高二数学数学归纳法公开课教案 人教版 教案
高二【数学(人教A版)】《数学归纳法》【教案匹配版】最新国家级中小学课程全高清
证明
高中数学
( ) 的单调性. 难以应用数学归纳法
恒成立.
例1 证明：
证明：(1)当n=1时，①式的左边
，
右边
高中数学高二上册
①
，所以①式成立.
高中数学
(2)假设当n=k (
)时， ①式成立，即
，
在上式两边同时加上
，有
高中数学高二上册
目标
，
高中数学
(2)假设当n=k (
)时， ①式成立，即
，
在上式两边同时加上
，上册
典例剖析
例2 已知数列 满足 ，
（ ），试
猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
下面用数学归纳法证明这个猜想
②
(1)当n=1时，②式左边
，右边
，猜想成立.
②式成立，即
，
那么
，
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即当n=k+1时，猜想也成立. 由(1)(2)可知， 猜想对任何
典例剖析
例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x， ，…，
，… 的前n项和为 ，
试比较 与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是
高中数学
当n=2时， 当n=3时，
由此，我们猜想，
，由x＞0，可得
；
，由x＞0，可得
.
.
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，有
高中数学高二上册
， 高中数学
高中数学
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，
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，
高中数学
即当n=k+1时， ①式也成立
由(1)(2)可知， ①式对任何
人教版数学高二教学设计12.3数学归纳法
2.3 数学归纳法【教学目标】 （1）知识与技能：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤； ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题； ③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论. （2）过程与方法：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想. （3）情感态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力. 【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题； 【教学难点】数学归纳法中递推关系的应用. 【辅助教学】多媒体技术辅助课堂教学. 【教学过程】一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2: 如果{}n a 是一个等差数列，怎样得到()11n a a n d =+-? （情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例.【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想.归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”.（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？二、搜索生活实例，激发学生兴趣展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题.）三、师生合作，形成概念.一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可以按照以下步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值()*00 n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设()*0 , n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+命题也成立. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 上述这种证明方法叫做数学归纳法. 四、讲练结合，巩固概念 类型一 用数学归纳法证明等式 例1：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=证明：（1）当1n =时，左边：211=，右边：1(11)(21)16⨯+⨯+=，左边=右边，等式成立.（2）假设当*()n k k N =∈时等式成立，即2222*(1)(21)123... ()6k k k k k N ++++++=∈则当()*1 n k k N =+∈时， 左边()()()()222222121123116k k k k k k ++=++++++=++(1)(2)(23)=6k k k +++=右边即当1n k =+时，等式也成立.由(1)，(2)得：对*n N ∀∈，等式2222(1)(21)1236n n n n ++++++=成立【方法技巧】证明中的几个注意问题：（1）在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳）（2）在第二步中,证明1n k =+命题成立时,必须用到n k =命题成立这一归纳假设，否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真） （3）明确变形目标（写明结论，才算完整） 变式训练：用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++证明： （1）当1n =时，左边122=⨯=，右边112323=⨯⨯⨯=，左边=右边，等式成立；（2）假设当n k =时，等式成立，即()()()11223341123k k k k k ⨯+⨯+⨯+++=++，则当1n k =+时()()()122334112k k k k ⨯+⨯+⨯++++++()()()()112123k k k k k =+++++ ()()11123k k k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()()()1111123k k k =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以1n k =+，公式成立， 由（1）（2）可知，当*n N ∈时， 公式1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++成立.