关于矩阵的Kronecker积的几个秩等式

【 ｃ 。 Ａ￣
ｒ
一
Ｂ］（ｒ，一Ａ（ ＋ｃ（ ≥Ａ［。 ｒ） ）（ｒ） ｒ） ］（ｒ ｒ） 曰 。 。 Ｂ】（ ，一 ） ）（ｒ） ≥曰 Ａ ］（ｒ ＋ｃ（ ｒ） ｃ ｒ （ ｒ） 。 。
】 ｃ［。’ ） ）（ｒ） ） ， ｒ ｒ ＋Ａ（ ｒ ］（ （ ｒ） Ｂ ｃ 曰 Ｂ】（ ，一Ａ（ ＋Ａ（ ≥。 Ａ］（ｒ）（ｒ） ｒ） ｃ ｒ） ｒ） 。
＿删）（ ； ｒ ＋ （ ｒ ）
（） ４ （） ５
（） ６
ｂ ｒＭＮＫ）＝ｒＭＮ） （ Ｋ）－ （ ； ） （ （ ＋ｒ Ｎ ｒ Ｎ） ｃ 关于 Ｘ， ） ｙ的矩 阵方 程 ＮＫ ＋Ｙ Ｘ ＭＮ ＝ 有 解 ；
ｄ 【 一 Ｋ（ ） 厶 Ｎ ＮＫ） Ｉ 一（ 。 Ｎ［ ＭＮ） ＭＮ】 ． 一 ＝０
即Ａ Ａ ＝ 用 表示 ｒ阶单位矩阵。 Ａ— Ａ， ｇ 为 了文 中主要结 果 证 明 的需要 ， 引 入下 面几 个 引理 。 先 Ｍ ｒ ｇａ ｓ ａ 在［ ］ ａ ａｌ 和 ｔ ｎ ７ 中给出了下面关于分块矩阵的一些秩 的计算公式 ， ｓ ｉ ｙ 我们将它列为引理 １ ． 引 理 １ 设 Ａ∈Ｆ一 ， Ｂ∈Ｆ ， Ｃ∈Ｆ ， 么下 面 的秩 等式 成立 。 那 ｒＡ， ［ ］＝ｒＡ）＋， 一 Ａ一 （ （ Ａ ）＝， ）＋ｒＡ 一 四’ ＿ （ （ 刀 Ａ） （） １
】（） 一ｃ ＋ｒ） ＝Ａ（ 】（）， ｒ。［ ｒ）ｎｃ ｒ （
（ １ １）
在文献Ｅ ］ Ｔａ ６ 中，ｉ Ｙ证明了下面的四个秩不等式。 ｎ ｒＡ￣Ｂ， ￣Ｄ］ （ ｒＡ， Ｅ Ｃ ≥ｒ曰）Ｅ Ｃ］一 （ ｒＣ）＋ｒＣ）（ ｒＢ）（ （ ｒＯ）
ｒＡ＠Ｂ， ［ Ｃ￣Ｄ］ （ ）［ Ｃ］一 （ ｒＤ）＋ｒＡ）（ ） ≥ｒ ｒＡ， ｒＡ）（ （ ｒ ｒＡ￣Ｂ， Ｄ］ （ ｒＢ， Ｅ ｃ ≥ｒＡ）Ｅ Ｄ］一ｒＡ） （ ）＋ｒｃ）（ （ ｒ （ ｒＤ） ｒＡ￣Ｂ， Ｄ］ （ ｆＢ， Ｅ Ｃ ≥ｒＣ）Ｅ Ｄ］一ｒＢ）（ （ ｒＣ）＋ｒＡ）（ ’ （ ｒＢ） 其 中 Ａ∈Ｆ ， Ｂ∈Ｆ ， Ｃ∈Ｆ ２Ｄ ∈ 驰． ｐ， Ｆ
注 到 Ｍ ＝Ａ ＢＣ Ｉ 意 Ｎ ［￣ ，￣ ］
ｃ 卜 懈
一
Ｍ ：Ｉ Ｎ 『］ ｐ
Ｌ ０
０ １
Ｃ Ｄ Ｊ
Ｌ０ ‰ ＮＮ＿＝ ｃ ， ＣＤ —一 — 三】 Ｊ 一（） 【【 一肋】 ＫＫ］Ｌ， 【正 Ⅳ ， 一 Ｕ』 Ｊ
