论电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
电动力学结课论文
题目：《论电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量》
学校：海南师范大学
学院：物理与电子工程学院
学年：2015—2016学年
班级：2013级物理（2）班
学科：电动力学
授课老师：曾卓全教授
成员：马秋良（201306010225）
李倩楠（201306010213）
吕文灿（201306010224）
李丽阳（201306010212）
欧阳春蔡（201306010226）
二0一五年十二月
小组分工
视频部分：视频录制的选题过程全组成员积极参与，其中包括了视频题目的确定，课堂互动问题。
视频录制过程中：授课人：李倩楠
听课人：欧阳春蔡，李丽阳，吕文灿，马秋良
视频录制人：吕文灿
师生互动：李倩楠，欧阳春蔡，李丽阳，马秋良
点评：全员参与
视频编辑：欧阳春蔡
论文资料全员分工收集
论文的排版，组合整理：马秋良
电子版书写：吕文灿
组内成员付出：
在此次电动力学期末考试的小组准备中，全体成员认真对待，全员积极参与，从选题到论文书写，视频录制等工作。在此过程中每个人都认真付出。我们觉得没有付出的多少和功劳大小之分，只是分工不同罢了，固此我们上商议决定大家均分功劳。
贡献率：李倩楠20%
吕文灿20%
马秋良20%
欧阳春蔡20%
李丽阳20%
摘要：在微观领域内需要用量子力学来解决粒子运动问题，而量子力学是用哈密顿量或拉格朗日量来描述粒子系统的力学性质的。在量子力学中，哈密顿占有十分重要的地位。因此，这是我们从经典电动力学范围引入带电粒子在电磁场中运动的拉格朗日量和哈密顿量，不仅是为了提出解决经典运动的方法，同样重要的是通过对应原理可以把它们过度到量子力学的量，从而为解决微观粒子子运动问题提供必要基础。
关键字：电磁场 分析力学 带电粒子 经典电动力学 哈密顿量 拉格朗日量
正文：在理论力学中我们知道，把力学方程表为分析力学形式具有 更普遍的意义，以为这样做可以在一般广义坐标下研究力学系统的运动，因而对力学系统的性质可以作出更普遍的推论。另一方面，在微观领域内带电粒子的运动问题占有重要地位。微观领域内需要用量子力学解决粒子运动问题，在量子力学中是用哈密顿量或拉格朗日量描述粒子系统的力学性质的。
拉格朗日量的定义：
假定一个物理系统的拉格朗日量为L ，则此物理系统的运动以拉格朗日方程表示为
i i =t q q d L L d ???? （） 其中t 是时间，i q ?是广义坐标，i q 是广义速度。 来源：1788年，约瑟夫·路易斯·拉格朗日力学是对经典力学的一种新的理论，表述。重于数学解析的方法，是分析力学的重要组成部分。它有一个基本假设是具有n 个自由度的系统，其运动状态完全由n 个广义坐标及广义速度决定。力学系统的运动状态，由一个广义坐标和广义速度的函数描述。此函数即拉格朗日量（函数）。
电磁场中的拉格朗日形式
1、电磁场中带点粒子的拉格朗日形式：
当体系所受到的里不是通常意义下的保守力，此时广义力为
u u =-+q t q d Q d ααα???? 其中u=u q q （，）
将此式代入理想完整体系的拉格朗日方程
-=t q q d T T Q d ααα????
令L=T-u ，可得保守体系的拉格朗日方程
-=0 (1,2...)t q q d L L S d ααα??=??
此式表明：存在广义势能（u 函数）的保体系，其动力学方程仍可使用保守体系拉格朗日方程的形式，但需要用广义势能u 去取代普通意义的势能V 。带电粒子在电磁场中的运动便是，推导如下：
带电荷q 的粒子在电场 和磁场 中运动时所受到洛伦兹力为：
q F E B υ=? （+）
电场和磁场本身的运动满足Maxwell 方程组
00000t -=j t =0B E E E B B ρεμεμ????+=?????=????????????
根据矢量分析恒等式0A ???≡
由方程组中第四式有： B A =??
将上式代入方程组第一式中可得：
=0t A E ???? （+）
根据恒等式0????≡定义一个标量函数?：
t A E ??-?=+?
其中A 为电磁场的失势,?为电磁场的标势
此时，洛伦兹力可表示为：
q (t A F A ?υ???=-?-+????????
） 因
x =t ?
????（） y x x z y z x ---x y z t A A A A A υυυ?????????=?????? （）（）（）
x x =t t A A ????（） 所以有:
y x x x z x y z q --+---x t x y z x A A A A A F ?υυ????????=??????????（）（）
失势 中坐标变量x ，y ，z 是粒子在t 时刻的空间位置，它们对时间的微商
即为粒子速度：x x=υ ，y y=υ ，z z=υ 因此x x x x x x y z =++t
t x y z dA A A A A d υυυ???????? y x x z x x y z d =q --++x t x x x A A A A F ?υυυ??????∴?????????
