广东省新高考高中数学必修一第二章《2.3幂函数》全套教案
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数学案 新
2.3 幂函数预习课本P77～78，思考并完成以下问题[新知初探]1．幂函数的概念函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．[点睛] 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．2．常见幂函数的图象与性质[点睛] 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数． ( )(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)． ( )(3)幂函数的图象都不过第二、四象限． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －1答案：C3．已知f (x )＝(m －1)m ＝( )A ．2B ．1C ．3D ．0答案：A4．已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________. 答案：12[例1] 已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域． [解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，定义域为{x |x ≠0}或y ＝x 0，定义域为{x |x ≠0}．幂函数的概念1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x3C ．y ＝22xD ．y ＝x －1解析：选C 显然C 中y ＝22x＝4x，不是y ＝x α的形式，所以不是幂函数，而A 、B 、D 中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的结构特征，故选C.[例2] 比较下列各组数中两个数的大小．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)⎝ ⎛⎪⎫23⎝ ⎛⎪⎫34[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1.(3)∵函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x为R 上的减函数，又34>23，∴⎝ ⎛⎪⎫23⎝ ⎛⎪⎫23又∵函数y 2＝(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝ ⎛⎪⎫34⎝ ⎛⎪⎫23⎝ ⎛⎪⎫34⎝ ⎛⎪⎫23比较幂值的大小[活学活用]2．比较下列各组值的大小：(1)(－1.42； 解：(1)∵y ＝x 65为R 上的偶函数，∴(－0.31)又函数y ＝[0，＋∞)上的增函数，且0.31＜0.35，∴(－0.31)(2)∵y ＝[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4， ∴又∵y ＝1.4x为增函数，且12<2，∴2，∴1.212<1.412<1.42.[例3] 已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．[解] 因为f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试判断f (x )的奇偶性． 解：由本例知，f (x )＝x －2， 则f (－x )＝(－x )－2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．幂函数的图象与性质2．[变条件]本例中点P 变为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12， (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)判断函数f (x )的单调性，解：∵f (x )的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12， ∴8α＝12，即23α＝2－1，∴3α＝－1，即α＝－13，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x －13(x ≠0)．(1)∵f (－x )＝(－x )－13＝13－x ＝－13x ＝－f (x )，又f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， ∴f (x )是奇函数．(2)∵－13<0，∴f (x )＝x －13在(0，＋∞)上是减函数．由(1)，知f (x )是奇函数，∴f (x )＝x －13在(－∞，0)上也是减函数．∴f (x )＝x －13在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是减函数．层级一 学业水平达标1．在函数①y ＝1x，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝( )A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥解析：选C 幂函数是形如y ＝x α(α∈R ，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x 2的系数是2，所以不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．.2解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D.y ＝解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．函数y ＝1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B y ＝12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝1的图象关于x 轴对称后即为选项 B .5.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m＞2n，所以n ＜m ＜0.6．若y ＝________．解析：由已知y ＝a ＝1，所以y ＝x 12，所以y ≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：则f (x )的单调递增区间是解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，即α＝12，所以f (x )＝[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.答案：－19．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1± 2.10．比较下列各组数的大小．(2)⎝ ⎛⎪⎫－2⎝ ⎛⎪⎫－π6解：(1)y ＝(0，＋∞)上为减函数，又3＜ 3.2，所以(2)⎝ ⎛⎪⎫－23⎝ ⎛⎪⎫23⎝ ⎛⎪⎫－π6⎝ ⎛⎪⎫π6函数y ＝(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝ ⎛⎪⎫－23⎝ ⎛⎪⎫－π1,0＜3.8－43＜1－43＝1，所以 3.8－43.应试能力达标1．已知函数f (x )＝(a 2－a －1)a 的值为( )A ．－1或2B ．－2或1C ．－1D ．1解析：选C 因为f (x )＝(a 2－a －1)a 2－a －1＝1，即a ＝2或－1.又a －2≠0，所以a ＝－1.2．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．.当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数解析：选C 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R)＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误；当α＞0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误．