高考数学真题(含答案)

山东省普通高校招生（春季）考试

数学试题

注意事项： 1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。满分120分, 考试时间120分钟。考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回。

2.本次考试允许使用函数型计算器, 凡使用计算器的题目, 除题目有具体要求外, 最后结果精确到0.01。

卷一（选择题, 共60分）

一、选择题（本大题20个小题, 每小题3分, 共60分.在每小题列出的四个选项中,

只有一项符合题目要求, 请将符合题目要求的选项字母代号选出, 并填涂在答题卡上） 1.已知集合A ={}

1,3,

B =

{}

2,3, 则A B U 等于

（ ）

A. ?

B. {}1,2,3

C. {}1,2

D. {}3

【答案】B 【解析】因为A ={}1,3,B ={}2,3,所以A B U {}1,2,3=. 2.已知集合A , B , 则“A B ?”是“A B =”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】 B 【解析】A B A B =??Q ，又A B A B A B ??=或?, ∴“A B ?”是

“A B =”的必要不充分条件. 3.不等式23x +>的解集是（ ） A. ()(),51,-∞-+∞U B. ()5,1-

C. ()(),15,-∞-+∞U

D.()1,5-

【答案】A 【解析】231

23235x x x x x +>>??+>???

?

+<-<-??

, 即不等式的解集为 ()(),51,-∞-+∞U .

4.若奇函数()y f x =在()0,+∞上的图像如图所示, 则该函数在(),0-∞上的图像可能是（ ）

第4题图GD21

GD22

GD23

GD24 GD25

【答案】D 【解析】因为已知是奇函数, 根据奇函数的性质是关于原点对称, 根据选项只能选D.

5.若实数a >0, 则下列等式成立的是（ ）

A. ()

2

24--= B. 33

122a a -=

C. ()0

21-=- D. 4

14

1a a

-??= ???

【答案】D 【解析】A 中()2

124--=

, B 中3

3122a a

-=, C 中()021-=, 故D 选项正确.

6.已知数列{}n a 是等比数列, 其中3a 2=, 6a 16=, 则该数列的公比q 等于 （ ）

A.

14

3

B.2

C.4

D.8 【答案】 B 【解析】 3a Q 2=, 6a 16=, 333

631628a a q q q ∴=?==，, 则

q=2.

7.某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生, 若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛, 要求既有男生又有女生, 则不同选法的种数是（ ）

A.60

B.31

C.30

D.10

【答案】C 【解析】由题知, 有两种选法①两名男生一名女生21

43C C 18=种, ②两名

女生一名男生12

43C C 12=种, 所以一共有181230+=种.

8.下列说法正确的是( ) A.函数()2

y x a b =++的图像经过点（a ,b ） B.函数x

y a =（a >0且a ≠1）的图像经过点（1,0） C.函数log a y x =（a >0且a ≠1）的图像经过点（0,1）

D.函数a y x =（∈R α）的图像经过点（1,1）

【答案】D 【解析】A 中, 函数()2

y x a b =++的图像经过点（-a ,b ）；B 中, 函数

x y a =（a >0且a ≠1）的图像经过点（0,1）；C 中, 函数log a y x =（a >0且a ≠1）的

图像经过点（1,0）；D 中, 把点()1,1代入, 可知图象必经过点()1,1.

9.如图所示, 在平行四边形OABC 中, 点A （1, －2）, C （3,1）, 则

向量OB uuu r

的坐标是（ ）

第9题图GD26

A.（4, －1）

B.（4,1）

C.（1, －4）

D.（1,4）

【答案】A 【解析】Q A （1, －2）, C （3,1）, ()()1231OA OB ∴=-=u u u r u u u r

，，，, 又

OA CB =u u u r u u u r

,

()4,1OB OC CB OC OA ∴=+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

.

