(完整版)简单的三角恒等变换练习题
高中数学 3.2简单的三角恒等变换（二）
简单的三角恒等变换(二)（45分钟 100分）一、选择题(每题6分，共30分)15°+cos15°sin15°的值为 ( ) B.2 2.(2021·济宁高一检测)f(x)=cos 2x −sin 2x 2的一条对称轴为 ( )=π2=π4 =π3 =π6 3.已知tan α2=3，那么cos α= ( )A.45 45 35 D.35 4.(2021·湖北高考)将函数y=√3cosx+sinx(x ∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所取得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 5.假设cos 2θ+cos θ=0，那么sin 2θ+sin θ的值等于 ( )B.±√3 或√3或√3或-√3 二、填空题(每题8分，共24分)6.设α为第四象限角，且sin3αsinα=135，那么tan 2α= .7.(2021·梅州高一检测)函数f(x)=sin 2x+√3sinxcosx 在区间[π4,π2]上的最大值是 .8.已知cos 2x=13，x ∈(π2,π)，那么sin 4x= . 三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.化简：(1+sinx +cosx )(sin x 2−cos x 2)√2+2cosx (180°<x<360°).10.如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称，邻边相互垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形面积表示为θ的函数.(2)当tanθ取何值时，十字形的面积S最大？最大面积是多少？11.(能力挑战题)已知函数f(x)=4cosxsin(x+π6)-1.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.答案解析1.【解析】选C.原式=sin15°cos15°+cos15°sin15° =sin 215°+cos 215°sin15°cos15° =1sin15°cos15°=22sin15°cos15°=2sin30°=4.2.【解析】选(x)=cos 2x −sin 2x 2=12cos 2x ，其对称轴为x=kπ2，k ∈Z ，当k=1时，即为x=π2. 3.【解析】选α2=3，故tan 2α2=sin 2α2cos 2α2=9，因此1−cosα1+cosα=9，cos α=-45. 4.【解析】选=2(√32cosx +12sinx )=2sin (x +π3)， 当m=π6时，y=2sin (x +π2)=2cosx ，符合题意.5.【解析】选D.由cos 2θ+cos θ=0得2cos 2θ-1+cos θ=0，因此cos θ=-1或12.当cos θ=-1时，有sin θ=0；当cos θ=12时，有sin θ=±√32.于是sin 2θ+sin θ=sin θ(2cos θ+1)=0或√3或-√3.【误区警示】此题要紧考查三角函数的大体运算、同角三角函数关系式和倍角公式.解题关键是熟练把握公式，并注意不能显现丢解错误.6.【解析】sin3αsinα=sin (2α+α)sinα=(1−2sin 2α)sinα+2cos 2αsinαsinα =2cos 2α+1=135，因此cos 2α=45，又α是第四象限角，因此sin 2α=-35，tan 2α=-34. 答案：-34 7.【解题指南】利用倍角公式降幂，转化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式，由x ∈[π4,π2]，确信出2x-π6的范围，进而求最值.【解析】f(x)=1−cos2x 2+√32sin 2x =12+sin (2x −π6)，当x ∈[π4,π2]时，2x-π6∈[π3,5π6]， sin (2x −π6)∈[12,1]，故f(x)的最大值为32. 答案：328.【解析】因为x ∈(π2,π)， 那么2x ∈(π，2π)，又cos 2x=13，因此sin 2x=-2√23，sin 4x=2sin 2xcos 2x=2×(−2√23)×13=-4√29. 答案：-4√299.【解析】原式=(1+2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2−1)(sin x 2−cos x 2)√2+2(2cos 2x 2−1) =(2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2)(sin x 2−cos x 2)√4cos 2x 2=2cos x2(sin x 2+cos x 2)(sin x 2−cos x 2)2|cos x 2| =cos x 2(sin 2x 2−cos 2x 2)|cos x 2| =−cos x 2cosx |cos x 2|，因为180°<x<360°，cos x2<0， 因此原式=−cos x 2cosx−cos x2=cosx.10.【解析】(1)由题意，x=cos θ，y=sin θ，面积S=2xy-x 2=2sin θcos θ-cos 2θ，θ∈(π4,π2). (2)由(1)知，S=2sin θcos θ-cos 2θ=2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ =2tanθ−1tan 2θ+1，设2tan θ-1=t ，θ∈(π4,π2)，那么S=4t t 2+2t +5=4t +2+5t ≤42√5+2=√5−12，t=√5 即tan θ=√5+12时，面积S 取最大值√5−12.【变式备选】有一块扇形铁板，半径为R ，圆心角为60°，从那个扇形中切割下一个内接矩形，如图，求那个内接矩形的最大面积.【解析】设∠FOA=θ，那么FG=Rsin θ，OG=Rcos θ，在△EOH 中，tan 60°=EH OH ， 又EH=FG ，因此OH=√3，HG=Rcos θ-√3，又设矩形EFGH 的面积为S ，那么S=HG ·FG=(Rcosθ√3)·Rsin θ =2√3(√3sin θcos θ-sin 2θ) =2√3sin (2θ+30°)−12]， 又因为0°<θ<60°，故当θ=30°时，S 取得最大值√36R 2.11.