考虑A 到与?都不是υ的函数，因此：
x x x =-+t t t dA d d A A d d d d d υ?υυυ????=???? （）（）
y x z x y z +=x y z x x A A A A A υυυυυ?????=????? （）
于是x F 可表示为：
x x =q -+++x t d A A d ?υ?υυ?????????? F （）（）
u=q -q A ?υ∴ 有即带电粒子在电磁场中的广义势能
则带电粒子在电磁场中的拉格朗日量为：
21=m -q +q 2L A υ?υ 哈密顿量的定义：
量子力学中哈密顿量H ，是一个描述系统总能量的算符。它在大部分公式中十分重要。通过经典力学的分析，哈密顿量通常被表述为系统功能和势能之和。H=T+V 。
电磁场种的哈密顿形式：
在拉格朗日量L 的动力学体系中
i i =q L P ??
系统的哈密顿量为： =q
-i i i H P L ∑
哈密顿正则方程
i i q =H P ?? i i =-q H P ??
在磁场中带电粒子运动的情况下： 0i i i 2i 2m +qA 1-c L P υυυ?=
=? 带电粒子的哈密顿量为：
2
022m c +q 1-c H P L υ?
υ=-=
哈密顿量表示为：
22240(q )c +m c +q H P A ?=-
非相对论情形
当v 《 c 时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形的量。 当v 《 c 时，拉格朗日量变为
201m -q -A 2H υ?υ= （） 当v 《 c 时，哈密顿量变为
201q +q 2m H ?=（P-A ）
固此可得在非相对论情形下，拉格朗日量和哈密顿量与分析力学中一样。
注：文中小矩形为点乘
总结：该次论文准备在学习知识的专业程度上，存在很大不足，次论文为本组同学归纳总结出的一些知识点和见解仍存在一些值得改进的地方，接受老师的批点与指导。全组成员在此向老师的授学表示真诚的谢意。
参考文献
《电动力学》第三版郭硕鸿著
《电磁学》第三版梁灿彬，秦光戎，梁竹健原著https://www.360docs.net/doc/eb11490924.html,（名词性知识搜索）
电磁场中的基本物理量和基本实验定律.
第二章 电磁场中的基本物理量和基本实验定律 2.1电磁场的源量——电荷和电流 一、电荷与电荷密度 C e 1910602.1-?+= 1、 自然界中最小的带电粒子包括电子和质子——电子电荷量 191.60210C e -=-?←基本电荷量 一般带电体的电荷量 ,3,2,1±==n ne q 2、电荷的几种分布方式 从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中，从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假设电荷是以连续的形式分布在这个范围内中。 空间中——体电荷 面上——面电荷 线上——线电荷 体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。 体电荷密度)(r ' ρ定义： 在电荷空间V 内，任取体积元V ?，其中电荷量为q ?，则 ?'=?=??='→?v v dv r q dv dq v q lin r )()(0 ρρ 3/m c 面电荷：当电荷存在于一个薄层上时，称其为面电荷。 面电荷密度)(r s ' ρ的定义： 在面电荷上，任取面积元s ?，其中电荷量为q ?，则 ds r q ds dq s q lin r s s s s ?'=?=??='→?)()(0 ρρ 2/m c 线电荷：当电荷只分布于一条细线上时，称其为线电荷。 线电荷密度)(r l ' ρ的定义： 在线电荷上，任取线元l ?，其中电荷量为q ?，则 dl r q dl dq l q lin r s l l l ?'=?=??='→?)()(0 ρρ 点电荷：当电荷体积非常小，q 无限集中在一个几何点上可忽略时，称为点电 荷。 点电荷的)(r δ函数表示：∞→?=→?v q lin v 0ρ，保持总电荷不变，
建模与仿真
第1章建模与仿真的基本概念 参照P8例子，列举一个你相对熟悉的简单实际系统为例，采用非形式描述出来。 第2章建模方法论 1、什么是数学建模形式化的表示？试列举一例说明形式化表示与非形式化表示的区别。 模型的非形式描述是说明实际系统的本质，但不是详尽描述。是对模型进行深入研究的基础。主要由模型的实体、包括参变量的描述变量、实体间的相互关系及有必要阐述的假设组成。模型的非形式描述主要说明实体、描述变量、实体间的相互关系及假设等。 例子：环形罗宾服务模型的非形式描述： 实体 CPU，USR1，…，USR5 描述变量 CPU:Who,Now(现在是谁)----范围{1,2,…,5}; Who.Now=i表示USRi由CPU服务。 USR：Completion.State（完成情况）----范围[0，1]；它表示USR完成整个程序任务的比例。参变量 X-----范围[0，1]；它表示USRi每次完成程序的比率。 i 实体相互关系 （1）CPU 以固定速度依次为用户服务，即Who.Now为1，2，3，4，5，1，2…..循环运行。 X工作。假设：CPU对USR的服务时间固定，不（2）当Who.Now=I,CPU完成USRi余下的 i X决定。 依赖于USR的程序；USRi的进程是由各自的参变量 i 2、何谓“黑盒”“白盒”“灰盒”系统？ “黑盒”系统是指系统内部结构和特性不清楚的系统。对于“黑盒”系统，如果允许直接进行实验测量并通过实验对假设模型加以验证和修正。对属于黑盒但又不允许直接实验观测的系统，则采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。 