数学人教版九年级上册圆中分类讨论的思想方法
数学分类讨论思想总结报告
数学分类讨论思想总结报告数学分类讨论思想总结报告数学分类讨论思想是数学研究的一种重要方法和思维模式，通过将问题从整体分解为若干个具有相同或相似性质的子问题，进而通过分析子问题的特点，统一归纳出一般性的结论和解决方法。
分类讨论思想在数学的各个领域都有广泛的应用，包括代数、几何、数论、概率论等。
一、分类讨论思想的基本原理分类讨论思想的基本原理是通过将问题划分为若干个不同情况进行分析和讨论，找出每种情况下的共性和特殊性质，进而进行归纳总结。
分类讨论思想的核心是将问题拆解成更小的子问题，对子问题进行分析和讨论，最后再将各个子问题的结论整合起来得到最终的结果。
二、分类讨论思想的应用1. 代数：在解代数方程时，常常会遇到多项式的根和求根的问题。
采用分类讨论思想，可以先讨论一次方程、二次方程、三次方程等不同类型的问题，然后通过分析每一种类型的特点，找出解答问题的一般性方法。
2. 几何：在几何学中，分类讨论思想可以用于解决寻找几何形状的问题。
比如，要证明一个定理在所有几何图形中都成立，可以分别讨论直线、三角形、四边形等不同类型的图形，研究它们的特点和性质，从而推广到所有类型的几何图形中。
3. 数论：数论是研究整数性质和整数关系的数学分支。
在证明数论中的定理时，常常需要分析不同的情况。
例如，要证明某个整数具有某个性质，可以讨论该整数在不同的取值范围内的情况，并进行分类讨论，找出满足条件的整数集合。
4. 概率论：概率论是研究随机现象的数学理论。
在概率论中，分类讨论思想可以用于确定随机变量所属的不同事件类别。
通过将事件划分为互斥事件和相互独立事件等不同类型，可以简化概率计算和问题的分析。
三、分类讨论思想的优点和局限分类讨论思想灵活、简单，并且适用范围广泛。
它能够将复杂的问题转化为几个简单的子问题，降低了问题的难度。
它也是一种较为直观、易于理解和应用的思维方式，有助于深入分析问题并找到一般性的解决方法。
然而，分类讨论思想也存在一些局限性。
人教版九年级数学上册《题中无圆,心中有圆,“圆”来很完美》构造辅助圆解几何问题教学设计
题中无圆，心中有圆，“圆”来很完美——构造辅助圆解几何问题学情分析：学生已经进行了第一轮复习，掌握了初中阶段的基本数学知识和基本技能以及基本解决问题的能力，对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多.学生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视角研究,简化证明过程.初步形成构造辅助圆的意识.设计意图：对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形，而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下，更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，利用辅助圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特.教学目标：1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决几何问题，进而掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法；3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质，形成几何直观.教学重点：利用辅助圆解决有关问题教学难点：建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件教学过程：情景引入：一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?理论依据：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上我们今天来学习构造辅助圆解决几何题：题中无圆，心中有圆，“圆”来很完美.一、利用圆的定义来构造辅助圆定义：圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合例1：如图,在四边形ABCD 中,AB =AC =AD ,若∠BAC =25∘,∠CAD =75∘，则 ∠BDC =______度，∠DBC =_______度 .变式：如图所示,四边形ABCD 中,DC ∥AB ,BC =1,AB =AC =AD =2,则BD 的长为_______解：四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠BDC =∠DBF ，∴BC =DF =1，在RtΔBDF 中， BF =2AB =4，DF =1，∴BD =1522=-DF BF ．解题策略：利用圆的定义构造圆（圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合）纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结构，如图所示，即共端点的三条等线段，它让我们联想到“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”.建立模型：遇等线（共端点），作辅圆拓展训练：1. 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （-2,0），B (0,3)，在坐标轴上找一点P ，使得△ABP 是等腰三角形，则这样的点共有________个．【答案】8解题策略：在解决这类等腰三角形问题时，通常要分三种情况讨论：（1）求作某边等于已知边（线段）时，以已知线段的一端点为圆心，以线段长为半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；（2）求作另某边等于已知边（线段）时，以另一端点为圆心，以线段长为F A C D半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；（3）使已知线段为底边，未知两边为两腰时，作已知线段的垂直平分线，在垂直平分线上找符合题意的点.方法归纳：两圆一线建立模型：遇等线（共端点），作辅圆变式1.