高中数学向量总结归纳
平面向量的数量积及平面向量的应用
1.定义及运算律.
两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数,而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.
设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |2|b |2cos θ叫做a 与b 的数量积,记作a 2b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a 2b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a 2b =b 2a ,(λ2a )2b =λ(a 2b ),(a ±b )2c =a 2c ±b 2c .
2.平面向量数量积的重要性质.
①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=|
|||)
(b a b a ??;|a 2b |≤|a |2|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号.
②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |=
21
21y x +;cos θ=
22
22
21
21
2121)
(y x y x y y x x +
?
+
+;|x 1x 2+y 1y 2|≤
2
2
222121y x y x +?+
3.两向量垂直的充要条件
若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a 2b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0.
4.向量的模及三角不等式
|a |2=a 2a 或|a |=a a ?;|a 2b |≤|a |2|b |;|a |2-|b |2=(a +b )2(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.
5.三角不等式的推广形式
|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.
小练习一
【例1】 计算下列各题:
(1)已知等边三角形ABC 边长为1,且BC =a ,CA =b ,AB =c ,求a 2b +b 2c +c 2a ;
(2)已知a 、b 、c 是空间中两两垂直的向量,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求r =a +b +c 的长度以及它和a ,b ,c 的夹角;
(3)已知(a +3b )与(7a -5b )垂直,且(a -4b )与(7a -2b )垂直,求a 、b 的夹角;
(4)已知|a |=2,|b |=5,a ,b 的夹角是3
2π,p =3a -b ,q =λa +17b ,问系数λ取向值时,p ⊥q .
【解前点津】 (1)利用x 2=x 2x ,通过对(a +b +c )2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件,运算律以及内积定义.构造关于λ的方程,解之即得.
【规范解答】 (1)∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a 2b +b 2c +c 2a )=3-2(a 2b +b 2c +c 2a )=0
?a 2b +b 2c +c 2a =
2
3. (2)cos ?r ,a ?=
|
|||a r a
r ??,∵|r |=2r 且
r 2=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a 2b +b 2c +c 2a )=14-2(a 2b +b 2c +c 2a )=14. ∴|r |=14? cos ?r ,a ?=
1414
||14|||
|14)(2==
??++a a a a c b a ; cos ?r ,b ?=
714
||14||||14)(2=
=??++b b b b c b a ; cos ?r ,c ?=
14
3
|
|14|||
|14)(2=
=??++c c c c c b a . (3)由条件:(a +3b )2(7a -5b )=7|a |2-15|b |2+16a 2b =0,(a -4b )2(7a -2b )=7|a |2+8|b |2-30a 2b =0? |a |2=|b |2=2a 2b ?(|a |2|b |)2=4(a 2b )2?2
1
||||±=??b a b a .
由cos ?a ,b ?=21得: ?a ,b ?=3π; 由cos ?a ,b ?=-21得: ?a ,b ?=π3
2. (4)令p 2q =0得:(3a -b )2(λa +17b )=0?3λ|a |2-17|b |2+(51-λ)a 2b =0 ① 将|a |=2,|b |=5,a 2b =|a |2|b |2cos
π3
2
代入①得3λ24-17325+(51-λ)2(-5)=0解之:λ=40. 【解后归纳】 综合利用内积的定义及运算律,内积运算形式与实数运算形式的相互转化,是
计算的一项基本功.
【例2】 在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值. 【解前点津】 因谁是直角,尚未确定,故必须分类讨论. 【规范解答】 ①当∠A =90°时,因为AB 2AC =0, ∴231+32k =0,∴k =-3
2.
②当∠B =90°时,BC =AC -AB =(1-2,k -3)=(-1,k -3) ∵AB 2BC =0,∴23(-1)+33(k -3)=0?k =3
11.
③当∠C =90°时,∵AC 2BC =0,∴-1+k 2(k -3)=0,k 2-3k -1=0?k =2
3
3±. ∴k 的取值为:-32,311或2
3
3±.
【例4】 已知平行四边形以a =(2,1),b =(1,-3)为两邻边. (1)求它的边长和内角;
(2)求它的两对角线的长和夹角.
【解前点津】 利用内积的有关运算性质.
【规范解答】 (1)|a |=51222=+,|b |=10)3(122=-+ ? cos α=
10210
5)3112(||||-=??-?=?b a b a , ∴α=π-arccos 10
2.
