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人教版高中数学全套教材例题习题改编(高考必做,高考题来源)

人教版高中数学全套教材例题习题改编人教A 版必修1课本例题习题改编1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：A={}{}|410|20,x x x N B x x m m N ++∈==∈是与的公倍数，，改编已知集合4x x M xN N **⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且10，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（）A ．M N =B ．N M ⊆C ．20x MN x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭D ．40x MN x N *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭解：{}20,M x x k k N *==∈， {}40,N x x k k Z ==∈，故选D .2.原题（必修1第十二页习题1.1B 组第一题）已知集合A={1，2}，集合B 满足A ∪B={1，2}，则这样的集合B 有个.改编1 已知集合A 、B 满足A ∪B={1，2}，则满足条件的集合A 、B 有多少对？请一一写出来．解：∵A ∪B={1，2}，∴集合A ，B 可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅．则满足条件的集合A 、B 有9对.改编2 已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有个，真子集个数有个解：子集个数有2n个，真子集个数有21n-个改编3 满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=*C(B)C(A)当C(A),C(B)C(B)C(A)当C(B),C(A)B A ,若{}{}02)ax ax)(x (x x B ,1,2A 22=+++==，且1B A =*,则由实数a 的所有可能取值构成的集合S = .解：由{}2C(A)1,2A ==得，而1B A =*，故3C(B)1C(B)==或．由02)ax ax )(x (x 22=+++得02)ax (x 0ax )(x 22=++=+或．当1C(B)=时，方程02)ax ax )(x(x 22=+++只有实根0x =，这时0a =．当3C(B)=时，必有0a ≠，这时0ax )(x 2=+有两个不相等的实根a x 0,x 21-==，方程02)ax (x 2=++必有两个相等的实根，且异于a x 0,x 21-==，有0,8a Δ2=-=∴22a ±=，可验证均满足题意，∴{}22,0,22-=S ．4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快，答案选C ．改编 2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（）解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．答案：A ．5.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第七题）画出下列函数的图象：（1）F(x)=改编设函数D(x)= 则下列结论错误的是()A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数解：由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A正确;当x是有理数时,-x也是有理数,且D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x是无理数时,-x也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,选项B正确;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数,且D(x+a)=1=D(x),当x是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以D(x+b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,（但不存在最小正周期）,选项C不正确;由实数的连续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数,选项D正确. 答案：C ．6.原题（必修1第二十四页习题 1.2A组第十题）改编已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4A B==．定义映射:f A B→，则满足点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))A fB fC f构成ABC∆且=AB BC的映射的个数为.解：从A到B的映射有3464=个，而其中要满足条件的映射必须使得点A、B、C不共线且=AB BC，结合图形可以分析得到满足(3)(1)(2)f f f=≠即可，则满足条件的映射有114312m C C=⋅=个．7.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第二题）画出定义域为{}38,5x x x-≤≤≠且，值域为{}12,0y y y-≤≤≠的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点P（x,y）的坐标满足38x-≤≤，12y-≤≤，那么其中哪些点不能在图像上？改编若函数()y f x=的定义域为{}38,5x x x-≤≤≠，值域为{}12,0y y y-≤≤≠，则()y f x=的图象可能是（）A B C D解：根据函数的概念，任意一个x只能有唯一的y值和它对应，故排除C；由定义域为1,x0,x⎧⎨⎩为有理数，为无理数，0,x01,x>0;≤⎧⎨⎩，{}38,5x x x -≤≤≠排除A 、D,选B.8.原题（必修1第二十五页习题1.2B 组第三题）函数[x]f(x)=的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，4]5.3[-=-；2]1.2[=；当(]35.2，　-∈x 时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象．改编 1 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数，例如2[2]=；2]1.2[=；3]2.2[-=-．函数[x]y =叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则]26[log ]3[log ]2[log ]1[log 3333++++ 的值为．解：由题意得，∵130=，３１=3，９２=3，２73３=．∴原式中共有２个０，６个１，１８个２，故原式＝422181602=⨯+⨯+⨯．改编2已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.若关于x的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是 .111111111111A.[1,)(,]B.(1,][,)C.[,)(,1]D.(,][,1)243243342342- -⋃ - -⋃ - -⋃ - -⋃解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数形结合的办法, 可求得直线斜率k 的取值范围为111(1,][,)243- -⋃ . 答案：B ．改编 3对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．这个函数[]x 叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么，（1）[]2log 1+[]2log 2+[]2log 3+[]2log 4+……+[]2log 1024= （2）设()[][],1,3f x x x x ⎡⎤=⋅∈⎣⎦，则()f x 的值域为解：（1）[]2log 1=0，[]2log 2=[]2log 3=1，[]2log 4=[]2log 5=[]2log 6=[]2log 7=2，[]2log 8=[]2log 9=……=[]2log 15=3，[]2log 16=[]2log 17=……=[]2log 31=4，……[]2log 512=[]2log 512=……=[]2log 1023=9，[]2log 1024=10，则原式=234912223242++92+10⨯+⨯+⨯+⨯⨯，用“错位相减法”可以求出原式的值为8204.（2）[)[]()[)[]()1,21,1;2,2.52,4x x f x x x f x ∈==∈==时，时，；[)[]()[]()2.5,32,5;33,9x x f x x x f x ∈=====时，时，；故[]1,3x ∈时()f x 的值域为{}1,4,5,9答案：（1）8204；（2）{}1,4,5,9．改编4 函数()[][]2,2f x x x x ⎡⎤=∈-⎣⎦，的值域为 .解：当[)2,1x ∈--时，[]2x =-，(]()[]22,4,2{2,3,4}x f x x -∈=-∈；当[)1,0x ∈-时，[]1x =-，(]()[]0,1,{01}x f x x -∈=-∈，；当[)0,1x ∈时，[]0x =，()0f x =；当[)1,2x ∈时，[]1x =，()[]=1f x x =；当=2x 时，()[]4=4f x =；∴值域为{0,12,3,4}，.答案：{0,12,3,4}，.9.原题（必修1第三十六页练习第１题（３））判断下列函数的奇偶性：x1x f(x )2+=．改编关于函数0)(x x1x lg f(x)2≠+=，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当0x >时，f(x)是增函数；当0x <时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间),2(),0,1(+∞-上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是．解： 0)(x x 1x lg f(x)2≠+=为偶函数，故①正确；令x 1x u(x)2+=，则当0x >时，x1x u(x)+=在)1,0(上递减，在),1[+∞上递增，∴②错误；③④正确；⑤错误．答案：①③④．10.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第三题）已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.改编已知定义在[-2, 2]上的偶函数f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 若f (1-m )<f (m ), 则实数m 的取值范围是 .解：由偶函数的定义, (1)(|1|)()(||)f m f m f m f m -=-⎧⎨=⎩, 又由f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 所以10|||1|2m m m ≤<- ≤2⇒ -1≤<.答案：12m -1≤<.11.原题（必修1第四十四页复习参考题A 组第四题）已知集合A={x|2x =1}，集合B={x|ax=1}，若B ⊆A ，求实数a 的值.改编已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B ，则实数a 等于。

