2019年高考数学一轮复习：导数的应用

2019年高考数学一轮复习：导数的应用函数的单调性与导数①在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内________；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内________；②如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间上是________．自查自纠①单调递增 单调递减 ②常数函数(2016·宁夏模拟)函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(e ，＋∞)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋e x >0，故单调递增区间是(0，＋∞)．故选A .(2016·湛江模拟)函数f (x )＝ln xx的单调递减区间是( )A ．(e ，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0，e)D ．(0，1)解：f ′(x )＝1－ln xx 2，由x ＞0及f ′(x )＜0解得x ＞e.故选A .(2017·浙江)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是()A BC D解：由导函数y ＝f ′(x )的图象可知，该图象在x 轴的负半轴上有一个零点(不妨设为x 1)，并且当x <x 1时，f ′(x )<0，该图象在x 轴的正半轴上有两个零点(从左到右依次设为x 2，x 3)，且当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 2，x 3)时，f ′(x )<0；当x >x 3时，f ′(x )>0.因此函数f (x )在x ＝x 1处取得极小值，在x ＝x 2处取得极大值，在x ＝x 3处取得极小值．对照四个选项，选项A 中，在x ＝x 1处取得极大值，不合题意；选项B中，极大值点应大于0，不合题意；选项C 中，在x＝x 1处取得极大值，也不合题意；选项D 合题意．故选D .函数f (x )＝x ＋2cos x (x ∈(0，π))的单调递减区间为________．解：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＜0得sin x ＞12，故π6＜x ＜5π6.故填⎝⎛⎭⎫π6，5π6.(2017·兰州模拟)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是________．解：由已知得f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≤(x ＋1)2－1在[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≤－1.故填(－∞，－1]．类型一 导数法研究函数的单调性(1)函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上单调递增，在(π，2π)上单调递减D ．在(0，π)上单调递减，在(π，2π)上单调递增解：f ′(x )＝1－cos x ＞0在(0，2π)上恒成立，所以f (x )在R 上递增，在(0，2π)上为增函数．故选A .(2)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1，则f (x )的单调减区间为________．解：f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a ＞1知，当x ＜2时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间(2，2a )上是减函数；当x ＞2a 时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a ＞1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2，2a )上是减函数．故填(2，2a )．(3)函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( )A ．a ≤0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ＞0 解：函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的充分必要条件是f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立，所以a ≤(3x 2)min .因为(3x 2)min ＝0，所以a ≤0.而(－∞，0)⊆(－∞，0]．故选B .【点拨】(1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号．不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式，其解集即为函数的单调区间，含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解，其解集即为函数的单调区间．(2)所有求解和讨论都在函数的定义域内，不要超出定义域的范围．确定函数单调区间的步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．应注意的是，个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3在R 上是增函数．(2015·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 所以3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0. 解之得－1<x <0或x <－4.所以g (x )的单调减区间为(－1，0)和(－∞，－4)．类型二 利用导数研究含参数函数的单调性(2016·山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性； (2)略．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．①0＜a ＜2时，2a ＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；②a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；③a ＞2时，0＜2a＜1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0<a <2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增； 当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1 内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 【点拨】(1)大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号．(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域．(3)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．分类讨论时，要做到不重不漏．(2017·临沂调研)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数g (x )＝f (x )－ax ＋1－xx ＋1(a ≠0)的单调性．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2（x ＋1）2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)g (x )＝a ln x －ax ，g ′(x )＝ax －a ＝a （1－x ）x .由于x ＞0，且a ≠0，故当a ＞0时，g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a ＜0时，g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．类型三 已知函数单调性确定参数的值(范围)(1)若函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x(x ≥0，a＞0)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x(x ≥0，a >0)的单调递增区间是[1，＋∞)，则a 的取值集合是________．解：(1)f ′(x )＝a ax ＋1－2（x ＋1）2＝ax 2＋a －2（ax ＋1）（x ＋1）2，由f (x )在[1，＋∞)上单调递增可得，对任意x ≥1，f ′(x )≥0⇒a (x 2＋1)≥2.所以a ≥⎝⎛⎭⎫2x 2＋1max＝1，所以a ≥1.故填[1，＋∞)． (2)f (x )的单调递增区间为[1，＋∞)，即f (x )仅在区间[1，＋∞)上单调递增．令f ′(x )≥0⇒ax 2＋a －2≥0⇒x 2≥2－a a.若2－a a ≤0，即a ≥2，则x 2≥2－a a 恒成立，f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，不符合题意； 若2－a a＞0，即0＜a ＜2，则f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－a a ，＋∞，所以2－a a ＝1，即a ＝1时，符合题意．