类型二 归纳——猜想——证明 例2：已知数列()()1111,,,,,14477103231n n ⨯⨯⨯-+ n S 为该数列的前n 项和，计算1234,,,S S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：111144S ==⨯， 2118247287S S =+==⨯ 3212137107010S S =+==⨯， 43131404101310101313013S S =+=+==⨯⨯ 根据上述结果，猜想31n nS n =+.证明：（1）当1n =时，左边114S ==，右边113114==⨯+，猜想成立， （2）假设当()* n k k N =∈时猜想成立，即()()11111447710323131k kS k k k =++++=⨯⨯⨯-++， 那么，当1n k =+时，()()()()11111114477103231312311k S k k k k +=+++++⨯⨯⨯-++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()1313134k k k k =++++()()()()()234134131343134k k k k k k k k ++++==++++ ()()()()()()13111313434311k k k k k k k k ++++===+++++， 所以，1n k =+时，猜想成立，由（1）（2）可知，对于n N ∈，猜想成立，即，*,31n nn N S n ∀∈=+ 【方法技巧】 “归纳—猜想—证明”的一般环节 学生总结 课件展示 框图呈现 变式训练：设0,()ax a f x a x>=+，令111,(),n n a a f a n N *+==∈， (1)写出123,,a a a ，并猜想出数列{}n a 的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论. 五、课堂小结1.归纳法：完全归纳法和不完全归纳法；2.用数学归纳法证明等式：①找准基础，奠基要稳.②用上假设，递推才真.③写明结论，才算完整 3.归纳——猜想——证明 六、当堂检测1.用数学归纳法证明212*122221()n n n N ++++++=-∈的过程中，在验证1n =时，左端计算所得的项为( C )A.1B.12+C.2122++ D. 231222+++ 2.用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N +++=⨯⨯⨯⨯-∈，“从k 到1k +”左端增乘的代数式为221k +（）3.已知数列{}n a 的前n 项和2(2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( B )A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -设计意图：检测学生对本节课内容的掌握程度，锻炼实际应用能力.。
高中数学 数学归纳法2教案 新人教版选修2-2-新人教版高二选修2-2数学教案
§2.3 数学归纳法(2)[学情分析]：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n〔n取无限多个值〕有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。
本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。
[教学目标]：〔1〕知识与技能：理解“归纳法〞和“数学归纳法〞的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法〞证明与正整数有关的数学命题。
〔2〕过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
〔3〕情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
[教学重点]：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
[教学难点]：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
[教学过程设计]：[练习与测试]：1． 使用数学归纳法证明22()nn n N <∈，假设不等式成立，那么n 的取值X 围是〔 〕 A. 2n ≥ B. 3n ≥ C. 4n ≥ D. 5n ≥ 答案：D解：当n 取第一个值5时，命题成立。
2．用数学归纳法证明“*)(11312111N n n n n ∈>++++++ 〞，要证明第一步时，左边的式子= 。
答案：1213413121=++。
3．当*N n ∈时，求证：3()2nn >。
证明：〔1〕当n=1时，左式=32，右式=1，312>，原不等式成立。
〔2〕假设当n=k 时，原不等式成立，即3()2kk >那么当n=k+1时，左式=13333()()22222k k kk k +=>=+132,1,()12k k k k +≥∴≥+>+上式即所以n=k+1时结论成立综合〔1〕〔2〕原不等式对于任意*N n ∈均成立。
高二数学 第二章《2.2.3数学归纳法(1)》教案 新人教A版选修2-2