(2)|a +b |=13)1(21052)(222=-++=++=+ab b a b a
,
|a -b |=17)1(2105222=-?-+=-+ab b a . cos β=221221
517
1310517
13)(2
1
)(2
1
)(21
)(21
2
2-
=--=
?-=-?+-?+b a b a b a b a b a . 【解后归纳】 本题综合运用了向量的有关运算性质,也可利用余弦定理求解.
小练习二
一、基础夯实
1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直,则a 与b 的夹角是 ( ) A.60° B.30° C.135° D.45°
2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π,则向量m =a -4b 的模为 ( )
A.2
B.23
C.6
D.12
3.a ,b 是两个非零向量,(a +b )2=a 2+b 2是a ⊥b 的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 4.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |2-4a 2b 等于 ( ) A.23 B.57 C.63 D.83
5.已知a =(λ,2),b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 ( ) A.λ>310 B.λ≥310 C.λ<310 D.λ≤310
6.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量,则b 等于 ( ) A.??? ??54,53或??? ??53,54 B ??? ??53,54或??
? ??--54,53 C ??? ??-54,53或??? ??-53,54 D ??? ??-54,53或??
? ??-54,53 7.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 ( ) A.55 B.55- C.565 D.1313
8.已知A (3,2),B (-1,-1),若点P (x ,-2
1
)在线段AB 中垂线上,则x 为 ( ) A.-47 B.4
7
C.2
D.-2 9.已知a =(3,0),b =(k,5),且a 与b 的夹角为
4
3π
,则k 的值为 ( ) A.-4 B.4 C.5 D.-5
10.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件:x 2a =9与x 2b =-4的向量x 为 ( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-2,-3) 二、思维激活
11.已知向量a 、b 的夹角为3
π,|a |=2,|b |=1,则|a +b |2|a -b |= .
12.已知a ⊥b 、c 与a ,b 的夹角均为60°,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )2= . 13.已知a =(1,2),b =(1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ,则c = .
14.已知点A (1,0),B (3,1),C (2,0),且a =BC ,b =CA ,则a 与b 的夹角为 . 三、能力提高
15.设A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,求AB 2CD +BC 2AD +CA 2BD 值.
16.设OA =(3,1),OB =(-1,2),OC ⊥OB ,BC ∥OA ,O 是原点,求满足OD +OA =OC 时的OD 坐标. 17.已知两单位向量a 与b 的夹角为120°,若c =2a -b ,d =3b -a ,试求:c 与d 的夹角.
18.已知a =(3,-1),b =???
? ??23,21,且存在实数k 和t ,使得x =a +(t 2
-3)2b , y =-k a +t 2b ,且x ⊥y ,试求t
t k 2+的最小值.
平面向量的数量积及平面向量的应用解答
1.D ∵a 2(a -b )=a 2-a 2b =0,∴a 2b =1=122cos θ,∴cos θ=21.
2.B |m |=2m =323
cos 1620cos 128162816222=π
θ-=θ??-+=?-+b a b a . 3.C 展开得:a 2+b 2+2a 2b =a 2+b 2?a 2b =0. 4.D 原式=3(42+32)-42(-20+18)=83.
5.A ∵a 2b =10-3λ,|a |=24λ+,|b |=34,∴由cos α=
2
434310λ+?λ-<0得λ>3
10.
6.D 设b =(x ,y ),则x 2+y 2=1且4x +3y =0解方程组得???????-==5453y x 或???
????=-=5453y x . 7.C ∵a 2b =23(-4)+337=13,|a |=13,|b|=65,∴13=6513?2cos θ,∴|a |2cos θ=
5
65
65
13
=. 8.C 由条件知AB 中点为M ??
?
??21,1,令2=0得:(x -1,-1)2(-4,-3)=-4(x -1)+(-1)2(-3)=0,x =2.
9.D 作内积:a 2b =3k =32252+k cos 4
3π
?k <0且252+k =-2k ?k =-5. 10.B 设x =(m ,n ),则由条件得?
??-==???
?-=+=-32
4293n m n m n m ,故x =(2,-3).
11.由已知条件得:a 2b =1,故原式=21)214()214()()(22=-+?++=-?+b a b a . 12.由条件得:c 2a =3313cos60°=
2
3
,c 2b =3322cos60°=3. ?原式=a 2+4b 2+c 2
+2a 2c +4a 2b -4b 2c =1+16+9+3-12=17.
13.∵c =(1-k ,1-2k ),∴由c 2a =0得12(1-k )+2(1-2k )=0得k =
53?c =??
? ??-51,52. 14.由条件a =(-1,-1),b =(-1,0)?|a |=2,|b |=1,由a 2b =2cos θ得:(-12(-1)+(-1)20=2cos θ ?cos θ=
2
2
?θ=45°. 15.∵AB =AD -BD ,BC =BD -CD ,CA =CD -AD ,
∴原式=(-)2+(-)2+(-)2
=2-2+2-2+2-2=0.