故填{a|a ＝1}．【点拨】(1)f (x )在区间D 上单调递增(减)，只要f ′(x )≥0(≤0)在D 上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．(2)二次函数在区间D 上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D 的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论．(3)注意问题的问法，如“在某区间单调增(减)”与“单调增(减)区间是某区间”是不同的．(1)(2016·九江一模)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，因为g (x )＝－x＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减，所以g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫13＝83，所以2a ≥83，即a ≥43.故填⎣⎡⎭⎫43，＋∞.(2)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )，若函数f (x )在区间(－1，1)上不单调，则a 的取值范围是________．解：易知f ′(x )＝(x －a )(3x ＋a ＋2)＝0的根x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.只要－1<x 1<1或－1<x 2<1，x 1≠x 2即可满足要求，则－1<a <1或－5<a <1且a ≠－12，所以所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－5，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1.故填⎝⎛⎭⎫－5，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1.1．用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．2．已知单调性确定参数的值(范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”的不同，“在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点．1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞) 解：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，故选D .2．(2016·四川模拟)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()解：由函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象从左到右先增后减，知y ＝f (x )图象切线的斜率对应先增后减．故选B .3．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A .4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0，3]解：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上原函数是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0，3]，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.故选A .5．(2016·杭州模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解：因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D .6．(2016·武汉模拟)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解：依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b .故选C .7．函数f (x )＝ln x ＋x 2－3x 的单调减区间是________．解：f ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x 2－3x ＋1x ，由于f ′(x )＜0⇔12＜x ＜1.故填⎝⎛⎭⎫12，1. 8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－（x －1）（x －3）x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1，得0＜t ＜1或2＜t ＜3.故填(0，1)∪(2，3)．9．已知函数f (x )＝x 3－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(1)＝3－a ＝0，得a ＝3.(2)因为f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞1.所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)， 单调递减区间是[－1，1]． 10．已知函数f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2，3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．解：f ′(x )＝e x －a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x －a ≥0，即f (x )在R 上单调递增．若a ＞0，e x －a ≥0，所以e x ≥a ，x ≥ln a . 因此当a ≤0时，f (x )的单调增区间为R ，当a ＞0时，f (x )的单调增区间是[ln a ，＋∞)．(2)因为f ′(x )＝e x －a ≤0在(－2，3)上恒成立． 所以a ≥e x 在x ∈(－2，3)上恒成立．又因为－2＜x ＜3，所以e －2＜e x ＜e 3，只需a ≥e 3.当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3在x ∈(－2，3)上，f ′(x )＜0，即f (x )在(－2，3)上为减函数，所以a ≥e 3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2，3)上为减函数． 11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k >0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0.(1)求a ，b 的值；(2)若函数g (x )＝e xf （x ），讨论g (x )的单调性.解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k >0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0相互垂直可知该切线的斜率为2，即f ′(1)＝2，即2a ＝2，即a ＝1.所以a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知，g (x )＝e xx 2＋k(k >0)，g ′(x )＝e x （x 2－2x ＋k ）（x 2＋k ）2(k >0)．令g ′(x )＝0，有x 2－2x ＋k ＝0.①当Δ＝4－4k <0，即k >1时，g ′(x )>0在R 上恒成立，故函数g (x )在R 上为增函数；②当Δ＝4－4k ＝0，即k ＝1时，g ′(x )＝e x（x －1）2（x 2＋k ）2≥0，仅在x ＝1处，g ′(x )＝0，故函数g (x )在R 上为增函数；③当Δ＝4－4k >0，即0<k <1时，方程x 2－2x ＋k ＝0有两个不相等实根，x 1＝1－1－k ，x 2＝1＋1－k .由x 2－2x ＋k >0，解得x <1－1－k 或x >1＋1－k ；由x 2－2x ＋k <0，解得1－1－k <x <1＋1－k . 所以，函数g (x )在区间(－∞，1－1－k )与(1＋1－k ，＋∞)上单调递增，在区间(1－1－k ，1＋1－k )上单调递减．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－4f (－2)>0的解集为( )A ．(－∞，－2 016)B ．(－2 018，0)C ．(－∞，－2 020)D ．(－2 020，0) 解： 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0， 得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，即[x 2f (x )]′<x 3<0.令F(x)＝x2f(x)，则当x<0时，F′(x)<0，即F(x)在(－∞，0)上是减函数．因为F(x＋2018)＝(2018＋x)2f(x＋2018)，F(－2)＝4f(－2)，则所求不等式即为F(2018＋x)－F(－2)>0，又F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以由F(2018＋x)>F(－2)得，2018＋x<－2，即x<－2020.故选C.2019年高考数学一轮复习第7 页共7 页。