圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

圆锥曲线的切线方程和切点弦方程课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
教学目标：
1) 掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。

2) 能够使用切线方程及切点弦方程解决一些问题。

3) 通过复渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

4) 掌握曲线与方程的关系。

教学重点：
切线方程及切点弦方程的应用
教学难点：
如何恰当使用切线方程及切点弦方程
教学过程：
1.引入：
通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。

2.知识点回顾：
1) 过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$(x_0,y_0)$的切线方程为：$xx_0+yy_0=r^2$
2) 设$P(x,y)$为椭圆
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$
3) 设$P(x,y)$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：
$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$
4) 设$P(x,y)$为抛物线$y^2=2px$上的点，则过该点的切线方程为：$y=y_0+p(x+x_0)$
圆锥曲线切线的几个性质：
1) 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径。

同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。

2) 过椭圆的焦点$F_1$的直线交椭圆于$A$，$B$两点，
过$A$，$B$两点作椭圆的切线交$PF_1\perp AB$于点$P$，则$P$点的轨迹是焦点$F_1$的对应的准线，并且同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。

3.例题精讲：
1) 练1：
已知抛物线$y=ax^2(a>0)$与直线$x=1$围成的封闭图形的
面积为3，若直线$l$与抛物线相切，且平行于直线$2x-y+6=0$，则直线$l$的方程为。

2) 例1：
设抛物线$C:y=x^2$的焦点为$F$，动点$P$在直线$l:x-y-
2=0$上运动，过$P$作抛物线$C$的两条切线$PA$、$PB$，且
与抛物线$C$分别相切于$A$、$B$两点。

求$\triangle APB$的
重心$G$的轨迹方程。

4.圆锥曲线的切点弦方程：
1) 设$P(x,y)$为圆$x+y=r$外一点，则切点弦的方程为：$xx_0+yy_0=r^2$
2) 设$P(x,y)$为椭圆
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为$A$，$B$，则弦$AB$的方程为：
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0 ^2}{b^2}$
3) 过$P(x,y)$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1$的两支作两条切线，则切点弦方程为：$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$
设抛物线方程为y^2=2px，则P点坐标为(m,2m)。

对于切点A(x1,y1)，B(x2,y2)，由切线方程可得：
y1=mx1-p
y2=mx2-p
将y1和y2代入yy=p(x+x1)(x+x2)中，得到：
m^2(x1-x2)^2=(2m-p)(x1+x2)
将m=2/p代入，得到：
x1-x2)^2=2(x1+x2)
令x1+x2=s，x1-x2=t，则有：
t^2=2s
代入面积公式S=1/2*st，得到：
S=1/2*t^2/2=1/4*s^2/2=1/8*(x1+x2)^2
由于x1+x2=m，所以S=1/8*m^2.
因此，当PAB为等腰三角形时，面积最小，最小值为
1/8*m^2.
小结：
1.在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，需要数形结合。

2.求曲线方程时，需要掌握不同的方法和思想。

作业：已知直线l：y=x+3上一点P(m,2m)，过点P作抛物线y^2=2x的两条切线，切点分别为A和B。

求三角形PAB 的面积最小值。

解题思路：
1.求出切点A和B的坐标。

2.根据切点坐标求出三角形PAB的面积公式。

3.通过求导等方法，求出面积最小值。

4.验证得出的最小值是否正确。

具体步骤：
1.设切点A的坐标为(x1,y1)，切点B的坐标为(x2,y2)。

由抛物线方程可得，切点的纵坐标为：
y1=y2=2mx1
将y1和y2代入抛物线方程中，得到：
x1=x2=m/2
将x1和x2代入切线方程中，得到：
y1=y2=3m/2
因此，切点A和B的坐标为(m/2,3m/2)。

2.三角形PAB的面积公式为：
S=1/2*PA*PB*sin∠APB
其中，XXX和PB分别为P点到A点和B点的距离，∠APB为角APB的度数。

由于PAB为等腰三角形，所以
PA=PB=√(m^2+(m/2)^2)=m√5/2.
APB为切线的夹角，由y^2=2x的对称性可得，
∠APB=45°。

因此，S=1/2*(m√5/2)^2*sin45°=5m^2/8.
3.对XXX求导，得到：
dS/dm=5m/4
令dS/dm=0，得到m=0，但这个解明显不符合题意。

因此，S的最小值为5m^2/8，当PAB为等腰三角形时取得。

4.验证：当m=1时，三角形PAB为等腰直角三角形，此时S=5/8.
当m=2时，三角形PAB为等腰钝角三角形，此时S=5.
因此，最小值为5m^2/8是正确的。