高中数学一轮复习：排列组合

高中数学一轮复习：排列组合

一、单选题（共10题；共20分）

1.某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )

A. 120种

B. 48种

C. 36种

D. 18种

2.（2019高二下·蓝田期末）18×17×16×?×12×11等于（）

A. A188

B. A189

C. A1810

D. A1811

3.（2018高二下·河北期中）老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n=（）

A. 7

B. 8

C. 11

D. 15

4.若C82x?1=C8x+3，则x的值为（）

A. 1或2

B. 3或4

C. 1或3

D. 2或4

5.（2017高三上·长沙开学考）若二项式（x2+ a

x

）7展开式的各项系数之和为﹣1，则含x2项的系数为（）

A. 560

B. ﹣560

C. 280

D. ﹣280

6.（2018高二下·西安期末）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）

A. 288种

B. 144种

C. 720种

D. 360种

7.（2017高二下·桂林期末）在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）

A. 20

B. 21

C. 22

D. 24

8.从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（）

A. 180

B. 360

C. 480

D. 720

9.（2019·台州模拟）已知(x?1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a5(x+1)5，则a2=（）

A. 20

B. ?20

C. 80

D. ?80

10.（2018高二下·黑龙江月考）学校计划在全国中学生田径比赛期间，安排6位志愿者到4个比赛场地提供服务，要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人，剩下两个比赛场地各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）

A. 168种

B. 156种

C. 172种

D. 180种二、填空题（共10题；共10分）

11.（2019高二下·延边月考）3名男生，2名女生排成一排，女生不排两端，则有________种不同排法.

12.（2019高二下·牡丹江月考）从1，3，5，7四个数中选两个数字，从0，2，4三个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为________

13.（2020·安阳模拟）(ax+1)(x?1)5的展开式中，x3的系数是20，则a=________.

14.（2019高三上·沈阳月考）（1+2x）8（1 +y

4

）4的展开式中x2y2的系数是________．

15.（2020高三上·泸县期末）(1+x)(1?x)5的展开式中含x2项的系数为________.

16.（2020·江西模拟）已知(x2?1)2(x+1)96=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a100(x+1)100，则2a1+

22a2+?+2100a100=________．

17.

观察下列各式：

C10=40

C30+C31=41

C50+C51+C52=42

C70+C71+C72+C73=43

……

照此规律，当n∈N时，

C2n?1

0+C

2n?1

1+C

2n?1

2+···+C

2n?1

n?1=________ .

18.（2020高三上·浦东期末）在(x+

√x

)6的二项展开式中，常数项的值为________

19.（2020高三上·闵行期末）已知(x2?1)8=a0+a1x2+a2x4+???+a8x16，则a3=________ （结果用数字表示）

20.已知(x2

√5x3

5

的展开式中的常数项为T ，f(x) 是以T 为周期的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)=x ，若在区间[-1,3] 内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k 的取值范围是________

三、解答题（共30题；共360分）

21.（2016高二上·衡水期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：

（1）4只鞋子没有成双的；

（2）4只恰好成两双；

（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．

22.（2015高二下·福州期中）已知(√x?√x

3)n的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，

（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．

（2）求（1﹣x）3+（1﹣x）4+…+（1﹣x）n展开式中x2项的系数．

23.（2016高二下·张家港期中）已知在（√x

3﹣

2√x

3

）n的展开式中，第6项为常数项．

（1）求n；

（2）求含x2项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项．

24.（2019高二下·佛山月考）已知二项式(2√x?1

x

)6.

（1）求展开式第4项的二项式系数.

（2）求第4项.