【Ks5u名校】四川省成都七中2021-2022学年高一上学期入学考试数学试卷 Word版含答案

b a c成都七中高 2022 届高一上学期入学考试数学试题一．选择题(每小题 5 分，共 60 分)考试时间：120 分钟满分：150 分a c1、设 a 、 b 、 c 是不为零的实数，那么 x = + - 的值有（）bA.3 种B.4 种C.5 种D.6 种2、已知 m 2 + 2 m n = 1 3, 3 m n + 2 n 2 = 2 1, 那么 2 m 2 + 1 3 m n + 6 n 2 - 4 4 的值为（） A.45 B.55 C.66 D.773、已知 a 、 b 满足等式 x = a 2 + b 2 + 2 0 , y = 4 ( 2 b - a ) ，则 x 、 y 的大小关系是（）A. x ≤ yB. x ≥ yC.x < yD.x > y4.假如0< p < 1 5 ，那么代数式x - p +x - 1 5 + x - p - 1 5 在p≤ x ≤ 15 的最小值是（）A.30B.0C. 15D.一个与p有关的代数式5.正整数a、b、c 是等腰三角形的三边长，并且a+ b c + b + ca = 24 ，则这样的三角形有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6.分式 6 x + 1 2 x+ 1 0x + 2 x + 2可取的最小值为（）A.4B.5C.6D.不存在a ab + c7.已知∆ A B C 的三边长分别为a、b、c ，且+=b c b + c - a，则∆ A B C 确定是（）A.等边三角形B.腰长为a的等腰三角形C.底边长为a的等腰三角形D.等腰直角三角形8.若关于x的方程x + 1x + 2x a x + 2 -=x - 1 ( x - 1)( x+ 2 ) 无解，求a的值为( )1A.-5B.- 21C. -5 或- 21或-2D. -5 或-29.已知m为实数，且s in α , c o s α 是关于x的方程3x 2 - m x + 1 = 0 的两根，则s in 4 α +c o sα的值为（）2 1 7A. B. C.D. 19 3 911.已知关于x的整系数二次三项式a x 2 + b x + c ，当x取1，3，6，8 时，某同学算得这个二次三项式的值y 分别为1，5，25，50.阅历算，只有一个是错误的，这个错误的结果是（）A. x = 1时，y= 1B. x = 3时，y= 5C. x = 6时，y= 2 5D. x = 8时，y= 5 012.已知0 < a < 1 ，且满足⎡ a +⎤ ⎡ 2 9 ⎤1 ⎤ ⎡+ a + 2 + + a + = 1 8（ [ x ] 表示不超过 x 的最大整数）， ⎢ 3 0 ⎥ ⎢ 3 0 ⎥ ⎢3 0 ⎥⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦则[10 a ] 的值等于() A.5 B.6 C.7 D.8二．填空题（每小题 4 分，共 16 分）13.一个正三角形 A B C 的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开头朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择，则蚂蚁不相撞的概率是。

甘肃省庆阳市第一中学2021-2022高一数学上学期(分班)开学考试试题

甘肃省庆阳市第一中学2021-2022高一数学上学期（分班）开学考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个正确答案）1．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（） 2.实数r q p 、、在数轴上的位置如图，化简()()()222r q q p p rp +++--+的值为（）A. p r -2B. q p 23--C. p -D. r p 23+- 3.已知a 为实常数，则下列结论正确的是（） A. 关于x 的方程a x a =的解是1±=x B. 关于x 的方程a x a =的解是1=x C. 关于x 的方程a x a =的解是1=x D. 关于x 的方程()11+=+a x a 的解是1±=x 4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（图），则着色部分的面积为（） A ．112B ．8C ． 4D ．525.抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1-=x ，图象如图所示，给出以下结论：①ac b 42>；②0>abc ；③02=-b a ；④039>+-c b a ；错误的结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 36.设方程012)1(2=+++x x k 的两根为1x 、2x ，若2121221x x x x +≥+⋅，则满足条件的整数k 的值有（）BCD EGF F 第5题图A. 无数个B. 0,1,2--C. 0,1-D. 0,2-7.已知b a ,都是实数且0111=--+b a b a ，则ab 的值为（） A ．251- B. 251-或251+ C. 251--或251+- D. 251+-8.如图，在ABC Rt ∆中，BC AC ⊥，过C 作AB CD ⊥，垂足为D ，若3=AD ，2=BC ，则ABC ∆的内切圆的面积为（） A ．π B. ()π324- C.()π13- D. π29.已知x 是正整数，则当函数2901--=x y 取得最小值时x 的值为（）A. 16B. 17C. 18D. 1910．如图，已知矩形OABC ，A （4，0），C （0，4），动点P 从点A 出发，沿A ﹣B ﹣C ﹣O 的路线匀速运动，设动点P 的运动路程为t ，△OAP 的面积为S ，则下列能大致反映S 与t 之间关系的图象是（）11.观察下列数的规律： ,8,5,3,2,1,1，则第9个数是（） A. 21 B. 22 C. 33 D. 3412.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠135B ，︒=∠120C ，3=AB ，61+=AD ，22=CD ，则BC 边的长为（） A ．215- B. 22- C. 23 D. 22二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）第8题图第12题图13.已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------ ； 14. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是；15.矩形ABCD 中，4=AB ,3=AD ，将该矩形按照下图所示位置放置在直线AP 上，然后不滑动的转动，当它转动一周时（1A A →）叫做一次操作，则经过5次这样的操作，顶点A 经过的路线长等于；16.在ABC ∆中，5==AC AB ，54cos =B ，若以M 为圆心，17为半径的圆经过C B 、两点，则线段AM 的长等于。