在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （-3,0），B (0,3)，在坐标轴上 找一点P ，使得△ABP 是等腰三角形，则这样的点共有 个．变式2.在平面直角坐标系xoy 中，已知点 ，在坐标轴上找一点P ，使得△ABP 是等腰三角形，则这样的点共有________个．二、利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆理论依据：90°的圆周角所对弦是直径例2：如图，矩形ABCG 与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上,AB =2,BC =4,（1）若∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动,使∠APE 为直角的点P 的个数是( ) A ．0 B .1 C ．2 D ．3(3,0),(0,3)A B（2）若P 可以在平面内任意移动，且∠APE 仍为直角，你能在图中找到到距离点D 最近的P 吗？ 变式 （2016•安徽）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A ．23B ．2C ．13138D ．131312 解析：∵∠ABC =90°，∴∠ABP +∠PBC =90°，∵∠P AB =∠PBC ，∴∠BAP +∠ABP =90°，∴∠APB =90°，∴O P =OA =OB （直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P 在以AB 为直径的⊙O 上，连接OC 交⊙O 于点P ，此时PC 最小， 在RT △BCO 中，∵∠OBC =90°，BC =4，OB =3，∴OC ==5，∴PC =OC ﹣OP =5﹣3=2．∴PC 最小值为2．故选：B ．解题策略：通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最小距离问题，实质利是用90°的圆周角所对弦是直径，巧妙构造圆后求线段最值.建立模型：由直角（三角形），作辅圆三、利用“四点共圆”构造辅助圆理论依据：对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上例3 如图，四边形ABCD 为矩形，BE 平分∠ABC ，交AD于点F ，∠AEC =90°.(1)A 、B 、C 、E 四点共圆吗？(2)求∠ACE 的度数；(3)求证：BE⊥ED .解：（1）A、B、C、E四点共圆.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.又∵∠AEC=90°，∴∠ABC+∠AEC=180°.∴A、B、C、D四点共圆.（2）∵∠ABC =90°，BE平分∠ABC，∴∠ABE =45°.∴∠ACE=∠ABE =45°.（3）证明：连接BD.∵四边形ABCD是矩形，∴A、B、C、D四点共圆，并且BD是直径.又∵A、B、C、E四点共圆，∴A、B、C、D、E五点共圆.∴∠BED为直角，即BE⊥ED.建立模型：由（四边形对角）互补，作辅圆四、感悟小结1．数学方法：构造辅助圆（1）当遇有公共端点的等线段时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.（2）当遇有直角三角形时，通常以斜边为直径，利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆.（3）当四边形中出现对角互补时，利用四点共圆构造辅助圆.2.数学思想：建模思想、转化思想、分类讨论思想3.深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”，一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！那么构造隐圆的方法还有哪些？比如：定弦定角构造圆、圆幂定理构造圆等，在后面的课程中将继续完善这个话题.五、课后思考：1.已知AB =AC =AD,∠DAC =30°，∠BAC =80°，则∠CBD的度数为.B同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ， ∠CBD =21∠CAD =15° 2．（2018北京一模）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（ ）A ．23B ．2102-C ．2132-D ．4解析：如图，∵AE ⊥BE ，∴点E 在以AB 为直径的半⊙O 上，连接CO 交⊙O 于点E ′，∴当点E 位于点E ′位置时，线段CE 取得最小值， ∵AB =4，∴OA =OB =OE ′=2，∵BC =6，∴OC ===2， 则CE ′=OC ﹣OE ′=2﹣2，故选：B ．3.（2017江西）已知点A (0，4)，B (7，0)，C (7，4)，连接AC ，BC 得到矩形AOBC ，点D 的边AC 上，将边OA 沿OD 折叠，点A 的对应边为A ′，若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A ′的坐标为____________．答案：（7，3）或（15，1）或（23，－2），解析：根据题意，点A ′的坐标存在以下三种情况：①如图1，当A ′M ：A ′N =1:3时，又MN =4，所以A ′M =1，A ′N =3，因为OA ′=OA =4，在Rt △OA′N 中，ON =222243OA AN ''-=-=7，所以点A ′的坐标为（7，3）；②如图②，当A ′M ：A ′N =3:1时，又MN =4，所以A ′M =3，A ′N =1，因为OA ′=OA =4，在Rt △OA ′N 中，ON =222241OA AN ''-=-=15，所以点A ′的坐标为（15，1）；③如图③，当A ′M ：A ′N =3:1时，即（A ′N +4）：A ′N =3:1，解得A ′N =2，在Rt △OA ′N 中，ON =222242OA AN ''-=-=23，所以点A ′的坐标为（23，－2）.4.（2013呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点 A (4，0)、B (-6，0)，点 C 是y 轴上的一个动点，当∠BCA = 45°时，点 C 的坐标为 .