梯形中位线家庭作业及答案1

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梯形的中位线

梯形的中位线梯形是一种具有特殊形状的四边形，其中有两条平行边，且其他两条边不平行。

在梯形中，我们可以找到一条非平行边的中点，这条边称为梯形的中位线。

本文将探讨梯形的中位线及其性质。

梯形的定义是拥有两条平行边的四边形。

我们将这两条平行边称为上底和下底，上底记作a，下底记作b。

非平行边称为腰，腰的长度记作h。

梯形的中位线连接两个腰的中点，记作m。

根据梯形的定义，我们可以得出以下结论。

1. 梯形的中位线与上底和下底的长度成正比。

即m/a = m/b。

假设m1为另一条中位线，连接两个腰的中点，m1与a和b的长度也成正比。

2. 梯形的中位线长等于上底与下底的长度之和的一半。

即m = (a +b) / 2。

这个结论也可以反过来成立，即如果m = (a + b) / 2，那么m就是梯形的中位线。

通过以上两个性质，我们可以得出梯形中位线的进一步性质和运用。

1. 梯形的两个中位线相等。

设梯形的两条中位线分别为m和m1，连接两个腰的中点。

根据性质1，我们可以得出m与a和b成正比，而m1与a和b成正比。

所以m/m1 = a/b = m/a = m1/b。

由此可得m = m1，即梯形的两条中位线相等。

2. 梯形的中位线平分梯形内角。

在梯形ABCD中，中位线m与上底AB、下底CD平行，所以∠AMB = ∠CMD = 180°。

同时，根据性质1，我们可以得出m与a和b成正比，所以∠MAE = ∠MFB = 180°。

所以∠MAE = ∠AMB = ∠MFB = ∠CMD，即梯形的中位线平分梯形内角。

梯形的中位线还有其他一些重要的性质和应用。

例如，梯形的面积可以通过上底、下底和中位线的长度来计算。

梯形的面积公式为：面积 = (a + b) × h / 2。

这个公式可以通过将梯形切割成两个三角形来得出。

此外，梯形的中位线也可以用来判断梯形的形状。

当梯形的中位线与上底和下底不平行时，可以说明梯形是斜梯形。

模型36中点四边形模型和梯形中位线定理(原卷版)

