现代测试技术习题解答信号的描述与分析副本

第二章 信号的描述与分析

补充题2-1-1 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2x ψ和概率

密度函数p (x )。 解答：

(1)0

00

11

lim ()d sin()d 0T

T x T μx t t x ωt φt T

T →∞

==+=⎰⎰

，

式中02π

T ω

=—正弦信号周期

(2)

2

222

2

2

0000

1

1

1cos 2()

lim

()d sin ()d d 22

T

T T x

T x x ωt φψx t t x ωt φt t T

T T →∞-+==

+=

=

⎰

⎰

⎰

(3)在一个周期内

012ΔΔ2Δx T t t t =+=

000

2Δ[()Δ]lim

x x T T T t

P x x t x x T T T →∞<≤+===

Δ0Δ000

[()Δ]2Δ2d ()lim

lim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x →→<≤+====

正弦信号

x

2-8 求余弦信号0()sin x t x ωt 的绝对均值x μ和均方根值rms x 。

2-1 求图示所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

2-4周期性三角波信号如图所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。

2-1 求图示所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

补充题2-1-2 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。

解答：在一个周期的表达式为

图1-4 周期方波信号波形

0 t

x (t

T 0

2

-T

02

0T -

…

…

A -A

T 0

00 (0)2

() (0)2

T A t x t T A t ⎧

--≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩

积分区间取（-T/2，T/2）

00000000

220

2

00

2

111()d =

d +

d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )

T T jn t

jn t

jn t T T n c x t e

t Ae

t Ae t

T T T A

j

n n n ωωωππ

-----=

-±±±⎰

⎰

⎰

所以复指数函数形式的傅里叶级数为

001

()(1cos )jn t

jn t n n n A

x t c e

j

n e n

∞

∞

=-∞

=-∞=

=--∑

∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±±。

(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0

nI nR A c n n n c ⎧

=-

-⎪±±±⎨

⎪=⎩ππ

21,3,,(1cos )00,2,4,6,

n A

n A c n n n n ⎧=±±±⎪

==-=⎨⎪=±±±

⎩

πππ

1,3,5,2arctan 1,3,5,

2

00,2,4,6,nI n nR π

n c π

φn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪=±±±⎪⎪

⎩

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

2-5 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。

解：

(2)220

2

2

(2)

()()(2)

2(2)a j f t

j f t

at j f t

e A A a j

f X f x t e

dt Ae e

dt A

a j f a j f a f -+∞

∞

---∞-∞

-====

=-+++⎰⎰πππππππ 2

2

()(2)

k X f a f π=

+

Im ()2()arctan

arctan

Re ()X f f f X f a

==-πϕ

2-6 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。 0cos ()0

ωt

t T x t t T

⎧<⎪=⎨

≥⎪⎩

解：0()()cos(2)x t w t f t =π

单边指数衰减信

|X

A /

0φ

f

π

-

|c n |

φn

π/

2

-π

/2

ω

ω ω0 ω0 3ω0 5ω 3ω

5

ω0

2A/

π

2A/3π 2A/5

π 幅频图

相频图 周期方波复指数函数形式频谱图

2A/5

π

2A/3π

2A/π

-ω0

-3ω0

-5ω0

-ω0 -3ω0

-5

ω0

t

T -

x

w

1

1

-