16.设OC =(x ,y ),由OC ⊥OB 得:-x +2y =0,又BC =OC -OB =(x +1,y -2),而BC ∥OA ?3(y -2)-(x +1)=0解关于x ,y 的方程组得x =14,y =7.
∴=(14,7)?=-=(11,6).
17.∵a 、b 是两单位向量,∴|a |=|b |=1,且a ,b 夹角为120°. ∴a 2b =|a |2|b |2cos120°=-2
1, ∵|c |2=c 2c =(2a -b )2(2a -b )=4a 2a -4a 2b +b 2b =4|a |2-4a 2b +|b |2=7, ∴|c |=7.
∵|d |2=d 2d =(3b -a )2(3b -a )=9b 2b -6a 2b +a 2a =13, ∴|d |=13.
∵c 2d =(2a -b )2(3b -a )=6a 2b -3b 2b -2a 2a +a 2b =-2
17
, ∴cos θ=-182911713
7217
-=?(θ为c 、d 夹角).
∴θ=π-arccos
182
91
17. 18.∵|a |=2)1(32
=-+,|b |=123212
2
=???
? ??+??? ??,
∵a 2b =02
3
1213=?-?,故a ⊥b ,
∵x 2y =0,∴[a +(t 2-3)2b ]2[-k a +t b ]=0化简得:k =4
33
t t -.
∴4
7
)2(41)34(414222-+=-+=+t t t t k ≥-47.
当且仅当t =-2时,t
t k 2
+有最小值-47
.
小练习三
一选择题
1.已知A 、B 、C 为三个不共线的点,P 为△ABC 所在平面内一点,若+
++,则点P 与△ABC
的位置关系是 ( ) A 、点P 在△ABC 内部 B 、点P 在△ABC 外部 C 、点P 在直线AB 上 D 、点P 在AC 边上
2.已知三点A (1,2),B (4,1),C (0,-1)则△ABC 的形状为 ( ) A 、正三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰锐角三角形 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时,夹角为θ,两人用力都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为( ) A 、300 B 、600 C 、900 D 、1200 二、填空题
5.一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,船的实际航行方向与水流方向成300角,则水流速度为 km/h 。
6.两个粒子a ,b 从同一粒子源发射出来,在某一时刻,以粒子源为原点,它们的位移分别为S a =(3,-4),S b =(4,3),(1)此时粒子b 相对于粒子a 的位移 ; (2)求S 在S a 方向上的投影 。 三、解答题
7.如图,点P 是线段AB 上的一点,且A P ︰PB=m ︰n ,点O 是直线AB 外一点,设OA =a ,OB =b ,试用
,,,m n a b 的运算式表示向量OP .
高三数学平面向量综合练习题
一、选择题
1、设平面向量a =(-2,1),b =(λ,-1),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是
A 、),2()2,21
(+∞?-
B 、(2,+∞)
C 、(21-,+∞)
D 、(-∞,2
1-)
2、设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),则下列为与共线的充要条件的有 ①存在一个实数λ,使=λ或=λ;②|2|=||2||;
③
2
121y y x x =;④(a +b )//(a -b ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、若函数y=2sin(x+θ)的图象按向量(
6
π
,2)平移后,它的一条对称轴是x=
4
π
,则θ的一个可能的值是
A 、
125π B 、3π C 、6π D 、12
π 4、ΔABC 中,若
BC BA AC AB ?=?,则ΔABC 必约
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、等腰三角形
5、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++,则点P 与ΔABC 的关
系是
A 、P 在ΔABC 内部
B 、P 在ΔAB
C 外部
C 、P 在直线AB 上
D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点上 6、在边长为1的正三角形ABC 中,=,AB c =,CA b =,则?+?+?=
A 、1.5
B 、-1.5
C 、0.5
D 、-0.5
二、填空题
1、已知=(cos θ,sin θ),=(
3,-1),则|2-|的最大值为____________
2、已知P(x ,y)是椭圆14
22
=+y x 上一点,F 1、F 2是椭圆的两焦点,若∠F 1PF 2为钝角,则x 的取值范围为________________
3、设=(a,b),=(c,d),规定两向量m, n 之间的一个运算“3”为3=(ac -bd ,ad+bc),若已知p =(1,
2),
p
3
q =(-4,-3),则q =____________
4、将圆x 2+y 2=2按=(2,1)平移后,与直线x+y+λ=0相切,则实数λ的值为____________ 三、解答题
1、已知平面内三向量、、的模为1,它们相互之间的夹角为1200。 (1)求证:c b a ⊥-)(;(2)1||>++c b a k ,求k 的取值范围。
2、设两个向量1e 、2e 满足|1e |=2,|2e |=1,1e 与2e 的夹角为600,若向量21
72e e m +=λ与向量
21e e n λ+=的夹角为钝角,求实数λ的取值范围。
3、△ABC 内接于以o 为圆心,l 为半径的圆,且=++543,求:?,?,?。
4、抛物线2
2x y -=与过点M(1,0)的直线l 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,若OB OA ?=0,求直线l 的
方程。
5、设a =(m ,n),b =(p ,q),定义向量间运算“*”为:a *b =(mp -nq ,mq+np)。 (1)计算|a |、|b | 及 |a *b |;(2)设c =(1,0),计算cos及cos; (3)根据(1)、(2)的结果,你能得到什么结论?
