高一数学必修一必修二概念精修订

高一数学必修一必修二

概念

SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

A A A A A

B B A A A A A A A B B A

φφφ?=?=?=??=?=?=?必修一

1.集合中元素的性质

(1)确定性:集合中的元素必须是确定的.即任何一个对象,都能判断它是或者不是某个集合的元素,二者必居其一.

(2)互异性:集合中的任意两个元素都是不同的.即同一个元素在一个集合里不能同时出现.

(3)无序性:集合中的元素没有顺序性. 2.元素与集合的关系

(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈； (2)如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ?. 3.集合的表示方法

(1)列举法:列举法是把集合中元素一一列举出来的方法.

(2)描述法:描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. (3)图示法（指文氏图法） 4.集合的分类

(1)有限集:含有有限个元素的集合. (2)无限集:含有无限个元素的集合.. 5．集合与集合的关系

有“包含”和“不包含”两种情形. 6.集合相等 若A B ?且B A ?，则A B = 7. 子集的性质

（1）AA （2）AB, BC AC （3）AB BAA=B

(4)A=｛n a a a a ...,,321｝的所有子集的个数为n 2； 8. 空集（1）空集是任何集合的子集，记作：φA

（2）空集是任何非空集合的真子集，记作：φA （A φ≠）

9. 补集（1）补集的意义：{},U C A x x U x A =∈?且 （2）补集的特性：()U U U U C U C U

C C A A φ

φ===

10.交集：A ∩B ={x|xA 且xB} 并集： A ∪B ={x|xA 或xB} 11．交集、并集的性质

12．A B A B A

A B A B B ???=???=

13.()()()B C A C B A C U U U ?=? ()()()B C A C B A C U U U ?=? 14. 最基本绝对值不等式|x|＜a ，|x|＞a (a ＞0)的解 （1）｜x ｜＜a ，｜x ｜＞a （a ＞0）的解

一般地，不等式｜x ｜＜a （a ＞0）的解集｛x ｜－a ＜x ＜a ｝；

不等式｜x ｜＞a （a ＞0）的解集是｛x ｜x ＞a ，或x ＜－a ｝.

（2）|x|＜a ，|x|＞a (a ＞0)解的几何意义

①不等式|x|＜a ，|x|＞a (a ＞0)在数轴上分别表示到原点的距离小于、大于a 的点，如下图所示：

15. |a x+b|＜c ，|a x+b|＞c (c ＞0)型不等式的解法 (1) |a x+b|＜c ，|a x+b|＞c (c ＞0)型不等式的解法

①|a x+b|＜c (c ＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组-c ＜a x+b ＜c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集.

②|a x+b|＞c (c ＞0)型不等式的解法是：先化为a x+b ＞c 或a x+b ＜-c ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集. 16.一元二次不等式的解法

18. 常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下

(1)用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ?和q ?分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式为：

原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p

否命题：若p ?则q ? 逆否命题：若q ?则p ? (2)

逆否命题 20.21. 命题T 的否定: 若p ,则q ?; 命题T 的否命题: 若p ?,则q ? 22.若p q ?，则p 是q 的充分条件；若p q ?，则p 是q 的必要条件；

若p q ?，且p q ?，则p 是q 的充要条件 23.若p 是q 的充分条件,则p ?是q ?的必要条件 24.证明p 是q 的充要条件的步骤

①充分性:把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q ②必要性:把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p

第二章 函数、导数及其应用

1. 映射有如下三个特征(A 到B)

（1）A 中的任一元素在B 中都有象，且象唯一； （2）A 中不同的元素在B 中可以有相同的象； （3）并不要求B 中所有元素在A 中都有原象.

={}123,,n a a a a ???，B={}123,,m b b b b ???，从Ａ到Ｂ可以建立n m 个不同的映射； 3. 函数的表示方法:常用的有解析法、列表法、图象法三种.

4.函数定义域的求法：列方程（组），解方程（组）.与实际问题有关的函数，其定义域是使函数解析式有意义且使实际问题有意义的自变量的范围.