模型介绍中点四边形模型（1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形. （2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形.（3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形.梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．考点一：中点四边形问题【例1】．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是．➢变式训练【变式11】．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．13【变式12】．如图，在四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．例题精讲考点二：梯形的中位线定理【例2】．如图，在▱ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG＝m．➢变式训练【变式21】．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（）A．9B．10.5C．12D．15【变式22】．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO＝3，则BC﹣AD 等于（）A．4B．6C．8D．102．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．403．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1＝8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（）A．50B．80C．96D．1004．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A nB n∁n D n．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形A n B n∁n D n面积为．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AD＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为．6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为．7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC，BD交于M，N两点，若EF＝18cm，MN ＝8cm，则AB的长等于cm．8．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的是．9．如图，在四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，且对角线AC⊥BD，AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，则MQ：QP＝，四边形MNPQ的面积是．10．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝3，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形ABCD是矩形，取矩形ABCD四条边的中点得到中点四边形A1B1C1D1，再取四边形A1B1C1D1四条边的中点得到中点四边形A2B2C2D2，…，按此规律继续下去，若矩形ABCD的面积为1，则得到的中点四边形A n B n∁n D n的面积为．12．如图，梯形中ABCD中，∠DBC＝30°，，，EF为梯形的中位线．求梯形的面积及EF的长．13．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF．已知EF⊥CE，（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的长．（2）若点E是AD的中点，求证：AF+DC＝BF．14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若AC＝8，求EG2+FH2的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．（2）若点C在第一象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求四边形OABC对角线OB长度的取值范围．（3）若在点C运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长．16．已知：在△ABC中，AB＝10．（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中点，则DE的长为；（2）如图（2）所示，若点A1，A2把AC三等分，B1，B2把BC三等分，则A1B1+A2B2＝；（3）如图（3）所示，若点A1，A2，…A10把AC边十一等分，B1，B2，…，B10把BC边十一等分，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果为．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．若E1、F1分别是AB、DC的中点，则E1F1＝（AD+BC）＝（a+b）；若E2，F2分别是E1B，F1C的中点，则E2F2＝（E1F1+BC）＝[（a+b）+b]＝（a+3b）；当E3，F3分别是E2B，F2C的中点，则E3F3＝（E2F2+BC）＝（a+7b）；若E n F n分别是E n﹣1，F n﹣1的中点，根据上述规律猜想E n F n＝．（n≥1，n为整数）18．请阅读下面知识：梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F是梯形ABCD两腰AB，CD 的中点，则EF是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线长度等于两底长的和的一半如图：EF＝（AD+BC）利用上面的知识，完成下面题目的解答已知：直线l与抛物线M交于点A，B 两点，抛物线M的对称轴为y轴，过点A，B作x轴的垂线段，垂足分别为D，C，已知A（﹣1，3），B （）（1）求梯形ABCD中位线的长度；（2）求抛物线M的解析式；（3）把抛物线M向下平移k个单位，得抛物线M1（抛物线M1的顶点保持在x轴的上方），与直线l的交点为A1，B1，同样作x轴的垂线段，垂足为D1，C1，问此时梯形A1B1C1D1的中位线的长度（设为h）与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改变，求出h与k的函数关系式．19．让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系．第一步：数轴上两点连线的中点表示的数．自己画一个数轴，如果点A、B分别表示﹣2、4，则线段AB 的中点M表示的数是．再试几个，我们发现：数轴上连接两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数．第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A （x1，y1），B（x2，y2），取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（，）（用x1，y1，x2，y2表示），AEFB是矩形时也可以．我们的结论是：平面直角坐标系中连接两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数．第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（，），也可以表示为Q（，），经过比较，我们可以分别得出关于x1，x2，x3，x4及，y1，y2，y3，y4的两个等式是和．我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的．。