对于内部结构和特性清楚的系统，即白盒系统，可以利用已知的一些基本定律，经过分析和演绎导出系统模型。 3、模型有效性和模型可信性相同吗？有何不同？ 模型的有效性可用实际系统数据和模型产生的数据之间的符合程度来度量。它分三个不同级别的模型有效：复制有效、预测有效和结构有效。不同级别的模型有效，存在不同的行为水平、状态结构水平和分解结构水平的系统描述。 模型的可信度指模型的真实程度。一个模型的可信度可分为： 在行为水平上的可信性，即模型是否重现真实系统的行为。 在状态结构水平上可信性，即模型能否与真实系统在状态上互相对应，通过这样的模型可以对未来的行为进行唯一的预测。 在分解结构水平上的可信性，即模型能否表示出真实系统内部的工作情况，而且是惟一表示出来。 不论对于哪一个可信性水平，可信性的考虑贯穿在整个建模阶段及以后各阶段，必须考虑以下几个方面： 1在演绎中的可信性。2在归纳中的可信性。3在目的方面的可信性。 4、基于计算机建模方法论与一般建模方法论有何不同？（P32） 经典的建模与仿真的主要研究思路，首先界定研究对象-实际系统的边界和建模目标，利用已有的数学建模工具和成果，建立相应的数学模型，并用计算装置进行仿真。这种经典的建
影响我的个思维模型
影响我的个思维模型公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
影响我的38个思维模型 理论和概念总是极尽简化之能，以保证它们的普适性。简化后的理论就像一个个种子，把它交给不同的人，有人直接拿着煮了一锅粥（鸡汤），解了当下饥渴；有人则埋到生活的土壤里，历经数年，悉心浇灌，终于枝繁叶茂，果实累累。回头再看那些煮粥的人，它们依然在寻寻觅觅，左冲右突，四处寻找新的种子，希望从种子本身汲取养分，依然不知种子的能量只有在土壤之中才能得到发挥。英国统计学家乔治·博斯（George Box）曾说：所有模型都是错的，但是有一些是有用的。以下是几年来积累的，影响我的思维模型或者富有哲理的话，是构筑我思维方式的基石。1、世界的底层是不确定性，世界上的事情没有已定之规（海森堡不确定原理）；2、说服力的基础是非理性，人是非理性的；3、时间是价值最重要的维度，人最宝贵的是时间；4、资源是稀缺性；5、人可以隐藏自己的真实想法；6、对未知的恐惧，未知状态理性毫无用武之地；7、变化不是究竟，不是根本，而是现象；8、实了因之所了，非生因之所生。从本质解决问题，销落诸念，放下杂念，达到空的境界。每一次都是一种体验。9、蝴蝶效应：动态的系统中，初始系统的中微小变化带动了系统长期连锁反应，引起结果的迥然不同；10、非连续性，抛却
经验的局限性（未来是不可预知的）；11、搞懂需求是解决问题的捷径；12、抓住那些不变的东西，并保证他们的质量，生活工作皆如此，例如人的需求，无论什么地位的人基础需求永远是一张舒适的床、良好的人际关系、美食、性生活；13、文化和基因共同促进了人类的发展；14、理性是在感性的基础之上，我们后天学习的东西都是理性，理性是把人往回拉的力量。但是驱动一个人，是他的内在感受、他的情绪、他的底层操作系统；15、在点上纠结是得不出本质的答案，要摆脱点上的情绪与痛苦，跳出来从线和面上来考虑如何达到我们想要的高度；16、真实我们的思想、思维以言行的形式在现实中传递，会得到反馈，我们害怕自己的真实想法会得到批评，而隐藏或美化自己的真实想法，这种对社会不认同的恐惧，让我们自欺欺人，得到只是暂时的心理安慰，而失去的是根据反馈检验、调整自己的认知的机会。真实的思考表达，让我们可以进入进化的力量旋涡中，正向增益。17、反馈系统，有效的反馈机制包含时间节点，学习如此、工作亦如此，其核心是真实、客观18、进化的力量，生物、知识、文化都是进化的，将真实放入反馈系统之中，才能得到一个良性的进化系统19、直面恐惧是解决问题的第一步，也是最关键的一步20、概念是知识的重要元素21、成就=核心算法·大量重复动作^2（曾国藩，世上之事唯勤与恒二字）
第一节磁场基本物理量何铁磁性材料
第一节磁场基本物理量和铁磁性材料 一、电磁场的基本物理量 为了更好地理解磁场的基本性质，介绍四个常用的基本物理量，即磁感应强度Ｂ、通Φ、磁导率μ、磁场强度Ｈ。 1、磁感应强度Ｂ 磁感应强度Ｂ是反映磁场性质的参数.它的大小反映磁场强弱,它的方向就是磁场的方向. 若在磁场中某一区域，磁力线疏密一致，且方向相同，则称该区域为匀强磁场或均匀磁场.在均匀磁场内，磁感应强度处处相同。场 内某点磁力线的方向即磁感应强度的方向，磁力线的多少就表示磁感应强度的大小。 一载流导体在磁场中受电磁力的作用，如图3-1所示。电磁力的大小就与磁感应强度Ｂ、电流I、垂直于磁场的导体有效长度L成正比。公式为 F＝BILsinα（3一1） 式中,α为磁场与导体的夹角；Ｂ为磁感应强度，单位是特斯拉（T），工程上也曾用高斯（Gs）。两个单位的大小关系是:1 Gs=10-4 T。 若α＝90°，则 F＝BIL （3一2） 电磁力的方向可用左手定则来确定。 2、磁通Φ
