人教版必修3《《几何概型》教学实录

新课标人教A版版必修3《几何概型》教学设计

一、重难点分析：

1、重难点：

1）学生能够正确区分几何概型及古典概型两者的区别；

2）学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题；

3) 通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；

4）难点在于把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题；

2、几何概型的学习是建立在古典概型的学习基础之上，少数学生受古典概型学习的影响，容易忽视对几何概型的判断和选择，不善于把求未知量的问题转化成几何概型求概率的问题，而常常转化成古典概型进行分析；因此在教学中结合[课前练习]、[问题初探]进行深入讨论，让学生真正体会到判断几何概型的特点以及重要性，利用回顾、猜想、试验、对比等手段来帮助学生解决问题。

3、对几何概型概念形成的过程极易被授课教师忽视，只是简单对概念进行教学，而后大量利用练习巩固概念形成的概念，缺乏几何概型形成过程的教学势必对而后随机模拟的学习带来不小的麻烦。因而利用[问题猜想]、[统计验证]、[模拟试验]、[新知学习]等教学手段或过程，让学生自主参与探究学习活动，充分向学生展示几何概型概念形成的过程，而避免简单直接呈现概念。

二、教法和学法：

1、在强化几何概型概念教学的同时，将几何概型概念形成的教学通过猜想验证思想逐步让学生自主探究，并体会概念形成的合理性。体现新课改的教学理念：“学生为主体，教师为主导”的探究性学习模式。

2、几何概型的教学利用以旧引新、动手试验、猜想验证、对比迁移、知识运用等方式，让学生从分体会概念的形成过程；

3、让学生感受数学知识形成的过程，并在学习的过程中提高自主探究和自主学习的能力；

4、感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；

5、设置不同的教学过程，并利用不同的问题将概念形成的过程教学层层递进，促进学生的学习方式的转变，将学习的主动权较完整地交还给学生。

三、教学过程

1、知识回顾，以旧引新：

【设计意图】由学生回顾概率研究的过程及古典概型的特点、概率公式，为探

究几何概型提供可能的类比推理的方向。 1.1对古典概型相关知识的回顾：

1、随机事件A 的频率与概率间联系与区别:

随机事件A 多次试验的频率()

A n n

f A = 随机事件A 的概率P(A)。

2、古典概型的特点及其概率公式：

(1)1

(2) 2A () A P A ???????

?=?

?

??试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。古典概型包含基本事件的个数

、事件的概率公式：基本事件的总数 1.2提供两类概型问题对比练习：

【设计意图】设疑猜想为几何概型提供可能的研究方向 问题1：赌博游戏

甲乙两赌徒掷骰子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大？

学生1分析：骰子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可能性的，

因而可以利用古典概型，求解得：1;6p =甲1

6

p =乙。 并要求学生通过比分析输赢

的概率，谈谈赌博“十赌九输”的概率原因，对学生渗透思想情感教育。 问题2：转盘游戏（《必修3》第135页的问题）

图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,① ②

学生2分析：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却

随机性 稳定性

是无限个的，因而无法利用古典概型。（注：该生能力较强，通过教材的自学，体会到本题的真正用意，该问题的弊端分析在教学反思中）

教师提问：既然不符合古典概型的条件，请问你们能利用哪些可能的条件研究概率？并引导学生利用B 区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积等研究概率，但不急于下几何概型概率的结论，而是通过问题猜想对所求的结果进行进一步的探究。

学生3求解：利用B 区域所占的弧长：

1(1)();2B p B =

=所在扇形区域的弧长整个圆的弧长3

(2)().5

B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长

学生4求解：利用B 区域所占的圆心角：

1801(1)();3602B p B ?

?===所在圆心角的大小圆周角3

3603

5(2)();3605

B p B ??

?===所在圆心角的大小圆周角 学生5求解：利用B 区域所占的面积： 1(1)();2B p B =

=所在扇形的面积整个圆的面积3

(2)().5

B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积

（注:由于学生2的分析，导致不少学生在该问题的探究中没有沿着古典概型分

析，但随后的学习中还是有不少学生想到可能利用古典概型进行转化） 2、问题猜想：

【设计意图】为进一步寻求几何概型的研究方法作铺垫

⑴两个问题概率的求法一样吗？若不一样,请问可能是什么原因导致的？ ⑵有什么方法确保所求概率的正确性？ 学生6、7、8共同分析：

⑴赌博游戏：色子的六个面上的数字是有限个的，且每次投掷都是等可能性的，因而可以利用古典概型；

转盘游戏：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的方向却是无限个的，因而无法利用古典概型。

⑵借助几何图形的长度、面积等分析概率；

⑶对转盘游戏进行随机试验或者随机模拟试验分析，估计所求的概率是正确。

【游戏实验，统计分析】

【设计意图】利用实验猜想结果的正确性，为猜想寻找可能的理论依据 分十组对两个转盘游戏各进行50次随机试验，并提交试验报告的结论，对比随机实验的频率与所求概率之间的关系，对概率计算的正确性进行第一次猜