第12讲梯形及中位线(练习)原卷版

第12讲梯形及中位线（练习）夯实基础一、单选题1．（2019·上海市娄山中学八年级月考）下列命题中正确的有( )①有两个角相等的梯形是等腰梯形；②有两条边相等的梯形是等腰梯形；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分.A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2018·上海市清流中学八年级月考）下列条件中，能判断一个梯形是等腰梯形的是（）A．一组对角互补B．一组对角相等C．一组对角互余D．一组邻角相等3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形4．（2019·上海八年级单元测试）课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( ) A．30√2cm B．30cm C．60cm D．60√2cm 5．（2018·上海奉贤区·八年级期末）下列命题中，真命题是（）A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线平分对角C．菱形的对角线互相平分 D．梯形的对角线互相垂直6．（2017·上海八年级期末）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（）A．AC=BD=BC B．AB=AD=CD C．OB=OC，AB=CD D．OB=OC，OA=OD 7．（2019·上海八年级课时练习）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是A．40°. B．45°.C．50°. D．60°.8．（2019·上海八年级课时练习）若一个等腰梯形的周长为30cm，腰长为6cm，则它的中位线长为（）A．12cm B．6cm C．18cm D．9cm 9．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度数为( )．A．30°B．45°C．60°D．135°二、填空题10．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如果一个梯形的上底长为a，下底长为b（a<b），那么它的一条对角线把它分成的两部分的面积比为__________．11．（2020·上海徐汇区·八年级期末）梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为cm．______212．（2018·上海市清流中学八年级月考）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D=______.13．（2018·上海市清流中学八年级月考）若梯形的下底长为10cm，中位线长为8cm，则上底长为______cm.14．（2018·上海闵行区·八年级月考）在∆ABC中, M , N分别是AB. AC的中点,且∠+∠=︒,则∠ANM=____________度A B12515．（2019·上海八年级课时练习）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝______三、解答题16．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．17．（2018·上海市清流中学八年级月考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC ⊥BD于点O，梯形的高为10cm，求梯形中位线的长.能力提升一、单选题1．（2020·上海徐汇区·八年级期末）下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中真命题有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2018·上海市清流中学八年级月考）以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形能作（）.A．1个B．2个C．3个D．0个3．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，AC⊥BC ，那么下列结论不正确的是（）A ．AC=2CDB ．DB ⊥ADC ．∠ABC=60°D ．∠DAC=∠CAB 二、填空题4．（2020·上海松江区·八年级期末）如果一个梯形的上底长为2cm ，中位线长是5cm ，那么这个梯形下底长为__________cm ．5．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如果一个等腰梯形中位线的长是5cm ，腰长是4cm ，那么它的周长是_____cm ．6．（2019·上海普陀区·八年级期末）已知在等腰梯形ABCD 中，//CD AB ，AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ，若3CD =，8AB =，梯形的高为______．7．（2019·上海上外附中八年级期中）矩形ABCD 中，AD =，AF 平分BAD ∠，DF AF ⊥于点F ，BF 交CD 于点H ，若4AB =，则BC CH -=__________．三、解答题8．（2021·上海市仙霞第二中学）如图，在ABC 中，90,3,4BAC AB AC ︒∠===，点D 是BC 的中点，将ABD △沿AD 翻折得到AED ，联结CE ．（1）求证：//AD CE ；（2）求CE 的长．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知：在△ABC 中，AB= AC ， ∠BAC =30°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．求证：DE =12DF ．10．（2020·上海杨浦区·八年级期末）如图，已知在ABC 中，AB AC =，点O 是ABC 内任意一点，点,,,D E F G 分别是,,,AB AC OB OC 的中点，2A BDF ∠=∠．求证：四边形DEFG 是矩形．11．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，AB =E 是边AB 的中点，联结DE 、CE ，且DE CE ⊥．设AD x =，BC y =．（1）如果，求CD 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）联结BD ．如果BCD 是以边CD 为腰的等腰三角形，求x 的值．。

20202-2021学年沪教版(上海)八年级第二学期数学 22.6 三角形、梯形的中位线(含答案)