高中数学 第二章《2.2.3数学归纳法（1）》教案 新人教A 版选修2-2 教学目标知识与技能：了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；过程与方法: 掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点: 了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．教学难点: 用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 教学过程:学生探究过程：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-， 自然数平方和公式2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．怎样证明一个与自然数有关的命题呢？讨论以下两个问题的解决方案：（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．资料1: 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了当n=5时， 5221+ =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f （n ）=n 2+n+41，当n ∈N 时，f （n ）是否都为质数？f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47，f （3）=53，f （4）=61，f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97，f （8）=113，f （9）=131，f （10）=151，… f （39）=1 601．但是f （40）=1 681=412是合数算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．数学运用例1．用数学归纳法证明：等差数列{}n a 中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为1(1)n a a n d =+-．①证：（1）当1n =时，等式左边1a =，等式右边110a d a =+⨯=，等式①成立．（2）假设当n k =时等式①成立，即1(1)k a a k d =+-，那么，当1n k =+时，有111(1)[(1)1]k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=+--．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式①都成立．变式：用数学归纳法证明：等比数列{}n a 中，1a 为首项，q 为公比，则通项公式为11n n a a q -=． 例2．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=．证：（1）当1n =时，等式左边1=，等式右边1=，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k +++⋅⋅⋅+-=，那么，当1n k =+时，有135(21)[2(1)1]k k +++⋅⋅⋅+-++- 222[2(1)1]21(1)k k k k k =++-=++=+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．例3．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=． 证：（1）当1n =时，211=，1(11)(211)16⨯+⨯⨯+=，结论成立． （2）假设n k =时，结论成立，即2222(1)(21)1236k k k k +++++⋅⋅⋅+=， 那么。
高中数学《数学归纳法(第一课时)》教学设计
高中数学《数学归纳法(第一课时)》教学设计一、教材分析1、教学内容数学归纳法是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》第二章推理与证明第3节的内容，主要内容是了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2、地位和作用数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M．那么M是全体正整数的集合，即M=N*）也叫做归纳公理。
不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质。
数学归纳法是高中数学中的一个较难理解的概念，也是一种重要的数学方法。
证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题（例如：数列通项及前n项和等）。
数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．3、教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题，对于数学归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。
4、教学难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设。
如果不会运用“假设当n=k,（k ≥n0，k∈N*）时，命题成立”这一条件，直接将n=k+1代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明。
二、学情分析1、学生知识准备在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”。
这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础。
2、能力储备学生具备一些的从特殊到一般的归纳能力，但对复杂的逻辑推理是模糊的。
人教版高中数学《数学归纳法》教学案例
《数学归纳法》教学案例（第一课时）一、设计思想：根据新课程标准的基本理念-----倡导积极主动、勇于探索的学习方式，设置恰当的教学情景，并通过亲自动手做实验（多米诺骨牌实验），感受事实，发现本质，提高数学的学习兴趣，体会数学推理的严谨性，发展学生的数学思维能力。
二、教材分析：本内容在选修2-2模块中的“推理与证明”这一章中，它的要求是：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
另外,数学归纳法内容抽象,思想新颖,通过对该部分的学习,对培养学生的逻辑思维能力与创新能力,全面提高学生的数学素质有十分重要的意义.三、学情分析：学生在此之前，已了解合情推理和演绎推理，并能用归纳和类比等进行简单的推理，他们虽然知道从特殊的几个事例推出一般结论不一定合理，但对如何为什么不一定明白。