初升高数学暑假衔接(人教版)第16讲对数函数及其性质(学生版)

第16讲对数函数及其性质1．理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；2．初步掌握对数函数的图象与性质；3．能够利用对数函数的单调性比较大小、能够解简单的对数型不等式；4．了解反函数的概念及它们的图象特点；一、对数函数的概念1、定义：函数y =log a x （0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =.（2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =.二、对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势；当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a 越小，图象向右越靠近x 轴.三、判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如log (01)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x四、利用对数函数的单调性比较大小常用方法1、同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较；2、底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等；3、底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来比较，也可利用换底公式化为同底，再进行比较。

考点一：对数函数概念及应用例1．下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a y x =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【变式训练】（多选）下列函数为对数函数的是（）A ．()()1log m f x x -=（1m >，且2m ≠）B ．()3lg f x x=C ．()ln f x x=D ．()ln ef x x =+考点二：求对数型函数的定义域例2．函数()1lg f x x=的定义域为__________.【变式训练】函数()()22log 2f x x x =-的定义域为（）A ．(),0∞-B ．()2,+∞C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 考点三：对数函数的图象判断例3．如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【变式训练】如图是对数函数log a y x =的图象，已知a 5，53，45，18，则相应的1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（）A ．18，45，535B 553，45，18C ．53545，18D 553，18，45考点四：对数函数过定点问题例4．若函数()log (2)7a f x x =-+(0a >，且)1a ≠的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为______．【变式训练】函数()()lg 213f x x =-+的图象过定点P ，则点P 的坐标是______.考点五：对数型函数的单调性判断例5．函数()20.5log 2y x x =--的单调递增区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式训练】已知函数()2()ln 344f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为_______.考点六：利用对数函数的性质比较大小例6．下列不等式错误的是（）A ．0.50.5log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5>C ．35log 10log 20>D ．πe log e log π>【变式训练】（多选）已知22log e,ln 2,log πa b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a>B ．a b>C ．c a>D ．a c>考点七：解简单的对数型不等式例7．不等式()3log 212x -≤的解集为（）A ．3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,52⎛⎤⎥⎝⎦C ．(],5∞-D ．7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【变式训练】已知21log log 2aa a <（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为____________.考点八：对数型函数的奇偶性判断例8．设函数3()lg 11xf x x+=+--，则下列函数中为奇函数的是（）A ．(2)1f x --B ．(2)1f x -+C ．(2)1f x +-D ．(2)1f x ++【变式训练】若函数())2log f x x a =--为奇函数，则a =____________．考点九：对数型函数的值域求解例9．函数2log y x =在[]1,2上的值域是（）A ．RB ．(－∞，1]C ．[0，1]D ．[0，＋∞)【变式训练1】函数()()22log f x x x =-，[]2,5x ∈的值域为（）A ．[]21,2log 5+B ．[]1,2C ．[]22,log 10D ．[]22,1log 5+【变式训练2】函数())2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的最小值为________．考点十：反函数的概念及应用例10．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（）A ．4xy =B ．4xy -=C ．14log y x=D ．4log y x=【变式训练】已知函数()f x 为2log y x =的反函数，则(4)f =__________．1．若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（）A ．－2B ．－1C ．1D ．23．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（）A ．()lg f x x=B ．()0.3xf x =C ．()3f x x=D ．()21f x x =4．当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（）A．B ．C ．D．5．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为()A 343，35，110B 343，110，35C ．43335，110D ．433110，356．若0.13a =，131log 2b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <，且1a ≠）的图像一定经过的点是________．9．函数2log (1)(2)y x x =--的单调递减区间是____________.10．若点()2,4P 在函数lo ()g a f x x =的图像上，点(),16Q m 在()f x 的反函数图像上，则m =______.11．若110x <<，2(lg )a x =，2lg b x =，lg(lg )c x =，则a ，b ，c 的大小关系是_____.12．函数21e x y -=的反函数为__________．13．已知函数()f x 为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，当0x >时，()log a f x x =的图象过点(5,2)．（1）求a 的值：（2）求()f x 的解析式；（3）求不等式()4f x >的解集．14．已知函数()()()log 3log 3,0a a f x x x a =+-->且1a ≠.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）若0a >，指出函数的单调性，并求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值.15．已知函数()log a f x x =过(2,1)-点．（1）求()f x 解析式；（2）若2()(45)g x f x x =-++，求()g x的值域．1．下列函数是对数函数的是()A ．2log y x =B ．ln(1)y x =+C ．log ex y =D ．log x y x=2．函数()f x =）A ．(]0,2B ．()0,2C ．()(]0,11,2 D ．()()0,11,2 3．函数()()log 352(0a f x x a =-+>且1)a ≠恒过定点（）A ．()2,0B ．()2,2C ．()1,0D ．()1,24．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<5．函数22log (2)y x x =+≥的值域为（）A ．(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]6．已知0.3113211log 2log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则有（）A ．a b c<且1)a ≠的反函数，且()f x 的图象过点()5,2，则=a _______.9．已知()()0.60.6log 2log 1x x +>-，则实数x 的取值范围是_______.10．函数()()1ln 102y x x =->的单调递增区间是________．11．函数()212log 617y x x =-+的值域是__________．12．比较下列各组中两个数的大小：（1） 1.2log 1.6， 1.2log 1.7；（2）23log 0.5，23log 0.6；（3）log 0.9a ，log 0.8a ．13．求下列函数的反函数．（1）13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）51y x =+；（3）2y x =（0x ≤）．14．已知函数42()lg(1)lg(1)2f x x x x x =-+++-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性．15．已知2a >，函数()y f x =的表达式为44()log (2)log ()f x x a x =---．（1）求()f x 的定义域；（2）当4a =时，求不等式(25)(3)f x f -≤的解集．。