【解析】(1)f(x)=4cosxsin (x +π6)-1 =4cosx ·(√32sinx +12cosx )-1=√3sin 2x+2cos 2x-1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6)，因此f(x)的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x ≤π4，因此-π6≤2x+π6≤2π3， 因此当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)有最大值2， 当2x+π6=-π6，即x=-π6时，f(x)有最小值-1.【拓展提升】三角函数求值域的方式(1)利用单调性，结合函数图象求值域，如转化为y=Asin(ωx+φ)+b 型的值域问题.(2)将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方式求值域，如转化为y=asin 2x+bsinx+c 型的值域问题.(3)利用sinx ，c osx 的有界性求值域，通常在概念域为R 的情形下应用.有时在隐含条件中产生一些限制条件，阻碍值域.(4)分离常数法，经常使用于分式形式的函数.(5)换元法，显现sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinxcosx 时，常令t=sinx+cosx ，转化为二次函数值域的问题.换元前后要注意等价.(6)数形结合法，利用斜率公式等构造图形求最值.。
《简单的三角恒等变换》三角函数简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换xx年xx月xx日•三角函数基本概念•三角恒等变换的基本法则•三角恒等变换的应用目录•常见三角恒等变换技巧•三角恒等变换的注意事项•练习题与解答01三角函数基本概念$\sin x = \frac{y}{r}$正弦函数$\cos x = \frac{x}{r}$余弦函数$\tan x = \frac{y}{x}$正切函数三角函数的定义周期性$2k\pi, k\in Z$振幅$|\sin x| \leq 1, |\cos x| \leq 1$相位$\sin(x+2k\pi) = \sin x$；$\cos(x+2k\pi) = \cos x$；$\tan(x+k\pi) = \tan x$正弦函数$y=|\sin x|$，波动曲线余弦函数$y=|\cos x|$，波动曲线正切函数$y=\tan x$，曲线不连续，无界01020302三角恒等变换的基本法则和差角公式公式二$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$应用用于解决角度和的问题，如求两角和的正弦、余弦等。
公式一$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$\sin x\cosy=\frac{1}{2}(\sin(x+y)+\sin(x-y))$积化和差公式公式一$\cos x\siny=\frac{1}{2}(\sin(x+y)-\sin(x-y))$公式二用于将两角和的正弦与余弦变换成和差角的形式，方便后续计算。
应用公式一$\sin\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\s qrt{2}}(\cos x+1)^{1/2}$公式二$\cos\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x-1)^{1/2}$应用用于计算半角的角度，适用于解三角形等问题。
半角公式03三角恒等变换的应用利用三角函数解直角三角形，得到直角三角形的三个边长。
高考一轮作业：4-5简单的三角恒等变换(含答案)
时间：45分钟满分：100分班级：________姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·温州模拟)设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝1－cos50°2，则有( )A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 答案：D2．已知函数f(x)＝cos2(π4＋x)－cos2(π4－x)，则f(π12)等于( )A.12B．－12C.32D．－32答案：B3．已知x∈(2kπ－34π，2kπ＋π4)(k∈Z)，且cos(π4－x)＝－35，则cos2x的值是( )A．－725B．－2425C.2425D.725答案：B4．(2018·青岛模拟)已知cos2θ＝23，则sin4θ＋cos4θ的值为( )A.1318B.1118C.79D．－1答案：B5．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则f(π12)的值为( )A．4 3 B.83 3C．4 D．8答案：D6．(2018·湖南模拟)函数f(x)＝sin x－cos(x＋π6)的值域为( )A．[－2,2] B．[－3，3]C．[－1,1] D．[－32，32]解析：∵f(x)＝sinx－cos(x＋π6)＝sinx－cosxcos π6＋sinxsinπ6＝sinx－32cos x＋12sinx＝3(32sinx－12cosx)＝3sin(x－π6)(x∈R)，∴f(x)的值域为[－3，3]．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2018·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.解析：f(x)＝sin x－2cos x＝5(sin x·15－cos x·25)＝5sin(x－φ)，其中cos φ＝15，sin φ＝25，由题知θ－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，∴cos θ＝cos(φ＋π2＋2kπ)＝－sin φ＝－255. 答案：－2558．已知sin(π4－x2)＝35，x∈(0，π2)，则tanx＝________.