再就是数学归纳法原理的理解上有一定困难，这就要教师创设教学情景，让学生经历数学发现、实验、观察，共同交流合作，寻求解决问题的办法。
四、教学目标：（1）知识与技能：了解“归纳法”和“数学归纳法”的原理；体会用数学归纳法证明的合理性；学会用“数学归纳法”证明的“两个步骤一个结论”的书写格式；初步掌握用“数学归纳法”证明简单的恒等式的方法。
（2）过程与方法：通过列举具体事例，亲自操作并仔细观察多米诺骨牌实验，发现数学归纳法的基本原理，将感性认识上升到理性认识，类比归纳出“数学归纳法”的基本步骤。
（3）情感、态度与价值观：培养大胆猜想，严格论证的辩证思维素质，感受数学推理的严谨性，培养学生对于数学内在美的感悟能力，提高学生学习数学的兴趣。
五、教学重点与难点：（1）重点：对“数学归纳法”的原理的理解，明白“两步一结论的重要性”，特别是第一第二步的辨证关系的理解。
（2）难点：如何理解用“数学归纳法”证题的可靠性和有效性。
六、教学策略与手段：数学实验法，引导发现法、感性体验法，学生合作交流、自主探索，再配合教师适时的引导、点拨、启发，从而使学生获得知识和能力上的发展。
高中数学归纳法教案
高中数学归纳法教案教学目标：1. 了解数学归纳法的基本概念和原理2. 掌握如何运用数学归纳法证明数学命题3. 培养学生的逻辑推理能力和解决问题的方法教学重点和难点：重点：数学归纳法的基本原理和具体应用难点：如何正确运用数学归纳法证明数学命题教学准备：1. PowerPoint课件2. 归纳法证明的例题3. 板书和彩色粉笔教学过程：一、导入环节（5分钟）教师介绍数学归纳法的概念及其在数学证明中的重要性，并引出今天的学习内容。
二、理论讲解（15分钟）1. 教师讲解数学归纳法的基本原理和步骤，如归纳基石、归纳假设和归纳步骤等。
2. 通过具体的数学问题，说明数学归纳法的运用方法和逻辑推理过程。
三、实例分析（20分钟）1. 老师通过归纳法证明一些数列或等式的性质，让学生从实例中了解归纳法的具体应用。
2. 学生逐步跟随老师的引导，尝试自己用归纳法解决一些简单的数学问题。
四、练习演绎（15分钟）1. 学生在小组或个人完成若干道数学归纳法证明的练习题目，加深对归纳法的理解和运用能力。
2. 学生互相交流、讨论和解答疑惑，提高学生的解决问题和合作能力。
五、课堂总结（5分钟）1. 教师对今天的学习内容进行总结，并强调数学归纳法的重要性和实用性。
2. 学生对自己在课堂上的学习和掌握情况进行自我评价。
六、课后作业（5分钟）布置适量的作业，让学生复习梳理今天所学的知识，并提醒学生勤加练习和思考。
教学反思：通过本次教学，学生对数学归纳法的原理和应用有了更深刻的理解，增强了解决数学问题的信心和能力。
在未来的课堂教学中，教师可以增加更多的实例和练习，让学生进一步熟练掌握数学归纳法的运用方法和技巧。
数学归纳法教案完整版课件
数学归纳法优质教案完整版优质课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
着重讲解如何利用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本原理和应用。
2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
3. 培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的概念、原理以及如何运用数学归纳法证明数学命题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个楼梯，引导学生思考如何用最少的步骤走完所有楼梯。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。
（2）通过实例，讲解如何运用数学归纳法证明数学命题。
3. 随堂练习给出两个与自然数有关的数学命题，让学生尝试运用数学归纳法进行证明。
4. 课堂互动学生展示自己的证明过程，教师点评并给予指导。
六、板书设计1. 数学归纳法的概念和原理。
2. 数学归纳法证明数学命题的步骤。
3. 课堂练习题及解答。
七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2（2）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：学生对数学归纳法的掌握程度，以及证明过程中存在的问题。
2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在生活中的应用，如数列求和、递推关系等。
同时，鼓励学生尝试解决更复杂的数学问题，提高自己的逻辑思维能力。
本教案共包含八个部分，涵盖了数学归纳法的概念、原理、应用以及证明过程，旨在培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。
在教学过程中，注意引导学生积极参与，充分发挥学生的主体作用。
通过课后反思和拓展延伸，进一步提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。
高二数学(人教版)选修4-5教案：第17课时 数学归纳法与不等式最新修正版
课 题： 第17课时 数学归纳法与不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是递推的依据。
实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
证明时，关键是k ＋1步的推证，要有目标意识。
二、典型例题：例1、证明：23333)321(321n n ++++=++++ 。
例2、设1->x ，*N n ∈，证明贝努利不等式：nx x n +>+1)1(。
例3、设b a ,为正数，*N n ∈，证明：n n n b a b a )2(2+≥+。
例4、设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的自然数n ，都有S n ＝2)(1n a a n +，证明{a n }是等差数列。
（94年全国文）例5、已知数列811322··，得，…，8212122··n n n ()()-+，…。
S n 为其前n 项和，求S 1、S 2、S 3、S 4，推测S n 公式，并用数学归纳法证明。
（93年全国理）解：计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081 ， 猜测S n ＝()()2112122n n +-+ (n ∈N)【注】从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。