22.6 三角形、梯形的中位线一、单选题1．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（） A ．22B ．26C ．22或26D ．13 2．如图，在ABC 中，7AB =，6AC =，5BC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 的长为（）A ．3B ．2.5C ．4D ．3．5 3．如图所示，在ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，6AB =，4AC =，则四边形AEDF 的周长是（）A ．10B ．20C ．30D ．40 4．如图，在Rt△ABC 中，△ACB =90°，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，点F 是BD 的中点，若AB =5，则EF =（）A ．54B ．52C ．32D ．2 5．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG △CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（）A ．10B ．5C ．103D ．53 6．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．4 7．如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，EF 是梯形ABCD 的中位线，若△BEF 的面积为4cm 2，则梯形ABCD 的面积为（）A ．8cm 2B ．12cm 2C ．16cm 2D ．20cm 2 8．如图，在梯形ABCD 中，AD△BC ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点且EF=6，则AD+BC 的值是( )A ．9B ．10.5C ．12D ．15 9．如图，周长为24的平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，ACCD ⊥且BE CE =，若6AC =，则AOE △的周长为（）．A ．6B ．9C ．12D ．15 10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，点E 、F 、G 、H 分别为各边中点，对角线AC 5=，则四边形EFGH 的周长为( )A ．2.5B ．5C ．10D ．20二、填空题11．在ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ．已知AB =120A ∠=︒，5BF =：则FD =__________，ABCD S =__________．12．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别________．13．如图ABC 的中线AE 、BD 交于点G ，过点D 作//DM BC 交AE 于点M ，则AMD 、DMG △和BEG 的面积之比为______．14．如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且△AFB ＝90°，若AB ＝4，BC ＝10，则EF 的长为_____．15．如图，在直角梯形ABCD 中，//,90AD BC DAB ABC∠=∠=︒，点E 在DC 上，且ABE △是以AB 为底的等腰直角三角形，若2cm,4cm AD BC ==，则AB =_______cm ，DC =______cm ．三、解答题16．已知：如图，DE是ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE和AF交于点O．求证：DE与AF互相平分．17．如图，在梯形ABCD中，AD△BC，BC＝12，AB＝DC＝8．△B＝60°．（1）求梯形的中位线长．（2）求梯形的面积．18．已知：如图，AB△CD，E是AD中点，CF△AB于F求证:CE=EF．参考答案1．C2．B3．A4．A5．B6．C7．C8．C9．B10．C116212．12，1813．3△1△414．315．616．证明：如图所示，连接DF、EF，△DE是△ABC的中位线，△点D是AB中点、点E是AC中点，又△AF是BC边上的中线，△F是BC中点，△DF、EF是△ABC的中位线，△DF△AC，EF△AB，△四边形ADFE是平行四边形，△DE与AF互相平分．17．解：（1）过A 作AE △CD 交BC 于E ， △AD △BC ，△四边形AECD 是平行四边形， △AD ＝EC ，AE ＝DC ，△AB ＝DC ，△AB ＝AE ，△△B ＝60°，△△ABE 是等边三角形，△BE ＝AB ＝8，△AD ＝EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣8＝4， △梯形ABCD 的中位线长＝12（AD +BC ）＝12（4+12）＝8；（2）作AF △BC 于F ，则△BAF ＝90°﹣△B ＝30°，△BF ＝12AB ＝4，AF ＝△梯形ABCD 的面积＝12（AD +BC ）×AF ＝12（4+12）18．取CF 的中点为G ，连接EG ， △AB△CD ，E 是AD 的中点△EG 是梯形AFCD 的中位线， △EG△AB ，△CF△AB ，△CF△EG ，又△G 是CF 的中点，△EG是CF的垂直平分线，△CE=EF．。

中位线及其定理应用(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：三角形的中位线是什么？三角形中位线定理是什么？问题2：每个三角形有几条中位线？问题3：梯形的中位线是什么？梯形中位线定理是什么？中位线及其定理应用（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知，在长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点．当P在BC的中点，点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是( )A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形中位线定理2.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是( )A.30°B.100°C.120°D.140°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形中位线定理3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为( )A.12cmB.9cmC.6cmD.3cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形中位线4.如图，在直角梯形ABCD中，P是下底BC上一动点，点E，F，G分别是AB，PE，DP的中点，AB=AD=4，则FG的长为( )A. B.C.2D.不确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的中位线5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，且AC=5，BD=12，则梯形中位线的长为( )A.7.5B.7C.6.5D.6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：梯形的性质6.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，EF交AC于点G，且AC平分∠BCD，EG=a，GF=b，则梯形ABCD的周长为( )A.a+2bB.3a+bC.3a+2bD.2a+6b答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：梯形中位线定理7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于( )A.6B.8C.4D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题8.既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A.等边三角形B.等腰梯形C.平行四边形D.正六边形答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：中心对称图形。

三角形、梯形中位线定理应用练习课[1]

三角形、梯形中位线定理专题训练1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是。

6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是；7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是；8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。

9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。

12．如图3，在△ABC中，D、E、F是AB的四等分点，D'、E'、F' 是AC的四等分点，BC=28，则DD'= ，EE' = ，FF' = ；13．如图4，在△ABC中，D、E是AB边的三等分点，D'、E' 是AC边的三等分点，若BC=18，则DD'= ，EE' = ；14．如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F是AB的三等分点，EE' // FF' // BC，分别交CD于E'、F'。

