史荣昌魏丰版矩阵分析第二章(1)

= λ ( − λ 2 − λ + 1) = f (λ )
1− λ
2
λ2
2
λ +1 λ
= λ ( − λ − 1) = g (λ )
3
) g(λ )) = λ , 而且其余的各2 阶子式也都 显然 ( f (λ ), 包含 λ 作为公因子，所以 D2 (λ ) = λ .
另外
A(λ ) = − λ − λ
B(λ ) = P (λ ) A(λ )Q(λ )
P66 推论2.1.2
λ 矩阵的等价关系满足：
（1）自反性：
A(λ ) A(λ );
（2）对称性： A(λ ) B(λ )则B(λ ) A(λ ); （3）传递性：若A(λ ) B(λ )，B(λ ) C (λ ), 则A(λ ) C (λ ).
例2
⎡ 3λ 2 + 2λ − 3 2λ − 1 λ 2 + 2λ − 3⎤ ⎢ 2 ⎥ 2 A(λ ) = ⎢ 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 ⎥ ⎢ λ2 + λ − 4 ⎥ − − λ 2 λ 1 ⎣ ⎦
学生自己看
将其化为 Smith 标准形。 解：
⎡ λ2 + λ − 4 λ−2 λ −1 ⎤ ⎢ 2 ⎥ 2 A(λ ) ⎢ 3λ + 2λ − 3 2λ − 1 λ + 2λ − 3⎥ ⎢ 4λ 2 + 3λ − 5 3λ − 2 λ 2 + 3λ − 4 ⎥ ⎣ ⎦
⎡1 ⎤ ⎢ % ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 ⎢ ⎥ P (i , j ) = ⎢ % ⎥, ⎢ ⎥ 1 0 ⎢ ⎥ % ⎥ ⎢ ⎢ 1⎥ ⎣ ⎦
⎡1 ⎤ ⎢ % ⎥ ⎢ ⎥ P ( i (c )) = ⎢ ⎥ c ⎢ ⎥ % ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎣ ⎦
⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ % ⎥ P ( i , j (ϕ )) = ⎢ ⎢ ϕ (λ ) % ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦
为多项式矩阵或 λ -矩阵.
" a1n (λ ) ⎤ ⎥ " a2 n ( λ ) ⎥ " " ⎥ ⎥ " amn (λ ) ⎦
aij (λ )( i = 1," , m; j = 1," , n) 中最高的次数为 A(λ )
的次数 的次数。 特例: 数字矩阵, 特征矩阵 λ E − A. 定义 如果
2 0 ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎢0 λ −λ λ −1 ⎥ 2 2 ⎢ ⎣ 0 4λ − 3λ − 1 λ + 3λ − 4 ⎥ ⎦
0 0 ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎢0 λ −λ λ −1 ⎥ 2 2 ⎢ ⎣ 0 4λ − 3λ − 1 λ + 3λ − 4 ⎥ ⎦
0 0 ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎢0 λ −1 λ −λ ⎥ 2 2 ⎢ ⎥ ⎣ 0 λ + 3λ − 4 4λ − 3λ − 1⎦
例1
求下列 λ 矩阵的Smith标准形。 标准形
0 0 (λ − 1)2 0 0
⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ (1) ( ) ⎢ 0 ⎢ 2 ⎣λ − λ
例 1
求
⎡பைடு நூலகம்1− λ ⎢ A(λ ) = ⎢ λ ⎢1 + λ 2 ⎣
的各阶行列式因子。 解： 由于
λ λ ⎤ ⎥ λ −λ ⎥ 2 2⎥ λ −λ ⎦
2
(1 − λ , λ ) = 1,
D1 (λ ) = 1
1− λ
λ
λ2 λ
⎡ 1− λ ⎢ A(λ ) = ⎢ λ ⎢1 + λ 2 ⎣
λ2 λ ⎤ ⎥ λ −λ ⎥ ⎥ λ 2 −λ 2 ⎦
0 ⎤ −λ ⎥ ⎥ −λ 2 ⎥ ⎦
0 ⎡1 ⎢0 −λ ⎢ 2 ⎢ 0 − λ ⎣
⎤ ⎥ 3 2 −λ − λ + λ ⎥ −λ 4 − λ 3 − λ ⎥ ⎦ 0
⎤ ⎥ ⎥ λ (λ + 1)⎥ ⎦ 0 0
0 ⎤ −λ 3 − λ 2 + λ ⎥ ⎥ −λ 2 − λ ⎥ ⎦
⎡1 0 ⎢0 λ ⎢ ⎢ ⎣0 0
其中 r ≥ 1, d i (λ ) 是首项系数为1的多项式且
d i (λ ) d i +1 (λ )
( i = 1, 2," , r − 1)
称这种形式的 λ-矩阵为 A(λ ) 的 Smith标准形。 标准形 d1 (λ ), d 2 (λ )," , d r (λ ) 称为 A( λ ) 的 不变因子。