10.过点P （1,2）与圆2

2

5x y +=相切的直线方程是（ ）

A. 230x y -+=

B. 250x y -+=

C. 250x y +-=

D. 250x y +-=

【答案】B 【解析】将点P ()1,2代入圆方程, 可知点P 在圆上, 又因为将点代入

C,D 等式不成立, 可排除C,D, 又因为直线与圆相切, 所以圆心到直线的距离等于半径, 又圆心为（0,0）, 半径为5, 即圆心到直线230x y -+=的距离

55d =

≠, 圆心到直线250x y -+=的距离55

d '==, 则只有B 符合. 11.表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率, 由表可知, 从2011年到2014年, 消费量占比增长率最大的能源是（ ） A.天然气 B.核能 C.水利发电 D.再生能源

表 我国各种能源消费的百分率

原油（%） 天然气

（%） 原煤（%） 核能（%） 水利发电

（%） 再生能源（%） 2011年 17.7 4.5 70.4 0.7 6.0 0.7 2014年

17.5

5.6

66.0

1.0

8.1

1.8

【答案】D 【解析】 根据表1可知, 从2011年到2014年, 天然气：

5.6 4.5100%24.4%4.5-?≈, 核能：1.00.7

100%42.9%0.7-?≈, 水力发电：8.1 6.0100%35%6.0-?=, 再生能源：1.80.7

100%157.1%0.7

-?≈, 则消费量占比增长率最大的能源是再生能源.

12.若角α的终边过点()6,8P -, 则角α的终边与圆2

2

1x y +=的交点坐标是（ ）

A. 34,

55??

- ??? B. 43,55??

- ??? C. 34,55??

- ??? D. 43,55??- ???

【答案】A 【解析】因为()6,8P -, 所以长度为226810+=, 设交点为()11,x y , 又因为圆的半径为1, 因此有11141085y y =?=, 1131065

x ==, 又因为终边在第二象限, 所以选A.

13.关于x , y 的方程y mx n =+和

22

1x y m n

+=在同一坐标系中的图象大致是（ ） GD27

GD28

GD29GD30

【答案】D 【解析】 当

22

1x y m n +=的图象为椭圆时, 00m n >>，, 则y mx n =+的图象单调递增, 且与y 轴的截距大于0, A 、B 均不符；当

22

1x y m n

+=的图象为双曲线时, ○1当00m n <>，时, 双曲线的焦点在y 轴上, y mx n =+的图象单调递减, 且与y 轴的截距大于0；○2当00m n ><，时, 双曲线的焦点在x 轴上,

y mx n =+的图象单调递增, 且与y 轴的截距小于0, 综上所述, 选项D 正确.

14.已知()2n

x -的二项展开式有7项, 则展开式中二项式系数最大的项的系数是（ ）

A.－280

B.－160

C.160

D.560

【答案】B 【解析】 ()2n

x -Q 的二项展开式有7项, 6n ∴=, ()

616C 2k

k

k

k T x -+=-,

又展开式中二项式系数最大的项为第4项, 则()

3

363

346C 2160T x

x -=-=-, 则其

系数为160-.

15.若有7名同学排成一排照相, 恰好甲、乙两名同学相邻, 并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（ ）

A.

421 B. 1

21

C. 114

D. 27

【答案】A 【解析】先利用捆绑法将甲乙进行捆绑并全排列, 有2

2A 种排列方法, 将甲乙作为一个整体, 除去丙丁将其他人进行全排列, 有4

4A 种排列方法, 再利用插空法将丙丁进行插空, 有2

5A 种排列方法；总共有7

7A 种排列方法, 所以概率为

242

245

7

7A A A 4A 21

??=. 16.函数sin 24y x π?

?

=+

???

在一个周期内的图像可能是（ ）

GD31GD34

GD32GD33

【答案】A 【解析】B 选项中当,18

x y π

=

=, C 选项中当0x =时,

22y =, D 选项中, 当2

,4x y π==. 17.在ABC △中, 若2AB BC CA ===u u u r u u u r u u u r

,则AB BC ?u u u r u u u r 等于（ ）

A. 23-

B. 23

C.－2

D.2

【答案】C 【解析】因为2AB BC CA ===u u u r u u u r u u u r

, 所以ABC △是等边三角形, 所以各个角均为60?, cos1202AB BC AB BC ?=???=-u u u r u u u r u u u r u u u r

.

18.如图所示, 若,x y 满足约束条件0210220

x x x y x y ???

?--??-+?≥≤≤≥则目标函数z x y =+的最大值是

（ ）

第18题图 GD35

A.7

B.4

C.3

D.1

【答案】B 【解析】 由图可知, 目标函数z x y =+在点（2,2）处取得最大值, 即

max 224z =+=.