高一数学新课标教材目录

高一数学新课标教材目录第一章数学基础与代数1.1 数与式1.2 指数与对数1.3 函数的概念与性质1.4 一次函数与二次函数1.5 函数的图像与变换第二章三角学2.1 三角函数的定义与性质2.2 三角恒等式2.3 三角函数的图像与周期性2.4 解三角形第三章平面几何3.1 平面图形的基本概念3.2 直线与圆3.3 多边形3.4 相似与全等3.5 圆的性质与定理第四章解析几何4.1 坐标系与点的坐标4.2 直线的方程4.3 圆的方程4.4 椭圆、双曲线与抛物线4.5 极坐标与参数方程第五章概率与统计5.1 随机事件与概率5.2 离散型随机变量5.3 连续型随机变量5.4 统计图表5.5 数据的收集与处理第六章数列与极限6.1 数列的概念与性质6.2 等差数列与等比数列6.3 数列的求和6.4 极限的概念与运算6.5 无穷级数第七章向量与空间几何7.1 向量的概念与运算7.2 向量在平面几何中的应用7.3 空间几何的基本概念7.4 空间直线与平面7.5 空间多面体与旋转体第八章微积分初步8.1 导数的概念与运算8.2 导数的应用8.3 积分的概念与运算8.4 积分的应用8.5 微分方程初步第九章线性代数基础9.1 矩阵的概念与运算9.2 行列式9.3 线性方程组9.4 向量空间与线性变换9.5 特征值与特征向量第十章综合应用10.1 数学建模10.2 应用数学解决实际问题10.3 数学软件的应用10.4 数学思维与创新10.5 数学竞赛与拓展附录A. 常用数学公式B. 数学名词解释C. 数学软件简介D. 数学竞赛题选注：以上内容为示例，具体教材目录可能会根据实际出版的教材有所变化。

高一数学高中数学新课标人教A版试题

高一数学高中数学新课标人教A版试题1.已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝_____，b＝______.【答案】－2，－2【解析】由题意，得解得k＝－2，b＝－2.【考点】斜截式方程.2.某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是 ( )A．i>6?B．i>7?C．i≥6？D．i≥5?【答案】A【解析】根据程序框图可知，该程序执行的是，所以判断框中应该填i>6?.【考点】本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.3.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是________．【答案】【解析】设扇形的半径和弧长分别为，由题设可得，则扇形圆心角所对的弧度数是，应填答案。

4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．55B．65C．78D．89【答案】A【解析】第一次执行循环体时，，满足判断框的条件，第二次执行循环体时，，满足判断框的条件，第三次执行循环体时，，满足判断框的条件，第四次执行循环体时，，满足判断框的条件，第五次执行循环体时，，满足判断框的条件，第六次执行循环体时，，满足判断框的条件，第七次执行循环体时，，，满足判断框的条件，第八次执行循环体时，，不满足判断框的条件，退出循环体，输出，故答案为A.【考点】程序框图的应用.5.已知向量＝(cos ，sin )，＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．（1）若|＋|＝，求x的值；（2）函数f(x)＝·＋|＋|2，若恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）由已知得：，则，又由和即可求出；（2）根据已知条件和第（1）问可得：，若使得恒成立，则，需求函数的最大值．根据可得：，则．试题解析：（1）因为，则，又，所以，即。

因为，所以或，解得：或。

2024年新课标Ⅰ卷数学高考真题(解析版)

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m -C.3m D.3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5.，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6.已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()2021e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7.当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx∈上函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >>D.(2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x <C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D ，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于B24x +=，而2x >-，()24x +=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ==，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得23338c =，所以c =16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，2AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d ，则1255d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移5单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，1255=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B到直线AP 的距离5d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，1255=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而//AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD 的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，42DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。

初升高数学暑假衔接(人教版)第16讲对数函数及其性质(教师版)

