地震波的动力学

第三章 地震波的动力学
一、地震波的频谱 二、频谱的性质 三、地震波的振幅
二、频谱的性质
1.唯一性定理
时间域的地震振动信号 x(t ) 与频率域的地震频谱信号 X ( )是一 一对应的，二者可通过傅里叶变换与傅里叶反变换相互转换得到。 傅里叶正变换：
X ( ) x t eit dt
如果有
x1 (t ) X1
则
x2 (t ) X 2

定义


x1 x2 t d X1 () X 2 ( )
式中， 为实变量。
x1 t * x2 t


x1 x2 t d
得பைடு நூலகம்
x1 t * x2 t X1 X 2
E E e S 4 r 2
r 为球面的半径
因为能量E与振幅A的平方成正比，得：
A2 E 4 r 2 1 r
从而，有
Ac
c
E 4
假设地震波的初始振幅为A0，则传播距离为r时，其地震波振幅为：
1 Ar A0 r
（2）吸收衰减 由于实际地层并不是理想的弹性介质，地震波在传播过程中， 部分能量用于克服介质内部颗粒间的摩擦而产生热量损耗，能量 发生衰减，振幅减小。这种由于介质非完全弹性所引起的地震波 振幅的衰减，称为吸收衰减。 根据弹性粘滞理论，均匀的非完全弹性介质产生的吸收作用 ，将使地震波的振幅随传播距离的增大呈指数规律衰减。即
fn 式中，

An cos 2 f nt n df
是成倍数增加，而是连续的变化，相当于周期趋于无穷大，基频趋 于无穷小，谱线间隔越来越近，其断点的连线由折线变成一条曲线 ，从而变成连续谱。
A
n 为振动的频率。非周期信号的谐振动分量的频率不 2

0
10
20
30 40
50
3.时标变换定理
如果有
x(t ) X
则
1 x at X ( ) a a
或
1 x t aX (a ) a
式中，a为正实数。
4.时延定理
如果有
x(t ) X
则
x t X ()ei
式中， 为实变量。
5.褶积定理
3.影响地震波传播的地质因素
（1）表层地震地质条件 低速带非均质性 地形起伏 表层致密岩层 侧面反射 （2）地下地震地质条件 介质的成层性 高速层的地层屏蔽作用 介质的质量
四、地震波勘探的分辨率
1.分辨率的概念
地震勘探的分辨率包
含两方面的含义：纵向分
辨率和横向分辨率。
纵向分辨率： 地震记录沿垂直方向可分辨的最小地层厚度。
横向分辨率：
地震记录沿水平方向可分辨的最小地层宽度。
（1）地震纵向分辨率
岩层较厚，两个反射波可以分开
岩层较薄，三个反射波叠加在一起
由上图可知，分辨地层的厚度与地震子波的延续时间有关。 如果用地震波的波长 与地层厚度 h 来确定纵向分辨率，当地震 子波的延续时间 t 为n个周期时，则有：

2 T
Cn
arg Cn
0
0 20 30 40 50
n
0
0 20 30 40 50
n
周期信号的振幅谱
周期信号的相位谱
2.非周期振动信号的频谱
根据数学理论可知，一个非周期振动信号是由无限多个不同频 率、不同振幅、不同相位的谐振动叠加的结果，其数学表达式为：
x t
第三章 地震波的动力学
一、地震波的频谱 二、频谱的性质 三、地震波的振幅 四、地震勘探的分辨率
一、地震波的频谱
1.复杂周期振动信号的频谱
根据振动叠加原理，几个不同频率 f ，不同振幅 A ，不同相 位 的谐振动叠加，可以得到一个复杂的周期振动；反之，任何一 个复杂的周期振动信号也可以分解为若干个不同振幅、不同频率、 不同初相位的谐振动，其数学表达式为：
式中，0 叫基频，
0
An cos n0t n
n0 叫倍频。并且，周 T 为周期； ； 期信号的这种分解或合成，是唯一的。通过将复杂周期信号分 解，得到振幅与频率的关系，即振幅谱；以及相位与频率的关 系，即相位谱。 周期信号的振幅谱是分立谱（或叫离散谱），各个谐振动 分量的频率是基频 0 的整倍数，两条相邻谱线之间的距离也是 。如果周期越大，则基频越小，谱线也就相距越近。