25.（2016高二下·鹤壁期末）已知f （x ）=（2x ﹣3）n 展开式的二项式系数和为512，且（2x ﹣3）n =a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a n （x ﹣1）n （1）求a 2的值；

（2）求a 1+a 2+a 3+…+a n 的值．

26.（2016高二下·姜堰期中）有4名男生，5名女生，全体排成一行． （1）其中甲不在中间也不在两端，有多少种排法？ （2）男女生相间，有多少种排法？

27.6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）

（1）男甲必排在首位； （2）男甲、男乙必排在正中间； （3）男甲不在首位，男乙不在末位； （4）男甲、男乙必排在一起； （5）4名女生排在一起； （6）任何两个女生都不得相邻； （7）男生甲、乙、丙顺序一定．

28.（2018高二上·南通月考）已知函数 f(x)=(1+x)n ,n ∈N ? . （1）当 n =8 时，求展开式中系数的最大项；

（2）化简 C n 02n?1+C n 12n?2+C n 22n?3+?+C n n 2?1 ；

（3）定义： ∑a i n i=1=a 1+a 2+?+a n ，化简： ∑(i +1)C n i n

i=1 .

29.（2017·泰州模拟）已知恒等式（1+x+x 2）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n ． （1）求a 1+a 2+a 3+…+a 2n 和a 2+2a 3+22a 4+…+22n ﹣2a 2n 的值； （2）当n≥6时，求证： A 22 a 2+2A 32 a 3

+…+22n ﹣2

A 2n 2 a 2n ＜49

n ﹣2

． 30.（2016高二下·泰州期中）在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大

系数项恰是常数项． （1）求它是第几项； （2）求 a

b 的范围．

31.（2016高二下·黄骅期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答） 32.（2016高二下·晋江期中）已知 (x 2-2x -3)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+?+a 20(x -1)20 （1）求a 2的值

（2）求a 1+a 3+a 5+…+a 19的值 （3）求a 0+a 2+a 4+…+a 20的值．

33.由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数．

（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？ （2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？ （3）若x=0，其中的偶数共有多少个？

（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．

34.（2016高二下·高密期末）已知（2√

x ）n 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．

（1）求n 的值；

（2）求展开式中所有二项式系数的和；

（3）求展开式中所有的有理项．

35.（2016高二下·晋江期中）有4名男生，3名女生排成一排： （1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？

（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？ （3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？ （4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？

36.（2016高二下·辽宁期中）现有0，1，2，3，4，5六个数字． （1）用所给数字能够组成多少个四位数？

（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？

（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答） 37.（2016高二下·福建期末）已知二项式（ √x 3 ﹣ 1

x ）n 展开式中的各项系数的绝对值之和为128． （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项．

38.（2016高二下·清流期中）若二项式 (√x 2√x 4)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：

（1）展开式中含x 的项； （2）展开式中所有的有理项．

39.（2016高二下·通榆期中）用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？ （1）奇数；

（2）比21034大的偶数．

40.（2016高二下·南安期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．

（1）可以组成多少个不同的四位数？

（2）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？

（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？

41.（2017高二上·湖北期末）已知 (3x 2+√x)n 的展开式各项系数和为M ， (3x 2?√x)n+5 的展开式各项系数和为N ，（x+1）n 的展开式各项的系数和为P ，且M+N ﹣P=2016，试求 (2x 2?1x 2

)2n

的展开式中：

（1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项．

42.（2017高二上·襄阳期末）设（x+2）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n （n ∈N*，n≥2），且a 0 ， a 1 ， a 2成等差数列． （1）求（x+2）n 展开式的中间项；

（2）求（x+2）n 展开式所有含x 奇次幂的系数和．

43.（2016高二上·弋阳期中）某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影． （1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？ （2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？ （3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？

