专题4.3 对数与对数函数(精讲精析篇)(原卷版)

专题4.3 对数与对数函数（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 对数的概念与性质

1. 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：

并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2. 对数性质在计算中的应用

(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.

(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 3. 运用对数恒等式时注意事项

(1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：

①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．

(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．

【典例1】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）log 2,log 3m m a b ==,则2a b m +的值为（ ） A ．6

B ．7

C ．12

D ．18

【典例2】()5

2016? 1.2

b a

a b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝ ，b ＝ .

【典例3】对数式log (a －2)(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2，＋∞) D ．(2,3)∪(3,5)

【错解】A

由题意，得5－a >0，∴a <5. 【易错提醒】

对数的底数和真数都有范围限制，不能只考虑真数范围而忽视底数的范围．

热门考点02 对数的化简、求值

1.对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

2.应用换底公式应注意的事项

(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．

(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：

思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．

【典例4】（2020·上海高三专题练习）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则M

N

的值为（ ） A ．

14

B ．4

C ．1

D ．4或1

【典例5】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）计算或化简:5log 333332

2log 2log log 85;9

-+- 【规律方法】

(1)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．

(2)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1

log b a ；log a a n ＝n ，log am b n ＝n

m log a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．

【易错提醒】

(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×

(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误． (2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

热门考点03 对数函数的图象及应用

应用对数型函数的图象可求解的问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【典例6】（2020·上海高一课时练习）函数y x a =-与函数log a

y x =在同一坐标系的图像只可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【典例7】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与 在

同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【典例8】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg ,0

()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪

=⎨⎛⎫-< ⎪

⎪⎝

⎭⎩，若()()f m f m >-，则实

数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(1,)-⋃+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,0)

(0,1)-

D ．(,1)

(0,1)-∞-

【总结提升】

log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图

低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.

【特别提醒】

对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a >0且a ≠1.

(2)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须为1，真数必须为x ，底数a 必须是大于0且不等于1的常数．

热门考点04 对数函数的性质及应用

1.对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”．

(1)当01，a >1时，log a x >0，即当真数x 和底数a 同大于(或小于)1时，对数log a x >0，即对数值为正数，简称为“同正”；

(2)当01或x >1,0

2.比较对数式大小的类型及相应的方法

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类