6、已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<α<β<π。 (1)求证:a +b 与a -b 垂直;
(2)若k a +b 与a -k b 的长度相等,求β-α的值(k 为非零的常数) 7、已知A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α)。(1)若1-=?,求sin2α的值;(2)若13||=+OC OA ,
且α∈(0,π),求与的夹角。
8、已知=(2,2),与的夹角为
4
3π
,且2=-2。 (1)求向量b ;(2)若t =(1,0),且b ⊥t ,c =(cosA ,2cos 2
2
C
),其中A 、C 是△ABC 的内角,若A 、B 、C 依次成等差数列,求|b +c |的取值范围。
9、已知向量、、、及实数x 、y ,且||=||=1,=+(x 2-3),=-y +x ,⊥,若⊥
,且||≤10。
(1)求y 关于x 的函数关系y=f(x)及定义域; (2)求函数f(x)的单调区间。
10、平面向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点M 为直线OP 上一动点。
(1)当?取最小值时,求的坐标;(2)当点M 满足(1)中的条件和结论时,求∠AMB 的余弦。
11、已知P(x ,y),A(-1,0),向量与=(1,1)共线。
(1)求y 是x 的函数;(2)是否在直线y=2x 和直线y=3x 上分别存在一点B 、C ,使得满足∠BPC 为锐角时x 取值集合为{x| x<-
7或x>7}?若存在,求出这样的B 、C 的坐标;若不存在,说明理由。
12、已知21
e e -=,2134e e +=,其中1e =(1,0),2e =(0,1)。
(1)计算2,|+|的值;
(2)如果存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ,使a k a k a k n n =+???++221
1成立,
则称n 个向量1a ,2a ,…,n a “线性相关”
,否则为“不线性相关”,依此定义,三个向量1a =(-1,1),2a =(2,1),3a =(3,2)是否为“线性相关”的,请说明你的判断根据;
(3)平面上任意三个互不共线的向量1a ,2a ,3a 一定是线性相关的吗?为什么? 参考答案
选择题1-5 ACADDB
填空题 1. 4 ,2
(33
,3 (-2,1), 4 -1或-5,
解答题1:k>0 或k<-2
2:1(7,()2
2
2-?-
3:OB OA ?=0,OC OB ?=-0.8,OA OC ?=-0.6 4:y=2x-2
5: | | |* cos<*,>= cos<,
6:2
π
βα-=
7: sin2α=59-
;6
π
8(1) (-1,0);(0,-1) (2)
9: y=x 3-3x [x ∈ 增区间(,1];[1,)-∞-+∞ 减区间[1,1]-
10:(1)(4,2)(2)
11:(1)y=x+1 (2)存在 B(2,4);C(-1,-3)或91841123
(,),(,)772828
B C --
12 (1)2=1,|+|= (2)线性相关
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
(完整word版)高中数学二级结论(精)
高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积,表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内,都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论:在ABC △内,若tan A +tan B +tan C <0,则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线,两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法:隐函数求导 推论:①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程:平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)
高中数学向量总结归纳
平面向量的数量积及平面向量的应用 1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数,而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积,记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ,(λ·a )·b =λ(a ·b ),(a ±b )·c =a ·c ±b ·c . 2.平面向量数量积的重要性质. ①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=| |||) (b a b a ??;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号. ②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |= 21 21y x +;cos θ= 22 22 21 21 2121) (y x y x y y x x + ? + +;|x 1x 2+y 1y 2|≤ 2 2 222121y x y x +?+ 3.两向量垂直的充要条件 若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a |2=a ·a 或|a |=a a ?;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式 |a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.