19.已知α表示平面, ,,l m n 表示直线, 下列结论正确的是（ ） A.若,,l n m n ⊥⊥则l m ∥ B.若,,l n m n l ⊥⊥⊥则m C.若,,l m l αα∥∥则∥m D.若,,l m l αα⊥⊥∥则m

16.D 【解析】A,B,C 选项,直线l 与m 相交、平行、异面都有可能；D 选项, ∵,m α∥, ∴存在一个平面β, 使得αβ∥,且m β∈, ∵,l α⊥∴l β⊥, l m ⊥.

20.已知椭圆22

126

x y +=的焦点分别是12,F F ,点M 在椭圆上, 如果120FM F M ?=u u u u r u u u u r ,那么点M 到x 轴的距离是（ ）

A.

B.

C.

D. 1 【答案】B 【解析】 椭圆22

126

x y +=,

即2a b c ====, 设点M 的坐标为00()x y ，, 又120F M F M ?=u u u u r u u u u r

Q ,

∴点M 又在以原点为圆心, 半径为2的圆上, 圆方程为2

2

4x y +=, 即2

20

4x y +=①, 又22

00

126

x y +=②,

联立①②得0y = 点M 到x

.

卷二（非选择题, 共60分）

二、填空题（本大题5个小题, 每小题4分, 共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）

21.已知tan 3α=, 则

sin cos sin cos αα

αα

+-的值是 .

【答案】2【解析】分式上下同除以cos α得sin cos tan 1cos sin cos tan 1cos αα

αααααα

++=

--, 把tan 3α=代入得原式=2.

22.若表面积为6的正方体内接于球, 则该球的表面积等于 .

【答案】3π【解析】设正方体的边长为x , 2

661x x =?=, 则边长为1, 所

2

43S r =π=π球.

23.如果抛物线2

8y x =上的点M 到y 轴的距离是3, 那么点M 到该抛物线焦点F 的距离是 .

【答案】5【解析】因为抛物线2

8y x =上的点M 到y 轴的距离是3, 所以点M 的横坐

标为3, 再将3x =代入得到y =±, 所以点(3,M ±, 又因为

28y x =, 准线22

p

x =-

=-, 则点M 到该抛物线焦点F 的距离是5. 24.某职业学校有三个年级, 共有1000名学生, 其中一年级有350名, 若从全校学生中任意选出一名学生, 则恰好选到二年级学生的概率是0.32.现计划利用分层抽样

的方法, 从全体学生中选出100名参加座谈会, 那么需要从三年级学生中选出 名.

【答案】33【解析】恰好选到二年级学生的概率是0.32, 恰好选到一年级学生的概率是0.35,

则选到三年级学生的概率是1-0.35-0.32=0.33, 那么需要从三年级抽取100×0.33=33人. 25.设命题p ；函数()()2

15f x x a x =+-+在(],1-∞上是减函数；

命题q ：()

2,lg 230x x ax ?∈++>R .

若p q ∨?是真命题, p q ∧?是假命题, 则实数a 的取值范围是 .

【答案】(-或()

-∞+∞U 【解析】 Q p q ∨?是真命题, p q ∧?是假命题, ∴pq 同为真或pq 同为假, 当pq 同为真时, 函数

()()215f x x a x =+-+在(],1-∞上是减函数, 函数()f x 的对称轴为1

2

a x -=-

, 即1

112

a a --

?-≤≥, ()2,lg 230x x ax ?∈++>R , 即2231x ax ++>恒成

立, 设2

22y x ax =++, 即()2

2420a a ?=-?

, 则

1a -<<, 当pq 同为假时, a a ≤ 综上所述得,

实数a 的取值范围为(-或()

-∞+∞U ，. 三、解答题（本大题5小题, 共40分）

26.（本小题6分）已知某城市2015年底的人口总数为200万, 假设此后该城市人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）. （1）若经过x 年该城市人口总数为y 万, 试写出y 关于x 的函数关系式； （2）如果该城市人口总数达到210万, 那么至少需要经过多少年（精确到1年）？ 【解】（1）由题意可得()20011%x

y =+；

（2）如果该城市人口总数达到210万, 则()20011%x

+210=5x ?≈, 那么至少需要经过5年.