解析：∵sin(π4－x2)＝35，∴cos(π2－x)＝1－2sin2(π4－x2)＝1－2×925＝725.即sinx＝725，又x∈(0，π2)，∴cosx＝2425，∴tanx＝724.答案：7249．已知α是第三象限角，且sinα＝－2425，则tanα2＝________.解析：∵α是第三象限角且sin α＝－2425， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－－24252＝－725， ∴tan α2＝1－cos αsin α＝－43.答案：－4310．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.解析：1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 014. 答案：2 014三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤) 11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点．已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255. 因为α为锐角，故sin α>0， 从而sin α＝1－cos 2α＝7210；同理可得sin β＝1－cos 2β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2.从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.12．(2018·郑州质检)已知α为第二象限角，sin α＝35，β为第一象限角，cos β＝513.求tan(2α－β)的值．解：tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β，因为α为第二象限角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， β为第一象限角，cos β＝513，∴sin β＝ 1－cos 2β＝1213，tan β＝125， ∴tan(2α－β)＝－247－1251＋－247125＝204253.13．(2018·广州珠海区综合测试)已知函数f(x)＝cos(2x ＋π6)＋cos(2x －π6)＋2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[－π3，π3]上的最大值和最小值，并求此时x 的值． 解：(1)f(x)＝cos(2x ＋π6)＋cos(2x －π6)＋2sinxcosx ＝cos2xcos π6－sin2xsin π6＋cos2xcos π6＋sin2xsin π6＋ 2sinxcosx ＝2×32cos2x ＋sin2x ＝3cos2x ＋sin2x ＝2(32cos2x ＋12sin2x) ＝2(sin π3cos2x ＋cos π3sin2x)＝2sin(2x ＋π3)∴f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x ＋π3)， 由－π3≤x≤π3，得－π3≤2x＋π3≤π， ∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f(x)取得最大值2；当2x ＋π3＝－π3，即x ＝－π3时，f(x)取得最小值－ 3.。
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换一、选择题：1. 下列等式成立的是（ ）1.c o s 80c o s 20s i n 80s i n 202A -= 1.sin13cos17cos13sin172B -=2.sin 70cos 25sin 25sin 202C +=3.sin140cos 20sin 50sin 20D +=2．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ） A ．周期为4π的奇函数B ．周期为4π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数3. 某物体受到恒力是(1,3F =，产生的位移为()sin ,cos s t t =-，则恒力物体所做的最大功是（ ） A ．1B.2C.4. 若-2π<α<-23π，则2)cos(1πα--等于( )A ．sin 2α B ．cos 2α C ．-sin 2αD ．-cos 2α5.221tan 1tan αα--+= ( )A.2tan 2α- B. 2tan 2αC.cos2αD.tan 2α6．2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A ．12B ．32 C ．3 D ． 2二、填空题： 7. 化简cos2α＋6sin 22α-8sin42α的结果是________。
8. 化简sin 2sin cos 2cos 1θθθθ+++=_________。
9. 函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4π］上的最小值是________。
10．函数22sin cos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是________ 。
三、解答题： 11.已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期;（2）求函数()f x 取得最大值的所有x 组成的集合. 12．化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，， （2）222sin cos 52tan cos 44ααππαα-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭简单的三角恒等变换的同步练习答案详解一、选择题：1.D2.C3.B4.D5.B6.C 答案提示： 1.sin140cos 20sin50sin 20cos50cos 20sin50sin 20cos30o +=+=。
简单的三角恒等变换
所以 sin θ＝34.
