数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数.

§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数 一 、 向量、矩阵范数 为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nnnRR或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此，这就需要对量空间nR(或nnR矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。 (一)向量范数：向量范数是3R中向量长度概念的推广。

定义8 (1)},{1为复数innxxxxxC称为n维复向量空间。 },)({为复数ijnnijnnaaAAC称为nn复矩阵空间。

(2)设nnnCACx,,称TnHxxxx),,(

1

为x的共轭转置，

THAA称为A共轭转置矩阵。

在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。 定义9(向量范数)关于向量nRx(或nCx)的某个实值非负函数xxN)(，如果满足下述条件

(1)正定性 00,0xxx (2)齐次性 xax其中R(或C) (3)三角不等式 )(,,nnCRyxyxyx或，称xxN)(是nR上(或nC)一个向量范数(或为模)。 由三角不等式可推出不等式 (4)yxyx 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。 定义10 设)(),,(1nnTnCxRxxx或

(1)向量的“”范数 inixxxN1max)(

(2)向量的“1”范数 niixxxN111)( (3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(niixxxxxN (4)向量的能量范数 设nnRA为对称正定阵 2/1),()(xAxxxNRxAAn

称为向量的能量范数。

定理19 设nRx(或nCx)，则)(),(),(12xNxNxN是nR上(或nC)的向量范数。 证明 只验证三角不等式：对任意nRyx,，则222yxyx

利用哥西不等式：22),(yxyx，则有 ),(22yxyxyx),(),(2),(yyyxxx

2222222yyxx2

22))(yx

定理20 (范数的等价性) 对任何nRyx,则 (1) xnxx2 (2) 212xnxx (3) xnxx1

证 只证(1)。记jininxxxxxx11max, 于是有(a)niijxxxx122222 (b) nijjniixnxnxxx12221222 (二)向量序列的极限 定义11 (向量序列的极限)设有向量序列}{)(kx及向量x且记 TnTknkkxxxxxx),,(,),,(1)()(1)(

如果2n个数列收敛，即 ),,1(lim)(nixxikik 则称}{)(kx收敛于x，记xxkk)(lim， 或说向量序列的收敛是)(kx分量收敛到x对应分量。 例 设有向量序列

),,2,1(102102)(nkxkkk



显然，有22lim)(kkx

定义12 (距离) 设nRyx,，称非负实数yxyxd),(为yx,之间距离，其中为向量的任何一种意义下范数。 定理21 设}{)(kx为nR中一向量序列，且nRx，则  xxkk)(lim是0)(vkxx(当k)

其中v 

为向量的任一范数。

证明 只对2,vv证明。显然有 ),,1(0limlim)()(nixxxxikikkk

)(0lim)(1kxxikini当

)(0)(kxxk当 又由范数的等价性定理有： xxnxxxxkkk)(2)()(

于是 )(0)(02)()(kxxkxxkk当 (三)矩阵的范数 一个nn矩阵A可看作2n维向量空间中一个向量，于是由nnR上向量“2”范数，可以引进nnR中矩阵的一种范数。 NjiijFaAAF1,2/12)()(称为A的 Frobenius范数。

定义13 (矩阵范数)关于矩阵nnRA的某个非负实值函数AAN)(，如果满足下述条件：

(1)正定性：00,0AAA是且 (2)齐次性：RAA, (3)三角不等式：BABA 则称)(AN是nnR上的一个矩阵范数(或模)。 由于在许多应用问题中，矩阵和向量是相联系的，现引进一种矩阵的算子范数。它是由向量范数诱导出来的并且这种矩阵范数和向量范数是相

容的，即nnnRARx,不等式xAAx 成立。

定义14 (矩阵的算子范数)设nnnRARx,且设有一种向量范数vx

相应的定义一个矩阵的非负函数

vvRxxvxAxAANn0max)(

(最大比值),称)(AN为矩阵A的算子范数。

定理22 设vx是nR上的向量范数，则vAAN)(是nnR上一个范数且满足相容条件： (1) vvvxAAx

(2) ),(nnvvvRBABAAB 证明 由vAAN)(定义,可知有

vv

vAxAx

或),(,nnnvvvRxRAxAAx

下面验证三角不等式：vvvBABA 由定义 vvxRxvxxBABAn)(max0 由于vvvBxAxxBA)(vvvvxBxAvvvxBA)(

或)0(,)(xRxBAxxBAnvvvv且 故vvvBABA 定理23 (矩阵范数公式)设nnnRARx,，则 (1)njijnixaxAxA1110maxmax(称为A的行范数)

(2) niijnjxaxAxA111101maxmax(称为A的列范数) (3) )(maxmax2202AAxAxATx(称为A的“2”范数) 其中)(maxAAT为AAT最大特征值。 证明 证(1)：记`1),,(Tnxxx,txxini1max

njnjjiijniniaa1011)1(max0其中

于是jnjijninjjijnixaxaAx 1111maxmax njijitat1max 说明，对任何向量0x，则有 xAx (a) 如果能找到一向量0x且10x使 00xAx那末，定理得证。 下面来寻求0x使比值等于，记Tnxxxx),,,(210且使10x 于是，TnjnjnjjnjjjijjxaxaxaAx),,,,(111100 且由(a)式有 0Ax 由此，应选取0x为：0,10,100jijijaax当当 则10x及njnjjijjiaxa1100或0Ax 故xAxx0max 证(3)：由于AAT为对称半正定矩阵，则AAT特征值为非负，即记AAT特征值为),,1,1(nii，则有021n 且有niiu1}{满足),,2,1(,niuAuAiiiT,ijjiuu),(

考查比值：nRx且0x，于是niiiuax1

),(),(),(),(2222xxxAxAxxAxAxxAxT





niininiiiiiiuu1211),(11212

niin

iii

说明，对任何非零向量nRx，则有122xAx 另一方面，取1ux则有111111221221),(),(uuuuuAu 故)(max2AAAT 定理24 (矩阵范数等价性)设nnRA，则 (1)AnAAn21;(2)AnAAn11 定义25 (矩阵的谱半径)设nnRA的特征值为),,1(nii

，称

iniA1

max)(为A的谱半径。

定理25 (特征值界) (1)设nnRA，则AA)(，其中A为满足矩阵，向量相容性条件的矩阵范数。 (2)设nnRA为对称矩阵，则)(2AA。

证明 只证(1)。 设为A的任一特征值，于是，存在0x使xAx 且Axxx xA  即 AAx)(或 定理26 设为矩阵的算子范数，且1B，则BI为非奇异矩阵，且

有估计BBI11)(1 证明 1)反证法。 设BI为奇异阵，则0)(xBI有非零解记为0x，即00xBx

于是，100xBx由此，有1B，这与假设矛盾。 2)由IBIBI1))(( 即得 11)()(BIBIBI