磁感应强度B和垂直于磁场方向的某一面积S的乘积称为该截面的磁通Φ。若磁场为匀强磁场，Φ的大小为： Φ= BS (3-3) 磁通Φ的单位为韦伯(Wb), 工程上过去常用麦克斯韦(Mx), 两个单位的大小关系是:1Mx=10-8Wb。 磁力线垂直穿过某一截面, 磁力线根数越多,就表明磁通越大; 磁通越大就表明在一定范围中磁场越强。由于磁力线是首尾闭合的曲线，所以穿入闭合面的磁力线数，必等于穿出闭合面的磁力线数，这就是磁通的连续性。 3、磁导率μ 磁导率μ是用来衡量磁介质磁性性能的物理量。 如图3-2所示一直导体，通电后在导体周围产生磁场,在导体附近一处X点的磁感应强度B与导体中的电流I及X点所处空间几何位置、磁介质μ有关。公式为: （3-4） 由式（3-4）可知磁导率μ越大，在同样的导体电流和几何位置下，磁场越强，磁感应强度B越大，磁介质的导磁性能越好。 不同的介质，磁导率μ也不同，例如真空中的磁导率μ0=4π×10-7H/m,一般磁介质的磁导率μ与真空中磁导率μ0的比值，称为相对磁导率，用表示μr表示，即 （3-5） 磁导率μ的单位为亨/米（H/m）。 根据相对磁导率不同，我们往往把材料分成三大类，第一类μr略小于1，称为逆磁材料，如铜、银等，第二类μr略大于1，如各类气体、非金属材料、铝等，这两类的的相对磁导率μr约等于1，所以常统称为非铁磁性材料；第三类为铁磁性物质，如铁、钴、镍及其合金等，它们的磁导率很高，相对磁导率μr远远大于1，可达几百到上万，所以电气设备如变压器、电机都将绕组套装在用铁磁性材料制成的铁心上。 需要注意的是，铁磁性物质的磁导率μ是个变量，它随磁场的强弱而变化。 4、磁场强度H 磁场强度H也是磁场的一个基本物理量。磁场内某点的磁场强度H等于该点磁感应强度B除以该点的磁导率μ，即 （3-6） 式中，H为磁场强度，单位为安/米（A/m） 由图3-2可知X点的磁场强度H为
量子力学典型例题分析解答1
浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用
1哈密顿原理
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；
四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和
原子模型发展史
原子结构理论模型发展史 道尔顿的原子模型 英国自然科学家约翰·道尔顿将古希腊思辨的原子论改造成定量的化学理论，提出了世界上第一个原子的理论模型。他的理论主要有以下三点[11]： ①所有物质都是由非常微小的、不可再分的物质微粒即原子组成； ②同种元素的原子的各种性质和质量都相同，不同元素的原子，主要表现为质量的不同； ③原子是微小的、不可再分的实心球体； ④原子是参加化学变化的最小单位，在化学反应中，原子仅仅是重新排列，而不会被创造或者消失。 虽然，经过后人证实，这是一个失败的理论模型，但，道尔顿第一次将原子从哲学带入化学研究中，明确了今后化学家们努力的方向，化学真正从古老的炼金术中摆脱出来，道尔顿也因此被后人誉为“近代化学之父”。 葡萄干布丁模型 葡萄干布丁模型由汤姆生提出，是第一个存在着亚原子结构的原子模型。 汤姆生在发现电子的基础上提出了原子的葡萄干布丁模型，汤姆生认为[11]： ①正电荷像流体一样均匀分布在原子中，电子就像葡萄干一样散布在正电荷中，它们的负电荷与那些正电荷相互抵消； ②在受到激发时，电子会离开原子，产生阴极射线。 汤姆生的学生卢瑟福完成的α粒子轰击金箔实验（散射实验），否认了葡萄干布丁模型的正确性。 土星模型 在汤姆生提出葡萄干布丁模型同年，日本科学家提出了土星模型，认为电子并不是均匀分布，而是集中分布在原子核外围的一个固定轨道上[16]。 行星模型 行星模型由卢瑟福在提出，以经典电磁学为理论基础，主要内容有[11]： ①原子的大部分体积是空的； ②在原子的中心有一个体积很小、密度极大的原子核； ③原子的全部正电荷在原子核内，且几乎全部质量均集中在原子核内部。带负电的电子在核空间进行高速的绕核运动。 随着科学的进步，氢原子线状光谱的事实表明行星模型是不正确的。 玻尔的原子模型 为了解释氢原子线状光谱这一事实，卢瑟福的学生玻尔接受了普朗克的量子论和爱因斯坦的光子概念在行星模型的基础上提出了核外电子分层排布的原子结构模型。玻尔原子结构模型的基本观点是[12]： ①原子中的电子在具有确定半径的圆周轨道（orbit)上绕原子核运动，不辐射能量 ②在不同轨道上运动的电子具有不同的能量（E），且能量是量子化的，轨道能量值依n（1，2，3，...）的增大而升高，n称为量子数。而不同的轨道则分别被命名为K（n=1)、L(n=2)、N(n=3)、O(n=4)、P(n=5)。 ③当且仅当电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时，才会辐射或吸收能量。如果辐射或吸收的能量以光的形式表现并被记录下来，就形成了光谱。 玻尔的原子模型很好的解释了氢原子的线状光谱，但对于更加复杂的光谱现象却无能为力。现代量子力学模型 物理学家德布罗意、薛定谔和海森堡等人，经过13年的艰苦论证，在现代量子力学模型在玻尔原子模型的基础上很好地解释了许多复杂的光谱现象，其核心是波动力学。在玻尔原子
高等量子力学作业题
1).H 为厄米算符,iH S e =.证明：（1）S 是幺正算符;（2）det exp(i tr )S H =. 2).求()||0za x x e ψ+=<>的表达式. 3).求相干态|0za z a e +*->的时间反演态. 4).求解一维系统2 0()2p H V x m δ=+的隧道效应. 5).哈密顿量22211()222i i i i j i ij p H m x V x x m ω=++∑∑,写出其二次量子化形式. 1.设一维受扰动的谐振子的哈密顿量为2221122 H p m x gx m ω=++，其中,x p 分别为坐标、动量算符,其他的量为常数.(1)在海森堡绘景中写出坐标、动量算符所满足的运动方程;(2)求出上述坐标、动量算符随时间的变化. 2.(1)请写出谐振子相干态;(2)计算任意两个相干态之间的内积;(3)证明全体谐振子相干态是过完备的,即: 21|| d 1z z z π><=?,其中|z >为相干态, 2d z dxdy =,而,x y 分 别为z 的实部和虚部. 3.通过量子化条件[,]x p i = 计算出坐标算符x 和动量算符p 的本征值,以及坐标表象中的动量的本征态. 4.(a)请写出氢原子的定态狄拉克方程,以及狄拉克方程中(1,2,3)i i α=和β矩阵所满足的关系.(b)证明系统的角动量守恒. 5.设有N 个全同费米子组成的系统,其哈密顿量为222,11()222i i i i j i i j i p H m x V x x m ω≠=++∑∑. (a)在谐振子基矢下计算出哈密顿量的二次量子化形式;(b)在坐标表象中写出哈密顿量的二次量子化形式. 6. 证明动能算符在空间转动变换下是不变的. 7.(a) 设系统的哈密顿量为H ，请写出含时推迟全格林算符'()G t t +-和超前全格林算符'()G t t --以及相应的定态全格林算符()G E +和()G E -.