5.函数值域的求法

(1)y =k x +b →单调性法;

(2)2

()()y a f x bf x c =++→配方法； (4)d

cx b

ax y ++=

→ 反表示法；单调性法;

(5))0,(21222

21

121≠++++=a a c x b x a c x b x a y → 判别式法；单调性法; (6))

(1

)(x f x f y +

=→ 判别式法；均值不等式法 ；

(7)y ax b =++ →换元法；单调性法 ; (8)y=a sinx+b ；y=a cosx+b → 有界性； 6.函数关系

(1)已知()x f ，求()[]x u f 的方法：直接把()x f 中的x 换成()x u 即可； (2)已知()[]x u f ，求()x f 的方法：

①换元法：设()x u =t ，反解()t x φ=，代入即可求得()x f ； ②配凑法:在()[]x u f 中凑出()x u ，直接将()x u 换成x .

7.反函数

把它写成y=f 1-(x).注:

(1)一个函数在其整个定义域内不一定存在反函数，但在某一个区间上有反函数. (2)反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域. (3)反函数有下面两条性质：

①在同一坐标系中，互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称；反之，如果两个函数的图象关于直线y=x 对称，那么这两个函数是互为反函数； ②函数与其反函数在各自的定义域上有相同的单调性. ③单调递增函数与其反函数图象的交点必在直线y=x 上. (4)求反函数的一般步骤是：

①由已知函数y=f(x)，解出x=f 1-(y)； ②把x=f 1-(y)中的x 与y 对调，得y=f 1-(x)； ③写出定义域（即原来函数的值域）. 8.奇偶函数的定义

若()x f 的定义域I 关于原点对称,(即,I x ∈则I x ∈-),且()()x f x f =-(或

()()x f x f -=-),则函数()x f 叫偶函数(或奇函数)

9. 奇偶函数的的性质

①()x f 是奇函数?()x f 的图象关于原点对称；

()x f 是偶函数?()x f 的图象关于y 轴对称。

②奇函数在其对称区间上具有相同的单调性；

偶函数在其对称区间上具有相反的单调性。 10.判断函数奇偶性的方法

① 定义法：定义域关于原点对称与()()x f x f =-，()()x f x f -=-结合起来判断； 或定义域关于原点对称与()()0()f x f x f x --=?是偶函数；

()()0()f x f x f x -+=?是奇函数结合起来判断。 ② 图象法：利用图象的对称性判断。 11.有关函数奇偶性的重要结论

① 若()x f 是偶函数，则()()()()f x f x f x f x =-==- ② 若()x f 是奇函数，且在0=x 处有定义，则f(0)=0;

③ 若()0=x f 且()x f 的定义域关于原点对称，则()x f 既是奇函数又是偶函数； 12．单调函数的定义

设A 是()x f 定义域内的一个区间，对于任意的21,x x A ∈， ① 若21x x <时，有()()21x f x f <，则()x f 在A 上为增函数； ② 若21x x <时，有()()21x f x f >，则()x f 在A 上为减函数； 13.单调性的判定方法

① 定义法：任取两变量---作差---变形---定号---结论； 14.复合函数单调性 同增异减原则 15. 有关函数单调性的重要结论

①若()()x g x f 、都为增（或减）函数，则()()x g x f +为增（或减）函数;

若()x f 为增函数，()x g 为减函数，则()()x g x f -为增函数; 若()x f 为减函数，()x g 为增函数，则()()x g x f -为减函数;

②奇函数在其对称的区间上单调性相同,偶函数在其对称的区间上单调性相反; ③互为反函数的两个函数有相同的单调性; 16．图象的变换 ㈠对称变换： ①()

x f y =

????→?轴对称关于x ()x f y -= ②()x f y =????→

?轴对称关于y ()x f y -=

③()

x f y =????→?关于原点对称()x f y --=

④()

x f y =()x f y x x x =???????????????→?轴上方到轴下方的图象对称的翻轴上方的图象保留，将将

⑤()x f y =()

x f y y y y =??

???????????????→?轴左边的图象

轴对称图象，去掉关于轴右边的图象，，并作保留 ⑥()x f y =()x f y x y 1

-==??