【答案】(0，12)或(0，-12)图 1 图 2解析：（1）如图1，过点E 在第二象限作EP ⊥BA ，且EP =21AB=5,则易知△P AB 为等腰直角三角形，∠BAP =90°，P A =PB =25,以点P 为圆心，P A （或PB ）长为半径作⊙P ，与y 轴正半轴交于点C ，∵∠BCA 为⊙P 的圆周角，∴∠BCA =21∠BP A=45°,即点C 即为所求. 过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，则OF =PE =5，PF =1在Rt △PFC 中，PF =1，PC ＝25，由勾股定理得：722=-=PF PC CF ∴OC =OF +CF =5+7=12，∴点C 的坐标为（0，12）（2）如图2，在第三象限可参照（1）作同样的操作，同理求得y 轴负半轴上的点C 的坐标为（0，－12）综上所述，点C 的坐标为（0，12）或（0，－12）5．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°,AB =2，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，求P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离 .解：当点时P 、B 、D 三点在一条直线上时，PD 最短，BD 与AC 交于点, ∵在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°,AB =2，∴BO =3 ，即BD =23∵BP =BA ,∴BP =2,∴PD 最小=232- O B A CP。
《圆周角》 说课稿
《圆周角》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《圆周角》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《圆周角》是人教版九年级上册第二十四章《圆》中的重要内容。
在此之前，学生已经学习了圆心角的概念和性质，圆周角的学习是在圆心角的基础上进行的，它为后续学习圆的其他相关知识，如圆内接四边形等奠定了基础。
从教材的编排来看，圆周角的概念和性质的探究过程，充分体现了从特殊到一般、转化、分类讨论等数学思想方法，有助于培养学生的逻辑推理能力和创新思维能力。
二、学情分析九年级的学生已经具备了一定的观察、分析和归纳能力，也有了一定的知识储备。
但是对于较为抽象的数学概念和性质的理解，还需要进一步的引导和启发。
在学习圆周角之前，学生已经掌握了圆心角的相关知识，这为本节课的学习提供了一定的知识基础。
然而，圆周角的概念和性质较为复杂，学生在理解和应用上可能会存在一定的困难。
三、教学目标基于以上对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征。
（2）掌握圆周角定理及其推论，并能运用定理及推论解决相关问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，培养学生的观察能力和逻辑推理能力。
（2）经历圆周角定理的探究过程，体会分类讨论、转化等数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。
（2）在探究圆周角定理的过程中，让学生体验数学的乐趣，激发学生学习数学的兴趣。
四、教学重难点1、教学重点（1）圆周角的概念和圆周角定理。
（2）圆周角定理的证明及应用。
2、教学难点（1）圆周角定理的证明中分类讨论思想的渗透。
（2）圆周角定理的灵活应用。
五、教法与学法1、教法为了突出重点，突破难点，我将采用以下教学方法：（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。
人教版九年级上册数学圆周角定理及其推论课件
(6)如图③，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角 ∠BAC是锐角、直角还是钝角？ (7)如图④，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦 BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
图③
图④
活动3 知识归纳
1．顶点在_圆__上_， 并且两边都与圆_相__交_的角叫做圆周 角． 2．在同圆或等圆中，_等__弧_或_等__弦_所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的_圆__心__角_的一半． 3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_相__等_． 4．半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角_，90°的圆周角 所对的弦是_直__径_．
图②
(
2、探究
分别测量图11中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角 ∠AOB的度数，它们之间有什么关系？
在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角 和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗 ？由此你能发现什么规律？
可以发现，同弧所对的圆周 角的度数等于这个这条弧所对的 圆心角的度数的一半。
提出问题： (1)经过测量，图24.1－11中的圆周角∠ACB和圆心角 ∠AOB之间有什么关系？ (2)任意作一个圆，任取一条弧，作出它所对的圆周角 与圆心角，测量它们的度数，你发现什么规律？ (3)一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角有几个 ？ (4)改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有 没有变化？你发现了什么？ (5)如果把上述发现的结论中的“同弧”改为“等弧”，结 论还正确吗？
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝
1 2
AB＝5
cm.