44.（2016高二下·邯郸期中）从1到9这9个数字中任取3个偶数和3个奇数，组成无重复数字的六位数，

（1）有多少个偶数？

（2）若奇数排在一起且偶数排在一起，这样的六位数有多少个？ （3）若三个偶数不能相邻，这样的六位数有多少个？

（4）若三个偶数从左到右的排练顺序必须由大到小，这样的六位数有多少个？

45.（2019高二下·涟水月考）请阅读：当 x >1 时，在等式 1+x +x 2+?+x n

=1?x n 1?x

的两边对 x 求导，得 1+

2x +3x 2+?+nx n?1=

1?nx n?1+(n?1)x n

(1?x)2

，利用上述方法，试由等式 (1+x)n =C n 0+C n 1x +?+C n n?1x n?1+C n n x

n （ x ∈R ，正整数 n ≥2 ）. （1）证明： n[(1+x)n?1?1]=∑n k=2

kC n k x k?1 ；（注： ∑n

i=1

a i =a 1+a 2+?+a n ）

（2）求 C 101+2C 102

+3C 103+?+10C 1010 ； （3）求 12C 1001+32C 1003+52C 1005+?+992C 100

99 . 46.（2016高二下·抚州期中）已知 (x 2√x

)n

的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为 3

14 ．

（1）求n 的值；

（2）求展开式中的常数项．

47.（2015高二下·椒江期中）设m ，n ∈N ，f （x ）=（1+x ）m +（1+x ）n ．

（1）当m=n=5时，若 f(x)=a 5(1?x)5+a 4(1?x)4+?+a 1(1?x)+a 0 ，求a 0+a 2+a 4的值； （2）f （x ）展开式中x 的系数是9，当m ，n 变化时，求x 2系数的最小值．

48.（2016高二下·三门峡期中）二项式 (√x 3x

2)r 展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍．求：

（1）n ；

（2）展开式中的所有的有理项．

49.（2017·南京模拟）设n ∈N * ， n≥3，k ∈N * ． （1）求值： ①kC n k ﹣nC n ﹣1k ﹣1；

② k 2C n

k

?n(n ?1)C n?2k?2?nC n?1

k?1 （k≥2）； （2）化简：12C n 0+22C n 1+32C n 2+…+（k+1）2C n k +…+（n+1）2C n n ．

50.（2019高二下·上海月考）

（1）在 (a

x

?√x

2

)9 的二项展开式中 x 3 的系数为 9

4 ，求实数 a 的值；

（2）若 (3x ?1)7=a 7x 7+a 6x 6+???+a 1x +a 0 ，求 a 1+a 3+a 5+a 7 .

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】D

10.【答案】B

二、填空题

11.【答案】36

12.【答案】60

13.【答案】?1

14.【答案】42

15.【答案】5

16.【答案】0

17.【答案】4n?1

18.【答案】15

19.【答案】-56

20.【答案】"(0,1

4

]"

三、解答题

21.【答案】（1）解：先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，

结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）解：4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，

（3）解：先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，

结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．22.【答案】（1）解：C n0+C n2+…=2n﹣1=512=29

∴n﹣1=9，n=10

= （r=0，1，10）

∵5﹣Z，∴r=0，6

有理项为T1=C100x5，T7=C106x4=210x4

（2）解：∵C n r+C n r﹣1=C n+1r，

∴x2项的系数为C32+C42+…+C102=（C43﹣C33）+…+（C113﹣C103）

=C113﹣C33=164 23.【答案】（1）解：根据题意，可得（√x

3﹣

2√x

3

）n的展开式的通项为T r+1=C n r(x13)n-r(-1

2

x-13)r= (-1

2

)r C n r x10-2r3，

又由第6项为常数项，则当r=5时，n-2r

3=

0，

即n-10

3

=0，解可得n=10

（2）解：由（1）可得，T r+1=（﹣1

2

）r C10r x10-2r3，

令10-2r

3=2

，可得r=2，

所以含x2项的系数为(-1

2

)2C102=45

4

（3）解：由（1）可得，T r+1=（﹣1

2

）r C10r x10-2r3，

若T r+1为有理项，则有10-2r

3

∈Z，且0≤r≤10，

分析可得当r=2，5，8时，10-2r

3

为整数，

则展开式中的有理项分别为45

4

x2,-63

8,

45

256

x-2

24.【答案】（1）解：由已知得(2√x?1

x

)6的展开式的通项是

T k+1=C6k(2√x)6?k(?1x)k=C6k26?k(?1)k x6?3k2(k=0,1,2,?,6)

展开式第4项的二项式系数为C63=20.