5．(2012·河北质检)计算tan2cπ4o＋s2απ4－·coαs2α的值为(
)
A．－2 C．－1
B．2 D．1
解析：选 D
tan4π＋α·cos 2α 2cos2π4－α
Go the distance
＝2sisni2nπ4π4＋＋ααc·ocsosπ42＋α α
＝2sin4π＋coαsc2oαs4π＋α
(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利 用条件进行转化求解．
(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名， 不同角则化同角，利用公式求解变形即可．
Go the distance
三角函数式的化简
典题导入
[例 1]
化简2t2acnosπ44－x－x2scions22xπ4＋＋12x.
解：(1)因为 f(x)＝2cos xcosx－π6－ 3sin2x＋sin xcos x
＝ 3cos2 x＋sin xcos x－ 3sin2x＋sin xcos x
＝ 3cos 2x＋sin 2x＝2sin2x＋π3，
所以最小正周期 T＝π.
(2)由 f(α)＝1，得 2sin2α＋π3＝1， 又 α∈[0，π]，所以 2α＋π3∈π3，73π，
3．(2013·深圳调研)已知直线 l: xtan α－y－3tan β＝0 的斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1，
则 tan(α＋β)＝( )
A．－73
7 B.3
5 C.7
D．1
解析：选 D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，
即 tan β＝－13，tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝21－＋1323＝1.
三角恒等变换-简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换基础知识1.升幂公式：ααα22sin 211cos 22cos -=-=2.降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+= 3.积化和差公式：[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=；[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=； [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=；[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=； 4.和差化积公式：2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+；2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-； 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-； 5.辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，其中ab =ϕtan 。
题型一：辅助角公式的应用例1.已知函数23cos 2y x x =-。
（1）求函数的增区间；（2）说出此函数与sin y x =之间的关系。
【过关练习】1.已知函数2()sin cos f x x x x =+。
（1）求25()6f π的值；（2）设(0,)απ∈，1()24f α=-，求sin α。
2. 设函数()()R x wx wx wx wx x f ∈+-⋅+=λ22cos cos sin 32sin 的图像关于直线π=x 对称，其中λω，为常数，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21ω（1）求函数()x f 的最小正周期（2）若()x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π，求函数()x f 的值域。
题型二 恒等变换的应用例1.求证：2212sin cos tan()cos sin 4ααπααα-=--。
例2.已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值；⑴求sin 2cos sin cos2αααα-的值．【过关练习】1．cos 2π8－12的值为( ) A ．1 B.12 C.22 D.242．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425 D.7253．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4题型三：与三角函数综合题【例1】已知函数2()2sin sin cos (0)f x a x x x a b a =-++>的定义域为[0,]2π，值域为[5,1]-，求常数,a b 的值。
4-4简单的三角恒等变换答案
简单的三角恒等变换常考题型题型一 三角函数式的化简例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ .(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 (1)12cos 2x (2)4－3310 解析 (1)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式可得 sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝4－3310. (1)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)＝ . (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118 C.1718 D ．－1718 答案 (1)－1 (2)D解析 (1)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos(x －π6)＝3×(－33)＝－1. (2)cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 题型二 三角函数的求值命题点1 给值求值问题例2 (1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ .答案 12解析 ∵α为锐角，∴sin α＝1－(17)2＝437.∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2， ∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12. (2)(2015·广东)已知tan α＝2.①求tan(α＋π4)的值；②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. ②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 (1)C (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)，∴α＋β＝7π4. (2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－(13)2＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ .答案 π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . (2)(2016·成都检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.5π4 C.5π4或7π4 D.3π2答案 (1)268(2)A 解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝268. (2)因为α∈[π4，π]，sin 2α＝55>0，所以2α∈[π2，π]，所以cos 2α＝－255且α∈[π4，π2]， 又因为sin(β－α)＝1010>0，β∈[π，3π2]，所以β－α∈[π2，π]，所以cos(β－α)＝－31010， 因此sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×(－255)＋(－31010)×55＝－22， cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝(－31010)×(－255)－1010×55＝22， 又α＋β∈[5π4，2π]，所以α＋β＝7π4，故选A. 题型三 三角恒等变换的应用例4 (2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减．(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 ．(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是 ． 答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.(2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π. 题型四．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，[4分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分] (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[7分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[9分] 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．