故选C.3．设a ＝⎝ ⎛⎪⎫12b ＝⎝ ⎛⎪⎫15c ＝⎝ ⎛⎪⎫12( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D 构造幂函数y ＝x ∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a > B.4．如下图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．.2，12，－2，－12解析：选B 要确定一个幂函数y ＝x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y ＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y ＝x α的图象在直线x ＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x ＝1右侧的图象，由高向低依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为2，12，－12，－2.5．若(a ＋(3－2a a 的取值范围是________．解析：函数y ＝[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＜3－2a ，解得－1＜a ＜23.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，236．已知函数f (x )＝(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.解析：取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝答案：37．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝x 2.当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增， ∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ]． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4⇒0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1]．8．已知幂函数f (x )＝m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )＞f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1.解得1≤a ＜32.∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x －1·ln(2－x )的定义域为( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2]解析：选B 要使解析式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2－x ＞0，解得1≤x ＜2，所以所求函数的定义域为[1,2)．2．下列函数中定义域与值域相同的是( ) A ．f (x )＝21xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝2x－1D ．f (x )＝lg x解析：选C A 中，定义域为(0，＋∞)，值域为(1，＋∞)；B 中，定义域为(0，＋∞)，值域为R ；C 中，由2x≥1，得x ≥0，所以定义域与值域都是[0，＋∞)；D 中，由lg x ≥0，得x ≥1，所以定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)．选C.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |解析：选C A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；C 、D 两项中的两个函数都是偶函数，但y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.4．设a ＝log 3π，b ＝log 13π，c ＝π－3，则( )A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a解析：选A ∵a ＝log 3π＞1，b ＝log 13π＜0,0＜c ＝π－3＜1，∴a ＞c ＞b .故选A.5．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．225解析：选C 由log a 3＝m ，得a m ＝3， 由log a 5＝n ，得a n＝5， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.6．函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：选A 当a ＞1时，y ＝log a t 为增函数，t ＝(a －1)x ＋1为增函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 为减函数，t ＝(a －1)x ＋1为减函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数．综上，函数f (x )在定义域上是增函数．7．已知f (x )＝a x，g (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (3)·g (3)＜0，则f (x )与g (x )在同一坐标系里的图象是( )解析：选C ∵a ＞0且a ≠1，∴f (3)＝a 3＞0，又f (3)·g (3)＜0，∴g (3)＝log a 3＜0，∴0＜a ＜1，∴f (x )＝a x在R 上是减函数，g (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故选C.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：选B 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138，选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________． 解析：由已知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，所以x ≥0.答案：[0，＋∞)10．若2a＝6，b ＝log 23，则2a －b＝________，a ＋1b＝________.解析：2a －b＝2a2b ＝62log 23＝63＝2. a ＋1b ＝log 26＋1log 23＝log 26＋log 22log 23＝log 212log 23＝log 312. 答案：2 log 31211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为________，f (x )>12的解集为________．解析：因为19＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝log 33－2＝－2，所以f (－2)＝2－2＝14.f (x )>12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x >12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x >12.解得x >3或－1<x ≤0.故f (x )>12的解集为{x |x >3或－1<x ≤0}．答案：14 {x |x >3或－1<x ≤0}12．若偶函数f (x )＝xa ＋53的定义域为[3a ，a 2＋2]，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴a 2＋2＝－3a ，即a 2＋3a ＋2＝0，解得a ＝－1或a ＝－2.