2016年北京市初二数学竞赛(学生版)
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2016 年北京市中学生数学竞赛（初二）试题
【题 1】如图所示,用 16 张不同的直角三角形纸片拼成一个海螺的图形，直 角的位置、 长为 1 的线段都已经标出， 则与这海螺图形周长最接近的整 数值是（ A.19 ） B.20 C.21 D.22
【题 2】命题甲：△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边的中点，则∠ABC+∠CAD=90°，命题乙：直角△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，则∠ABC+∠CAD=90°，那么这两个命题中（ A.甲真，乙假 B.甲假，乙真 C.甲真，乙真 ） D.甲假，乙假
【题 7】正数 a ， b ， c 使得等式 a 2 a 1 b 2 b 1 c 2 c 1 a a 1 b b 1 c c 1 成立，试确定
1956a 2 1986b 2 2016c 2 的值为________．
【题 10】如果正整数 x，y 满足等式 x2 84 x 2016 y 2 ，求 x3 y 2 的值__________．
【题 11】已知正整数 a，b，c，d 满足 ab cd ，求证： a 2016 b 2016 c 2016 d 2016 是合数．
A
【题 12】△ABC 是正三角形，在 BC 上取点 A1 ， A2 ，在 CA 上取点 B1 ， B2 ， 在 AB 上取点 C1 ， C 2 ，使得凸六边形 A1 A2 B1 B2 C1C2 的边长都相等，如图 所示，求证：直线 A1 B2 ， B1C 2 ， C1 A2 相交于．
2016 个5
A.0
B.21
C.42
D.63
【题 5】一张三角形纸片的长为 1 的边仅与一个边长为 1 的正 12 边形纸片的一条边重合，平放在桌面上， 则所得到的凸多边形的边数一定不是（ ）
A.11
B.12
C.13
D.14
【题 6】已知 24 t 2 8 t 2 2 ，求 24 t 2 8 t 2 的值为_______．
y
【题 3】如图，反比例函数 y
k x 0 的图像过面积等于 4 的长方 x k x 0 的图像上任意 x
形 OABC 的对角线 OB 的中点，P 为 y 一点，则 OP 的最小值是（ A.1 B. 2 ） C. 3
C M
B
D.2
O
）
A
x
【题 4】已知 a 555 555 ，则 a 除以 84 所得余数是（
C1 C2 B A1
B2 B1 A2 C
【题 13】一个自然数 n 若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于 1，则称 n 为“金 猴数”，比如 2 4 8 8 22 且
1 1 1 1 1 ，22 就是一个“金猴数” 2 4 8 8
（1）证明：11 与 28 是两个“金猴数”； （2）证明：如果 n 是“金猴数”，则 2n 2 、 2n 9 也是“金猴数”； （3）请你判定：2016 也是“金猴数”．
【题 8】某单位发年终奖 100 万元，其中一等奖每人 1.5 万元，二等奖每人 1 万元，三等奖每人 0.5 万元， 如果三等奖与一等奖人数之差不少于 93 人，但小于 96 人，求该单位获奖的总人数为____________．
【题 9】△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，高线 AD 与 BE 相交于 H，若 AB=1，求源自文库边形 CDHE 的面 积_________．
【题 1】如图所示,用 16 张不同的直角三角形纸片拼成一个海螺的图形，直 角的位置、 长为 1 的线段都已经标出， 则与这海螺图形周长最接近的整 数值是（ A.19 ） B.20 C.21 D.22
【题 2】命题甲：△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边的中点，则∠ABC+∠CAD=90°，命题乙：直角△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，则∠ABC+∠CAD=90°，那么这两个命题中（ A.甲真，乙假 B.甲假，乙真 C.甲真，乙真 ） D.甲假，乙假
【题 7】正数 a ， b ， c 使得等式 a 2 a 1 b 2 b 1 c 2 c 1 a a 1 b b 1 c c 1 成立，试确定
1956a 2 1986b 2 2016c 2 的值为________．
【题 10】如果正整数 x，y 满足等式 x2 84 x 2016 y 2 ，求 x3 y 2 的值__________．
【题 11】已知正整数 a，b，c，d 满足 ab cd ，求证： a 2016 b 2016 c 2016 d 2016 是合数．
A
【题 12】△ABC 是正三角形，在 BC 上取点 A1 ， A2 ，在 CA 上取点 B1 ， B2 ， 在 AB 上取点 C1 ， C 2 ，使得凸六边形 A1 A2 B1 B2 C1C2 的边长都相等，如图 所示，求证：直线 A1 B2 ， B1C 2 ， C1 A2 相交于．
2016 个5
A.0
B.21
C.42
D.63
【题 5】一张三角形纸片的长为 1 的边仅与一个边长为 1 的正 12 边形纸片的一条边重合，平放在桌面上， 则所得到的凸多边形的边数一定不是（ ）
A.11
B.12
C.13
D.14
【题 6】已知 24 t 2 8 t 2 2 ，求 24 t 2 8 t 2 的值为_______．
y
【题 3】如图，反比例函数 y
k x 0 的图像过面积等于 4 的长方 x k x 0 的图像上任意 x
形 OABC 的对角线 OB 的中点，P 为 y 一点，则 OP 的最小值是（ A.1 B. 2 ） C. 3
C M
B
D.2
O
）
A
x
【题 4】已知 a 555 555 ，则 a 除以 84 所得余数是（
C1 C2 B A1
B2 B1 A2 C
【题 13】一个自然数 n 若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于 1，则称 n 为“金 猴数”，比如 2 4 8 8 22 且
1 1 1 1 1 ，22 就是一个“金猴数” 2 4 8 8
（1）证明：11 与 28 是两个“金猴数”； （2）证明：如果 n 是“金猴数”，则 2n 2 、 2n 9 也是“金猴数”； （3）请你判定：2016 也是“金猴数”．
【题 8】某单位发年终奖 100 万元，其中一等奖每人 1.5 万元，二等奖每人 1 万元，三等奖每人 0.5 万元， 如果三等奖与一等奖人数之差不少于 93 人，但小于 96 人，求该单位获奖的总人数为____________．
【题 9】△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，高线 AD 与 BE 相交于 H，若 AB=1，求源自文库边形 CDHE 的面 积_________．