[11分] 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．[12分] 课后作业1．(2016·青岛模拟)设tan(α－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于( )答案 C A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．42．(2016·全国甲卷)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( )答案 DA.725B.15 C ．－15 D ．－7253．(2016·福州模拟)已知tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )答案 D A ．2 B ．3 C ．4 D ．64．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( )答案 AA ．－255B ．－3510C ．－31010 D.2555．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )答案 B A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， 由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2. 6．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )答案 C A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C. 7．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ．答案 8 解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2 x 212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8. 8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ .答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 9．化简：3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ .答案 －4 3 解析 原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23(12sin 12°－32cos 12°)cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12° ＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 10．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是 ．答案 3－1 解析 f (x )＝3sin 23x －(1－cos 23x )＝2sin(23x ＋π6)－1，又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤23π，∴f (x )min ＝2sin 23π－1＝3－1. 11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f (π6)的值；(2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24)． 解 (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)， 所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4)＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α)．又因为sin α＝35，且α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45)＝10＋32－4620. 12．(2015·安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.。
简单的三角恒等变换
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的三角恒等变换1. (必修4P 115复习题7(2)改编)函数y ＝3cos4x ＋sin4x 的最小正周期为________．答案：π2解析：y ＝3cos4x ＋sin4x ＝2(32cos4x ＋12sin4x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos4x ＋sin π6sin4x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6，故T ＝2π4＝π2. 2. 在△ABC 中，若cosA ＝45，cosB ＝513，则cosC ＝________.答案：1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cosA ＝45＞0，cosB ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sinA ＝35，sinB ＝1213，所以cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665.3. (必修4P 113练习3(2)改编)已知cos θ＝45，且270°＜θ＜360°，则sin θ2＝________，cos θ2＝________．答案：1010 －31010解析：∵ 270°＜θ＜360°， ∴ 135°＜θ2＜180°.∴ sin θ2＝1－cos θ2＝1－452＝1010；cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋452＝－31010. 4. (必修4P 115复习题5改编)已知sin α＝35，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．答案：－724解析：由sin α＝35且α是第二象限角，得tan α＝－34，∵ (α＋β)－α＝β，∴ tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝7.∴ tan2β＝2tan β1－tan 2β＝－724. 5. (必修4P 115复习题1(1)改编)已知sin2α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin 4α－cos4α＝________．答案：－255解析：sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝ －cos2α＝－1－sin 22α＝－255.三角函数的最值问题(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝aa 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2. ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式．③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y)(cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式．② y ＝asinx ＋c bsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋cbt (－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]题型1 三角形中的恒等变换例1 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin 2C2＋cos C 2＝2，求角C 的大小．解：由2sin 2C2＋cos C 2＝2，得2⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2C 2＋cos C 2＝2，整理得cos C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2－1＝0.因为在△ABC 中，0<C<π，所以0<C 2<π2.所以cos C 2＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去cos C 2＝0，从而C 2＝π4，即C ＝π2.备选变式（教师专享）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB ＝3b .求角A 的大小．解：由已知，得2sinAsinB ＝3sinB ，且B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sinB ≠0，∴ sinA ＝32，且A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ A ＝π3.题型2 角的构造技巧与公式的灵活运用例2 求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．解：(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10°·(32cos10°－12sin10°)＝ 34(sin 210°＋cos 210°)＝34. (解法2)设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12.因此2x ＝32，故x＝34. 变式训练求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值．