当a ＝－1时，f (x )＝ x 43＝3x 4，∴f (－x )＝3－x4＝3x 4＝f (x )，此时f (x )是偶函数；当a ＝－2时，f (x )＝x ，∴f (－x )＝－x ＝－f (x )，此时f (x )是奇函数．故a ＝－1.答案：－113．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )＋12x －1＋1，则f (1)＋f (－1)＝________；如果f (log a 5)＝4(a >0，a ≠1)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1a 5的值是________．解析：f (1)＋f (－1)＝log 2(2＋1)＋2＋log 2(2－1)－1＝1.f (x )＋f (－x )＝log 2(x 2＋1＋x )＋12x －1＋1＋log 2(x 2＋1－x )＋12－x －1＋1＝12x －1＋2x1－2x ＋2＝1.∵log 1a5＝－log a 5，∴f (log a 5)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 1a 5＝1，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫log 1a 5＝－3. 答案：1 －314．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12，x >0，－2，x ＝0，x ＋12，x <0，且b ＝f (f (f (0)))，则b ＝________；若y ＝xa 2－4a －b 是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则整数a 的值是________．解析：由分段函数f (x )可得b ＝f (f (f (0)))＝f (f (－2))＝f (1)＝1.由于y ＝xa 2－4a －b 在(0，＋∞)上是减函数，则a 2－4a －1<0，解得2－5<a <2＋5，由于a 为整数，则a ＝0,1,2,3,4.检验：只有当a ＝1,3时，函数y ＝x －4为偶函数．故a 的值为1或3.答案：1 1或315．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝log22x 的图象上，所以2＝log 22x A ，x A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12. 点B (x B,2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝(x B )12，x B ＝4.所以点C (4，y C )在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上， 所以y C ＝⎝⎛⎭⎪⎫224＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 三、解答题(本小题满分本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)计算：(1)12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋42－4；(2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2.解：(1)原式＝2＋1－1＋23＋e －2＝23＋e.(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－12lg 26＋50×(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.17．(本小题满分15分)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上，求b 的值．解：当x ＋3＝1，即x ＝－2时，对任意的a ＞0，且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－89，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上，则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1.18．(本小题满分15分)已知函数g (x )是f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)的反函数，且g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，32. (1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)比较f (0.3)，g (0.2)与g (1.5)的大小．解：(1)∵函数g (x )是f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)的反函数，∴g (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)． ∵g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，∴log a 22＝32，∴a 32＝22，解得a ＝2. ∴f (x )＝2x，g (x )＝log 2x .(2)∵f (0.3)＝20.3＞20＝1，g (0.2)＝log 20.2＜0，又g (1.5)＝log 21.5＜log 22＝1，且g (1.5)＝log 21.5＞log 21＝0， ∴0＜g (1.5)＜1，∴f (0.3)＞g (1.5)＞g (0.2)．19．(本小题满分15分)已知f (x )＝|log 3x |. (1)画出函数f (x )的图象；(2)讨论关于x 的方程|log 3x |＝a (a ∈R)的解的个数．解：(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0＜x ＜1，对应的函数f (x )的图象如图所示．(2)设函数y ＝|log 3x |和y ＝a .当a ＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个． 当a ＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解． 当a ＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解．20．(本小题满分15分)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a ＝1，b ＝1符合题意．(2)证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝－2x 1x 2＋－－2x 2x 1＋x 1＋x 2＋＝x 2－2x 1x 1＋x 2＋.∵x 1＜x 2，∴2x 2－2x 1＞0. 又∵(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )为R 上的减函数．(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立， ∴f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )．∴f (x )为奇函数，∴f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)．∵f (x )为减函数，∴t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13.∴k ＜－13. 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。
高中数学教学课例《人教版必修一数学2.3幂函数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以
来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应
用，能进一步培养利用函数的性质（定义域、值域、图
教材分析 像、奇偶性、单调性）研究一个函数的意识。
因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能
