北航2014级硕士研究生应用数理统计答案B卷

北京航空航天大学研究生课程试卷

2014—2015学年第一学期期末试卷答案

学号 __________ 姓名 ___________________ 成绩 __________________ 考试日期：2015年1月13日

考试科目：《应用数理统计》（B 层）

、填空题（本题共16分，每小题4分）

2

X

i _________________

4.在双因素方差分析中，总离差平方和 S T 的分解式为

S T

S A

S B S A B

S e

1

r

、

- X ijk ，则S e 的自由度是 r k 1 n pq ，其中 n pqr _______

1 .设 X 1,X 2,L ,X 2n 是来自正态总体N （,

2

）的简单样本，则c

时

,

统计量

m

(X 2k

X 2k 1)

cd

n

(x 2k

X 2k 1)

k m 1

服从F 分布。

2.设 x ,, x 2, L ,X n 是来自正态总体 N(0,

2

）的简单样本，用

1

n

2

I

2

nx (X ) n i 1

估计2， 则均方误差E 2

（?2

2)2

3.设总体X 的密度函数为p （x;）

2 2X, 0,

[0,

]，其中

[0,]

0 , X 1, X 2,L ,X n 是

来自总体X 简单样本，

则q(

2

的矩估计° —4x 2或

p q r 2

其中 S e

(x ijk

x ij )

， x

ij i 1 j 1 k 1

_____ pq(r 1)』

1 -1

、(本题12分)设总体X 的密度函数为f(x;) 一 x , x (0,1

)，其中 o ,

0, x (0,1)

X i ,X 2,L ,X n 是来自总体X 的简单样本。(1)求 的极大似然估计? ；( 2 )求 的

一致最小方差无偏估计；(3)问 的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证 明你的结论。

解(1)似然函数为

对数似然函数为

求导，有

(2)因为

n

的值域(0,)有内点，由定理2.2.4知T lnx i 是完全充分统计量。而

i 1

1

1

丄1

E(ln X i )

dx

所以

n n

E( In x i ) E(ln x i ) n

i 1

i 1

L()

1

I {0 x (1)X (n )1}(x 1,x 2

丄

ln L( ) nln

(-1)

i 1

In X i In I {0 x (1)s 1}(X 1,X 2丄,X n )

In L( ) n

1

~2

In x i

i 1

令

ln L(

)0，可得

的极大似然估计为

In x i

n i 1

f (为，X 2丄，X n ；) n (

X i )

i 1

1

l {0 X (1)X (n )

1}(X 1，X

2 丄

1 1

—1{0 % x (n )

1}(X 1,X 2,L ,X n )exp{(-

n

1) In X i }

i 1

令c()

】，h(x)

{0 §)x (n )1}(X I

，X

2 丄,X n )

，

w()

n

In X i ，由于 w()

估计。

三、（本题12分）设X 1,X 2, ,X n 是来自正态总体N （ , o ）的简单样本，其中0是 已知常数，

是未知参数。考虑假设检验问题

H

o

：

o

H

1

：

o

（1）求显著性水平 （0

1）下的似然比检验；（2）求犯第二类错误的概率。

解：（1 ）当 °时，

的极大似然估计为 ？ min{ °,刃似然比统计量为

（0X 2丄必）

因而

In X i

既是完全充分统计量T In X i 的函数，又是

i 1

的无偏估计，由

定理225知？

n

In x 是 一致最小方差无偏估计。

n i 1 1

(3)由于 Var( ?)

Var (Inxj ，而

n

2 2

Var(In xj E(lnxj (E(lnxj)

；(ln x)2x"

1

dx

所以Var( ?)

又因为当X (0,1)时,

2

In f(x;)

1

~2

所以

1(

f(x ；))

2

)

1

~2

从而Var ( ?

()2 nI()

即信息不等式等号成立,

In x i 是的有效

sup{p(X 1，X 2，

L ,X n ； )}

o

o