那 么就 得 出 了定 理 １ ２中 的三个 命 题 是彼 此 等价 的 。 ‘
甘关 于 Ｘ， 的矩 阵方 程 ｙ
甘
【 。＋ ，。 【 Ａ 詈 】ｙ ｃ 。 解 ｃ ＝ 】 有 【 ’ 兰 Ｉ也 ｃ 】＋ （Ｐ ２ ｑ ２ ｃ ＿ ） ０
，
Ａ￣
ｒ
下 面考 虑列 分块 矩 阵 的情 形 ： 在 文献 ［ ］ ， Ｔａ ６ 中 Ｙ． ｉ ｎ证 明了下 面 的 四个 秩不 等式 ．
在文献 ［ ６ 中 ，ｈａ Ｊ和 Ｔａ ５— ］ Ｃ ｕｉ ｉ Ｙ利用 矩 阵 的 Ｋｏｅｋｒ 的性 质 ， 阵秩 的 Ｆｏｅｉｓ 等 式 ｎ ｒｎｃｅ 积 矩 ｒｂｎｕ 不 及关 于分块 矩 阵秩 的一 些 计 算 公 式 】给 出 了一 些 关 于 矩 阵 的 Ｋｏｅｋｒ 的 秩 等 式 及 秩 不 等式 。 ， ｒｎｃｅ 积 在本 文 中 ， 我们 研究 了这些 秩不 等式 成为 等式 的充 要条 件 ， Ａ∈Ｆ一 用 Ａ一 设 ， 表示 Ａ 的＿ 个广 义逆 ，
将 这些 性质 列在 下 面 ， 以备 后用 。 ｒＡ （ ）＝ｒＡ） （ （ ｒ ） ｖｃＡ × ｅ （ ）＝（ Ａ） ｅ ｖｃ Ａ０ （ ＋Ｃ）＝ Ｂ＋Ａ Ｃ Ａ （ Ｂ） Ｃ Ａ （ Ｄ）＝（ Ｂ ＡＣ Ｄ）
ＡＸ Ｂ＝Ｃ （ Ａ） ｅ ＝Ｖ ＣＣ § Ｂ Ｖ： Ｃ ｅ
引理 ２ 设 Ｍ ＥＦ ， ∈Ｆ ， Ｎ Ｋ∈Ｆ ， 么 下列 四个 命题 是 彼此 等价 的 。 那
收 稿 日期 ：０ １ ｏ 一 ｌ ２ １— ３ ５
作者简介 ： 左可正 （９ ２ １６ 一
）男 ， ， 湖北大冶人 ， 教授 ， 主要研究方 向为矩 阵分 析
．
ａｒ ）【
第 ３ 卷 ｌ 第 ３期
湖 北 师 范 学 院学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ｕ ｅ Ｎ ｒ ｌ ｎｖｒｔ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｏｒ ｌ ｆ ｂｉ ｏｍａ Ｕ ｉｅｓｙ（ ａｕａ Ｓｉ ｃ ） ｎ Ｈ ｉ ｅ
Ｖ０ ． １３ｌ Ｎｏ ３． ． ２０１ｌ
．
（ １ ７ ） （ １ ８ ）
（ １ ９ ） （） ２ 。
Ａ￣ Ｂ
ｒ
一
Ａ￣
ｒ
ｃ 。 【