考点一：对数函数概念及应用例1．下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a y x =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【答案】D【解析】因为函数log a y x =(0a >且1a ≠)为对数函数，所以ABC 均为对数型复合函数，而D 是底数为自然常数的对数函数.故选：D.【变式训练】（多选）下列函数为对数函数的是（）A ．()()1log m f x x -=（1m >，且2m ≠）B ．()3lg f x x=C ．()ln f x x =D ．()ln ef x x =+【答案】AC【解析】形如log a y x =（0a >，且1a ≠）的函数为对数函数，对于A ，由1m >，且2m ≠，可知10m ->，且11-≠m ，故A 符合题意；对于B ，不符合题意；对于C ，符合题意；对于D ，不符合题意；故选：AC.考点二：求对数型函数的定义域例2．函数()1lg f x x=的定义域为__________.【答案】()()0,11,+∞ 【解析】函数()1lg f x x=有意义，则0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，得01x x >⎧⎨≠⎩，故答案为：()()0,11,+∞ 【变式训练】函数()()22log 2f x x x =-的定义域为（）A ．(),0∞-B ．()2,+∞C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 【答案】D【解析】由题可知220x x ->，即()20x x ->，解得0x <或2x >，故函数()()22log 2f x x x =-的定义域为()(),02,-∞+∞ .故选：D.考点三：对数函数的图象判断例3．如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【答案】B【解析】因为111775111log log log 575<=，∴（3）是17log y x =，（4）是15log y x =，又155log log x x y -==与5log y x =关于x 轴对称，∴（1）是5log y x =．故选：B ．【变式训练】如图是对数函数log a y x =的图象，已知a 53，45，18，则相应的1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（）A ．18，45，535B 553，45，18C ．53545，18D 553，18，45【答案】B【解析】∵当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势，又当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a 越小，图象向右越靠近x 轴，故1C ，2C ，3C ，4C 对应的a 553，45，18．故选：B ．考点四：对数函数过定点问题例4．若函数()log (2)7a f x x =-+(0a >，且)1a ≠的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为______．【答案】()1,7【解析】令21x -=，得1x =.又()1log 177a f =+=，所以()f x 的图像经过定点()1,7P .故答案为：()1,7【变式训练】函数()()lg 213f x x =-+的图象过定点P ，则点P 的坐标是______.【答案】()1,3【解析】由对数函数图象性质可知，令211x -=可得1x =，此时()()lg 2130313f =-+=+=，所以函数()f x 的图象过定点()1,3；即点P 的坐标是()1,3P 故答案为：()1,3考点五：对数型函数的单调性判断例5．函数()20.5log 2y x x =--的单调递增区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由220x x -->，解得：2<<1x -，故函数的定义域是()2,1-，函数22u x x =--在12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数0.5log y u =在定义域内是单调递减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知，函数()20.5log 2y x x =--的单调递增区间是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D【变式训练】已知函数()2()ln 344f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为_______.【答案】22(,)33-【解析】令2344(32)(2)0x x x x -++=-+->，即223x -<<，由222163443()33y x x x =-++=--+，则y 在2(,)3-∞上递增，在2(,)3+∞上递减，综上，y 在22(,)33-上递增，在2(,2)3上递减，而ln y x =在定义域上递增，所以()f x 的单调增区间为22(,33-.故答案为：22(,)33-考点六：利用对数函数的性质比较大小例6．下列不等式错误的是（）A ．0.50.5log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5>C ．35log 10log 20>D ．πe log e log π>【答案】D【解析】对于A ，由函数0.5log y x =在定义域上单调递减，所以0.50.5log 2.2log 2.3>成立，故A 正确；对于B ，由3log 41>，而60<log 51<，所以36log 4log 5>成立，故B 正确；对于C ，由3log 102>，而51log 202<<，所以35log 10log 20>成立，故C 正确；对于D ，由1<e<π，则π0<log e<1，而e log π>1，所以πe log e log π>不成立，故D 错误．故选：D ．【变式训练】（多选）已知22log e,ln 2,log πa b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a >B ．a b>C ．c a>D ．a c>【答案】BC【解析】由对数函数的单调性可知，2221log 2log e log π=<<，ln 2ln e 1<=.即b a c <<.故选：BC考点七：解简单的对数型不等式例7．不等式()3log 212x -≤的解集为（）A ．3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,52⎛⎤⎥⎝⎦C ．(],5∞-D ．7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】()3log 212x -≤= 3log 9，0219x ∴<-≤，15.2x ∴<≤∴不等式()3log 212x -≤的解集为1,52⎛⎤⎥⎝⎦．故选：B【变式训练】已知21log log 2aa a <（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为____________.【答案】()0,1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】①当01a <<时，212a <，得02a <<；②当1a >时，212a >，得1a >.综上所述，a 的取值范围为()1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：()21,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭考点八：对数型函数的奇偶性判断例8．设函数3()lg 11xf x x+=+--，则下列函数中为奇函数的是（）A ．(2)1f x --B ．(2)1f x -+C ．(2)1f x +-D ．(2)1f x ++【答案】A 【解析】3()lg11xf x x +=+--，330,0,3111x x x x x ++><-<<---+，()f x 的定义域是()3,1--，A 选项，设()()1121lg11lg 11x x h x f x x x++=--=+-=--，110,011x x x x ++><--，解得11x -<<，所以()h x 的定义域是()1,1-，()()1111lg lg lg111x x x h x h x x x x --+++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()h x 是奇函数，A 选项正确.B 选项，()(02)121lg1110f f -+=-+=+=≠，B 选项错误.CD 选项，()f x 的定义域是()3,1--，所以321x -<+<-，53x -<<-，所以(2)1y f x =+-和(2)1y f x =++的定义域为()5,3--，不关于原点对称，CD 选项错误.故选：A【变式训练】若函数())2log f x x a =--为奇函数，则a =____________．【答案】2||0x x x x -=-≥，则x ∈R ，因为函数为奇函数，所以()20log 4202f a a a =-=-=⇒=，则())2log 2f x x =--，故()()))22log 2log 2f x f x x x -+=-+-)22log 4log 1640xx ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦，即函数()f x 为奇函数，故a =2.故答案为：2.考点九：对数型函数的值域求解例9．函数2log y x =在[]1,2上的值域是（）A ．RB ．(－∞，1]C ．[0，1]D ．[0，＋∞)【答案】C【解析】因为函数2log y x =为单调增函数，所以2log y x =在[]1,2上的值域为[][]22log 1,log 20,1.=故选：C【变式训练1】函数()()22log f x x x =-，[]2,5x ∈的值域为（）A ．[]21,2log 5+B ．[]1,2C ．[]22,log 10D ．[]22,1log 5+【答案】A【解析】令()2g x x x =-，[]2,5x ∈，则()g x 在[]2,5上单调递增，又()22g =，()520g =，所以()[]2,20g x ∈，又2log y x =在[]2,20上单调递增，所以()[]222,20log log f x ∈，即()[]2o 1,g 25l f x ∈+.