高三立体几何一轮复习修改教案

立体几何

3平面基本性质与空间两直线的位置关系

一、空间点与线，点与面，线与线，线与面，面与面位置关系

二、平面基本性质定理及推论

性质一：若直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 符号表示：αα⊂∈∈l B A l B A 则且,,

性质二：经过不在同一直线上的三点有唯一一个平面 推论1：直线和直线外一点确定唯一平面 推论2：平行直线确定唯一平面 推论3：相交直线确定唯一平面

性质三：两个不重合的平面有一个公共点，那么有唯一一条通过公共点的公共交线 该性质 符号表示:

三、异面直线所成的角

1、求异面直线a 与b 所成角的方法

2、线线角的范围 线线角的范围

[]900,

异面直线所成角的范围(]9000

,

四、平行：

空间中平行于同一条直线的两条直线平行

典例

一、三线共点问题

解题思路：先证明其中两条直线共点，再证明该点在第三条直线上

例:空间四边形ABCD中，E，F,G分别在AB，BC，CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2:1，CG：GD=AH：HD=3:1，过E，F,G的平面交AD于H

求证：EH，FG，BD三线共点

二、三点共线

解题思路：证明这三个点是两个平面的公共点

例如图，在在四面体ABCD中作截面PQR，PQ，CB的延长线交于M。RQ，DB的延长线交于N.RP,DC 的延长线交于K。求证：M，N，K三点共线

四、求异面直线所成角问题

注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角 ㈠平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 正方体D C B A ABCD 1

1

1

1

-

中，E ，F 分别是C 1

1

C 和B B 中点，则直线AE 和BF 所成

角的余弦值

㈡补形法

例：在四面体ABCD 中，E,F 分别是AC ，BD 的中点，若CD=2AB=2，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于 A 、

75

B 、

60

C 、

45

D 、

30

五、作空间两个已知平面的交线 如图所示，在棱长为a 的正方体D C B A ABCD 1

1

1

1

-

中，M ，N 分别是D C A A 1

1

1

,上

中点，过D ，M,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l, ⑴画出直线l ⑵设P l B A =⋂

1

1

，求线段B P 1

的长

4空间平行关系

一、空间平行关系转化图及相关定理

㈠平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行 ㈡线面平行的判定定理：

1、文字语言：平面外直线与平面内直线平行则线面平行

2、图形语言：

3、符号语言：ααα||||,,l m l m l ⇒⊂⊄

㈢先面平行的性质定理

1、 文字语言：线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则线面平行

2、 图形语言

3、 符号语言：ααββα||,,||l l l ⇒⋂⊂

1、 文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行

2、 图形语言

3、符号语言：βαααα||||,||,,,⇒⋂⊂m l m l m l

㈤面面平行的性质定理:

1、 文字语言：面面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行

2、 图形语言：

3、 符号语言：βαβα||,||l l ⇒⊂

㈥面面平行判定定理的推论

1、文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行

2、图形语言

3、符号语言：βαααα||||,||,,,⇒⋂⊂m l m l m l

1、 文字语言：如果两个平行平面和第三个平面相交，则交线平行

2、 图形语言：

3、符号语言

m l m l ||,,||⇒=⋂=⋂γβγαβα

注：应用该定理时一定要保证和两个平行平面相交的四边形是平面图形 判断一个四边形是平面图形的方法⎩⎨

⎧面两条平行线确定唯一平

平面两条相交直线确定唯一

补充结论：

1、平行于同一平面的两个平面平行

2、垂直于同一平面的两条直线平行

3、垂直于同一直线的两个平面平行 典例：

一、线面平行的判定与性质 ㈠线面平行判定

线面平行，面面平行的判定与性质是我们今后研究的主要问题， 线面平行的判定方法 ①平行关系转画图⎩⎨

⎧行利用面面平行证线面平

行利用线线平行证线面平 ②向量法

③线面平行定义:直线与平面没有公共点

其中线线平行关系的判定是解决线面平行判定问题的关键， 常见的线线平行的判断方法有

①平行关系转画图从面面平行到线面平行从线面平行到线线平行平行公理⎪⎩

⎪

⎨⎧

②三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质

在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分的性质 ③利用平行线分线段成比例定理推论找平行线

平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例

注该定理常和合分比定理结合

④向量法（后面讲）

⑤垂直于同一平面的两条直线平行

例如图所示：已知E ，F ，G ，M 分别是四面体的棱AD ，CD ，BD ，BC 的中点，求证： AM||面EFG

B

C

B C