解：sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos160°)＋3sin20°cos(60°＋20°) ＝1－12cos40°＋12(cos120°cos40°－sin120°sin40°)＋3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－12cos40°－14cos40°－34sin40°＋34sin40°－32sin 220°＝1－34cos40°－34(1－cos40°)＝14.题型3 三角函数的综合问题例3 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx(x ∈R )． (1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2) 在△ABC 中，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，求sinB ＋sinC 的最大值． 解：(1) f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx ＝ 12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.(2) 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1， 所以sinB ＋sinC 的最大值为 3.备选变式（教师专享）已知a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，设f(x)＝a·b . (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1) f(x)＝a·b＝(cosx ＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴f(x)的最小正周期T ＝π.(2) ∵0≤x≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)有最小值－1.1. (2013·苏州期末)已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________．答案：17250解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin 2(θ＋15°)＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，从而sin(2θ＋30°)＝1－cos 2（2θ＋30°）＝2425，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250. 2. 函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2·cos(x ＋π6)的最小正周期为________．答案：π解析：∵ f(x)＝－sinx ·(32cosx －12sinx)＝ 14－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴ T ＝π.3. 计算：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________．答案：12解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－s in17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.4. 设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．答案：－1665解析：∵ tan α2＝12，∴ tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，而α∈(0，π)，∴ α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2.由tan α＝sin αcos α＝43及sin 2α＋cos 2α＝1得sin α＝45，cos α＝35；又sin(α＋β)＝513<22，∴ α＋β∈(3π4，π)，cos(α＋β)＝－1213.∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213×35＋513×45＝－1665.1. 已知函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－12.(1) 若f(α)＝24，α∈(0，π)，求α的值； (2) 求函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π上最大值和最小值． 解：(1) f(x)＝12sinx ＋1＋cosx 2－12＝12(sinx ＋cosx)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由题意知：f(α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝24，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12.∵α∈(0，π)，即α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，∴α＋π4＝5π6，即α＝7π12. (2) ∵ －π4≤α≤π， 即0≤α＋π4≤5π4，∴f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，f(x)min ＝f(π)＝－12.2. 已知ω＞0，a ＝(2sin ωx ＋cos ωx ，2sin ωx －cos ωx)，b ＝(sin ωx ，cos ωx)．f(x)＝a·b .f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是π2.(1) 求ω的值；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝a ·b＝(2sin ωx ＋cos ωx)sin ωx ＋(2sin ωx －cos ωx)cos ωx＝2sin 2ωx ＋3sin ωxcos ωx －cos 2ωx ＝1－cos2ωx ＋32sin2ωx －12(1＋cos2ωx)＝32(sin2ωx －cos2ωx)＋12＝322sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4＋12.(1) 因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是π2，所以函数f(x)的最小正周期T ＝π，则ω＝1.(2) ω＝1，f(x)＝322sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.∴ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f(x)取得最大值32＋12.3. 设函数f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为2π3.(1) 求ω的最小正周期；(2) 若函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g(x)的单调增区间．解：(1) f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋sin2ωx ＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω的最小正周期为32.(2) 依题意得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4 ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2，由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k∈Z )，得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k∈Z )， 故y ＝g(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋π4，23k π＋7π12(k∈Z )．4. 设函数f(x)＝3sinxcosx ＋cos 2x ＋a.(1) 写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 解：(1) f(x)＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋12，∴ T ＝π.由π2＋2k π≤2x＋π6≤3π2＋2k π，得π6＋kx≤x≤2π3＋k π.故函数f(x)的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k∈Z )．(2) ∵ －π6≤x ≤π3，∴ －π6≤2x ＋π6≤5π6.∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋12＝32，∴ a ＝0.1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．(2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手：(1) 看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化． (2) 看函数：统一函数，向结果中的函数转化．请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．[备课札记]。
3.2简单的三角恒等变换(1)
结论：将同角的弦函数的和差化为:
“一个角”的 “一个名”的弦函数.