故选：A【变式训练2】函数())2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的最小值为________．【答案】14-/0.25-【解析】显然0x >，∴())()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅()()2222221log log 42log log log 2x x x x =+=+，令2log x t =，∵x ∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴t ∈[－1，2]，则()2111244g t t ⎛⎫=+-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当t ＝－12即x ＝22时，有()min 14f x =-.故答案为：14-考点十：反函数的概念及应用例10．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（）A ．4x y =B ．4xy -=C ．14log y x=D ．4log y x=【答案】C【解析】因为函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y x =对称，因此，与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是14log y x =.故选：C.【变式训练】已知函数()f x 为2log y x =的反函数，则(4)f =__________．【答案】16【解析】因为函数()f x 为2log y x =的反函数，所以()2,x f x =所以(4)f =4216=故答案为：161．若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a =故选：B2．函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【解析】由2221,0()log 1,0xx x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，得()11212f =--=-，则()()()12112f f f =-=+=.故选：D.3．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（）A ．()lg f x x =B ．()0.3xf x =C ．()3f x x=D ．()21f x x =【答案】A【解析】对选项A ：()()lg f x x f x -==，函数为偶函数，当0x >时，()lg f x x =为增函数，正确；对选项B ：()0.3xf x =在()0+∞，上为减函数，错误；对选项C ：()()3f x x f x -=-=-，函数为奇函数，错误；对选项D ：()21f x x =在()0+∞，上为减函数，错误；故选：A 4．当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当01a <<时，11a >，函数1xx a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为底数大于1的指数函数，是增函数，函数log a y x =为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，故选：C.5．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a 取3，43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为()A 343，35，110B 343，110，35C ．43335，110D ．433110，35【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数log a y x =的图象，由对数函数的图象和性质，可得1C ，2C ，3C ，4C 的a 值从小到大依次为：4C ，3C ，2C ，1C ，由a 343，35，110四个值，故1C ，2C ，3C ，4C 的a 343，35，110，故选：A ．6．若0.13a =，131log 2b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <=⇒>，1331log log 22b ==，333log 1log 2log 301b <<⇒<<，221log log 103c <⇒<，所以c b a <<，故选：D 7．函数()2)1lg(2e 2x f x x x =+--的定义域为___．【答案】{|02x x <<且ln 2}x ≠【解析】要使函数函数()2)1lg(2e 2x f x x x =+--有意义，需满足2e 2020x x x ⎧-≠⎨->⎩，解得02x <<且ln 2x ≠，故函数()2)1lg(2e 2xf x x x =+--的定义域为{|02x x <<且ln 2}x ≠，故答案为：{|02x x <<且ln 2}x ≠8．函数log (27)2a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图像一定经过的点是________．【答案】(3,2)--【解析】由题意得：令271x +=，即解得3x =-所以=2y -故图像一定经过定点(3,2)--.故答案为：(3,2)--9．函数2log (1)(2)y x x =--的单调递减区间是____________.【答案】3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令()()120x x -->，解得12x <<，则2log (1)(2)y x x =--的定义域为()12，，记2(1)(2),log u x x y u =--=，由于(1)(2)u x x =--的对称轴为32x =，故其在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而2log y u =在定义域内单调递增，由复合函数单调性的原则可知：2log (1)(2)y x x =--在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故答案为：3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.10．若点()2,4P 在函数lo ()g a f x x =的图像上，点(),16Q m 在()f x 的反函数图像上，则m =______.【答案】16【解析】因为点()2,4P 在函数lo ()g a f x x =的图像上,所以4log 2a =,计算得42a =，因为lo ()g a f x x =,所以()f x 的反函数为x y a =,又因为点(),16Q m 在()f x 的反函数图像上,所以16m a =,因为42a =,所以1616a =,即得16m =.故答案为:16.11．若110x <<，2(lg )a x =，2lg b x =，lg(lg )c x =，则a ，b ，c 的大小关系是_____.【答案】c<a<b【解析】因为110x <<，又函数lg y x =在()1,10上单调递增，所以lg1lg lg10x <<，即0lg 1x <<，所以lg(lg )lg10c x =<=，又20(lg )1x <<，即01a <<，因为2lg 2lg x x =，所以20lg 2x <<，即02b <<则222(lg )lg (lg )2lg lg (lg 2)a b x x x x x x -=-=-=-，又0lg 1x <<，所以lg 20x -<，所以0a b -<，即a b <，综上，c<a【解析】因为21e x y -=，所以0y >，ln 21y x =-，则11ln 22x y =+，由x ，y 互换，得()11ln 022y x x =+>，所以函数21e x y -=的反函数为()11ln 022y x x =+>.故答案为：()11ln 022y x x =+>.13．已知函数()f x 为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，当0x >时，()log a f x x =的图象过点(5,2)．（1）求a 的值：（2）求()f x 的解析式；（3）求不等式()4f x >的解集．【答案】（12）()(),0,,0.x x f x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩；（3）(,25)(25,)-∞-+∞ 【解析】（1）因为当0x >时，()log a f x x =的图象过点(5,2)，所以log 52a =，解得a =．（2）设0x <，则0x ->，则())f x x -=-．因为()f x 为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，则()())f x f x x =-=-．综上所述，()(),0,,0.x x f x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩（3）由()4f x >，得()0,4x x <⎧⎪⎨->⎪⎩或0,4,x >⎧⎪⎨>⎪⎩解得25x <-或25x >．故不等式()4f x >的解集为(,25)(25,)-∞-+∞ ．14．已知函数()()()log 3log 3,0a a f x x x a =+-->且1a ≠.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）若0a >，指出函数的单调性，并求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）函数为奇函数，证明如下：根据题意，()()()log 3log 3,0,1a a f x x x a a =+-->≠，则3030x x +>⎧⎨->⎩,解得33x -<<，则函数的定义域为()3,3-，又由()()()log 3log 3()a a f x x x f x -=-+-+=-，则()f x 是奇函数；（2）当01a <<时，()log 3a y x =+为()3,3-上的减函数，()log 3a y x =-为()3,3-上的增函数，故()()()log 3log 3a a f x x x =+--为()3,3-上的减函数，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()f x 的最大值为(0)0f =；当1a >时，()log 3a y x =+为()3,3-上的增函数，()log 3a y x =-为()3,3-上的减函数，故()()()log 3log 3a a f x x x =+--为()3,3-上的增函数，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()f x 的最大值为(1)log 2a f =；15．