力的综合提升。从概念到图象（），利用这五个函数的
图象探究其定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点，
习效果以及存在的问题等，然后予以合理的总结和引
导。
二、营造良好的教学氛围
在高中数学教学过程中，良好的教学气十分重要。
因此，教师要注意积极的营造出良好的课堂氛围，从而
有效的激发出学生的学习积极性。在高中阶段，学生需
要学习的科目较多难度较大，整体学习压力较大。而且， 很多学生都认为高中数学十分枯噪乏味，甚至晦涩难 懂，学习积极性不高。
九、学习活动组织形式选择 【自主学习设计】 1 抛锚式 （1）准备知识： 写出下列 y 关于 x 的函数解析式： ①正方形边长 x、面积 y ②正方体棱长 x、体积 y ③正方形面积 x、边长 y ④某人骑车 x 秒内匀速前进了 1km，骑车速度为 y ⑤一物体位移 y 与位移时间 x，速度 1ms （2）使用资源： 网页上的“准备知识”；网络图像：网络练习 （3）学生活动 自主进入网站课件浏览准备知识，小组讨论复习所 学知识。采用网络作为评价的手段。 （4）教师活动 巡视课堂，参与学生的讨论。 2 支架式 （1）相应内容 了解本节课的“学习主题”、“学习目标”、提供 “学法指导”。 （2）使用资源
的讲授。在新课程大背景下，教师要积极的更新教学理
念，将教学重点放在培养学生的学习能力上。因此，在
具体的教学活动中，教师应该大胆的抛弃以往的“注入
式”教学模式，积极开展“启发式”教学。
【高考推荐】2019-2020高考数学总复习第二章2.3幂函数(第一课时)教案新人教A版必修1
2.3 幂函数（第一课时）幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。
学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。
因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究，，，，等函数的图象和性质，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数时，幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增；当幂指数时，幂函数的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为淅近线，在方法上，我们应注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习。
1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质。
2.教学难点：从幂函数的图象中概括其性质。
一、创设问题情景阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？（答案）1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数．二、新知探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．[解] 1 列表（略）2 图象材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表：材料五：例题[例1]（教材P92例题）[例2] 比较下列两个代数值的大小：（1），（2），[例3] 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．三、学以致用1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）；（2）．四、当堂检测1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为：．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）和；（2）和．3．在函数中，幂函数的个数为：A．0 B．1 C．2 D．34．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．5．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．6．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．五、课堂小结1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？。
高一数学必修1《幂函数》教案
高一数学必修1《幂函数》教案教学目标：1. 理解幂函数的定义和性质，掌握画出幂函数的图象的方法。
2. 学会用不等式的方法解决幂函数方程的问题。
教学重点：1. 幂函数的定义和性质。
2. 画出幂函数的图象。
3. 不等式解法。
教学难点：1. 幂函数的图象，如何画出图象。
2. 不等式的解法，如何运用不等式解决幂函数方程的问题。
教学方法：1. 归纳法。
2. 演示法。
3. 分组讨论法。
教学内容：一. 幂函数1. 幂函数的定义：设a为正实数，x为任意实数，幂函数f(x)=$a^x$ 定义为f(x)=$a^x$。
2. 幂函数的性质：（1）当a>1时，幂函数f(x)严格单调递增；当0<a<1时，幂函数f(x)严格单调递减。
（2）当a>1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无上界；当0<a<1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无下界。
（3）当a=1时，幂函数f(x)为常函数y=1。
3. 幂函数的图象：（1）当a>1时，幂函数f(x)在右侧无上界，并超过x轴，图象接近x轴。
（2）当0<a<1时，幂函数f(x)在右侧无下界，趋近于x轴，图象在x轴上方。
（3）当a=1时，幂函数f(x)图象为直线y=1，在y轴上方。
4. 例题：（1）求幂函数y=$\frac{1}{4}$^x 的增减区间，并画出图象。
（2）求方程$\frac{1}{2x+1}$=8 的解。
二. 不等式的解法1. 不等式的性质：（1）等式两边加（减）同一个数、同一个式子，不等式的方向不变；（2）等式两边同乘（除）一个正数，不等式的方向不变；等式两边同乘（除）一个负数，不等式的方向反转。
2. 不等式的应用：利用不等式的性质，解决幂函数的方程。
3. 例题：求不等式$x^2$+2$\sqrt2x$+1<0 的解。
教学流程：1. 教师介绍幂函数的定义和性质，并简单讲解幂函数的图象。
2. 教师出示幂函数$f(x)=2^x$ 的图象，并让同学对幂函数的图象做出讨论，了解幂函数图象的特点，为下面的探究提供基础。
人教版高中数学必修一2.3幂函数教案
《2.3幂函数》教学案例1.教学设计1.1教材的地位和作用《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。
幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。
本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。
因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。
1.2教学目标1.2.1基础知识目标（1）理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；（2）能应用幂函数性质解决简单问题。
1.2.2能力训练目标（1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力；（2）使学生进一步体会数形结合思想。
1.3教学重、难点重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。
突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。
1.4学情分析学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。
我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。
1.5教学用具本节课使用三角板，PPT ，学生准备白纸，格尺。
高中数学人教版必修一《第二章2.3幂函数》课件(1)
∴αβ＝1.故选A.