∴BC＝ AB2－AC2＝ 102－52＝5 3(cm)．
练习
1．教材P88 练习第1，3，4题． 2．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一 点，则圆周角∠BAC的度数为__5_0_°_．
新人教版九年级数学上册圆周角课件PPT
为什么呢？
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反
过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径。
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
例题赏析:
例1 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
一、复习检测
1. 什么叫圆心角？ __________________________________ __________.
2. 你能找出下面图形中的圆心角吗？ （口述判断的理由）
探究一、圆周角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
B
C
即 A 1 BOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
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（2）在圆周角的内部．
初中数学的分类讨论思想研究
所谓分类讨论思想 ，就是 当所要研究 的问题的对象难 以统
一
分析 ， 或推理证 明之 ， 有通过分组 的形式才能准确地表示 出来
时， 就需要按照一定 的标准将问题分为全而不重 、 广而不漏 的若 干类子问题 。 再对每一类 子问题进行研究 ， 在逐一解决每一类子
问题 的基础上分析归纳出整个 问题 的结果 。
个 子问题集 合 Ａ ， Ａ …Ａ ， ． ， ＿ 只要解 决每一个 Ａ（＿ ， ， ） Ａ １ ｉ１２ …ｎ ， 问题集合 Ａ也就得到 了解决 。
三 、 成 原 因 形
每个 子问题彼此应该互不相容 ， 分类讨论时要避免重复 。 如学生
往往 把三角形分为不等边三角形 、等腰三角形 、等边三角形三 类， 这就不正确了。因为等边三角形是特殊等腰 三角形 ， 等边三
要熟练利用分类讨论思想解 决数学 问题 ， 首先要 弄清“ 为什
么要分类讨论 ” ，这样才能准确地 对所要研究 的问题集 合 Ａ进
角形是等腰三角形 的子集 。三角形按边分应该分为不等边三角
形和等腰 三角形两大类 ，等腰三角形 又可 以分为两边相等的等 腰三角形 和等边三角形两小类。
３ 层 次 性 原 则 ．
利用集合论 的观点来解 释 ， 对于 以上 的问题 集合 Ａ及 每一 个子问题集 合 Ａ（ ｌ２ …ｎ ， ．＝ ，， ）陈需满足 相称性原则外 ， ｉ 还需 要
满足 Ａ ｎＡ＝ ｉｌ ２ …ｎ ｊ ｌ２ …ｎ 且 ｉ ） 即在 进行分 类 ， ｊＯ（ ， ， ；＝ ，， ， ≠ｊ， ＝
根据集合论 的观点 ， 分类讨论 就是 将问题集合 Ａ分为有 限
论， 就是分类讨论时遗漏或者重复 ， 因而深入研究分类讨论思想 很有现实意义。 二 、 心概念 核
关于分类讨论思想在初中数学教学中的应用 (5)
分类讨论思想在初中数学教学中的应用数学分类讨论是一种常见的思维方法。
所谓分类讨论，就是把一个复杂或不确定的问题按不同情况分类讨论，从而得到简化或明确的。
在初中数学教学中，分类讨论思想的应用可以激发学生的思维，提高他们的分析、归纳、判断和解决问题的能力。
本文将深入探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用，并提出一些具体的教学实践建议。
一、分类讨论思想的基本原理分类讨论思想是指将一个复杂的问题，根据不同情况分类进行研究和讨论的思维方法。
其基本原理是“分而治之”，通过将一个问题分解成若干个相对简单的部分，再从不同角度考虑、分析和讨论，最终得出全面、准确的。
分类讨论的基本方法主要包括以下几个步骤：1. 将问题进行分类，找到不同情况。
2. 对每一种情况进行详细分析和讨论，寻找规律。
3. 综合各种情况的结果，得出最终。
分类讨论思想在数学中的应用非常广泛，例如在解决几何问题、方程式、概率统计等问题中，都可以通过分类讨论的方法得出较为简单明了的。
二、分类讨论思想在初中数学教学中的应用1. 解决数学问题分类讨论思想可以帮助学生更加深入地理解和掌握各种数学概念和定理。
例如，在解决一些复杂的几何问题时，学生可以把问题进行分类，分别研究每一种情况，并通过综合得出。