（2）解：展开式的第4项为T

4

=?160x?32.

25.【答案】（1）解：（1）由）=（2x﹣3）n展开式的二项式系数和为512，可得2n=512，∴n=9．

∵（2x﹣3）9=[﹣1+2（x﹣1）]9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9，

∴a2= C92?（﹣1）7?22=﹣144．

（2）解：在（2x﹣3）9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9中，令x=1，可得a0=﹣1．

再令x=2，可得a0+a1+a2+a3+…+a n=1，

∴a1+a2+a3+…+a n=2．

26.【答案】（1）解：其中甲不在中间也不在两端，则甲6种选择，其余的任意排，故有6A88=241920种排法（2）解：先排4名男生形成了5个空，把5名女生插入，故有A44A55=2880种排法

27.【答案】解：（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，

（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，

（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，

（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，

（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，"A10

10

A33

"=A107种

28.【答案】（1）解：f(x)=(1+x)8

∴系数最大的项即为二项式系数最大的项

T5=C84x4=70x4

（2）解：f(x)=(1+x)n=C n0+C n1x+C n2x2+?C n n?1x n?1+C n n x n

∴原式=1

2

(C n02n+C n12n?1+C n22n?2+?+C n n20)=1

2

(1+2)n =3n

2

（3）解： ∑(i +1)n

i=1C n i =2C n 1+3C n 2+?nC n n?1+(n +1)C n n ① ∑(i +1)n

i=1C n i =(n +1)C n n +nC n n?1+?3C n 2+2C n 1 ② 在①、②添加 C n 0 ，则得

1+ ∑(i +1)n

i=1C n

i =C n

+2C n

1+3C n

2+?nC n

n?1

+(n +

1)C n

n ③

1+

∑(i

+1)n

i=1C n i =(n +1)C n n +nC n n?1+?3C n 2+2C n 1+1C n

0 ④ ③+④得：

2（1+ ∑(i +1)n

i=1C n i ） =(n +2)(C n 0+C n 1+C n 2+?+C n n?1+C n n )=(n +2)2n ∴ ∑(i +1)n

i=1C n i = (n +2)2n?1?1

29.【答案】 （1）解：令x=0，则a 0=1．

令x=1，则a 0+a 1+a 2+…+a 2n =3n ， ∴a 1+a 2+…+a 2n =3n ﹣1． ∵（1+x+x 2）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n ．

∴两边对x 求导可得：n （1+x+x 2）n ﹣1=a 1+2a 2x+…+2na 2n x 2n ﹣1 ． 令x=0，则n=a 1 ，

由（1+x+x 2）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n ．

令x=2，则 14 ×

7n = 14a 0 + 1

2a 1 +a 2+2a 3+…+22n ﹣2a 2n ． ∴a 2+2a 3+…+22n ﹣2a 2n = 14×7n ﹣ 14 ﹣ 1

2n

（2）证明：∵（1+x+x 2）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n ． ∴两边对x 求导可得：n （1+x+x 2

）n ﹣1

（1+2x ）=a 1+2a 2x+…+2na 2n x

2n ﹣1

，

再一次求导可得：n[（n ﹣1）（1+2x ）2+2]（1+x+x 2）n ﹣2

=2a 2+3×2a 3x+…+2n （2n ﹣1）a 2n x

2n ﹣2

，

A k 2 =k （k ﹣1）， 令x=2可得： A 22 a 2+2A 32 a 3

+…+22n ﹣2

A 2n 2 a 2n =n[25（n ﹣1）+2]×

7n ﹣2 ， n≥6时，n[25（n ﹣1）+2]＜7n ﹣2 ，

∴ A 22 a 2+2A

32 a 3

+…+22n ﹣2

A 2n 2 a 2n =n[25（n ﹣1）+2]×

7n ﹣2＜49n ﹣2 ． 30.【答案】 （1）解：设T r+1=C 12r （ax m ）12﹣r ?（bx n ）r =C 12r a 12﹣r b r x m （12﹣r ）+nr 为常数项， 则有m （12﹣r ）+nr=0，即m （12﹣r ）﹣2mr=0，∴r=4，它是第5项