其 中 ＡＥ ， ∈ Ｆ Ｂ Ｆ ， Ｃ∈Ｆ ， ∈Ｆ Ｄ ， 面 我们来 研 究这 四个不 等 式取 等 号 的充要 条件 。 下 定 理 ２ 设 Ａ∈Ｆ ， Ｂ∈Ｆ ， Ｃ∈Ｆ ， ∈Ｆｎ ｑ 么 下列 三个 命题 是 彼 此 等价 的 。 Ｄ ２那 ｘ
（ ２ １） （ ３ １）
（４ １）
（ ５ １）
定理 １ 设 Ａ∈ ｍｐ， Ｆ ， Ｆ ， Ｆ ． Ｆ ￣ Ｂ∈ Ｃ∈ Ｄ∈ 匏 那么下列三个命题是彼此等价的。 － ａ ｒＡ ） ［ ， Ｄ］ ｒ ｒＡ， ］ ｒ ｒＣ ＋ （ ）（ ， ‘ Ｃ ＝ （ Ｅ ｃ 一 （ （ ） ｒｃ ｒＤ） ） ）
・
２・
ｒＡｏ曰， ［ Ｃ￣Ｄ］＝ （ ｒＡ， ｒＢ）［ Ｃ］一ｒＢ）（ （ ｒＣ）＋，Ｃ）（ （ ｒＤ）
铮ｒ ＭＮＫ）＝ｒ ＭＮ）． （ （ （ ４ ＮＫ）一ｒ Ⅳ） － ｒ （
铮关 于 Ｘ， ｙ的矩 阵方 程 Ｎ Ｘ＋Ｙ Ｋ ＭＮ ＝Ⅳ 有解
昔［ ＋ 一 ～ ＮＫ（ ＮＫ）一 Ｎ［ ＋ ＭＮ） ］ Ｐ 一（ ２ ＭＮ］＝Ｏ
ｒ
ｆ ４ 设 Ａｔ 理 Ｆ Ｅ
， ∈Ｆ ～ ， Ｅ ｈ ｐｃ∈ ～ ， 么下列 秩等 式成 立 。 Ａｚ Ｂ Ｆ＇￣ ｉ 那 ］＝ｒＡ ） ｒＡ－Ｂｌ— （ ）＋ ｒ ） （ ｚ （［ ， ｒ曰） ｍ：（
（ ０ １）
ｒＡ－ Ａ： Ｅ ，
ｒ
［ ￣ Ａ Ａ
１
Ｌ 厶． ｃ
ｂ ）关 于 ，， 】的矩阵 方程
【 ｃ】ｙ 曰。＝ ｃ】 ， 三 ｃ ， 【 三有 ‘ 。＋ 。ｃ 曰 Ｌ解
ｃＩ ｃＬ ｃ肋一 ） —Ｑ ｏ
证
Ｅ ］Ａ ｃ，）ｏ Ａ ， Ｌ一 ， ｎ ＝ 。 ｃ Ｅ ］ ’
（６ １）
将［ ， Ｄ］写成下面 ３个分块矩阵的乘积： Ａ ｃ
令
注 意到 删
［ 。 ＝ ，厶‘曰 三【‘ 。 Ａ ，。 ［ ， ］ ｃ 】詈 】 。ｃ ］Ａ ｍ 【 厶 ＝ ，厶 ＝ ｃ 】 ＝ 詈 。 ［厶 ］ ［ 三 【 】 Ａ 厶 Ⅳ 厶
ｃ ， ＮＫ＝
ｃ 。
么 由弓 理 ４得 出 Ｉ
ｒＭＮ）＝ｒＡ￣Ｂ， （ Ｅ Ｃ＠Ｌ］ （ （［ Ｃ］一ｒＣ） （ 一ｒＢ） ｒＡ， （ ）＋ Ｃ） 从 而 ｒＭＮ）＋ｒＮＫ）一ｒⅣ）＝ｒ曰） ｒＡ， （ （ （ （ （Ｅ Ｃ］－ （ ）＋ｒＣ）（ ．这样 由引理 ２及 （６ 式 得 出 ｒＣ） （ ｒＤ） １）
（） ７
证
因为分块 矩阵 的初等 变换 不 改变矩 阵 的秩 ， 么 那
ｒＮ ０＝Ⅳ一 Ｋ ｒ） Ｉ 】【 ｌ（ 十 Ｎ 【 ｒ 一 Ｊ ＋Ｍｔ Ｊ 。１Ｉ ｒＩ Ｍ ｌｌ Ｎ 、 （Ｋ Ⅳ ０ Ｍ ＝Ⅳ Ｉ Ｉ Ｊ ）
