简单的逻辑联结词 当堂作业

全国名校高中数学优质课时作业（附详解）
简单的逻辑联结词 当堂作业

1．有下列命题：①2017年10月1日既是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5
的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①属于p∧q的形式，用到“且”；②是简单命题，无联结词；③属于¬p的形式，
用到“非”．故选C．
答案：C
2．若命题“p∨q”为真命题，“¬p为真命题”，则( )
A．p真，q真 B．p假，q真

C．p真，q假 D．p假，q假
解析：由¬p为真，知“p”为假， 又“p∨q”为真，所以q为真．
答案：B
3．下列命题是真命题的是( )
A．5>2且7>8
B．3>4或3<4
C．9≤7
D．方程x2－3x＋4＝0有实根
解析：虽然p：3>4是假命题，但q：3<4是真命题，所以p∨q是真命题．
答案：B
4．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )
A．“p∨q”为假 B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真 D．以上都不对
解析：命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．
答案：B
5．如果命题“¬(p∨q)”为假命题，那么( )
A．p，q均为真命题
B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题
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D．p，q中至多有一个为真命题
解析：“¬(p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p，q中至少有一个为真命题．
答案：C
6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”
为_________．
解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两
个向量共线”．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
7．命题p：2∉{1,3}，q：2∉{x|x2－4＝0}，则命题p∧q是______命题，命题p∨q是______
命题．
解析：命题p：2∉{1,3}是真命题．
因为{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，
所以命题q：2∉{x|x2－4＝0}是假命题．
所以命题p∧q是假命题，命题p∨q是真命题．
答案：假 真
8．设命题p：3≥2，q：32∉[23，＋∞)，则复合命题“p∨q”“p∧q”中真命题的
是________.
解析：3≥2成立，∴p真，32∈[23，＋∞)，∴q假，故“p∨q”为真命题，“p∧q”
为假命题．
答案：p∨q
9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写
出构成它的简单命题．
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)若x∈{x|x＜1或x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解．
解：(1)“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个
角是45°的三角形是直角三角形．
(2)“p或q”形式的命题，其中p：若x∈{x|x＜1}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解，
q：若x∈{x|x＞2}，则x是不等式(x－1)·(x－2)＞0的解．
10．已知命题p：不等式x2>m－1的解集为R，命题q：f(x)＝(m－2)x是减函数．若p
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∨q为真命题，求实数m的取值范围．
解：方法一：由不等式x2>m－1的解集为R，得m－1<0，即p是真命题时， m<1.
函数f(x)＝(m－2)x是减函数，得m－2<0，
即q是真命题时， m<2.
由于p∨q为真命题，则m<1或m<2，即m<2.
所以实数m的取值范围是(－∞，2)．
方法二：由不等式x
2

>m－1的解集为R，得m－1<0，即p是真命题时， m<1.

函数f(x)＝(m－2)x是减函数，得m－2<0，即q是真命题时， m<2.
由于p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．

当p，q都是假命题时，得 m≥1，m≥2.所以m≥2.
所以p∨q为真命题时，实数m的取值范围是(－∞，2)．

1．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命题q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)．下列结论
正确的是( )
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．¬p为假 D．¬q为真
解析：显然p假q真，故p∨q为真，p∧q为假，¬p为真，¬q为假．故选A．
答案：A
2．已知p：|x－1|≥2，q：x∈Z.若p∧q，¬q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )
A．{x|x≤－1或x≥3，x∉Z}
B．{x|－1≤x≤3，x∉Z}
C．{x|x<－1或x∈Z}
D．{x|－1解析：命题p，q分别等价于p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z.由p∧q，¬q同时为假命题知，
p假q真．所以满足－1答案：D
3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函
数．下列命题：① p1∨p2，②p1∧p2，③(¬p1)∨p2，④p1∧(¬p2)中，真命题的序号是_________.
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解析：p
1是真命题，则¬p1为假命题；p2是假命题，则¬p2为真命题．∴p1∨p2

是真命题，

p1∧p2是假命题．∴(¬p1)∨p2为假命题，p1∧(¬p2)为真命题．∴真命题是①④.
答案：①④
4．设命题p：a20，命题p∧q为假，p∨q
为真，则实数a的取值范围是________.

解析：由a22＋4ax＋1>0恒成立知Δ＝16a2
－4<0，∴－
1
2

p真q假时，12≤a<1，∴实数a的取值范围是－12答案：－125．已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)
＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解：设g(x)＝x
2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2
＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所

以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0.
所以－2又f(x)＝－(5－2a)x是减函数，则有5－2a>1，即a<2.所以命题q是真命题时，a<2.
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p和q一真一假．

当p为真命题，q为假命题，则 －2

当p为假命题，q为真命题，则




a≤－2或a≥2，

a<2

解得a≤－2.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．
6．设命题p：方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<1－1)在区间[1,2]内单调递增．
(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)试问：p∧q是否有可能为真命题？若有可能，求出a的取值范围；若不可能，请说
明理由．