（2）解：∵第5项又是系数最大的项，

∴有 {c 124a 8

b 4≥

c 123a 9b 3①c 124a 8

b 4≥

c 125a 7b 5②

由①得a 8b 4≥ 4

9 a 9b 3 ，

∵a ＞0，b ＞0，∴ 9

4 b≥a ，即 a b ≤ 9

4 ． 由②得 a

b ≥ 8

5 ， ∴ 8

5

≤ a

b ≤ 94

31.【答案】 （1）解：符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时有A 53个；

第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A 41种），十位和百位从余下的数字中选（有A 42种），

于是有 A 41?A 42

个；

第三类：4在个位时，与第二类同理，也有 A 41?A 42 个．

由分类加法计数原理知，共有四位偶数：

A 5

3+

A 4

1?

A 42+A 4

1?

A 4

2=156 个

（2）解：符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A 54个；个位数上的数字是5的五位数有 A 41?

A 43 个．故满足条件的五位数的个数共有 A 54+A 41?A 43=216 个

（3）解：符合要求的比1325大的四位数可分为三类：

第一类：形如2，3，4，5，共 A 41?A 53 个； 第二类：形如14□□，15□□，共有 A 41?A 42 个； 第三类：形如134□，135□，共有 A 21?A 31 个；

由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有： A 41?A 53+A 41?A 42+A 21?A 31=270 个． 32.【答案】 （1）解：令x ﹣1=t ，则已知条件即 （x 2﹣2x ﹣3）10=[t 2﹣4]10=a 0+a 1

(t 2-14)10=a 0+a 1t +a 2t 2+?+a 20t 20 ．

可得 a 2=c 109

?(-4)9=-49×10

（2）解：令t=1可得 a 0+a 1+a 2+?+a 20=310 ；再令t=﹣1可得 a 0-a 1+a 2-a 3?+a 20=310 ， ∴a 1+a 3+a 5+…+a 19=0

（3）解：由（2）可得a 0+a 2+a 4+…+a 20=310

33.【答案】 解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；

又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，

在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况， 即能被5整除的三位数共有6个；

（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；

又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9， 取出的三个数字为1、2、9时，有A 33=6种情况， 取出的三个数字为2、4、9时，有A 33=6种情况， 则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数； （3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；

又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，

当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况， 当末位是2或4时，有A 21×A 21×A 21=8种情况， 此时三位偶数一共有6+8=14个，

（4）若x=0，可以组成C 31×

C 31×C 21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次， 则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意， 故x=0不成立；

当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C 41×C 31×C 21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字， 则每个数字用了"72

4"=18次，

则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x=7．

34.【答案】 （1）解：二项式（x+ 2√

x ）n 展开式的通项公式为 T r+1= C n r ?x n ﹣r ? (2√x )r = C n r ? (1

2

)r ? x n?3

2r ，（r=0，1，2，…，n ）； 根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得

C n 1 ? 1

2 = C n 2 ? (1

2

)2 ，即 1

2 n= 1

4 ? n(n?1)2

，

解得n=5；

（2）解：展开式中所有二项式系数的和为

C 50 + C 51 + C 52 +…+ C 55 =25=32

（3）解：二项式展开式的通项公式为 T r+1= C 5r

?

(1

2)r

? x

5?32

r ，（r=0，1，2，…，5）；

当r=0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为 T 1=

C 5

0 ?