ｒ
由这个秩等式就可以得出 ａ 与 ｂ 等价。 ） ） ａ 与 ｃ 等价是［ ］ ） ） ８ 的结果。 ８ 与 ｄ 等价是引理 １ ３ 式 的直接推论。 ） ） 中（ ）
ＡＢ Ｃ ：铮 曰ｏ ， ］ｅＸ：ｅ ＋Ｙ ［ ＡＤ ｆ。， ｖ Ｄ ｃ ｖ ｃ １ Ｅ
Ｌ Ｖ Ｊ Ｊ ｅＣ
其 中 ｒ Ａ ） 示 矩 阵Ａ 的 秩 ， 表 示 Ａ的 转 置 矩 阵 。 果 Ｘ ＝（ ）∈Ｆ （ 表 Ａ 如 ， 么 的 向 量 表 示 那 Ｖ ＣＸ 为 ：ｅ ＝（ ｌ … ，ｍ ，１， ，ｍ ， ，ｌ， ， ） ｅ ＶＣ Ｘ １， Ａ ｌ ２ … ２ … … ；
ａ 会 ＝ ） ，一 ） ）（（ ） 詈 ｒ ｒ。 ｒｒ ＋ ） ） ｒ 】（［ ］（（ ｒｒ ‘ 【 Ａ Ａ 。 ｃ。
ｂ ）关 于 Ｘ， Ｙ的矩 阵方 程
【 ［Ｌｃ】Ａ 三有， ］ｙ暑 兰＝暑 。 解 善 ＋ 。【 Ｌ 】 Ａ
ｒＡ １
ｒ
。
Ｉ Ｉ ｒ ＝（ Ｃ Ａ ＝（ ） ｒ Ａ — ） ． ＝ （ ｒＣ— Ａ— ） ｒＣ ＋（ Ｃ Ｃ 二 Ａ） Ａ－ ＬＬ Ｊ
（） ２
ｒ
『 Ｂ＝ ）ｒ）ｒ，册 ） ｃ ） ｎ ｒ ＋ｃ＋（一 （一。 ］ １（ （ ［ ｍ Ａ ｃ
（ ３ ）
其 中 Ａ一 曰一 Ｃ一 ， ， 分别 是 Ａ， Ｃ 的任 意广 义逆 。 曰，
关 于矩 阵 的 Ｋ ｏ ｅｋｒ 的 几个 秩 等 式 ｒｎ ｃ ｅ 积
左 可 正
（ 北师 范 学 院 数 学 与统计 学院 ， 湖 湖北 黄 石 ４ ５０ ） ３０２
摘要 ： 利用矩 阵秩 的 Ｆｏ ｅｉｓ 等式成为等 式的充要 条件及 矩 阵的 Ｋ ｏ ｅｋｒ 的几 个基 本秩 等式 ， 出 ｒｂｎｕ 不 ｒｎ ｃｅ 积 给 了矩 阵的 Ｋ ｏ ｅｋｒ ｒｎ ｃｅ 积的几个秩等 式成立的 充要 条件 ， 并讨论 了这几 个秩 等式 的一些应用 。
通过类似的方法 可给出不等式 （ ３ ，１ ） （５ 取等号的充要条件 ， １ ） （４ ，１ ） 例如考虑不等式（５ ． １ ） 因为
［Ｂ￣ ＝ ，ＬＬＢｐ】 三】 Ａ ，Ｄ ［Ｌ ］ ，。 Ｃ ］， ｃ 【 ２ 【 ｍ Ａ
那 么可得 出类 似 于定 理 １ ２的等 价命 题 为 ： ｒＡ 曰， ［ Ｃ￣Ｄ］＝ｒＣ）［ Ｄ］ （ ｒＣ）＋ｒＡ）（ （ ｒＢ， 一ｒ ）（ （ ｒ曰）