27.（本小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和2

23n S n =-.求：

（1）第二项2a ；

（2）通项公式n a .

【解】（1）因为2

23n S n =-, 所以11231a S ==-=-, 222235S =?-=,

()22121516a S S S a =-=-=--=, 所以26a =.

（ 2 ）()2

2

123213n n S n S n -?=-??=--??①

②

, ①-②=142n n S S n --=-. 28.（本小题8分）如图所示, 已知四边形ABCD 是圆柱的轴截面, M 是下底面圆周上不与点,A B 重合的点.

（1）求证：平面DMB ⊥平面DAM ；

（2）若AMB ?是等腰三角形, 求该圆柱与三棱锥D-AMB 体积的比值.

GD36

第28题图

【解】（1）∵M 是下底面圆周上不与点,A B 重合的点,∴,,A M B 在一个平面上, 又∵四边形ABCD 是圆柱的轴截面, ∴边AB 过圆心, DA ⊥平面AMB ,DA BM ⊥,

根据定理以直径为斜边的三角形为直角三角形, 所以AM BM ⊥, ∵,DA AM ?平面DAM ,且DA AM A =I ,∴BM ⊥平面DAM , 又∵BM ?平面DMB , ∴平面DMB ⊥平面DAM . （2）设底面圆的半径为x , 圆柱的高为h ,

又∵AMB △是等腰直角三角形, 2x ,

所以

221

(2)2

ABM

S x x ==△,

所以2133

D AMB

AMB x h V S h -=?=△,

2V S h x h =?=π圆柱

所以

2233

D AMB

V x h

x h V -π==π圆柱. 30.（本小题10分）如图所示, 已知双曲线的中心在坐标原点O , 焦点分别是

()()122,02,0F F -，, 且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2.

（1）求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程；

（2）若直线l 经过双曲线的右焦点2F , 并与双曲线交于M ,N 两点, 向量

()2,1n =-r

是直线l 的法向量, 点P 是双曲线左支上的一个动点.求PMN △面积的最小

值.

GD39

第30题图

【解】（1）根据题意设双曲线的标准方程为22

221x y a b

-=, ()()122,02,0F F -Q ，，双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2, 2221c a a ∴===，，,

即2

2

2

213b c a -=-=, 则该双曲线的标准方程为2

2

13

y x -=, 离心率2

21

c e a =

==, 渐近线方程为331b y a =±=±

= （2）Q 向量()2,1n =-r

是直线l 的法向量, ∴直线的斜率2k =, 又直线l 经

过双曲线的右焦点()22,0F ,

即直线

l

的方程为

()2224240y x x x y =-=-?--=, 设()()1122M x y N x y ，，，, 又双曲线的方程为2

2

13y x -=, 即2

213240

y x x y ?-=???--=?

216190x x ?-+=, 12121619x x x x +==，, 则2121MN k x =+-

()

2

22121221

451641930x x x x =++-=?-?=, 要使PMN △面积的最小值,

即点P 到直线l 的距离最小, 则点P 坐标为()10-，, 2465

5

d --∴=

=

, 则 116530185225

PMN S MN d =

?=??=△. 29.（本小题8分）如图所示, 要测量河两岸P , Q 两点之间的距离, 在与点P

同侧的岸边选取了A ,B 两点（A ,B ,P ,Q 四点在同一平面内）, 并测得AP =20m, BP =10m, 60APB ∠=?, 105PAQ ∠=?, 135PBQ ∠=?.试求P , Q 两点之间的距离.

SH17

第29题图

【解】 连接AB , 又60APB ∠=?, AP =20m, BP =10m, 则90ABP ∠=?, 则

22222010103m

AB AP BP -=-=, 又

135PBQ ∠=?

,

45ABQ ∴∠=?,

3601056013560AQB ∠=?-?-?-?=?, 在ABQ △中, 由正弦定理得,

sin sin AQ AB ABQ AQB =∠∠, 即

2

103103

2102m sin 453

2

AQ AQ =?==?,

在

APQ △中, 由余弦定理得, 2222cos PQ AP AQ AP AQ QAP =+-?∠ 2220(102)220102cos1054002003

=+-???=+,

10(13)103PQ =+=+ P , Q 两点之间的距离为103+米.