(12)0 ?x 5=x 5

，

T 3= C 52 ? (12)2

?x 5﹣3= 52 x 2 ， T 5= C 5

4 ? (1

2)4

x

5﹣6

=

5

16x

35.【答案】 （1）解：由题意可得从中选出3人排成一排的方法种数为 A 73 =210 （2）解：间接法：总的方法种数共 A 77 =5040，去掉男生甲站排头，女生乙站在排尾 共2

A 66

=1440，而其中重复的为男生甲站排头，同时女生乙站在排尾的

A 55

=120

故总的方法种数为：5040﹣1440+120=3720

（3）解：捆绑法：把3名女生看作1个元素与其它排列共 A 55 =120种，

再对3名女生作调整共 A 33 =6种，由分步计数原理可得共120×6=720

（4）解：插空法：先排4名男生共 A 44 =24种，在把3名女生插到所产生的5个空位， 共 A 53

=60种，由分步计数原理可得共24×60=1440

36.【答案】 （1）解：能够组成四位数的个数为：5×6×6×6=1080

（2）解：能组成没有重复数字的五位数的个数为： A 51?A 54 =600

（3）解：比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，其中：

六位数有： C 51?A 55=5×5×4×3×2×1=600 ； 五位数有： A 51?A 54 =600；

四位数有千位是4或5的，千位是3的，而千位是4或5的有 C 51?A 53=2×5×4×3=120 ；

千位是3的分为百位是2、4、5的与百位是1的，

百位是2、4、5的有 C 31?A 42=3×4×3=36 ，

百位是1的分为十位是4和5两种情况，十位是5的有3种，十位是4的有1种， 所以共有600+600+120+36+3+1=1360．

答：能组成四位数1080个；没有重复数字的五位数600个；比3142大的数1360个 37.【答案】 （1）解：二项式（ √x 3 ﹣ 1

x ）n 展开式中的各项系数的绝对值之和为128， 即为各项二项式系数之和为128，即2n

=128得n=7， 则二项式（ √x 3 ﹣ 1

x ）7展开式的通项为（﹣1）r C 7r x 7?4r 3

，

∵C 73

=C 74=35，

∴当r=4时，展开式中系数最大， ∴展开式中系数最大的项为35x ﹣3

，

（2）解：当

7?4r 3

为整数时，即r=7，4，1

∴展开式中所有的有理项（﹣1）7C 77x ﹣7=﹣x ﹣7 ， 或35x ﹣3 ， ﹣7x

38.【答案】 （1）解：二项式的展开式的通项公式为： T r+1=C n r (√x)n -r (

2√x

4

)r =C n r

1

2r

x 2n -3r

4

前三项的r=0，1，2

得系数为 t 1=1,t 2=C n

1?1

2=1

2n ,t 3=C n 2

?1

4=1

8n(n -1) 由已知： 2t 2=t 1+t 3,n =1+1

8n(n -1) 得n=8

通项公式为 T r+1==C 8

r 12

r x 16-3r

4

令16﹣3r=4，得r=4，得 T 5=358

x

（2）解：当r=0，4，8时，依次得有理项 T 1=x 4,T 5=C 8

4

1

24x =358

x ,T 9=C 8

8

128

x -2=

1

256

x 2 39.【答案】 （1）解：先排个位，再排首位，其它任意排，可组成奇数个数为

A 21A 31A 33=36

个奇数

（2）解：①当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3×A 33=18个． ②当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2×A 33=12个．

③当末位数字是4时，首位数字是3的有A 33=6个，首位数字是2时，有3个，共有9个． 综上知，比21034大的偶数共有18+12+9=39个

40.【答案】 （1）解：用间接法，从6个数中，任取4个组成4位数，有A 64种情况，

但其中包含0在首位的有A 53种情况，

依题意可得，有A 64﹣A 53=300个，

（2）解：先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意，

故有A 51C 53A 22=100个，

（3）解：千位是1的四位数有A 53=60个，

千位是2，百位是0或1的四位数有2A 42=24个， ∴第85项是2301

41.【答案】 （1）解：∵M+N ﹣P=4n +2n+5﹣2n =（2n ）2+31?2n =2016， ∴（2n ）2+31?2n ﹣2016=0， ∴（2n +63）（2n ﹣32）=0， ∴2n =32， ∴n=5， ∴