??→?关于直线

㈡平移变换：()x f y =()h x f y h h -=??????→?，左移

《，右移；》00

17幂的有关概念

① 正整数指数幂：()*∈

=N n a n ② 零指数幂：(10≠=a a ③ 负整数指数幂：()*∈≠=-N p a a

a p p ,01

④ 正分数指数幂：()

1,0>∈>=*n N n m a a a n m n

m

，且、

⑤ 负分数指数幂：()1,01

>∈>=

*

-

n N n m a a

a

n

m n

m ，且、

⑥ 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 18有理指数幂的性质

①()Q s r a a a a s r s r ∈>=+、,0；②()Q s r a a a rs s r ∈>=、,0)( ③()()Q r b a b a ab r r r

∈>>=,00，

19“指数与对数 ”中的重要公式

⑴.N b N a a b log =?= ⑵.01log =a ⑶.1log =a a ⑷.a

b b

c c a log log log =

⑸.1log .log =a b b a ⑹.log a b a b = (7).b m

n

b a n a m log log = ⑻.N M MN a a a log log log += ⑼.M N M

N

a a a

log log log -= ⑽.M n M a n a log log = ⑾.M n

M a n a log 1

log = ⑿.15lg 2lg =+

22.幂函数y x α=（()R α∈的图像及性质（几种特殊幂函数的性质）幂函数的性质总结

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果

0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y

轴．

④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当

q

p

α=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q

p y x =是奇函数，

若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p

y x =是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线

y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．

23.二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．

（3）二次函数图象的性质：

①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b

x a

=-

顶点坐标是2

4(,

)24b ac b a a

--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-

上递减，在[,)2b

a

-+∞上递增，当2b

x a

=-

时，2min 4()4ac b f x a -=；

当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-

上递增，在[,)2b

a

-+∞上递减，当2b

x a

=-

时，2max 4()4ac b f x a -=． ③对于二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当240b ac ?=->时，图象与x 轴有两个交

点11221212(,0),(,0),||||||

M x M x M M x x a =-=

（4）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值：可根据抛物线的对称轴与区间的关系，利用图像法求值域。一般可分为四种情况：

“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”、“轴动区间动”。

⑴b x f b a a x f log )()(=?= ⑵)()()()(x g x f a a x g x f =?=

⑶b x g x f b a a x g x f log )()()()(=?= ⑷x x a t a f =?=令0)( ⑸()()f x a g x =图←象法. 25对数方程的解法

⑴b a a x f b x f =?=)()(log （2）0)()()(log )(log >=?=x g x f x g x f a a （3）?=0)(log x f a 令t x a =log （4） ←=)()(log x g x f a 图象法.

26.方程的根与函数的零点

（1）函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：

方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点．

（3）函数)(x f y =零点的求法：

○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

③（零点存在定理）如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么函数)(x f y =在区间[],a b 内有零点，即存在

(,)c a b ∈，使得()0f c =这个c 也就是方程()0f x =的根.

注意:若函数)(x f y =在(,)a b 上有零点,不一定有()()0f a f b ?<.

④(二分法)对于在区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b ?<的函数)(x f y =,通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法.

32.三种增长型函数增长速度的比较

在区间(0,)+∞上,函数(1)x y a a =>log (1)a y x a =>,(0)n y x n =>都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x 的增大, (1)x y a a =>的增长速度越来越快,会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度;而log (1)a y x a =>的增长速度则会越来越慢,图象逐渐表现为与x 轴趋于平行.因此,总会存在一个0x ,当0x x >时,就有log n x a x x a << 必修二

立体几何

1．“有且只有”命题的证明：须先证存在性，再证唯一性.

2．证明直线在平面内的方法：只需证明直线上有两点在平面内. 3．证明点共线的方法：只需证明这些点是两个不重合平面的公共点.

4．证明线共面的方法：先由其中两条平行直线或两条相交直线确定一个平面，再证

明其余直线都在这个平面内.

11.①从空间一点O 出发的三条射线OA ，OB ，OC.若，AOC AOB ∠=∠则点A 在平面BOC 上的射影在BOC ∠的平分线上,

②AB 和平面

α所成的角为1θ.,AD 在平面α内,AD 和AB 的射影AC 所成的角为

2θ,θ=∠BAD ,则21cos cos cos θθθ?= 12.空间两点间的距离公式

设()()222111,,,,,z y x B z y x A 则

()()()221221221z z y y x x AB -+-+-=

13．向量的模 设()z y x a ,,=2

22z y x ++=

14点对称

⑴点()z y x P ,,关于x 轴的对称点()z y x P --,,1；

⑵点()z y x P ,,关于y 轴的对称点()z y x P --,,2； ⑶点()z y x P ,,关于z 轴的对称点

()

z y x P ,,3--；

⑷点()z y x P ,,关于原点的对称点()z y x P ---,,4； ⑸点()z y x P ,,关于坐标平面XOY 的对称点()

z y x P -,,5； ⑹点()z y x P ,,关于坐标平面ZOY 的对称点

()

z y x P ,,6-；

⑺点()z y x P ,,关于坐标平面XOZ 的对称点

()

z y x P ,,7-.