这样，学生的思维会更加开阔，能力也会得到提升。
2. 强化数学推理能力分类讨论思想在初中数学教学中还可以强化学生的推理能力。
在讨论分类的过程中，学生需要分析各种情况的规律，找到相同点和不同点，然后对每种情况进行比较和推理。
这样，学生的推理能力会得到很好的锻炼，在以后的学习和工作中也会受益匪浅。
3. 激发解决问题的热情分类讨论思想可以激发学生对数学问题的兴趣和热情，促进他们的思维发展。
在课堂上，老师可以通过举一些有趣的例子来引导学生讨论和发现规律，从而培养学生解决问题的兴趣和自信心。
三、分类讨论思想在初中数学教学中的实践建议1. 合理设置问题为了引导学生正确运用分类讨论思想解决问题，老师在教学中应该合理设置问题。
初中数学人教版九年级上册圆周角的概念和圆周角定理
DAC 1 DOC 2
BAD DAC 1 (BOD DOC)
A
2
BAC 1 BOC 2
O·
B
C
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
证明猜想
（3）圆心在圆周角的外部．
证明：圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的方 法，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
给我最大快乐的，不是 已懂得的知识，而是不断的 学习；不是已有的东西，而 是不断地获取；不是已达到 的高度，而是继续不断的攀 登。
-高斯
走近数学名家
高斯：1777年——1855年，德国著名数 学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。 高斯与阿基米德、牛顿并称为世界三大数学 家，并有数学王子的美誉。
华罗庚
祝同学们： 学会数学，学好数学，学会
好好用数学
＝BD，判断△ABC的形状：
．
A
O
B
D
C
( (
巩固新知
3、已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点， AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？ （2）判断△FAB的形状，并说明理由．
知识运用
你能用三角尺确定一张圆 形纸片的圆心吗？有几种 方法？与同学们交流一下
10岁学习数学初显天赋，15岁开始对高等 数学作研究，一生成就极为丰硕，以他名字 命名的成果达110个，属数学家之最。他对数 论、代数、统计、分析、微分几何、力学、 天文学等皆有贡献。
数学中的一些美丽定理 具有这样的特性：他们极易 从事实中归纳出来，但证明 却隐藏的极深。
-高斯
人教版数学九年级上 §24.1.4 圆周角(1)
分类讨论思想在初中数学中的应用
分类讨论思想在初中数学中的应用分类讨论思想是初中数学中常用的一种解题方法。
它是指将问题分成几类，分别进行讨论，最后综合各类情况得出结论的思考方式。
分类讨论思想的应用可以帮助我们更好地解决数学问题，提高数学能力。
一、常用的分类讨论思想（一）分情况讨论法所谓分情况讨论法，就是把原问题划分为若干不同的情况，对每种情况分别进行讨论，最后根据所有情况的讨论结果得出原问题的解决办法。
例如：某电影院座位有两种，一种是普通座位，票价为25元；一种是豪华座位，票价为50元。
售票系统统计，当电影院所有座位都售出时，收入最高为1200元，最少为900元。
这时要求你编写程序，计算出电影院的总座位数，普通座位数和豪华座位数分别为多少。
这个问题一共有三个未知量，构成了一个三元一次方程组。
假设总座位数为x，普通座位数为y，豪华座位数为z，则可以列出如下方程组：y+z=x25y+50z=120025y+50z=900很显然，这个方程组无解。
因为一张普通座位和一张豪华座位的票价差距是25元，显然不可能造成1200元和900元这种巨大的差距。
则此时需要用到分情况讨论法。
只使用普通座位的收入为25x，只使用豪华座位的收入为50x，则此时有以下两种情况：①只使用普通座位的情况25x=900，得x=36；知道x=36后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=36；由此可得：y=9,z=27。
②只使用豪华座位的情况50x=1200，得x=24；知道x=24后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=24；由此可得：y=24,z=0。
因此，分情况讨论法的最终解决办法是电影院的总座位数是36，普通座位数是9，豪华座位数是27。