的展开式的通项

，

的展开式共有11项，二项式系数最大的项为中间项第6项，其值为

（2）解：第r+1项T r+1的系数的绝对值为 ， 若第r+1项T r+1的系数的绝对值最大，则{

，

可得 ，又r ∈N * ， ∴r=3，

故系数的绝对值最大的项为

42.【答案】（1）解：，∴，

∵a0，a1，a2成等差数列，∴

解得：n=8或n=1（舍去）

∴（x+2）n展开式的中间项是

（2）解：在(x+2)8=a0+a1x+a2x2+?+a8x8中，

令x=1，则38=a0+a1+a2+a3+…+a7+a8

令x=﹣1，则1=a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7+a8

两式相减得：

∴

43.【答案】（1）解：把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种，

且甲、乙的位置还可以互换

∴不同站法有A44?A22=48种．

（2）解：除甲乙两人外其余3人的排列数为A33，

而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；

且甲、乙位置可以互换．故有C42A22种排列方式．

∴不同站法有A33?C42A22=72种．

（3）解：优先考虑甲：

若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A44种；

若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，

再从除最右端的省余的3个位置给

乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C31C31A33种；

∴不同站法有A44+C31C31A33=78种．

44.【答案】（1）解：先从4个偶数中选一个为偶数，在从剩下3个偶数选2个和从5个奇数中选3个，把这5个数全排，故有C41C32C53A55=14400种，

（2）解：把所选的3个奇数，和3个偶数分别捆绑在一起，再全排，故有A43A53A22=2880种，

（3）解：把所选的三个偶数插入到所选的3个奇数所形成的4个空中，故有C43A53A43=5760种，

（4）解：所选的3个偶数共有6种顺序，其中三个偶数从左到右的排练顺序必须由大到小是其中一种，故有1

6

C43C53A66=4800种

45.【答案】（1）证明：由(1+x)n=C n0+C n1x+?+C n n?1x n?1+C n n x n，

两边对x求导得n(1+x)n?1=C n1+2C n2x+3C n3x2+?+nC n n x n?1?,

所以n[(1+x)n?1?1]=2C n2+3C n3x2+?+nC n n x n?1=∑n k=2kC n k x k?1.

（2）解：在①式中，令n=10,x=1得

C101+2C102+3C103+?+10C1010=10(1+1)10?1

=10?29=5120.

（3）解：将?式两边同乘以x得nx(1+x)n?1=C n1x+2C n2x2+3C n3x3+?+nC n n x n 两边对x求导得，n[(1+x)n?1+x(n?1)(1+x)n?2]=C n1+22C n2x+32C n3x2+?+n2C n n x n?1，

取n=100得，C100

1+22C

100

2x+32C

100

3x2+?+1002C

100

100x99=100[(1+x)99+99x(1+x)98]

=100(1+100x)(1+x)98，令x=1得，C1001+22C1002+32C1003+?+1002C100100=100×101×298，令x=?1得，C100

1?22C

100

2+32C

100

3+??1002C

100

100=0，

两式相加得，2(C100

1+32C

100

3+52C

100

5?+992C

100

99)=25×101×2100，

所以12C1001+32C1003+52C1005?+992C10099=2525×299.

