号的压缩。

三、高斯小波函数在图像处理中的应用1.图像去噪在图像处理中，高斯小波函数可以用于图像去噪，通过选择合适的小波基函数尺度，可以有效地去除图像中的噪声，同时保留图像细节。

2.图像压缩高斯小波函数可以用于图像压缩，通过对图像进行小波变换，可以将图像表示为一系列小波系数，从而实现图像的压缩。

3.图像特征提取高斯小波函数可以用于图像特征提取，通过对图像进行小波变换，可以提取出图像的局部特征，用于图像识别和分类等任务。

四、高斯小波函数在数据挖掘中的应用1.数据降维在数据挖掘中，高斯小波函数可以用于数据降维，通过小波变换可以将高维数据映射到低维空间，从而减少计算复杂度和存储空间。

2.异常检测高斯小波函数可以用于异常检测，通过计算数据的小波系数，可以检测出数据中的异常值，从而发现潜在的问题。

symlet小波函数

symlet小波函数Symlet小波函数是一种常用的小波函数，它具有一系列优良的性质，被广泛应用于信号处理与数据分析领域。

本文将介绍Symlet小波函数的定义、性质和应用。

Symlet小波函数是一类可变尺度的函数，它由一个母函数和一组可变尺度的平移因子构成。

Symlet小波函数的定义与其他小波函数类似，可以通过一个基本母函数进行构造。

不同于其他小波函数，Symlet小波函数是通过将母函数进行截断，然后进行尺度变换和平移得到的。

Symlet小波函数的截断操作使得它具有紧凑的支持区域，即在一定范围内非零，而在其他范围内等于零。

这种特性使得Symlet小波函数在信号处理中具有较好的局部化性质，可以更好地捕捉信号的局部特征。

Symlet小波函数的尺度变换和平移操作使得它具有多尺度分析的能力。

通过不同尺度的小波函数，我们可以对信号进行多尺度的分解和重构，从而实现信号的频域分析和时频域分析。

Symlet小波函数的多尺度分析能力使得它在信号处理中应用广泛，例如图像压缩、图像去噪、信号分析等领域。

Symlet小波函数具有一系列优良的性质，例如正交性、紧支集性、对称性等。

正交性使得Symlet小波函数在信号分析中可以实现完备性，即可以通过小波分解和重构实现信号的无失真表示。

紧支集性使得Symlet小波函数可以对信号的局部特征进行更精确的分析，从而提高信号处理的效果。

对称性使得Symlet小波函数可以对称地表示信号的正负频率成分，从而实现信号的对称分析。

Symlet小波函数在实际应用中有着广泛的应用。

首先，Symlet小波函数可以用于信号的压缩和去噪。

通过对信号进行小波分解，我们可以将信号的能量集中在少数重要的小波系数上，从而实现信号的压缩。

同时，通过对信号的小波系数进行阈值处理，我们可以去除信号中的噪声成分，从而实现信号的去噪。

Symlet小波函数可以用于图像的压缩和去噪。

图像可以看作是二维信号，因此可以使用二维小波变换对图像进行分析。

小波变换与傅里叶变换的对比、异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。

而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。

展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。

这也就是相似性检测的思想。

但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。

因此，小波在实轴上是紧的。

而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。

而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。

此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。

（时频能量守恒）。

二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。

但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。

第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。

第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。

这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。

借此，计算机的处理才成为可能。

所有满足容许性条件（从-INF到+INF 积分为零）的函数，都可以成为小波。

小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。

但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。

用更为专业的俗语，叫再生核。

也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。

这就叫冗余性。

这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。

但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。

为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。

第一步，尺度离散化。

一般只将a二进离散化，此时b是任意的。

这样小波被称为二进小波。

第二步，离散b。

怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。

小波分析-经典

时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

小波变换原理

小波变换原理小波变换（WaveletTransform，简称WT）是一种时频分析技术，它可以有效地用于信号和图像的处理。

小波变换的优势在于，它可以把信号或者图像分解为正交基函数.小波变换的原理十分简单，具体实现起来也比较容易。

在原理上，小波变换是一种分解式技术，它分解一个给定的函数f(x)者信号f(t)，分解的基为这一基的小波函数（wavelet），它可以以一种“分层处理”的方式，实现给定信号或者图像的分解。

这种分层处理可以将一个函数或者信号f(t)分解成不同尺度大小的组成部分，使得函数或者信号f(t)分解成不同尺度大小的组成部分，这是小波变换最重要的特征。

在小波变换中，通常使用一种称为双尺度小波变换的处理方法，该方法将小波分解成高、低频分量，这样可以保持原始信号中微小变化的部分，而忽略掉频谱上的粗大变化。

该方法还可以把原始信号分解成更小尺度的组成部分，因此能够充分发挥信号的复杂性，例如噪声的抑制、图像的重建以及心电信号的分析等等。

小波变换的运算步骤比较复杂，并且具有非常强的计算能力。

下面会介绍小波变换的主要步骤：1、小波变换：在多通道小波变换中，通过对原始信号进行一系列相互独立的频率变换，将原始信号分解成多个频域，每个频域中都包含有一系列的小波函数，这些小波函数将原始信号分解成不同尺度大小的组成部分。

2、频变换：在时频变换阶段，将原始信号进行一系列的变换，将原始信号分解成不同频率分量，这些分量可以用来描述信号的特征，或者用来检测噪声及其他外部信号。

3、波展开：小波展开是小波变换的核心技术，它可以使原始信号更加容易分解为不同尺度大小的组成部分，因此能够更加深入地揭示信号的内在特征。

4、波语义：小波语义是小波变换的一个重要技术，它允许原始信号以特定的语义被分解并进行处理，从而改善信号的处理效果。

小波变换的原理及应用极其广泛，在科学、工程、技术及其他领域都有着广泛的应用。

在声学领域，小波变换可以用于实时增强信号的识别精度；在通信领域，它可以用于信道模型的重建，从而提高信号的传输质量；在图像处理领域，它可以用于图像压缩、去噪等；在频谱分析中，它可以用于检测频谱中的非平稳调制信号；在心电信号分析及处理中，小波变换可以用于侦测心律失常等。