练习题：
0 0⎤ ⎡ λ − 3 −1 ⎢ 4 ⎥ 1 0 0 λ + ⎥ A(λ ) = ⎢ ⎢ −6 − 1 λ − 2 − 1⎥ ⎢ ⎥ 5 1 λ⎦ ⎣ 14
将其化为 Smith 标准形。 标准形
矩阵标准形的唯 性 λ --矩阵标准形的唯一性
定义： A( λ ) 为一个 λ -矩阵且 rank( A(λ )) = r , 对于任 1 ≤ k ≤ r ， A(λ ) 必有非零的 k 阶子式， 意的正整数 k ， 阶子式 A( λ ) 的全部 k 阶子式的最大公因式 Dk (λ )称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子。 阶行列式因子 显然，如果 rank( A(λ )) = r ,则行列式因子一共有 r个。
⎡ λ2 + λ − 4 λ−2 λ −1 ⎤ ⎢ 2 ⎥ 2 ⎢ 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 ⎥ ⎢ 4λ 2 + 3λ − 5 3λ − 2 λ 2 + 3λ − 4 ⎥ ⎣ ⎦
⎡ λ +λ−4 λ−2 λ −1 ⎤ ⎢ 2 ⎥ 2 ⎢ 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 ⎥ ⎢ ⎥ 2 1 0 ⎣ ⎦
这里
E
B ( λ ) 称为 A( λ ) 矩阵的逆 是 n 阶单位矩阵。
。
矩阵，记为 A−1 (λ )
定理2.1.1 一个 n 阶 λ -矩阵 A(λ ) 可逆的充分必要 条件是 det A(λ ) 是一个非零的常数。 条件 个非零 常数
定义 变换： (1) (2) (3)
下列各种类型的变换 叫做 λ -矩阵的初等 下列各种类型的变换，叫做
矩阵的任二行(列)互换位置； 非零常数 c 乘矩阵的某一行(列)； 矩阵的某 行(列)的 ϕ ( λ ) 倍加到另一行 矩阵的某一行 倍加到另 行(列)上 去，其中 ϕ ( λ ) 是 λ 的 的一个多项式。 个多项式 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便 得相应得三种 λ 矩阵得初等矩阵
P ( i , j ), ) P( i( c )), )) P ( i , j (ϕ ))
0 ⎤ ⎡1 0 ⎥ ⎢ −λ ⎥ 0 −λ 3 − λ 2 + λ ⎢ 2 4 3 −λ ⎥ 0 − λ − λ −λ ⎢ ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎥ −λ ⎥ −λ 2 ⎥ ⎦
⎡1 λ2 + λ ⎢ ⎢0 −λ 3 − λ 2 + λ 4 3 ⎢ 0 λ λ − − −λ ⎣
0 ⎡1 ⎢0 −λ 3 − λ 2 + λ ⎢ 4 3 0 − − −λ λ λ ⎢ ⎣ ⎡1 0 ⎢0 −λ ⎢ ⎢ ⎣0 0
设 λ -矩阵 A( λ ) 的 Smith 标准形为
⎡ d1 (λ ) ⎤ ⎢ ⎥ d ( λ ) 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ % ⎢ ⎥ A(λ ) ⎢ d r (λ ) ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ % ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦
容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为
D1 (λ ) = d1 (λ ) D2 (λ ) = d1 (λ )d 2 (λ ) # Dr (λ ) = d1 (λ )d 2 (λ )" d r (λ )
例1
⎡ 1− λ ⎢ A(λ ) = ⎢ λ ⎢1 + λ 2 ⎣
λ λ ⎤ ⎥ λ −λ ⎥ ⎥ λ 2 −λ 2 ⎦
2
将其化成Smith S ith标准形。 标准形
解：
⎡ 1− λ ⎢ A(λ ) = ⎢ λ ⎢1 + λ 2 ⎣
λ2 λ ⎤ ⎡ 1 λ2 + λ 0 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ λ −λ ⎥ ⎢ λ λ −λ ⎥ 2 2⎥ 2 2 2⎥ ⎢ λ − λ ⎦ ⎣1 + λ λ −λ ⎦
而
d1 (λ ), d 2 (λ )," , d r (λ )
又是由这些行列式因子唯一确定的，于是 定理 A(λ ) 的Smith 定理： S ith标准形是唯一的。 标准形是唯 的