46.【答案】（1）解：由题设，得c n2(-1)2:c n4(-1)4= 3

14

，

则

n(n-1)

2

n(n-1)(n-2)(n-3)

4?3?2

= 3

14

?4

(n-2)(n-3)=

1

14

?n2﹣5n﹣50=0?n=10或n=﹣5（舍）

（2）解：T r+1=c10r(x2)10?r(-1)r(

√x

)r= c

10x

r20-2r-1

2

r(-1)r

当20-2r-1

2

r=0

即当r=8时为常数项T9=c108(-1)8r=c102=45

47.【答案】（1）解：当m=n=5时，f（x）=2（1+x）5，令x=0时，f（0）=a5+a4+…+a1+a0=2，

令x=2时，f（0）=﹣a5+a4+…﹣a1+a0=2×35，

相加可得：a0+a2+a4= =244

（2）解：由题意可得：?m1+?n1=m+n=9．

x2系数= ?m2+?n2= m2?m+n 2?n

2

= = = (m?9

2

)2+ 63

4

．

又m，n∈N，∴m=4或5，其最小值为16．

即或时，x2系数的最小值为16

48.【答案】（1）解：开式的通项为T r+1=(?1

2

)r C n r x4r?n3，

据题意有C n4=4×(?1

2

)2?C n2，，

解得n=6

（2）解：展开式的通项为T r+1=(?1

2

)r C6r x4r?63= (?1

2

)r C6r x4r?63?2，

当r是3的倍数时，为有理项，

所以r=0，3，6，

T1=x?2,T4=?5

2

x2,T7=x6

64

49.【答案】（1）解：

①=

②k2C n k?n(n?1)C n?2

k?2?nC

n?1

k?1

= k2×n!

k!(n?k)!

?n(n?1)×(n?2)!

(k?2)!(n?k)!

= = ．

（2）解：方法一：由（1）可知当k≥2时 (k +1)2C n k =(k 2+2k +1)C n k =k 2C n k +2kC n k +C n k = [n(n ?1)C n?2k?2+

nC n?1k?1]+2nC n?1k?1+C n k =n(n ?1)C n?2k?2+3nC n?1k?1+C n

k ． 故

=

=（1+4n ）+n （n ﹣1）2n ﹣2+3n （2n ﹣1﹣1）+（2n ﹣1﹣n ）=2n ﹣2（n 2+5n+4）．

方法二：当n≥3时，由二项式定理，有 (1+x)n =1+C n 1x +C n 2x 2+?+C n k x k +?+C n n x

n ， 两边同乘以x ，得 (1+x)n x =x +C n 1x 2+C n 2x 3+?+C n k x k+1+?+C n n x

n+1 ， 两边对x 求导，得 (1+x)n +n(1+x)n?1=1+2C n 1x +3C n 2x 2+?+(k +1)C n k x k +?+(n +1)C n n x n ， 两边再同乘以x ，得 (1+x)n x +n(1+x)n?1x 2=x +2C n 1x 2+3C n 2x 3+?+(k +1)C n k x k+1+?+(n +

1)C n n x n+1 ，

两边再对x 求导，得（1+x ）n +n （1+x ）n ﹣1x+n （n ﹣1）（1+x ）n ﹣2x 2+2n （1+x ）n ﹣1x= 1+22C n 1x +32C n 2x 2+?+

(k +1)2C n k x k +?+(n +1)2C n n x

n ． 令x=1，得2n +n2n ﹣1+n （n ﹣1）2n ﹣2+2n2n ﹣

1=

，

即

=2n ﹣2（n 2+5n+4）

50.【答案】 （1）解： (a x

?√x 2

)9 的二项展开式通项为： T r+1=C 9r (a x

)9?r (?√x

2

)r =2

)r a 9?r C 9r x 3r?18

2

当

3r?182

=3 ，即 r =8 时， T 9=√

2)8aC 98x 3=9a

16x 3

又 x 3 的系数为 9

4 ， ∴9a

16=9

4 ，解得： a =4

（2）解：令 x =1 得： a 7+a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=27 ……① 令 x =?1 得： ?a 7+a 6?a 5+a 4?a 3+a 2?a 1+a 0=?47 ……② ① ? ②得： 2a 7+2a 5+2a 3+2a 1=27+47=16512 ∴a 1+a 3+a 5+a 7=8256