若BC=28，AD=10，则EE' = ，FF' = 。

（图3）（图4）（图5）15．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于D，若DE＝2，则EB＝_____．第7题图GQPF ECBA第6题图NMFEDCBA16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF为中位线，G为BC上任一点，如果S△GEF＝22cm2，那么梯形的面积是 cm2.17、如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝。

18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝300，∠C＝600，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF＝。

梯形的中位线定理

梯形的中位线定理在我们的数学世界中，梯形是一种常见的几何图形。

而梯形的中位线定理，则是解决与梯形相关问题的重要工具。

首先，咱们来明确一下啥是梯形的中位线。

梯形的中位线，就是连接梯形两腰中点的线段。

想象一下，一个梯形稳稳地摆在那儿，上底和下底平行着，然后我们找到两腰的中点，把这两个中点连起来，这就是中位线啦。

那么梯形的中位线定理到底说的是啥呢？简单来说，梯形的中位线平行于两底，并且长度等于两底和的一半。

这就像是给梯形穿上了一件量身定制的“规则外套”，只要知道了梯形的上底和下底的长度，就能轻松算出中位线的长度；反之，如果知道了中位线的长度，也能推测出上底和下底长度的关系。

为了更深入地理解这个定理，咱们来做几道实际的题目感受感受。

比如说，有一个梯形，上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，那中位线的长度是多少呢？根据定理，中位线长度等于（4 ＋ 6）÷ 2 ＝ 5 厘米。

是不是挺简单的？再来看一个稍微复杂点的例子。

已知一个梯形的中位线长 8 厘米，其中上底比下底短 2 厘米，那上底和下底分别是多长呢？咱们设上底为 x 厘米，下底就是 x ＋ 2 厘米。

根据定理，8 ＝（x ＋ x ＋ 2）÷ 2，解这个方程，就能算出 x ＝ 7，所以上底是 7 厘米，下底就是 9 厘米。

梯形的中位线定理在实际生活中也有不少用处呢。

比如，工人师傅要搭建一个梯形的架子，如果知道了中位线的长度和上底或者下底的长度，就能很方便地算出另外一边的长度，从而准确地进行施工。

那咱们来探究一下，为什么梯形的中位线会有这样的性质呢？这就需要用到一些几何知识来证明啦。

我们可以通过作辅助线的方法来证明。

比如说，我们可以把梯形的一腰延长，然后和另一腰构成一个三角形。

通过三角形中位线定理，就能巧妙地证明出梯形中位线的性质。

在学习梯形中位线定理的过程中，大家可千万不能死记硬背，要多做几道练习题，真正理解其中的原理。

只有这样，当遇到各种与梯形有关的问题时，咱们才能灵活运用这个定理，轻松解决难题。

三角形梯形中位线

三角形梯形中位线知识点：1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。

（2）三角形的中位线与三角形的中线不同（3）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

定理符号语言表达：在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点，；。

2．梯形中位线：1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

定理符号语言表达：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ；∴ 。

注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系；3）归纳总结出梯形的又一个面积公式：我们知道：S 梯=21(a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积3、中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。

2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。

3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。

ED BCAEBD A CF图2试一试：1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．2．一个三角形的中位线有_________条．3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm（2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为；6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为；7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为；8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。