（二）合情况讨论法所谓合情况讨论法，就是将原题设想为一个更大的问题，再将其划分为若干个子问题，对每个子问题进行讨论，最后综合所有的子问题的情况，得出原问题的答案。
这种方法主要是利用排除法以及一些特殊的性质。
浅析数学学习中的分类讨论思想
***************.com 投稿邮箱:***************.com数学教学通讯>2020年7月（中旬）作者简介:林金山（1970—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.浅析数学学习中的分类讨论思想林金山福建省厦门集美中学361021所谓的分类讨论思想是初中数学解题过程中常用的一种方法,主要考查学生在思考问题过程中的严谨性、逻辑性和全面性,一般需要运用这种方法的问题综合性都比较强,有一定难度,在试卷中常作为压轴题.因此,运用此类解题思想的问题大多属于区分学生层次的问题.分类是指将数学现象的异同点,使用各种分类的办法进行区分,学生在分类过程中感知分类方法及分类思想,感悟分类的本质,加深对知识的理解程度,从而提高解题能力.其中特别要注意的是分类必须无重复、无遗漏,确保考虑的周全.分类涉及面及分类原则想要学好数学,首先要有良好的数学思想,数学思想就是数学学习的灵魂.其中分类讨论思想是数学思想中的重要思想之一,在初中数学学习中起着举足轻重的作用.而初中阶段涉及分类讨论思想的知识点主要有以下三个类别:第一是代数类,其中的方程、绝对值和根的概念,函数部分的概念及坐标所在象限等均有涉及;第二是几何类中的图形位置及对应关系,相似或全等类情况;第三是代数与几何的综合运用类题型.分类过程中要遵循以下原则:一是分类的各个部分互相独立;二是统一分类标准;三是分类需逐级有序地进行;四是常以公式、性质或定理等条件作为分类的标准.例析分类讨论思想的运用1.应用于几何问题中几何图形的学习中三角形作为基本图形,是初中数学考核的重点之一.尤其是相似、等腰三角形的问题常涉及分类讨论思想的运用,以考查学生的数学思维和逻辑能力. 案例1如图1,在△ABC 中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E ,F 两点分别在AB ,AC上,AD 交EF 于点H.(1)求证:AH AD =EF BC ;(2)设EF=x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?请求出其最大值.(3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度,沿射线QC 做匀速运动（当点Q 与点C 重合时就停止运动）,假设运动的时间是t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.图1B DC E AFH Q P 分析该题的第(1)问很简单,只需证明△AEF ∽△ABC 即可.至于第(2)问,可根据第(1)问的结论,求出AH 的长度为45x ,EQ=8-45x ,矩形EFPQ 的面积就是S=x 8-45x (),经化简整理,可得S=-45(x -5)2+20,故当x=5时,S 最大,为20.第(3)问的难度要更大些,可以先求出EF=5,EQ=4,证明△FPC 是等腰直角三角形,得PC=FP=EQ=4,QC=QP+［摘要］初中数学学习的过程就是不断运用数学思想进行观察、分析、比较、判断、概括和推理的过程.分类讨论思想作为数学思想中的一个分支，具有帮助学生构建数学概念，积累数学经验，树立正向的数学观的作用.文章从图形问题、方程问题和实际问题三个角度浅析分类讨论思想在解题中的应用.［关键词］分类讨论思想；方程；图形；解题66***************.com投稿邮箱院***************.com 数学教学通讯2020年7月（中旬）<玩数学,鼓励学生在活动之后撰写数学小论文,以获取数学创造与发现的乐趣.来看一个例子.在平面直角坐标系的学习中,数学课堂上的知识学习,更多的是将平面直角坐标系以抽象的形式出现在学生面前,学生看到的、用到的永远是画在纸上的平面直角坐标系.而从综合实践活动设计与体验的角度来看,还可以让学生体验这样一个活动过程:首先,让学生在父母的帮助之下寻找自己所生活的地方或小区的楼层分布图（这可以从百度地图或小区物业处获得）,当然也可以是自己所生活的地方的风景区等.然后选择一些值得研究的对象,如小区或景区内的古树名木等,确定它们所处的位置.这实际上是给学生创设一个综合活动情境,是一个实践性活动,能让学生的思维对象变得更加形象.其次,提出问题:如何通过数学方法确定这些研究对象所处的位置?这个问题的提出,目的在于让学生把对生活事物问题的思考,转换为对数学问题的思考.