第一章 量子论基础
第五章 近似方法 一、概念与名词解释 1. 斯塔克效应 2. 跃迁概率 3. 费米黄金规则 4. 选择定则 二、计算 1. 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r 0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正. 2. 转动惯量为I ，电矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰理论求转子基态能量的二级修正. 3. 转动惯量为I ，电矩为D 的平面转子处在均匀弱电场E 中，电场处在转子运动的平面上，用微扰法求转子的能量的二级修正. 4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 ,a E b b a E 0201??? ? ??++a 、b 是实数. (1) 用微扰公式求能量至二级修正； (2) 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解，并与(1)的结果比较. 5. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是)E (E E E 0 0 E 010 202* b * a b 01a 01>?????? ? ?λλλλ， (1) 用简并微扰方法求能量至二级修正； (2) 求能量的准确值，并与(1)的结果比较. 6. 在简并情况下，求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级
修正. 7. 线谐振子受到微扰aexp(-βx 2)的作用，计算基态能量的一级修正，其中常数β>0. 8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符a +与降算符a 表示为 , 1/2)a (a H ?0ω+=+ 此体系受到微扰ω+λ=+ a)(a 'H ?的作用，求体系的能级到二级近似. 已知升与降算符对0H ?的本征态|n>的作用为. 1n n n a ; 1n 1n n a －=++=+ 9. 一个电荷为q 的线谐振子受到恒定弱电场i E ε=的作用，利用微扰 论求其能量至二级近似，并与其精确结果比较. 10. 一维非简谐振子的哈密顿量为H=p 2/2m+m ω2x 2/2+βx 3. β是常数，若将3x H'β=看成是微扰，用微扰论求能量至二级修正，求能量本征函数至一级修正. 11. 二维耦合谐振子的哈密顿量为H=(p x 2+p y 2)/2μ+μω2(x 2+y 2)/2+λxy. 若λ<<1，试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数. 12. 在各向同性三维谐振子上加一微扰 , bz axy H'2+=求第一激发态的一级能量修正. 13. 一维无限深势阱(0 原子模型的发展及量子力学的建立 林元兴（安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011 ） 指导教师：张青林 摘要：自从汤姆逊通过阴极射线发现电子以后，人们逐步开始研究原子的内部结构及运动。通过不断的改进、修正，建立了一个相对完整的原子结构模型。本文结合物理学史料，从原子模型入手，扼要地对不同时期各种原子模型作以下介绍和表述，目的在于更好地了解近代物理尤其是量子力学思想及其发展过程，加深对原子模型的微观认识。 关键词：原子模型，几率定律，双重解理论，孤子（Soliton）模型 1.引言—原子模型建立前奏 任何物质都是由原子构成，原子只是物质基本结构的一个层次，物质的这种原子观只是在十六世纪之后才被人们普遍接受。1806年，法国普鲁斯特（J.L.Proust）发现化合物分子的定组成定律；1807年，英国道尔顿（J.Dalton）发现倍比定律，并提出原子论；1811年，意大利啊伏加德罗（A.Avogadro）提出同体积气体在同温同压下含有同数目之分子的假说；1815年，英国普劳托（Prout）根据许多元素的原子量的都接近于氢原子量的整数倍而提出所有的元素都是由氢构成的假设；1826年，英国布朗（R.Brown）观察到液体中的悬浮微粒作无规则的起伏运动；1833年，英国法拉第（M.Faraday）提出电解定律，并把化学亲和力归为电力；1869年，俄国门捷列夫（D.Mendeleev）提出元素周期律；1881年，美国斯通尼（G.J.Stoney）提出“电子”概念，并用阿伏加德罗常数Ｎa和法拉第常数F推出这一基本电荷的近似值为e=F/Na；1885年，瑞士巴尔未（J.J.Balmer）提出氢原子光谱的巴尔未线系；1889年，瑞士里德泊（J.R.Rydberg）提出里 德伯方程ν=1 λ =R H( 2 1 n - 2 1 'n ),R H=109677.58cm-1为里德伯常数；1895年，德国伦琴（W.K.Rontgen）发现x 射线；1896年，法国贝克勒尔(A.H.Becquerel)发现了铀的放射性；1897年，法国居里夫妇（P.