已知函数()log a f x x =过(2,1)-点．（1）求()f x 解析式；（2）若2()(45)g x f x x =-++，求()g x 的值域．【答案】（1）()12log f x x =，()0,x ∈+∞；（2）12log 9,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）将(2,1)-代入()log a f x x =，得1log 2a -=，解得12a =，所以()12log f x x =，其中()0,x ∈+∞（2）1222()(45)log (45)g x f x x x x =-++=-++，由2450x x -++>，解得15x -<<，令245u x x =-++，15x -<<，∵2245(2)9u x x x =-++=--+，∴由二次函数的性质可知，在(1,5)x ∈-时，(0,9]u ∈，又12log y u =在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 的值域为12log 9,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．(注：[)2log 9,-+∞也正确)1．下列函数是对数函数的是()A ．2log y x=B ．ln(1)y x =+C ．log e x y =D ．log x y x =【答案】A 【解析】对数函数log a y x =（0a >且1a ≠），其中a 为常数，x 为自变量．对于选项A ，符合对数函数定义；对于选项B ，真数部分是1x +，不是自变量x ，故它不是对数函数；对于选项C ，底数是变量x ，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D ，底数是变量x ，不是常数，故它不是对数函数．故选：A ．2．函数()f x =）A ．(]0,2B ．()0,2C ．()(]0,11,2 D ．()()0,11,2 【答案】C【解析】要使函数有意义，则200ln 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得02x <≤且1x ≠，所以函数的定义域为()(]0,11,2 .故选：C.3．函数()()log 352(0a f x x a =-+>且1)a ≠恒过定点（）A ．()2,0B ．()2,2C ．()1,0D ．()1,2【答案】B【解析】当351x -=，即2x =时，2y =，所以函数恒过定点为()2,2.故选：B.4．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<【答案】D 【解析】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a <<又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10xb =+>，即1b >-又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<，故选：D5．函数22log (2)y x x =+≥的值域为（）A ．(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]【答案】C【解析】因为2x ≥，所以2log 1x ≥，所以22log 3y x =+≥，即函数的值域为[3，＋∞).故选：C 6．已知0.3113211log 2log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则有（）A ．a b c<=，0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.故选：B.7．已知()f x 为对数函数，122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f =______．【答案】1【解析】设()log a f x x =（0a >，且1a ≠），则1log 22a=-，∴2112a =，即a =∴()f x x =，∴1f ==．故答案为：1.8．已知函数()f x 是函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数，且()f x 的图象过点()5,2，则=a _______.【解析】因为(0,1)x y a a a =>≠的反函数为()()log 0,1a f x x a a =>≠，又()f x 的图象过点()5,2，所以log 52a =，25a =，即a =，9．已知()()0.60.6log 2log 1x x +>-，则实数x 的取值范围是_______.【答案】12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】因为函数0.6log y x =在()0,∞+上单调递减，由()()0.60.6log 2log 1x x +>-，得021x x <+<-，解得122x -<<-，所以实数x 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．函数()()1ln 102y x x =->的单调递增区间是________．【答案】()0,∞+【解析】任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则()()112122111(ln 1)(ln 1)ln 222x f x f x x x x -=---=，因为12x x <，所以121x x <，121ln 02x x <，()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()1ln 12y x =-在()0,∞+上单调递增，()1ln 12y x =-的单调递增区间是()0,∞+，故答案为：()0,∞+.11．函数()212log 617y x x =-+的值域是__________．【答案】(,3]-∞-【解析】令2617t x x =-+，则12log y t =，因为22617(3)88t x x x =-+=-+≥，所以2617t x x =-+的值域为[8,∞+），因为12log y t =在[8,∞+）是减函数，所以1122log log 8-3y t =≤=，所以212log (617)y x x =-+的值域为(,3]-∞-，故答案为：(,3]-∞-12．比较下列各组中两个数的大小：（1） 1.2log 1.6， 1.2log 1.7；（2）23log 0.5，23log 0.6；（3）log 0.9a ，log 0.8a ．【答案】（1） 1.2 1.2log 1.6log 1.7<；（2）2233log 0.5log 0.6>（3）当1a >时，log 0.9log 0.8a a >；当01a <<时，log 0.9log 0.8a a <；【解析】（1）因为函数 1.2log y x =是增函数，且1.6 1.7<，所以 1.2 1.2log 1.6log 1.7<（2）因为函数23log y x =是减函数，且0.50.6<，所以2233log 0.5log 0.6>（3）当1a >时，函数log a y x =是增函数，且0.90.8>，所以log 0.9log 0.8a a >；当01a <<时，函数log a y x =是减函数，且0.90.8>，所以log 0.9log 0.8a a <.13．求下列函数的反函数．（1）13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）51y x =+；（3）2y x =（0x ≤）．【答案】（1）()113log f x x -=（0x >）；（2）()115x f x --=（x ∈R ）；（3）()1f x -=0x ≥）【解析】（1）由13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得13log x y =，且0y >，∴()113log f x x -=（0x >）．（2）由51y x =+，得15y x -=，∴()115x f x --=（x ∈R ）．（3）由2y x =，得x =∵0x ≤，∴x =．∴()1f x -=（0x ≥）．14．已知函数42()lg(1)lg(1)2f x x x x x =-+++-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性．【答案】（1）(1,1)-；（2）偶函数【解析】（1）由题意可知：101110x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故函数()f x 的定义域为()11-，，（2）由（1）知定义域关于原点对称，()()()4242()lg(1)lg(1)2lg(1)lg(1)2==f x x x x x x x x x f x -=++-+----+++-，所以()f x 为偶函数，15．已知2a >，函数()y f x =的表达式为44()log (2)log ()f x x a x =---．（1）求()f x 的定义域；（2）当4a =时，求不等式(25)(3)f x f -≤的解集．【答案】（1）()2,a ；（2）7,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】（1）由题意得：200x a x ->⎧⎨->⎩，解得2x x a >⎧⎨<⎩．因为2a >，所以2x a <<，故()f x 的定义域为()2,a ．（2）因为4a =，所以44(25)log (27)log (92)f x x x -=---；()443log 1log 10f =-=因为(25)(3)f x f -≤，所以()()44log 27log 920x x ---≤，即44log (27)log (92)x x -≤-，从而2709202792x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤-⎩，解得742x <≤．故不等式(25)(3)f x f -≤的解集为7,42⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