（试值→猜想→证明）【另解】用裂项相消法求和例6、设an ＝12×＋23×＋…＋n n()1 (n∈N),证明：12n(n＋1)<an<12(n＋1)2。
三、小结：四、练习：。
数学人教版高中二年级选修2 《数学归纳法》教学设计
《数学归纳法》教学设计人民教育出版社A版教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，积极参与，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体播放人的多米诺骨牌视频；学生动手参与多米诺骨牌游戏等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：回顾复习，课前准备复习1：类比推理及其一般步骤1、类比推理是由特殊到特殊的推理。
2、类比推理一般步骤：（1）观察、比较（2）联想、类推（3）猜想新结论复习2：归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（回顾复习类比推理和归纳推理目的是为数学归纳法推理的奠定基础。
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高二数学数学归纳法公开课教案一教学目标1、知识和技能目标(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）(2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。
(4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。
2、过程与方法目标通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。
在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3.情感态度价值观目标通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辨证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
二教学重点和难点教学重点（1）使学生理解数学归纳法的实质。
（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。
教学难点：（1）使学生理解数学归纳法证题的有效性；（2）递推步骤中归纳假设的利用和代数恒等变换。
三教学方法：引导发现法.讲练结合法.四教学手段：利用计算机多媒体课件、投影仪讲解教学。
五教学过程：（一）创设情景、探究原理、激起兴趣问题情境一：问题（1）大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？（课件演示）问题（2）：若a n=(n2- 5n+5)2,则a n=(n2-5n+5)2=1问题（3）：若－1＋3= 2－1＋3－5= －3－1＋3－5＋7= 4－1+3－5＋7－9=－5可猜想：－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n吗问题情境二：投影：数学家费马运用不完全归纳得出费马猜想的事例。
小结归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法①完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）②不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）问题情境三：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？多米诺骨牌操作实验问题（4）如何保证任何条件下骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？①处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）②验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）。
（二）导入课题,例练结合,激发思维数学归纳法定义：对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：(1) 先证明当n取第一个值n(例如n=1) 时命题成立，(2) 然后假设当n=k(k∈N＋,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 【回顾问题（3）】例1：用数学归纳法证明：－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n （*）证明: (1)当n=1时,左边=－1,右边=－1,∴当n=1时，结论成立(2)假设当n=k时结论成立，即－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＝（－1）k k在这个假设下再考虑当n=k+1时式（*）的左右两边。
左边＝－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1=（－1）k k ＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1]＝（－1）k＋1 [－k＋2(k+1)－1]＝（－1）k＋1 (k+1)＝右边所以当n=k+1时等式（*）成立。
由（1）（2）可知，－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。
主要有两个步骤、一个结论:（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确（找准起点，奠基要稳）（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确（用上假设，递推才真）（3）由（1）、（2）得出结论(结论写明,才算完整)其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡。
这两步缺一不可。