&M.Curie）发现了放射性元素钋和镭；1896年，荷兰塞曼（P.Zeeman）发现处于磁场中的原子光谱分裂的所谓塞曼效应；1897年，英国汤姆逊（J.J.Thomson）确认电子的存在；1897年，德国的卢瑟福（M.Rutherford）发现了射线，1900年又发现了γ射线，到此，拉开了近代物理的序幕。 2.原子的Thomson模型（西瓜模型） 自汤姆逊发现电子以来，以原子中正、负电荷提出了许多见解，历经1898年、1903年到1907年，汤姆逊通过不断的完善而提出原子的葡萄干布丁模型（即西瓜模型）；原子的正电荷均匀分布在整个半径为10-10米的原子球体（汤姆逊球）内，而电子则象面包中的葡萄干（或象西瓜中的瓜子）那样嵌在各处，为了解释元素周期律，汤姆逊还假设：电子分布在一个个环上，第一个环上只可放5个电子，第二只环上可放10个电子；假如一个原子有70个电子，那么必须有6只同心环，汤姆逊原子模型虽然很快被以后的试验所否定，但它所包含的“同心环”、“环上只能安置有限个电子”的概念，却是十分宝贵的。 影响我的38个思维模型 理论和概念总是极尽简化之能，以保证它们的普适性。简化后的理论就像一个个种子，把它交给不同的人，有人直接拿着煮了一锅粥（鸡汤），解了当下饥渴；有人则埋到生活的土壤里，历经数年，悉心浇灌，终于枝繁叶茂，果实累累。回头再看那些煮粥的人，它们依然在寻寻觅觅，左冲右突，四处寻找新的种子，希望从种子本身汲取养分，依然不知种子的能量只有在土壤之中才能得到发挥。英国统计学家乔治·博斯（George Box）曾说：所有模型都是错的，但是有一些是有用的。以下是几年来积累的，影响我的思维模型或者富有哲理的话，是构筑我思维方式的基石。1、世界的底层是不确定性，世界上的事情没有已定之规（海森堡不确定原理）；2、说服力的基础是非理性，人是非理性的；3、时间是价值最重要的维度，人最宝贵的是时间；4、资源是稀缺性；5、人可以隐藏自己的真实想法；6、对未知的恐惧，未知状态理性毫无用武之地；7、变化不是究竟，不是根本，而是现象；8、实了因之所了，非生因之所生。从本质解决问题，销落诸念，放下杂念，达到空的境界。每一次都是一种体验。9、蝴蝶效应：动态的系统中，初始系统的中微小变化带动了系统长期连锁反应，引起结果的迥然不同；10、非连续性，抛却经验的局限性（未来是不可预知的）；11、 搞懂需求是解决问题的捷径；12、抓住那些不变的东西，并保证他们的质量，生活工作皆如此，例如人的需求，无论什么地位的人基础需求永远是一张舒适的床、良好的人际关系、美食、性生活；13、文化和基因共同促进了人类的发展；14、理性是在感性的基础之上，我们后天学习的东西都是理性，理性是把人往回拉的力量。但是驱动一个人，是他的内在感受、他的情绪、他的底层操作系统；15、在点上纠结是得不出本质的答案，要摆脱点上的情绪与痛苦，跳出来从线和面上来考虑如何达到我们想要的高度；16、真实我们的思想、思维以言行的形式在现实中传递，会得到反馈，我们害怕自己的真实想法会得到批评，而隐藏或美化自己的真实想法，这种对社会不认同的恐惧，让我们自欺欺人，得到只是暂时的心理安慰，而失去的是根据反馈检验、调整自己的认知的机会。真实的思考表达，让我们可以进入进化的力量旋涡中，正向增益。17、反馈系统，有效的反馈机制包含时间节点，学习如此、工作亦如此，其核心是真实、客观18、进化的力量，生物、知识、文化都是进化的，将真实放入反馈系统之中，才能得到一个良性的进化系统19、直面恐惧是解决问题的第一步，也是最关键的一步20、概念是知识的重要元素21、成就=核心算法·大量重复动作^2（曾国藩，世上之事唯勤与恒二字）22、生态思维：上帝视角（更高层面的思考、跳出点，从线面体等层面来思考）的客观真实性决定生态的 各向异性谐振子的能级简并 刘永宏 指导教师：焦志莲 （太原师范学院物理系，太原030031） 【摘 要】 给出了二维、三维各向异性谐振子的能级及波函数，并讨论各种情况下二维、三维各 向异性谐振子的能级简并问题。 【关键词】各向异性谐振子，能级，波函数，能级简并。 0. 引 言 各向同性谐振子的能级简并问题，很多量子力学教材都进行了讨论，譬如：曾谨言写的《量子力学导论》就对各向同性谐振子作了详细而深刻的分析。但是对于各向异性谐振子的问题，则很少有教材中进行专门的讨论。各向异性谐振子有其独特的能级简并和对称性，且在一定的近似条件下，可转变为各向同性谐振子来处理。所以对于各向异性谐振子的能级简并研究，既能进一步加深对各向同性谐振子的理解和应用，同时又能为学习和探究更深层次的各向异性谐振子奠定基础。本文先给出二维，三维各向异性谐振子的能级及波函数，然后讨论相应各向异性谐振子的能级简并度问题。 1. 各向异性谐振子的能级及波函数 1.1 二维各向异性谐振子的能量及波函数 当各向异性谐振子为二维情况时，体系哈密顿量在oxy 坐标系中可以表示为 2 22222(,) 112222 y x x y x y P P H x y μωμωμμ=+++ （1） 令 2 2222211,2222 y x x x y y P P H x H y μωμωμμ=+=+ （2） 求解哈密顿本征值方程，可以得体系能量及波函数的表示为 ,11 ()()22 x y n n x x y y E n n ωω=+++ （3） ,(,)()()x y x y n n n x n y x y x y ααψ=ψψ （4） 其中，各维波函数为 221 ()exp()(); 0,1,2,2 x n x x x x x x x x N x H x n ααααψ=-= = （5） 非均匀磁场中两比特海森堡XYZ 模型量子关联测量时的亏损我们知道一些关于量子失协在非均匀磁场中两比特下海森堡 XYZ 模型它能反应初始态下参数的影响的特性。这个观点表明参数对于系统的影响严重依赖于系统初始状态，也表明环境不能完全毁坏量子关联，适当的控制参数能抑制无参数下无穷的退相干。