例3
(1)探讨函数
f
x
＝x
1 2
的单调性.
解
f
x
＝x
1 2
的定义域为(0，＋∞).
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，
则 f(x2)－f(x1)＝
1
1
x2 2 x1 2
＝
1x2－
1 x1
＝ห้องสมุดไป่ตู้
x1－ x1x2
x2＝
x1－x2 x1x2· x1＋
跟踪训练2 幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上
它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线
段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝
MN＝NA.那么αβ等于( A )
A.1
B.2 C.3
D.没法肯定
解析 由条件知，M(13，23)、N(23，13)， ∴13＝(23)α，23＝(13)β，
知识点二 幂函数的图象与性质
1
摸索 如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x； 2 y＝x2； (3)y＝x2；(4)y
＝x－1；(5)y＝x3的图象.
定义域 值域
奇偶性
单调性
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x 2；
y＝x－1
R
R
R
[0，＋∞) {x|x≠0}
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞) {y|y≠0}
3.在具体应用时，不一定是 y＝xα，α＝－1，12，1,2,3 这五个已研究熟的 幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数习题2.3》15教案教学设计 一等奖
《幂函数》教学设计海口市第二中学翁明第一、幂函数的教学目标设计【教学目标】1、通过问题实例，理解幂函数的概念，掌握幂函数表达式特征。
2、通过画5个基本幂函数的图象，掌握图像特征和性质；3、结合前面所学知识，会利用幂函数性质，解决简单的单调性、奇偶性等问题。
【设计意图】《幂函数》选自高一数学新教材必修1第2章第3节。
幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。
因此，本节课的内容是对前面单调性、奇偶性进一步拓展提升。
高考中只要求我们掌握5个基本幂函数的图象，但是关于幂函数的考题却涵盖了3xy（导数求导）和xy（如：复合函数822xxxf）的单调性等等问题。
因此，对于幂函数图象和单调性的应用在后续的学习是是十分重要的。
重点：了解幂函数概念和性质.难点：如何从图象中归纳出基本性质及基本性质的应用. 二、幂函数的情景创设设计（ppt展示）（1）若小红红购买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支付xy元,（2）如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S.2aS（3）如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V3aV(4)若一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a Sa(5)如果某人st内骑车行进了km1,那么他骑车的平均速度v tv1【设计意图】引导学生通过对初中基本公式和知识的理解，由学生的就近发展区，激发学习兴趣，引出五个常见的幂函数.三、幂函数的问题串设计.问题1：观察情景中的五个函数（132xyxyxyxyxy、、、、）有什么共同特征？【设计意图】发现常见五个函数的特征，得出幂函数的一般形式xy形式问题2：幂函数xy形式上有什么特征？判断以下几个函数哪个个是幂函数在函数①21xy②22xy③xxy2④32xy中是幂函数的是.【设计意图】引导学生发现幂函数满足“系数为1”“项数为1”问题3：如果将五个函数132xyxyxyxyxy、、、、图象，放在同一个直角坐标系中，大家发现有哪些共同特征？【设计意图】让学生通过观察五个函数放在同一个坐标系下，函数的图象上的共同特征，从而归纳出幂函数的性质.四、幂函数的教学活动设计【探究一】在草稿纸上，做出2xyxy、13xyxyxy、、函数图象放在同一个坐标系中探究:①图象过什么定点.②各个函数的定义域值域是什么.③观察图象，和定义域，确定他们奇偶性.④根据幂函数xy中，指数的不同，函数单调性，的增长速度有何不同？完成课本上五种幂函数的性质表格填空.【设计意图】让学生学会自主发现和归纳幂函数的基本性质。
高中数学 第二章 基本初等函数(ⅰ) 2.3 幂函数课件 a必修1a高一必修1数学课件
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类型一 幂函数的概念
[例 1] (1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝ x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数
为( B ) A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知 f(x)＝(m2－3m＋3)xm－3 1为幂函数，则 m 等于( C )
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1
3．函数 y＝x 3 的图象是( B )
1
解析：∵函数 y＝x 3 是幂函数，幂函数在第一象限内恒过
点(1,1)，排除 A，D.当 x>1,0<α<1 时，y＝xα 在直线 y＝x 下方，
排除 C，选 B.