只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础。
例2用数学归纳法证明：1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2（分析见课件）(三)练习巩固,展示强化,激活思维1、某个命题与自然数n 有关, 如果当n = k ( k∈N＋ ) 时该命题成立 , 那么可推得当n = k + 1 时该命题也成立. 现在已知n = 5 时该命题不成立, 那么请判断以下各命题的正确性：(1) n = 4 时该命题不成立;(2) n = 6 时该命题不成立;(3) n = 1 时该命题可能成立;(4) n = 6 时该命题可能成立. 如果n = 6 时该命题成立, 那么对于任意n≥6 ，该命题都成立.+=+++++++=+kkksskkkks121312111.2，那么设解析: ○1观察1+kkss和， 1)各项分母都是连续的自然数2)第一项的分母分别是2k1k++和3)最后一项的分母分别是222+kk和○2从n=k到n=k+1项数上有什么变化,多了那些项,少了项呢?3.如下用数学归纳发证明对吗？证明：①当n=1时，左边＝21，右边＝21)21(11=-②设n=k时，有当n=k+1时，有211211])21(1[21212121211112+++-=--=++++kkkk）（即n=k+1时，命题成立。
由①②可知，对n∈N+，等式成立4. 用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝)2)(1(31++nnn.（四）归纳小结,自我整合,激升思维.1．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假。
（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。
凑假设凑结论nn)21(12121212132-=＋＋求证：kk)21(12121212132-=＋＋＋③ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k ”时 命题形式的差别。
弄清左端应增加的项。
④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。
可明确为重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
2．数学归纳法的核心思想： 数学归纳法是一种完全归纳法 ,它是在可靠的基础上,利用命题自身具有的传递性,运用“有限”的手段,来解决“无限”的问题。
它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。
(五)布置作业,综合延伸,激动思维 1．课本作业 p 50. 习题4. 1 1，2 2．补充作业:用数学归纳法证明(3) 已知函数)(,1;22)(11-==+=n n x f x x x xx f ),2(*N n n ∈≥ ○1求432,,x x x ; ○2猜测n x 并用数学归纳法证明. (4) θθθθθcot ).2tan()2cos 11)....(4cos 11)(2cos 11(n n=+++3．预习课本P 49例1和例2（六)课后反思,德育欣赏,激励思维❖德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。
6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。
”这就是著名的哥德巴赫猜想.（七） 教学设计思想1、“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。
它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。
只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。
2、本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。
不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。
这会对以后的学习造成极大的阻碍。
3、根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。
通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。
努力使课堂充满平等、民主、和谐的研究气氛，并充分重视全体学生的全面发展，采用模式为（1）创设情景、探究原理，激起兴趣；（2）导入课题，例练结合，激发思维；（3）练习巩固、展示强化、激活思维；（4）归纳小结、自我整合，激升思维；（5）布置作业、综合延伸、激动思维；（6）课后反思、德育欣赏、激励思维。
2)1()1()1(4321).1(1-n 21222+=+++-n n n n ---- nn n n n 212111211214131211).2(+++++=+++ ----4、教学过程中的主要环节1）创设情景，回顾旧知识，并引入新问题，导出“归纳法”的概念，经历数学家的小故事，反衬不完全归纳法的缺憾，引起矛盾冲突，引发学生探索解决的需要，但问题又过于抽象，学生思维受阻，故由多米诺骨牌的课件展示，引导推其一把，在以实践问题解决为主线下，使学生带着问题去主动思考，交流合作，讨论，进而达到对知识的“发现”和主动“接受”。
完成知识的内化，使书本知识成为自己的知识。
2）抽象的概念教学,在以上的铺垫下得以顺畅进行，突出强调归纳法的“两个步骤、一个结论”，并在例练中强调“数归法”的程序化重点“凑假设”和“凑结论”。
3）选择系列由易到难的练习巩固题组,力求让学生提高证明简易恒等式的能力.数学能力的提高离不开解题，所以在解题教学过程中,重点是向学生暴露思维过程和展示学生的思维过程，并重点展示学生发生错误、产生障碍、克服困难、由失败走向成功的经历，解题切入点或突破口的选定要舍得花时间分析引导，解题的每一步深入要真正落实到位，弄清运用到的基本数学方法，提炼数学思想。
只有这样才不至于浮于表面现象，把握问题的本质，才能发现解题前预想不到的深层次的很多问题，使思维的深刻性和批判性得到有效训练。
4）作业课后反思中，布置了课外延伸综合题，使学生思维充分激活、激动起来，并且学生可上网或去调出课件中的材料，通过了解数学家费马、欧拉、哥德巴赫等猜想和故事，并因此激励学生，刻苦学习，努力钻研数学和其他科学知识。