八年级数学三角形、梯形的中位线1

。
5．一个等腰梯形的对角线互相垂直，梯形的高为
2cm,，则梯形的面积为
。
6．有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横木共 200cm，其中最上端的横木长20cm，求其他四根横木的长度（每两根横木的距离相等）。
7．如图：在Rt△ABC中，AB是斜边，
A
DE∥FG∥BC，且AE=EG=GC=3，DE=2。 3
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• 例1.如图，梯子各横木条互相平行，且
A1A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5 B1B2 B2B3 B3B4 B4B5
已知横木条 A1B1 48cm, A2B2 44cm
求横木条 A 3 B 3、 A 4 B 4、 A5 B5 的长。
2
梯形的中位线与底边之间既有位置上的平行关系，也有数量上的特殊关系。
梯形面积公式
S梯形
1（aＹ．突奇兹助理也滚耍着咒符像鱼鳞般的怪影一样向月光妹妹疯翻过来月光妹妹猛然轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出浅绿色的隐约暖雾……俏雅明朗、雪国仙境一样的玉牙射出亮黑色的隐隐奇味……接着甩动秀丽光滑的下巴一笑，露出一副壮丽的神色，接着转动轻盈矫健的玉腿，像淡蓝色的百腮草原蟒般的一甩，灵气的清丽动人的的秀眉瞬间伸长了八倍，像小精灵一样可爱的舌头也忽然膨胀了九倍……紧接着忽悠了一个，舞贝菱角滚两千一百六十度外加凤笑铁锚转十三周半的招数！最后甩起清秀晶莹、善于跳跃的小脚丫一耍，快速从里面弹出一道奇光，她抓住奇光粗鲁地一摇，一件黑晶晶、光溜溜的咒符 ⊙月影河湖曲＠便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边变形，一边发出“嘀嘀”的余声……！悠然间月光妹妹变态般地抖起能够听懂远处动物语言的妙耳朵，只见她晶黄色弯月眉心石中，猛然抖出七道摇舞着⊙金丝芙蓉扇＠的毛笔状的焰火，随着月光妹妹的抖动，毛笔状的焰火像辣椒一样在双手上阴森地策划出隐约光云……紧接着月光妹妹又来了一出独腿闪烁抱油花的怪异把戏，，只见她弹力强劲的屁股中，轻飘地喷出七缕摆舞着⊙金丝芙蓉扇＠的平川岩脚鹭状的车灯，随着月光妹妹的旋动，平川岩脚鹭状的车灯像纸花一样念动咒语：“雪峰哗嗄，仙子哗嗄，雪峰仙子哗嗄……⊙月影河湖曲＠！！！！”只见月光妹妹的身影射出一片浅绿色粼光，这时东南方向猛然出现了五团厉声尖叫的紫葡萄色光鳄，似金光一样直奔浅绿色灵光而去。，朝着Ｙ．突奇兹助理怪异的亮紫色死鬼一般的牙齿疯翻过去。紧跟着月光妹妹也滚耍着咒符像鱼鳞般的怪影一样向Ｙ．突奇兹助理疯翻过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道纯红色的闪光，地面变成了亮黑色、景物变成了墨黑色、天空变成了暗白色、四周发出了变态的巨响！月光妹妹俏雅明朗、雪国仙境一样的玉牙受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｙ．突奇兹助理笨拙的脸，此时正惨碎成阳台样的金橙色飞渣，闪速射向远方，Ｙ．突奇兹助理飞嘘着疯鬼般地跳出界外，飞速将笨拙的脸复原，但元气已损失不少学友月光妹妹：“老酋长，你的创意水平好像不怎么样哦……Ｙ．突奇兹助理：“我再让你看看什么是残暴派！什么是吝啬流！什么是夸张吝啬风格！”月光妹妹：“您弄点新能力出来，总是那一套，！”Ｙ．突奇兹助理：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『红火香神报亭锤』的风采！”月光妹妹：“那我让你理解理解什么是雪峰！认识认识什么是仙子！领会领会什么是