实验次数过少的问题，必须加大实验的次数。据此引导学生借助计算机的计算和模拟功能弥补实验的不足。

【计算机模拟实验】

【设计意图】利用计算机进行模拟实验，弥补游戏实验次数不足的弊端，通过计算机模拟试验演示，获得次数较大的试验数据，并再次验证所求概率的正确性。

（转盘游戏1的随机模拟试验数据）

（转盘游戏2的随机模拟试验数据）【问题探究】

【设计意图】由学生分析下列三个问题的概率，猜想概率可能的求法，让学生产生对几何概型概率公式的初步认同感。

问题 1（电话线问题）：一条长50米的电话线架于两电线杆之间，其中一个杆子上装有变压器。在暴风雨天气中，电话线遭到雷击的点是随机的。试求雷击点距离变压器不小于20米情况发生的概率。

学生9分析：雷击点距离变压器不小于20米，在20米到50米之间每处受雷击的机会是等可能的，但雷击点却是无限多个的，因而不能利用古典概型。

学生9求解:记“雷击点距离变压器不小于20米”为事件A ，在如图所示的长30m

所以30

P()0.650

A =

= 学生9归纳：1、该概率的特点不符合古典概型，不能利用古典概型；

2、可能的概率公式A P()A =

构成事件的区域长度

试验的全部结果构成的区域长度

问题2（撒豆子问题）：如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.

50m

20m

30m 变压器

学生10分析：豆子撒在图形的每个位置的机会是等可能的，但豆子的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。

学生10求解：记“落到阴影部分”为事件A，在如图所示的阴影部分区域

内事件A发生，所以

2

1

21

2

(1)P();

r r

A

r

ππ

===

阴影部分的区域面积

整个圆的面积

3

(2)P().

8

A=学生10归纳：1、该概率的特点不符合古典概型，不能利用古典概型；

2、可能的概率公式

A

P()A=

构成事件的区域面积

试验的全部结果构成的区域面积

问题3（取水问题）：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.

学生11分析：细菌在1升水的杯中任何位置的机会是等可能的，但细菌所在的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。

学生11求解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，事件A发生的概率：

0.1

P()0.1.

1

A===

取出水的体积

杯中所有水的体积

学生11归纳：1、该概率的特点不符合古典概型，不能利用古典概型；

2、可能的概率公式

A

P()A=

构成事件的区域体积

试验的全部结果构成的区域体积学生存疑：将1升水按每份0.1升等分成10份，取出其中任意一份的概率

1

P0.1

10

==可行吗？由于本节课的重点为几何概型，首先肯定学生的大胆的想法，提示学生课后与老师一起探讨这种转化的可能性和合理性，基于本节课德重点是几何概型故并未在此深究。

【新知学习】

【设计意图】学生对上述可能的公式产生认同感后，继而对教材第135页到第136页几何概型的内容进行研读，获得理论上的解释，肯定之前一系列结论

探究的合理性，让学生感受数学问题从猜想到验证的研究过程，并从中获得学习的乐趣。

教材研读小结：

1、几何概型的定义：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

2、几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个

．．．．.

(2)每个基本事件出现的可能性相等

．．．．．.

3、几何概型求事件A的概率公式：

()A

P A=

构成事件的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

【对比迁移】

【设计意图】通过几组不同的概率问题对比，强化古典概型和几何概型区别。

下列概率问题中哪些属于几何概型？

⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。

⑵箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？

⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。

⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。

学生12分析：对比古典概型和几何概型的特点，判断（1）（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型。

【知识运用】

【设计意图】通过两个基础的问题，强化几何概型特点和概率公式的运用

运用1、如图，在边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在圆内的概率是____________。

学生13分析：随机撒一粒豆子，豆子落在正方形内任何一点是等可能的，且豆子所在的位置有无限多个，符合几何概型。

学生13求解：利用几何概型求出豆子撒在圆内的概率为 ：

4

π

=圆的面积正方形的面积。

运用2 ：在500ml 的水中有一个草履虫，现在从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )

A.0.5

B.0.4

C.0.004

D.不能确定

学生14分析：草履虫在500ml 水中任何位置的机会是等可能的，且所在的位置有无限多个的，可以利用古典概型：

学生14求解:2

P 0.004500

=

==取出水的体积杯中所有水的体积，选择C 项。

学生存疑：将500ml 水按每份2ml 等分成250份，取出其中任意一份的概率1

P 0.004250

==，与前面遇到的问题一样能否将几何概型的问题转化成古

典概型的问题。

【思维拓展】

【设计意图】通过教材第136页例1研究几何概型概率的不同求法，获得几何图形的不同测度方式是导致概率不同求法的关键。

问题：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

学生共同分析

: 收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个的，因而适合几何概型。

设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内事件A 发生。 学生15求解：

利用利用[50,60]时间段所占的弧长 ：1

();6

A p A ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长

学生16求解：

利用[50,60]时间段所占的圆心角 ：1

3601

6();3606

A p A ?

?

?===所在圆心角的大小圆周角 学生17求解：

利用[50,60]时间段所占的面积：101

();606

A p A ===所在扇形的面积整个圆的面积

学生18求解：

将时间转化成长60的线段，研究事件A 位于[50,60]之间的线段的概率:

60

50

40

30

20

10

∴60501

().6

p A -=

=60 【课堂小结】由学生通过学习小结课堂学习的重难点