0
x t sin tdt
a
0
x t cos tdt x t sin tdt
2 2
b

0
A a b
b arctan a
定义振幅为峰值 0.707 倍的两个频点 f1 和 f2 所限定的频带范 围为频谱的有效宽度。 不同脉冲函数的频谱对比可知：短脉冲具有较宽的频谱，长脉 冲具有较窄的频谱，即脉冲信号的频带宽度与延续时间成反比。
A2 T ' A22 T ' A12 R2 T ' A0 T R2 A0 R2 1 R12
Td T T ' 1 R1 1 R1 1 R12
2 An 1 A0 Rn 1 1 R12 1 R2
对于n个界面时，在n+1个界面上返回地面的反射波振幅为：
f
0
10
20
30 40
50
f
非周期信号的振幅谱
非周期信号的相位谱
3.地震波的频谱
地震波是非周期的脉冲信号，其振幅谱也是一个连续谱。根据 傅里叶变换原理，随时间变化的非周期函数 x t ，其频谱可表示为 ：
X

x t eit dt
由于地震波在
t 0 时， x t 0
特例1：当a=b=1时，这个定理称为叠加定理。其意义是：合振动的 频谱等于分振动频谱之和，逆定理亦然。
x1 t x2 t X1 () X 2
特例2：当b=0时，这个定理称为相似性定理。其意义是：当两信号 成比例时，其频谱也成比例，逆定理亦然。
ax t aX ()
x t A0 A 1 cos 0t 1 A 2 cos 20t 2 An cos n0t n
两个简谐振动的叠加
三个简谐振动的叠加
脉冲信号的合成
x t A0 A 1 cos 0t 1 A 2 cos 20t 2
4.地震波频谱的特点
（1）不同类型的地震波，其频谱各异。 （2）同一界面的反射纵波比反射横波具有较高的频谱和较宽的频带 。 （3）反射波的频谱与传播距离有关。传播距离越大，由于地层吸收 作用，主频降低。 （4）反射波的频谱与反射界面的结构有关。 （5）反射波的频谱与激发和接收条件有关。
x t
1、当间距大于1/2波长时， 可识别两个界面
2、当间距趋近于1/4波长时， 两界面开始相长干涉，振幅 增大（调谐） 3、当间距趋近于1/8波长时， 振幅变小，波形变化很小 4、当间距小于1/8波长时， 波形稳定，振幅和反射间距 呈近似线性关系
一般认为，地震纵向分辨率
的极限为： 4
薄层的概念：
2.地震波振幅的影响因素
（1）波前扩散 地震波在传播过程中，随着传播距离的增大，波前面也在不断 增大，地震波的能量也就分散在越来越大的波前面上。 在均匀介质中，震源为点震源时，波前面为球面。随着传播 距离的增大，球面逐渐扩大，从震源发出的总能量不变时，单位 面积上的能量相对减小了，振幅也就变小，这种现象称为球面发 散（波前扩散）。 设某一时刻球面波的波前面为S，总能量为E，单位面积上的 能量为e，则有：
第三章 地震波的动力学
一、地震波的频谱 二、频谱的性质 三、地震波的振幅
三、地震波的振幅
1.地震波振幅的意义
地震波的振幅是地震波动力学性质之一，研究地震波的振幅在 地震勘探中具有重要的意义。 采集时，地震波振幅是确定激发、接收参数的重要参考依据；在 数字处理中，不仅要尽可能保留真振幅，压制干扰波振幅，还要考 虑振幅的畸变；在构造解释过程中，地震波的振幅是进行地层对比 追踪的主要标志；在岩性解释过程中，地震波的振幅可用作划分岩 性和寻找油气藏的标志。
菲涅尔带：
若在界面上 o点两侧的C、C 点产生的绕射子波与 o 点产生的 绕射子波到达O点的时差为T/2，则认为C、 C ' 以内的点产生的绕射 子波在O点是加强的， CC ' 以外的点产生的绕射波在O点不再相互加 强，我们把以O’为圆心，CC ' 为直径画圆，则：在反射界面上画 出圆的范围，叫做O点产生的波在界面上的（第一）菲涅尔带。
Ar A0e
f r
A0e0 fr
f 地层吸收系数；
A0 为初始振幅； r 为传播距离；
0 为与介质的非完全弹性性质有关的系数；
Ar 为传播距离r处的振幅；
地震波吸收衰减的规律： • 地震波传播距离越大，振幅衰减越大； • 地震波频率越高，振幅衰减越大； • 坚固致密岩层吸收系数小，振幅衰减慢，疏松低速介质吸收系 数大，振幅衰减快； • 横波的吸收系数比纵波的吸收系数大，在风化岩石中表现更加 明显。
当研究的地层厚度小于 4 时，称为薄层。
调谐厚度： 通常称 厚度为调谐厚度。
4
（2）地震横向分辨率
地震波是一种波动，地面上一点可以接收到地下许多点来的 绕射波。 当炸药激发地震波后，地面上一个点收到的可以“分辨”的反 射，是来自某一范围内绕射子波叠加的结果，则水平方向的分辨 力就是该范围的大小，再小就无法分辨。
（3）透射损失 地震波在传播过程中，当遇到地下岩层分界面时，一部分发生 反射，一部分发生透射。根据能量守恒定律，在理想情况下，入 射波的总能量等于反射波能量与透射波能量之和。因此透射波能 量总小于入射波能量，这种能量衰减叫中间界面的透射损失。