8.6三角形、梯形的中位线基础练习

三角形、梯形的中位线基础练习1．判断题（1）任意一个三角形中有三条中位线（）（2）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形（）（3）任意三角形被它的一条中位线截成一个三角形和一个梯形（）（4）三角形的三条中位线构成的三角形周长是原三角形周长的一半（）（5）梯形的中位线等于两底之和（）2．选择题（1）梯形ABCD 中，CD AB //，cm 2=AB ，cm 8=CD ，M 、N 分别为对角线AB 、BD 中点，则MN 的长为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm（2）顺次连结平行四边形各边中点，所得到的四边形是（）A ．菱形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形（3）顺次连接矩形各边中点，所得到的四边形是（）A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形（4）顺次连接四边形各边中点得到一个矩形，则原四边形是（）A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．两条对角线垂直的四边形（5）梯形的中位线长为15，高为3，则梯形的面积为（）A ．22.5B ．45C ．90D ．120（6）若等腰梯形下底长等于一腰长与上底的和，那么这个等腰梯形的下底角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°（7）过ABCD 对角线交点O ，作DE ∥AD ，交AB 于点E ，则OE 等于（）A ．EB B ．OBC ．AB 21D ．BC 21 （8）已知△ABC 的周长为50cm ，中位线cm 8=DE ，cm 10=EF ，则另一条中位线DF 的长是（）A ．5cmB ．7cmC ．9cmD ．10cm（9）已知梯形中位线长为26cm ，上、下底的比为1∶3，则梯形的上、下底之差为（）A ．26cmB ．13cmC ．39cmD ．19.5cm3．填空题（1）梯形中位线长10cm ，上底长为6cm ，下底长为________；（2）等腰梯形中位线长为4cm ，腰长为6cm ，它的周长是________；（3）等腰梯形的中位线长15cm ，上底角为120°，且对角线平分下底角，则此梯形的周长为_______；（4）已知梯形上、下底之比为2∶3，中位线长20cm ，则梯形上底是________cm ，下底是________cm ；（5）四边形两条对角线长分别是10cm 和8cm ，顺次连结各边中点所得的四边形的周长是________．（6）等腰梯形的腰长为5cm ，高为3cm ，中位线长为8cm ，则上、下底长分别是________和________；4．如图4-120，AD 是△ABC 的高，E 为AB 中点，BC EF ⊥于F ，如果BC DC 52=，求FC ：BC 的值．图4-1205．求证：如果等腰梯形的两条对角线互相垂直，那么它的中位线与高相等．6．已知：△ABC 中，4:2:3::=AC BC AB ，cm 18=AB ，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求DEF ∆的周长．7．已知：△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，△ABC 的周长与△DEF 的周长和为36cm ，求△DEF 的周长．参考答案1．（1）√ （2）√ （3）√ （4）√ （5）×2．（1）C （2）C（3）A （4）D （5）B （6）C （7）D （8）B （9）A3．（1）14cm （2）20cm （3）50cm （4）16，24 （5）6cm （6）4cm ，12cm 4．107 5．略 6．27cm 7．12cm。

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1.（5分）如果梯形的上底长为4，中位线长为5，那么此梯形的下底长为（）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.（5分）如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5，
则该等腰梯形的周长为（）
A.11 B.16
C.17 D.22
3.（5分）梯形上底4，下底为6，则中位线夹在两对角线间的线段长为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.（5分）如果梯形中位线长20，它被一条对角线分成两段的差为5，那么两底的长分
别为（）
A.15，30 B.30，20 C.25，15 D.以上都不对
5.（5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，
BD
＝9，则此梯形的中位线长是（）

A.10 B.215

C.211 D.12
6.（5分）梯形的两条对角线的中点的连线长为3，上底长为5，则下底长为 .
7.（5分）梯形的高为2，中位线的长为3，那么它的面积为 .
8.（5分）如图，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直
于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积等于．
9.（5分）等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB：CD＝1：2，中位线长是6cm，
高8cm，则AB＝ cm，CD＝ cm，AD＝ cm.
10.（5分）如图：DE是△ABC的中位线，且DE=5cm，
GH是梯形DECB的中位线，则GH=______． 11.（10分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC（AD求证：AE平分∠ DAB.