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4．幂函数 y＝x－1 在[－4，－2]上的最小值为 －12 .
1
(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如 y＝x 2 . (3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如 y＝x－1.
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4．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？
提示：当 x>0 时，y＝xα>0，不可能出现 y<0 的情形，所以 幂函数在第四象限不存在图象．
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学科素养培优精品微课堂 与幂函数有关的简单不等式问题 开讲啦 与幂函数有关的不等式是形如[f(x)]α>[g(x)]α 的不 等式，通常利用幂函数 y＝xα 的定义域和单调性将其转化为关于 x 的不等式组来求解．
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数教案新人教A版必修1
2．3 幂函数[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点] 幂函数的定义、图象和性质． [难点] 利用幂函数的性质解决有关问题.知识点一 幂函数的概念[填一填]一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y ＝2x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝(x ＋1)3是幂函数吗？ 提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数． 2．幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)有何区别？提示：幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x中，底数是常数，指数是自变量． 知识点二 幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x12 的图象如下图．[答一答]3．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x 12 .(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.4．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]5．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？提示：α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数； α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数．类型一 幂函数的概念[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m －13为幂函数，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．－2[答案] (1)B (2)C[解析] (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.(2)由幂函数的定义可知m 2－3m ＋3＝1， 即m 2－3m ＋2＝0.解得m ＝1或m ＝2.故选C.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1] (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( C )A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)已知函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，则m ＝－3或1，n ＝32.解析：(1)由幂函数定义知k ＝1，把⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入y ＝x α得α＝12，∴k ＋α＝32.选C.(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，由幂函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得m ＝－3或1，n ＝32.类型二 幂函数的图象[例2] 下图是幂函数y ＝x m、y ＝x n与y ＝x －1在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 [答案] B[解析] 由y ＝x m 的图象是横卧抛物线形，知0<m <1；由y ＝x n的图象是双曲线，知n <0.作直线x ＝x 0(0<x 0<1)，与y ＝x n 、y ＝x －1的图象分别交于点A 、B ，由“点低指数大”知n <－1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．[变式训练2] 幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x 12的图象经过的区域对应的序号有( D )A．④⑦ B．④⑧C．③⑧ D．①⑤解析：∵x－x＝x(x－1)，当0<x<1时，x－x<0，即x<x<1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域①；当x>1时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域⑤.类型三幂函数的性质应用[例3] 比较下列各组中三个数的大小．[分析] 本题考查幂函数及指数函数的单调性．比较幂值大小的方法[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( B ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－12．如果幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为( D ) A.12B ．2C ．1D ．4 解析：设f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，解得α＝－12.∴f (x )＝x －12 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝4. 3．