因此表明非均匀磁场不影响稳定态的量子失协，然而均匀的磁场和各向异性的耦合常数会影响稳态量子失协。这个结论告诉我们适当地修正稳态系统中量子关联的参数将会得到更稳定的量子失协。 关键字：海森堡XYZ 模型量子失协退相干 引言在实际处理量子信息的任务中遇到的最大困难是阻止量子关联在环境中不可避免的退相干。在1953 年，Einstein 、Podolsky 和Rosen 第一次把纠缠定义为量子关联的一种形式，它是一种特殊的量子关联，并且在量子信息的处理中起着很大作用。双粒子和多粒子纠缠在量子力学中已经被报道。然而纠缠并不是唯一的一种量子关联，现实中也存在着没有纠缠的量子关联。这一点已被原理和实验证明了而且那些非传统的量子关联叫做量子失协，可以负责计算加速某些量子任务。由Ollivier 和Zurek 引入的量子失协是量子关联的一种一般方法而且认为量子失协和量子关联之间存在不同。最近的一些结果表明，量子失协能比量子纠缠捕获更一般的非局域关联。甚至对一些可分离的状态这种量子纠缠是为零的，然而量子失协是可以不为零的，这表明了量子关联的确实存在。在一些情况下进行量子测量 时量子失协量子纠缠更有效，在一些量子计算任务中，量子失协对量子计算起着重要作用。最近的一些论文中，有许多与海森堡自旋链中的纠缠相关的文章。一方面这是因为海森堡的自旋链在实际纠缠和模仿中的相互之间自然的补充，另一方面他们也对各种各样的固态量子计算体系的模型起着作用。例如，海森堡链已近被运用去建造量子计算机，他们分别的以量子点，核自旋，电子自旋和光学晶格为基础。 在这篇论文中，我们关注处于均匀与非均匀磁场环境中两个量子比特海森堡XYZ模型中的量子关联的退相干。这篇论文的系统结构如下，在第一部分中我们给出了各向异性磁场中的海森堡XYZ模型， 并且也给出了主方程，它揭示了开放系统的演化过程。在第二部分，回顾量子失协的定义得到了不同初始状态密度矩阵的演化，也详细的 研究了量子失协动力学。最后的第三部分是总的结论。 廿苗述模型和主方程 近距相互作用各向异性的N比特海森堡链的哈密顿量可以写为： N H 八(J x S；S n y i J y S n y Sj i J z S n Z S：?i) (1) n =0 1i 其中S：n e二X,y,z)，二n分别是区域自旋为--的算符和泡利算 22 符且各自的- 1,周期性边界条件为S n厂S. J,S是相互自旋的真实耦合常数。 §7-4 哈密顿原理 人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律. 牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架. 哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架. 哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义. 一、变分法简介 1. 函数的变分. 自变量为x 的函数表示为)(x y y =. 函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化. 函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起 的. 这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ. 与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下: )()0,(),(* x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成 ()()()x x y x y y εηε=?=0,,δ* 在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动. q t d d →函数的微分. 在曲线I 附近, 存在 着许多相邻曲线, 这些曲 线都满足力学系统的约束 条件, 称为可能运动曲线, 它们的方程表示为 ()()()t t q t q εηε+=0,,* 在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ, ()()()t t q t q q εηεδ=?=0,,* 自旋模型简述 1、自旋的基本概念与表述 自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为?/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±?/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是e?/2mc 。当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。 对于自旋这个自由度，我们一般用算符?表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ?s =i?s 。在这里我们引入泡利算符s =σ?/2。由于s 沿任何表象的投影都只能取±?/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2?2的矩阵来表示。我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示： i i z y x ,1001,00,0110???? ??-=???? ??-=???? ??=σσσ (1-1) 这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。 