专题05 参数方程与极坐标(精讲篇)含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

专题05 参数方程与极坐标

本专题所说的参数方程不仅指直线和圆锥曲线的参数方程，还包括在解题过程中要根据具体情况自行选取的参数.参数在解题过程中起到“桥梁”作用，用参数沟通其他量之间的关系，最后消去参数，达到解题目的.

本专题思维导图如右

参数作用似桥梁 一桥飞架联系畅 直线曲线都已知

其他选参代表强

思路点拨

要求2

1x y -=，就要把P 的坐标表示出来，注意到曲线是半圆，想到圆的参数方程，转

化为三角函数最值问题；当然，P 的坐标也可以用（x ，y ）表示，最终可转化为x 代数式求最值；由于||=2BA 是定值，由数量积的投影几何意义可知，只要求BP 在BA 上投影的最大值，于是，有下面三种解法：

解1设(cos ,sin ),[0,]P θθθπ∈，则(1,1),(cos ,sin 1)BA BP θθ==+，

cos sin 12sin()14

BA BP π

θθθ⋅=++=++.

因为

54

4

4π

π

πθ≤+

≤

，所以2sin()124π

θ-≤+≤，故0sin()+12 1.4

πθ≤+≤+ 解2 设(,),11P x y x -≤≤，则+1.BP BA x y ⋅=+那么

222222()121112x y x x x x x x +=+-+-≤++-=，

所以2x y +≤

，当且仅当2=1x x -，即2

=

2

x 时等号成立； 例1在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线2

1x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是_____. 参数方程与极坐标方程

把原题给出的参数方程或极坐标方程化成普通方程解题，或直接利用两种方程解题 原题给出普通方程，根据两种方程中相关量的几何意义，选择一种方程解题 利用参数方程或极坐标简化计算

当1x =-时，1x y +=-，所以012 1.x y ≤++≤+

解

3

由=|||

|cos BP BA BP BA PBA ⋅⋅⋅<>，||=2BA ，BP BA 的最大值就是BP 在BA 上投影的

最大值的2倍，这只要作BA 的垂线且与半圆相切，如图的点'

P .

当P 位于''P 时，此时直线''P B 恰与BA 垂直时数量积最小，最小值为0.

设直线'P M 的方程为y x b =-+，圆心到直线的距离1,2

d =

=解得2,2b b ==-（舍），因此，在2

||(21)2

BM =

⨯+. 所以BP BA =|||

|BM BA ⋅2

=(21)22 1.2

⨯+⋅=+ 综上所述，BP BA 的取值范围是[0,21].+

思路点拨

设出点()

()2

2,2,,P pt pt M x y ，用参数t 表示x ，y ，把直线OM 的斜率表示成t 的

函数，然后求最值.

设()

()2

2,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则2

2,2.2p FP pt pt ⎛

⎫=-

⎪⎝⎭

1

3

FM FP =，所以

例2设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为 （ ） （A ）

33 （B ）23

（C ）2

2 （D ）1

22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩即22,33

2,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

所以2

2112122OM t k t t t =

=≤=++，所以(

)max 2OM k =，故选（C ）. 思路点拨

第（1）题将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可.第（2）题将参数方程直接代入距离公式即可. 满分解答

将曲线C 的参数方程化为直角方程为，直线化为直角方程为+. （1）当a =-1时，代入可得直线为， 由解得或， 故而交点为或. （2）点到直线+的距离为 2

219x y +=11144

y x a =-+-11

144

y x a =-+-13

44

y x =-

+22134499

y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

30x y =⎧⎨=⎩2124,2525⎛⎫

-

⎪⎝

⎭()3,03cos ,

sin ,

x y θθ=⎧⎨=⎩11144y x a

=-+-11144y x a =-+-

d==

3

tan

4

ϕ=.

依题意得：

max

d

若40

a+<，则当()

sin1

θϕ

+=时最大，即5417

a

--=，16

a=-；

当+40

a≥，则当()

sin1

θϕ

+=-时最大，即917

a+=，8

a=，

综上16

a=-或8

a=.

思路点拨

(1)将曲线的参数方程先消参化简得到直角坐标方程,再代入及

化简即可.

(2) 将

θθ

=代入曲线的极坐标方程得出韦达定理,再根据的几何意义代入韦达定

理,并利用三角函数的最值问题求解即可.也可以把极坐标系下的方程

θθ

=用参数方程0

cos

sin

x t

y t

θ

θ

=

⎧

⎨

=

⎩

（t为参数），代入圆的方程，由|OP1|=|t1|，|OP2|=|t2|，并利用韦达定理即可得所求表达式。当然若利用几何意义，则更简单。

【满分解答】

（1）将曲线C的参数方程,消去参数,

得.

C cos

xρθ

= sin

y

ρθ

=

Cρ

cos

1sin

x

y

α

α

⎧=

⎪

⎨

=+

⎪⎩

α

(()

22

11

x y

+-=