定理2.1.7 λ 矩阵 A(λ ) 与 B(λ ) 等价的充要条件是对 于任何的 k ，它们的 k 阶行列式因子相同。 定理2.1.8 λ 矩阵 A(λ ) 与 B(λ ) 等价的充要条件是 A(λ ) 与 B(λ ) 有相同的不变因子。 推论1 λ 矩阵 A( λ ) 可逆的充要条件为 A( λ ) 与单位 矩阵等价。 推论2 λ 矩阵 A( λ ) 可逆的充要条件为 A( λ ) 可以表 示成 系列初等矩阵的乘积 示成一系列初等矩阵的乘积。 P.66
i列 i
行 j 行
定理 对一个 m × n 的 λ -矩阵 A( λ ) 的行作初等行变 换，相当于用相应的 m 阶初等矩阵左乘 A(λ ) 。对 A( λ ) 的列作初等列变换，相当于用相应的 n 阶初 等矩阵右乘 A(λ ) 。
P ( i , j )−1 = P ( i , j ), P ( i ( c ))−1 = P ( i ( c −1 )),
2
2 1 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎢ λ +λ −4 λ−2 λ −1 ⎥ 2 2 ⎢ ⎣ 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 ⎥ ⎦
2 0 ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎢ λ −2 λ +λ −4 λ −1 ⎥ 2 2 ⎢ ⎣ 3λ − 3 4λ + 3λ − 7 λ + 3λ − 4 ⎥ ⎦
0 0 ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎢0 λ − 1 λ −λ ⎥ 3 2 ⎢ 0 − λ + λ + λ − 1⎥ ⎣0 ⎦
0 0 ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 λ − 1 0 ⎥ 3 2 ⎢ 0 − λ + λ + λ − 1⎥ ⎣0 ⎦
0 0 ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 λ − 1 0 ⎥ 2 ⎢ 0 (λ + 1)(λ − 1) ⎥ ⎣0 ⎦
第二章
λ－矩阵与矩阵的Jordan J d 标准形
λ
--矩阵的基本概念
定义：设 aijj ( λ )( i = 1, 2," , m; j = 1, 2," , n) 为数域 F 上的多项式，则称
⎡ a11 (λ ) a12 (λ ) ⎢ a (λ ) a (λ ) 21 22 ⎢ A(λ ) = ⎢ " " ⎢ ⎣ am 1 ( λ ) am 2 ( λ )
λ − 矩阵Smith标准形的存在性
定 理 任意 任意一个非零的 个非零的 m × n 型的 λ -矩阵都等价 于一个“对角矩阵”，即
⎡ d1 ( λ ) ⎤ ⎢ ⎥ d ( λ ) 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ % ⎢ ⎥ A(λ ) ⎢ d r (λ ) ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ % ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦
显然有
d1 (λ ) = D1 (λ ) D2 (λ ) d 2 (λ ) = D1 (λ ) # Dr (λ ) d r (λ ) = Dr −1 (λ )
由于 A( λ ) 与上面的Smith标准形具有相同的各阶 行列式因子 所以 A(λ ) 的各阶行列式因子为 行列式因子，所以
D1 (λ ), D2 (λ )," , Dr (λ )
λ
-矩阵 A( λ ) 中有一个
r
阶 ( r ≥ 1)
子式不为零，而所有
r + 1 阶子式(如果有的话)
全为零，则称 A(λ ) 的秩为
r ，记为
rank k A(λ ) = r
零矩阵的秩为0。
定义 一个 n 阶 λ -矩阵称为可逆的，如果有一个 n 阶 λ-矩阵 B ( λ ) ，满足 满足
A(λ ) B(λ ) = B(λ ) A(λ ) = E
P ( i , j (ϕ ))−1 = P ( i , j ( −ϕ )).
定义 如果 A(λ ) 经过有限次的初等变换之后变成
B ( λ ) ，则称 A( λ ) 与 B ( λ ) 等价，记之为
A(λ ) B(λ )
定理 A( λ ) 与 B ( λ ) 等价的充要条件是存在两个可逆 矩阵 P( λ ) 与 Q ( λ )，使得
3
3
2
⎡ 1− λ ⎢ A(λ ) = ⎢ λ ⎢1 + λ 2 ⎣
λ2 λ ⎤ ⎥ λ −λ ⎥ λ 2 −λ 2 ⎥ ⎦
⇒ D3 (λ ) = λ + λ
2
注意 ：观察 D1 (λ ), D2 (λ ), D3 (λ ) 三者之间的关系。 定理： 等价 λ 矩阵有相同的各阶行列式因子，从而 有相同的秩 有相同的秩。