10
感受三角变换的魅力
变形的目标：化成一角一函数的结构 变形的策略：引进一个“辅助角”
a 2 b2
a
b
a sin x b cos x
a b a b sin x cos x 2 2 2 2 a b a b
以从右边着手 sin(+) ＝ sincos+cossin sin(-) ＝ sincos-cossin 两式相加,得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
1 sin cos sin sin 2
3 2 sin cos sin 3
3 sin 2 6 6 3 由于0 , 所以当 2 , 即 时, 3 6 2 6 1 3 3 S最大 6 3 6
1
1 3 1 cos 2 sin 2 2 6 1 3 3 sin 2 cos 2 2 6 6 1 3 1 3 sin 2 cos 2 2 3 2 6
通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如通过三角 变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如 y=Asin(+)的函数, 从而使问题得到简化
练习
sin x cos x sin x cos x 1.函数 f ( x) 2 sin 2 x
4 4 2 2
2
1
4．若
2 sin cos 2 2
，则 f (
12
3.2 简单的三角恒等变换(二)
【解析】y sin x 3 cos x 1 3 2( sin x cos x) 2 2
2(sin x cos cos x sin ) 3 3 2sin(x ). 3
所以周期T = 2π，最大值为2，最小值为 - 2.
探究点2
三角变换在化简、证明中的应用.
cos10 例2 化简 tan10 3 . s【解析】原式 （ 3） cos10 sin 50 sin10 3 cos10 cos10 （ ） cos10 sin 50 1 3 o sin10 cos10o 2 = 2 2 sin50o sin(10o - 60o ) sin(-50o ) = 2 = 2 = -2 . o o sin50 sin50
π π π π 2π (2)因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x＋ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是，当 2x＋ ＝ ，即 x＝ 时， 6 2 6 f(x)取得最大值 2； π π π 当 2x＋ ＝－ ，即 x＝－ 时，f(x)取得 6 6 6 最小值－1.
例1 求函数 y sin x 3cos x 的周期，最大值和最
2 2
1 tan 30 tan 45 tan 30 = =tan（45°+30°）等. 1 tan 30 1 tan 45 tan 30
常见的三角变形技巧有 ① 切割化弦； ② “1”的变用； ③ 统一角度，统一函数， 统一形式等等．
【变式练习】
2 cos10 sin 20 求值： . sin 70
2 cos(30 20) sin 20 【解析】原式 = cos 20 2(cos 30 cos 20 sin 30 sin 20) sin 20 cos 20 3 cos 20 3. cos 20
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3.2 简单的三角恒等变换
一、填空题
1．若
25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________
2．已知sin θ=－
53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．
4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=
54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．
5． 设5π＜θ＜6π，cos
2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________
二、解答题
6．化简
θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．
7．求证：2sin （
4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．
8．求证：
α
ααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．
9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A
-+=2tan 2tan 2
2
．
10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．
11． 设－3π＜α＜－
2π5，化简2)πcos(1--α．
12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．
13．
求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．
14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos
2x 的值．
15． 已知sin α=
1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2
β．
参考答案
一、填空题
1． 2
15+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题
6．解：原式=θ
θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)
-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θ
θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)
cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．
7．证明：左边=2sin （
4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （
4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2
π－2x ） =cos2x
=右边，原题得证．
8．证明：左边=α
ααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)
sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)
sin )(cos sin (cos )sin (cos 2
αααααα+-- =
ααααsin cos sin cos +- =α
αtan 1tan 1+- =右边，原题得证．
9．证明：∵cos A =
B b a b B a cos cos ⋅--⋅， ∴1－cos A =
B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+， 1+cos A =
B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)
cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2
tan 2
cos 22sin 2cos 1cos 1222A B A
A A ==+-， 2
tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 2
2
．
10．解：因为15°是第一象限的角，所以
sin15°=4264)26(434823222312
30cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=
4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒
+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2
α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·2
2cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·
2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．
14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，
所以sin x =25
24或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =
2524，cos x =－257． 又2
x 是第一或第三象限角， 从而cos
2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜
2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2
π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜
2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－5
3． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－
53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜
2π， ∴0＜2
β＜4π． 故cos
656572cos 1=+=2ββ
．。