函数y ＝x 13的图象是( B)解析：∵函数y ＝x13是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D.当x >1,0<α<1时，y ＝x α在直线y ＝x 下方，排除C ，选B.4．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为－12.解析：∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12.5．比较下列各题中两个幂的值的大小：解：(1)∵y ＝x 12 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9，∴1.1 12 >0.9 12.——本课须掌握的三大问题1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．学习至此，请完成课时作业22学科素养培优精品微课堂与幂函数有关的简单不等式问题开讲啦与幂函数有关的不等式是形如[f (x )]α>[g (x )]α的不等式，通常利用幂函数y ＝x α的定义域和单调性将其转化为关于x 的不等式组来求解．[典例] 已知幂函数y ＝xp －3(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1) p 3 <(3－2a ) p3的实数a 的取值范围．[分析] 先根据y ＝x p －3的单调性和奇偶性及p ∈N *确定p 的值，再利用函数y ＝x p3 的单调性列不等式求解．[解] 因为函数y ＝x p －3在(0，＋∞)上是减函数，所以p －3<0, 即p <3，又因为p ∈N *，所以p ＝1或p ＝2.因为函数y ＝xp －3的图象关于y 轴对称，所以p －3是偶数，所以p ＝1，即y ＝x －2，(a＋1) 13 <(3－2a ) 13 .因为函数y ＝x 13 在(－∞，＋∞)上是增函数，所以a ＋1<3－2a ，即a <23，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23. [对应训练] 已知f (x )＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．解：由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，∴－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3. 又n＝2k，k∈Z，∴n＝0或n＝2.当n＝0或n＝2时，f(x)＝x 13 .∵f(x)＝x 13在R上单调递增，∴f(x2－x)>f(x＋3)等价于x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．。
高中数学教案《幂函数》
教学计划：《幂函数》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解幂函数的概念，掌握幂函数的一般形式及其图像特征；能够识别并绘制基本幂函数的图像；理解幂函数在特定区间内的单调性、奇偶性等基本性质。
2.过程与方法：通过观察、分析幂函数的图像，引导学生发现幂函数的性质；通过小组合作、讨论交流，培养学生探究问题的能力和团队合作精神；通过实例分析，提高学生运用幂函数解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的观察力和数学思维能力；通过幂函数的学习，让学生体会数学中的对称美、变化美，增强对数学美的感受力；培养学生的严谨治学态度和科学探索精神。
二、教学重点和难点●教学重点：幂函数的概念、一般形式及其图像特征；幂函数的基本性质（如单调性、奇偶性）及其判断方法。
●教学难点：理解幂函数图像与性质之间的关系，能够准确判断幂函数在特定区间内的性质；运用幂函数性质解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境创设：通过生活中的实例（如细胞分裂、面积与边长的关系等）引出幂的概念，进而引出幂函数的概念。
●问题导入：提出“这些关系能否用函数来表示？它们具有怎样的图像特征？”等问题，激发学生的好奇心和探究欲。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握幂函数的概念、图像特征及基本性质。
2. 讲授新知（约15分钟）●定义讲解：详细讲解幂函数的概念和一般形式，强调底数为常数且不为0，指数为自变量。
●图像特征：利用多媒体展示基本幂函数（如y=x, y=x², y=x³, y=√x, y=1/x等）的图像，引导学生观察并总结它们的共同特征和不同点。
●性质阐述：结合图像，阐述幂函数在特定区间内的单调性、奇偶性等基本性质，并给出判断方法。
3. 观察探究（约10分钟）●图像分析：引导学生分组观察并分析更多幂函数的图像，记录它们的特征，并尝试从图像中判断幂函数的性质。
●小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自观察到的图像特征和判断结果，相互纠正错误，共同探究幂函数性质的图像表示方法。
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第 1 页 共 15 页 广东省新高考高中数学必修一第二章《2.3幂函数》全套教案 一、教材分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x21等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 第 2 页 共 15 页
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 二、教学目标 1．知识技能 （1）理解幂函数的概念； （2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法 类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质. 3．情感、态度、价值观 （1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 三、重难点 重点 从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点 从幂函数的图象中概括其性质
四、课时安排 2课时 五、教学过程 教学环节 教师引导 学生活动 第 3 页 共 15 页
导入 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题： 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案） 1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）． 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如xy的函数，其中x是自变量，是常数． 生：独立思考完成引例．
师：引导学生分析归纳概括得出结论．
