2019-2020学年高三数学第一轮复习 17 函数的奇偶性与周期性教学案(教师版).doc
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2019-2020学年高三数学第一轮复习 17 函数的奇偶性与周期性教学
案(教师版)
一、课前检测
1. 下列函数中,在其定义域内即是奇函数又是减函数的是( A )
A .()3 f x x x R =-∈
B .()sin f x x x R =∈
C .() f x x x R =∈
D .()1 2x
f x x R ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ 2. (08辽宁)若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a =( C )
A .2-
B .1-
C .1
D .2
3. 已知()f x 在R 上是奇函数,且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时,则 ( A )
A.2-
B.2
C.-98
D.98
二、知识梳理
1.函数的奇偶性:
(1)对于函数)(x f ,其定义域关于原点对称.........
: 如果______________________________________,那么函数)(x f 为奇函数; 如果______________________________________,那么函数)(x f 为偶函数.
(2)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称.
(3)奇函数在对称区间的增减性 ;偶函数在对称区间的增减性 .
(4)若奇函数)(x f 在0x =处有定义,则必有...(0)0f =
解读:
2.函数的周期性
对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有
)()(x f T x f =+,则)(x f 为周期函数,T 为这个函数的周期.
解读:
3.与函数周期有关的结论:
①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()((a 、m 均为非零常数,0>a ),都可以得出)(x f 的周期为 ;
②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线
b x a x ==,轴对称,均可以得到)(x f 周期
解读:
三、典型例题分析
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)()(
1f x x =-答案:定义域不关于原点对称,非奇非偶
(2)()()2lg 122
x f x x -=-- 解:定义域为:()()2101,00,1220
x x ⎧->⎪⇒-⋃⎨--≠⎪⎩ 所以()()()22lg 1lg 122x x f x x x
--==--- ,是奇函数。
(3)()()()
2200x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩ 解法一:当0x <,0x ->,()()()()2
2f x x x x x f x -=---=+=
当0x >,0x -<,()()()()22f x x x x x f x -=-+-=-= 所以,对()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞,都有()()f x f x -=,
所以()f x 是偶函数
解法二:画出函数图象
解法三:()f x 还可写成()2
f x x x =-,故为偶函数。
(4)(
)f x = 解:
定义域为{x ∈
,对{x ∀∈,都有()()()f x f x f x -==-, 所以既奇又偶
变式训练:判断函数()22f x x x a =--+的奇偶性。 解:当0a =时,()f x 是偶函数
当0a ≠时,()()222,22f a a f a a a =+-=-+,即()()f a f a ≠-,
且()()()22
17222022f a f a a a a ⎛⎫+-=-+=-+≠ ⎪⎝⎭, 所以非奇非偶
小结与拓展:几个常见的奇函数:
(1)2121
x x y +=- (2)11212x y =+- (3)1lg 1x y x +=- (4
))
lg y x =
小结与拓展:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
例2 已知定义在(),-∞+∞上的函数()y f x =,当()0,x ∈+∞时,()()12x f x x =+
(1)若函数()y f x =是奇函数,当(),0x ∈-∞时,求函数()y f x =的解析式;答案:
()112x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
(2)若函数()y f x =是偶函数,当(),0x ∈-∞时,求函数()y f x =的解析式;答案:
()112x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
变式训练:已知奇函数()f x ,当0x >时,()()51f x x x =-+,求函数()f x 在R 上的解析式;
解:函数()f x 是定义在R 上的奇函数,
()()()00,f f x f x ∴=-=-,
当0x <时,0x ->,()()51f x x x ∴-=-++
()()()()510f x f x x x x ∴=--=+-<,
()()()()()()
51000510x x x f x x x x x -+>⎧⎪∴==⎨⎪+-<⎩
小结与拓展:奇偶性在求函数解析式上的应用
例3 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,对于,x R ∀∈都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
成立。 (1)证明)(x f 是周期函数,并指出周期;
(2)若(1)2f =,求()(2)3f f +的值。 证明:(1)
()()33,22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()3333(3)2222
f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=++=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 所以,)(x f 是周期函数,且3T = (2)()00,(1)2,3f f T ===,()(1)12f f ∴-=-=-
()()()(2)3102f f f f ∴+=-+=-