尖子班补充题
1.如图，过平行四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D分别做四条平行线AA1// BB1// CC1//DD
1

与平行四边形ABCD外的一条直线交于 A1，B1，C1，D1.
证明：AA1+CC1=BB1+DD
1

A
B

C D
E F

第2题

A
D
C
B

第5题

C E F A D B 第8题 A B C D E G H 第10题 A B C D M N E 第11题 E D B C A 第12题 A D E B
M
C

第14题
A

B
C

D
E

第15题

M
O
N

A
D

C
B
第13题

C
1
B
1

C
D

B A
2
.如图（1），AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC和S△DBC分别
表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，有

S△DMC＝2DBCDACSS ①
（1）如图（2），若图（1）中AB与CD不平行时，①式是否成立？请说明理由．
（2）如图（3），若图（1）中AB与CD相交于点O时，S△DMC与S△DAC和S△DBC有何
种相等关系？证明你的结论．

答案（供参考）
家庭作业
1.D
2.D
3.A

A B C D M 图⑴ A
B
C
D

图⑵
A

D
M
O
图⑶
4.C 5.B 6.11 7.6 8.12ab 9.4，8，68 10.7.5cm 11.证明：连接MN ∵M、N为两腰AB、CD的中点 ∴MN∥BC，AM=MB ∴∠AMN=∠MBE ∠MEB=∠EMN ∵ME∥AN ∴∠MNA=∠EMN ∴∠MNA=∠MEB ∴ΔAMN≌ΔMEB ∴MN=BE ∴四边形MBEN是平行四边形 ∴MB=NE ∴AM=NE 12.解：CD、AD与BC三条线段之间的数量关系是CD=AD+BC，延长DE、CB相交于F， ∵AD∥BC ∴∠A=∠FBE，∠ADE=∠F 又AE=BE ∴ΔAED≌ΔBEF ∴AD=FB，DE=EF 又CE⊥DE ∴CF=CD ∴CD=AD+BC 13.解：MN与AC的关系是相等，证明提示：过D点作AC的平行线交BC的延长线于G，则DG=AC，CG=AD.由∠DBC＝30°，则)(2121BCADBGDG，而)(21BCADMN，因此MN=AC. 14.证明提示：过D点作AC的平行线交BC的延长线于G，则DG=AC，CG=AD，可证DM是RtΔDBG的中线，)(2121BCADBGDM，又)(21BCADEF，因此，EF=DM. 15.证法1：作梯形ABCD的中位线EF，则可证EF∥AD，EF=AF，因此∠DAE=∠AEF， ∠EAF=∠FEA，所以∠DAE=∠EAF，因此AE平分∠ DAB 证法2：延长AE、BF相交于G，则ΔAED≌ΔGEC，因此AD=CG，又AB＝AD＋BC，所以AB=BG，则∠BAG=∠BGA，又AD∥BC，所以∠DAG=∠BGA，因此∠BAG=∠DAG，所以因此AE平分∠ DAB
补充题
1.提示：连接AC和BD相交于O，过O点作OO1∥AA1交直线A1C1于O1，则

)(21111CCAAOO，)(21111DDBBOO
，因此AA1+CC1=BB1+DD

2.（1）当AB与CD不平行时，①式仍成立．
分别过A、M、B作CD的垂线，AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F．
∵ M为AB的中点，

∴ MN＝21（AE＋BF）．

∴ S△DAC＋S△DBC＝21DC·AE＋21DC·BF
＝21DC·（AE＋BF）＝2 S△DMC．
∴ S△DMC＝2DACDBCSS
（2）对于图（3）有S△DMC＝2DACDBCSS．
∵ M是AB的中点，S△ADM＝S△BDM，S△ACM＝S△BCM，
S△DBC＝S△BDM＋S△BCM＋S△DMC， ①
S△DAC＝S△ADM＋S△ACM－S△DMC ②
①－②得：S△DBC－S△DAC＝2 S△DMC

∴ S△DMC＝2DACDBCSS．

A
B
C
D

M
N

E
第11题

E
D
B
C
A

第12题
F
A

D
M
O
图⑶

E
N F