师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．
新课 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 xy)(Ra 的函数称为幂函数，其中为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）xy；（2）21xy；（3）2xy； （4）1xy；（5）3xy． 师：说明： 幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．
生：利用所学知识和 第 4 页 共 15 页
[解] ○1 列表（略） ○2 图象 材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸； 方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．
师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．
师生共同分析，强调画图象易犯的错误．
师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律． 第 5 页 共 15 页
（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于
时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 材料三：观察与思考 观察图象，总结填写下表： xy 2xy 3xy 21xy 1xy 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表． 第 6 页 共 15 页
材料五：例题 [例1] （教材P92例题）
[例2] 比较下列两个代数值的大小： （1）5.1)1(a，5.1a （2）322)2(a，322
[例3] 讨论函数32xy的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤． 并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．
生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析． 第 7 页 共 15 页
总结 yx 2yx 3yx 12yx 1yx
定义域 R R R |0xx |0xx
奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限单调增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）
课堂练习
1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）433.2，434.2； （2）5631.0，5635.0； （3）23)2(，23)3(； （4）211.1，219.0． 2．作出函数23xy的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明． 3．作出函数2xy和函数2)3(xy
的图象，求这两个函数的定
义域和单调区间． 4．用图象法解方程： （1）1xx； （2）323xx．
独立完成课堂练习，同位互相检查计算过程。 第 8 页 共 15 页
作业 1．下列函数中，是幂函数的是 （ ） A.2yx B.22yx C.1yx D.2xy 2．下列结论正确的是 （ ） A.幂函数的图象一定过原点； B.当0时，幂函数yx
是减函数； C.当1时，幂函数yx是增函数；D.函数2yx既是二次函数，也是幂函数． 3．若集合{|3,},xSyyxR2{|1,}TyyxxR，则ST是 （ ） A．S B T C D 有限集 4．下列函数中，定义域为(0,)的是（ ）
A．2yx B 12yx C 12yx D 13yx 5．已知幂函数()fx的图象过点4(3,3)，则(4)f ． 6．比较下列各组数中两个值的大小（在 填上“”或“”号）．
（1）123.14 12；（2）3(0.38) 3(0.39)；（3）11.25 11.22；（4）0.251()3 0.271()3． 7．已知函数21()(1)aafxax 当a 时，()fx为正比例函数；当a 时，()fx为反比例函数； 当a 时，()fx为二次函数；当a 时，()fx为幂函数．
8．求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性：（1）23yx；（2）32yx． 第 9 页 共 15 页
9．分别指出幂函数yx的图象具有下列特点之一时的的值，其中111{2,1,,,,1,2,3}232（1）图象过原点，且随x的增大而上升；
（2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随x的增大而下降； （3）图象关于y轴对称，且与坐标轴相交；（4）图象关于y轴对称，但不与坐标轴相交； （5）图象关于原点对称，且过原点；（6）图象关于原点对称，但不过原点；
10．利用函数图象解不等式1xx．
11. (能力提升)已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点（2，41）. (1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)第 10 页 共 15 页
【补充练习】 1．函数25yx的单调减区间为 （ ） A.(,1) B.(,0) C.[0,) D.(,)
2．幂函数34yx，13yx，43yx的定义域分别为M、N、P，则 （ ） A.MNP B.NMP C.MPN D.,,ABC都不对
3．设121.1a，120.9b，12cx，且acb，则对于整数c的值，下列判断正确的是（ ） A.1c B.1c C.1c D.c与1的大小关系不能确定
4．221333123111(),(),()252TTT，则下列关系式正确的是 （ ） A．123TTT B．312TTT C．231TTT D．213TTT 5.给出四个幂函数和四个图象：
（1）21xy （2）23xy （3）32xy （4）23xy
下列判断正确的是（ ） A（1）的图象是甲 B.（2）的图象是乙 C.（3）的图象是丙 D． （4）的图象是丁 6．下列结论中，正确的是( ) ①幂函数的图象不可能在第四象限 ②α＝0时，幂函数y＝xα的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y＝xα，当α≥0时是增函数 ④幂函数y＝xα，当α<0时，在第一象限内，随x的增大而减小 A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 7．函数()ayxaR的图象，当01x时，在直线yx的上方；当1x
时，在直线yx的下方，则a的取值范围是 ； 8．用“”、“”或“”号填空： （1）若54aa，则a______0；（2）若0.390.38bb，则b______0；