实践表明,一半左右的学生能够想到平面直角坐标系,但他们在建立坐标的时候,对于原点的确定、标度的确定等,往往会存在一些困难;而另有近一半的学生则想不到有效的数学方法.无论学生的实际情况如何,都为综合实践活动的开展打开了空间.最后,帮学生建立平面直角坐标系,然后确定研究对象的位置.经过一番讨论与尝试之后,很多学生都不约而同地选择以小区或景区旁的十字路口作为坐标的原点,也有学生选择自己熟悉的某一个地方作为平面直角坐标系的原点.在上述活动中,学生的研究对象从生活问题转换到数学问题,这是一个数学抽象过程;在确定原点与研究对象的位置过程中,学生要运用逻辑推理;而在此基础上形成的对平面直角坐标系的认识,则使其成为一种模型认知.综合实践活动开展的注意点在初中数学教学中,综合实践活动的开展要想取得培育学生核心素养的成效,就需要关注实施过程中的一些注意点.有研究者指出,初中数学综合实践活动在实际运用中要注重三个结合:趣味性与实用性相结合;校内活动与校外活动相结合;引导性与参与性相结合.笔者以为,这三个结合既是从初中生的认知特点出发的,也是从数学学科与综合实践活动的结合出发的,这样就兼顾了数学与活动、学生与数学的关系,能保证学生在综合实践活动中真正实现核心素养的落地.以上是笔者对初中数学教学中综合实践活动的开展的思考,以及与之联系的核心素养的思考,不当之处还请同行们不吝赐教.PC=9.根据实际,从以下三种情况:0≤t<4,4≤t<5,5≤t ≤9进行分类讨论.经讨论可得以下几种函数关系式:当0≤t<4时,S=-12t 2+20;当4≤t<5时,S=-4t+28;当5≤t ≤9时,S=12(t -9)2.此类题型都比较灵活,学生只有掌握分类讨论的思想,将三角形的各个知识点结合在一起进行思考才能获取解题的思路.2.应用于方程问题中方程问题也是初中数学的重点内容之一,分类讨论思想一般运用在带参数的方程问题中.案例2关于x 的方程(m -4)x 2-(2m -1)x+m=0,m 为何值时,方程有实数根?分析本题没有具体阐述实数根的情况,实数根可能有一个或两个.因此,判断此方程是一元一次方程还是一元二次方程是重要的一步,而判断标准又由方程的系数来决定.鉴于此,本题首先要分类讨论的是未知数最高项系数m -4:当m -4=0即m=4时,方程为一元一次方程-7x+4=0,求解,得一个实数根x=47;当m -4≠0即m ≠4时,方程是含有参数m 的一元二次方程,根据一元二次方程有实数根,可得Δ≥0,即(2m -1)2-4(m -4)m ≥0,解得m ≥-112.因此,当m ≥-112时,方程有实数根.由本题可见,含有参数的方程用分类讨论思想解题是最佳的途径,可避免解题过程中因考虑不周全而出现失误.应用于实际问题中数学学习的最终目的在于为生活实际服务.怎样利用所学的数学知识解决生活实际问题对于初中阶段的学生来说有一定难度,将抽象的数学转化为实际问题需要从多角度全面地思考问题.学生的障碍主要表现在方案的选择上,而分类讨论思想对解决此类问题有很大的帮助.案例3电吹风生产厂家有两种型号的电吹风，A 种定价为200元，B 种定价为40元，受疫情影响，厂家决定开展一次促销活动来促进消费，经讨论后形成两套促销方案：第一种，买A 送B ；第二种，A ，B 两种电吹风都打9折，但两种促销方案只能选择一种.一位经销商计划购买20个A 种电吹风和若干个B 种电吹风（超过20个）,请问他应该选择哪种促销方案更划算?分析哪种方案更省钱跟购买电吹风的数量有关系,因为B 种电吹风的数量是未知的,可将B 种电吹风的数量假设为x 个.采用方案一所需的费用为:200×20+(x -20)×40=40x+3200(元);采用方案二所需的费用为:(200×20+40x )×0.9=36x+3600(元).哪种方案更划算一些,可进行分类讨论:若方案一划算,40x +3200<36x +3600,解得20<x<100;若方案二划算,40x +3200>36x +3600,解得x>100.问题在分类讨论中迎刃而解.总之,分类讨论思想在数学中运用较多,师生只有从思想上和行动上都高度重视这种解题思想,将它贯彻落实到各类解题中,通过反复训练,才能运用自如.用分类讨论思想驱动数学解题,不仅表现在数学思维能力的提升,更表现在数学核心素养的提高.（上接第65页）67。
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圆中分类讨论的思想方法教学设计
一、教材分析
1、教材的地位与作用
圆中分类讨论的思想方法是学生在已经掌握“圆的有关性质”，“点和圆的位
置关系”、“直线与圆的位置关系”的基础上，进一步拓展圆的知识和数学方法
的应用。
本节课通过“会诊---观察探究---讨论归纳---类比分析---拓展思维”
的途径，进一步培养学生的观察能力，分析、联想能力、合作交流的能力，强化