2023上海三校生高考数学试题

2023上海三校生高考数学试题2023年上海市三校生高考数学试题2023年上海市三校生高考数学试题是上海市三所著名高中（复旦附中、上海中学、交大附中）联合出题的高考数学试题。

这套试题涵盖了高中数学各个领域的知识点，旨在考查学生对数学知识的掌握和运用能力。

以下是试卷中的部分题目及解析：一、选择题部分：1. 已知函数$f(x)=3x^2-5x+2$，求$f(-1)$的值。

解析：将$x=-1$代入$f(x)$，得到$f(-1)=3(-1)^2-5(-1)+2=10$。

2. 若$\log_a b=2$，$\log_b c=3$，求$\log_a c$的值。

解析：根据对数的性质，$\log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a} = \frac{3}{2}$。

二、填空题部分：1. 若$a+b=3$，$a-b=1$，则$a^2-b^2$的值为$\underline{\hspace{2cm}}$。

解析：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=3\times1=3$。

2. 解方程组$\begin{cases} 2x+y=5 \\ x+3y=10 \end{cases}$，得到$x=\underline{\hspace{2cm}}$，$y=\underline{\hspace{2cm}}$。

解析：解方程组可使用消元法或代入法，最终得到$x=2$，$y=1$。

三、解答题部分：1. 已知等差数列的前$n$项和$S_n=3n^2$，且$a_1=1$，$a_n=4$，求该等差数列的公差$d$。

解析：根据等差数列的性质，$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入已知条件，得到$3n^2=\frac{n}{2}(1+4n)$，解方程得到$n=2$，$d=2$。

2. 计算不定积分$\int (2x^2+3x+1)dx$。

解析：根据不定积分的性质，$\int (2x^2+3x+1)dx =\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x$。

福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期入学质量抽测数学试卷含答案

准考证号：姓名：（在此卷上答题无效)2023-2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测数学试卷（考试时间：120分钟；总分：150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产（年）的关系，现有以下三种函数模≠1），选出你认为最符合实2021二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023~2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测数学试卷参考答案阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。

如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。

有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

题号12345678答案B D B B B A C C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

注意：全部选对的得6分，第9题选对其中一个选项得2分，第10、11题选对其中一个选项得3分。

有错选的得0分。

题号91011答案AB BCD BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．313．3514．=sin2（答案不唯一，形如=Lin2s=Man，是周期为π的奇函数均可）；0或2四、解答题：本题共5小题，共77分。

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翔宇监利中学高一理科提招班数学编写人：刘四鸣审核人：刘四鸣
《恒成立与存在性》小专题15.11.02 恒成立与存在性问题一直活跃在各类考试中，绝大多数题都是压轴题，稍不注意很容易丢分。今以一个小专题呈现在同学们眼前，请同学们认真“鉴别”，反复“思考”，一定做到：“落实”与“反刍”！！！已知函数axxgxxxf23)(,32)(2，请解决： ⑴对任意]3,0[x使得)()(xgxf成立，则a ⑵总存在]3,0[x使得)()(xgxf成立，则a ⑶对任意]3,0[1x和]1,1[2x使得)()(21xgxf成立，则a ⑷总存在]3,0[1x和]1,1[2x使得)()(21xgxf成立，则a ⑸对任意]3,0[1x，总存在]1,1[2x使得)()(21xgxf成立，则a ⑹总存在]3,0[1x和]1,1[2x使得)()(21xgxf成立，则a ⑺对任意]3,0[1x和]1,1[2x使得)()(21xgxf成立，则a 每题的实质是什么？？？！！！ ⑴等价于 ⑵等价于 ⑶等价于 ⑷等价于 ⑸等价于 ⑹等价于 ⑺等价于《恒成立与存在性》小专题15.11.02
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分。今以一个小专题呈现在同学们眼前，请同学们认真“鉴别”，反复“思考”，一定做到：“落
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