2、自旋模型的形式 2.1 物质的磁性与自旋模型 由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和。 电子的总磁矩(轨道磁矩+自旋磁矩)，直接体现为物质的宏观磁性。而对于过渡金属的原子或离子，因为轨道角动量的冻结，其磁性主要来源于未配对电子的自旋磁矩。 对于物质的磁性，很早以来就有着广泛的研究，比如Langevin的顺磁理论，Wiess的分子场理论，Bloch的自旋波理论。这些理论中，原子(离子)都具有磁矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。在绝对零度以上，每个原子都在做热振动，磁矩的方向也在作同样的振动，而磁矩间的相互作用又使得每个磁矩趋向于某种有序的排列，这就是物质宏观磁性的来源。磁矩之间的相互作用有很多种： 1、经典的磁偶极子之间相互作用。 2、交换相互作用(也称直接交换相互作用)。氢分子模型、海森堡交换模型就是采用这一类的相互作用。交换相互作用没有相应的经典对应，它来自于电子间的库伦作用以及量子力学的全同粒子系特性。下面所说的其它种类的交换相互作用也是基于这样的原理。 3、超交换相互作用(也称间接交换相互作用)。这种相互作用由Kramers于1934首先提出，用于解释反铁磁性的自发磁化的起源。它是阳离子的电子以氧离子的p电子为媒介进行间接的相互作用。 4、RKKY相互作用。这种相互作用由Ruderman、Kittel、Kasuya以及Yosida 提出的，是一种以巡游电子为媒介，使得磁性原子(或离子)中的局域电子自旋与其邻近的磁性原子(或离子)中的局域电子自旋产生的交换相互作用。 5、双交换相互作用。以氧离子为媒介，两个不同价态的过渡族粒子间之交换相互作用。在锰氧化物中，这种相互作用就起到了十分重要的作用。 以上的几种相互作用中，除了偶极间的相互作用是一种经典的相互作用，而其余的几种交换相互作用却是基于体系的量子特性，即全同粒子的特征。这样的相互作用，在我们研究物质的磁性以及其它以磁性相关的性质，或者以磁性变化为主导的相变时，起着至关重要的作用。 对于这类的磁性原子体系，我们认为它们位于某种晶格格点位置上，通过磁矩进行相互作用，我们可以建立一种自旋模型来进行描述，其最基本的形式可以写成如下的哈密顿量： 1哈密顿原理 牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）； 四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和 自旋模型简述 1、自旋的基本概念与表述 自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为?/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±?/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是e?/2mc 。当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。 对于自旋这个自由度，我们一般用算符?表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ?s =i?s 。在这里我们引入泡利算符s =σ?/2。由于s 沿任何表象的投影都只能取±?/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2?2的矩阵来表示。我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示： i i z y x ,1001,00,0110???? ??-=???? ??-=???? ??=σσσ (1-1) 这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。 2、自旋模型的形式 2.1 物质的磁性与自旋模型 由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和。电子的总磁矩(轨道磁矩+自旋磁矩)，直接体现为物质的宏观磁性。而对于过渡金属的原子或离子，因为轨道角动量的冻结，其磁性主要来源于未配对电子的自旋磁矩。 对于物质的磁性，很早以来就有着广泛的研究，比如Langevin的顺磁理论，Wiess的分子场理论，Bloch的自旋波理论。这些理论中，原子(离子)都具有磁矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。在绝对零度以上，每个原子都在做热振动，磁矩的方向也在作同样的振动，而磁矩间的相互作用又使得每个磁矩趋向于某种有序的排列，这就是物质宏观磁性的来源。磁矩之间的相互作用有很多种： 1、经典的磁偶极子之间相互作用。 2、交换相互作用(也称直接交换相互作用)。氢分子模型、海森堡交换模型就是采用这一类的相互作用。交换相互作用没有相应的经典对应，它来自于电子间的库伦作用以及量子力学的全同粒子系特性。下面所说的其它种类的交换相互作用也是基于这样的原理。 3、超交换相互作用(也称间接交换相互作用)。这种相互作用由Kramers于1934首先提出，用于解释反铁磁性的自发磁化的起源。它是阳离子的电子以氧离子的p电子为媒介进行间接的相互作用。 4、RKKY相互作用。这种相互作用由Ruderman、Kittel、Kasuya以及Yosida原子模型发展概述
影响我的38个思维模型
三维各向异性谐振子的能级简并
非均匀磁场中两比特海森堡XYZ模型量子关联测量时的亏损
哈密顿原理
自旋模型简述
1哈密顿原理
自旋模型简述