解析几何

1．直线倾斜程度的表示

⑴倾斜角：[)πα,0∈；⑵斜率：非直角的倾斜角的正切值. 斜率与倾斜角的计算：

①)2

(παα≠=tg k

已知两点()()222111,,,y x P y x P ，则斜率()212

12

1x x x x y y k ≠--=

若21x x =，则直线21P P 的斜率不存在.此时直线的倾斜角为 90. 2．直线方程的各种形式

①斜率不存在，方程为00(x x x =为直线在x 轴上的截距）. ②斜率存在，方程可列表如下 3.与直线

B

A C By Ax .(0=++不同时为0)平行的直线

方程的一般形式为)(0m c m By Ax ≠=++

4. 与直线B A C By Ax .(0=++不同时为0)垂直的直线方程的一般形式为

0=+-m Ay Bx

5.两直线的位置关系

⑴若111:b x k y l += 222:b x k y l +=

①1l ∥2l 2121,b b k k ≠=? ; ②1l 与2l 重合?2121,b b k k ==; ③1l 与2l 相交21k k ≠?;(特殊地,21l l ⊥121-=?k k ) ⑵若,0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l

当02121=+B B A A 时, 21l l ⊥;

当01221=-B A B A 时,且1221C B C B ≠ , 1l ∥2l

6. 点

),(00y x p 到直线0=++C By Ax 的距离为2

2

00B

A C

By Ax d +++=

7.0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 间的距离为2

2

21B

A C C d +-=

8.圆的方程

标准方程

222)()r b y a x =-+-（???←??→?配方

展开一般方程022=++++F Ey Dx y x

圆心),(b a ,半径r 圆心)2

,2

(E D --半径F

E D 42

1

22-+

9．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示一个圆的充要条件为 ①0≠=C A ②0=B ③0422>-+AF E D 10.以21p p 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x 其中 ),().,(222111y x p y x p

11.点),(00y x p 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系

①点),(00y x p 在圆外,0002

020>++++?F Ey Dx y x

②点),(00y x p 在圆上,0002

020=++++?F Ey Dx y x ③点),(00y x p 在圆内,0002

02

0<++++?F Ey Dx y x

12.直线与圆的位置关系

①设圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r 则

直线与圆相离r d >?;直线与圆相切r d =?;直线与圆相交r d

②将直线方程代入圆的方程,化成关于某个变量的一元二次方程,设根的判别式为?,则 l ?>?0与圆相交 ，l ?=?0与圆相切，l ??0〈与圆相离 13.过圆222r y x =+上的点),(00y x p 的圆的切线方程是200r y y x x =+ 14．过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x p 的圆的切线方程是

200))(())((r b y b y a x a x =--+--.

24.常见的圆系方程

⑴过定直线0:=++C By Ax l 和定圆022=++++F Ey Dx y x 两交点的圆系：

()022=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ;

⑵过两定圆011122=++++F y E x D y x 和022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系：

()

022********=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ，当1-=λ时，方程表示两圆

公共弦所在直线方程. 25.弦长的计算 ⑴几何方法:

运用圆心距(即圆心到直线的距离)、弦心距及半径构成直角三角形计算 ⑵代数方法：

运用韦达定理及弦长公式B A x x k AB -+=21

26．圆与圆的位置关系

设⊙()()()0:12

12

12

11>=-+-r r b y a x C ⊙()()()0:22

22

22

22>=-+-r r b y a x C

①?+>2121r r C C ⊙1C 与⊙2C 相离； ②?+=2121r r C C ⊙1C 与⊙2C 外切； ③?+<<-212121r r C C r r ⊙1C 与⊙2C 相交； ④?-=2121r r C C ⊙1C 与⊙2C 内切；()21r r ≠ ⑤?-<2121r r C C ⊙1C 与⊙2C 内含；