了学生的数学思维能力，培养分类讨论的思想方法，促进了数学修养的提高。
所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在初中几何教学中都占有重要的地位。
2、教学目标
根据“新课标”的要求和教材的特点，结合九年级学生的实际水平，
我把本节课的教学目标确定为：
（1）知识技能：使学生掌握圆的相关知识，会应用分类讨论的思想探究知识。
（2）数学思考：通过“观察会诊，探究、讨论归纳”等活动，积累丰富的数学活动的经验，初步发展学生分类讨论的能力及培养学生创造性思维的能力。
（3）解决问题：培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题
（4）情感态度：让学生在动手的过程中体会数学活动的乐趣，让学生在讨论的过程中找到探索数学的成就感，通过圆中分类讨论的思想方法的学习，体会数学对思维能力培养的益处。
3、重点难点：
重点：掌握利用分类讨论的思想方法解决圆中的数学问题，
难点：在解决圆中的数学问题时不出现漏解的情况通过一系列的探究活动培养学生解决问题的思想方法能力。
二、教法设计
根据本节课的内容特点及学生的实际水平，我采用启发式教学、循序渐进的
原则、采取类比、观察会诊、探究讨论、归纳拓展等方法，注重创设问题情景，充分暴露思维过程，发展学生的思维能力。
教学形式上充分利用电脑多媒体优化数学课堂教学，从学生常见的思维错
误出发，激发学生学习的兴趣，提高课堂效率。
三、学法指导
“授人以鱼，不如授人以渔”为培养学生观察、分析、归纳能力，根据本节课的特点，我以常见的思维误区为出发点，以学生活动为主线，让学生自己观察会诊、探究归纳，让他们在学习中学会学习。
四、教学过程
（一）、复习导入
导入提问：知道哪些圆有关的知识？解决问题时你遇到过一题多解的现象么，漏解么？
设计意图：通过复习圆的知识，提出学生常见的误区，产生思维碰撞，既强化学习目标又激发学生的学习兴趣，使学生的学习活动有鲜明的目的性。
（二）同学会诊：
从“我是小老师”活动，由已知圆心角求圆周角设例，让学生会诊多媒体展示的学生误区，归纳复习的知识宝典，通过乘胜追击，由已知圆心角变式为已知弦长如何求圆周角，提出问题，分类讨论杜绝漏解。
设计意图：本环节设计从学生的误区出发，采用循序渐进的原则，以问题为出发点，依照学生的认识规律设置一系列问题，通过学生的会诊探究，归纳发现复习圆的有关知识，培养学生的分类讨论思想能力。
（三）思维拓展
从近期天下大雨联系生活设计问题：求下水道的水深
例3、横截面为圆形的下水道直径为20dm，水面宽16dm，则下水道中的水的深度为多少？
设计意图：通过学生会诊同学的解法，产生误区，使学生能应用分类讨论的思想方法解决实际问题。
（四）讨论探究，实战演练
讨论探究数学工具：量角器与三角板的运动分析问题
例4、如图，形如量角器的半圆O的的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。
半⊙O从左向右平移，在平移过程中，点D、E始终在直线BC上。
EC=2cm,当平移距离a为_______cm时，⊿ABC的边AC 与半圆O相切？
本环节设计意图是：通过圆中动态问题探究，培养学生的分类讨论的思想，类比思想，观察分析发现的能力，创新能力。
（五）思维拓展 圆中图形运动变化探究
例5如图，⊙O 的半径为2，等腰直角三角形ABC 的顶点B 的坐标为（
，
0）
， ∠CAB=90o ,AC=AB,顶点A 在⊙O 上运动。
（1）当A 在x 轴上时，求C 的坐标。
（2）当点A 运动到x 轴的负半轴时，试判断直线BC 与
⊙O 的位置关系，并说明理由。
（3）当直线AB 与⊙O
相切时，求AB 所在直线的函数关系式
本环节设计意图是：通过圆中动态问题探究（图形
变换，点位置不确定），巩固学生的分类讨论的思想方
法，培养操作分类探究的能力，创新思维。
（六）巩固练习
6.在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则R 的取值范围是 。
本环节设计意图是：通过点与圆的位置关系练习，巩固分类讨论的思想方法。
（七）课后收获
学生各抒己见引起分类讨论的因素，归纳起来主要有以下几个方面：(1)由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；(2)
由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；(3)由于图形的不确定性引起的讨论；(4)由于题目含有字母而引起的讨论．
设计意图：收获不单单是在数学知识上的，还应是思想方法，情感价值观或学以致用。