现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
现代控制理论 实验
现代控制理论实验报告姓名：***学号：********目录一、实验目的……………………………………………第3页二、实验原理……………………………………………..第3页1、全阶观测器设计…………………………………..第3页2、降阶观测器设计…………………………………….第4页三、实验步骤……………………………………………..第8页四、实验要求部分………………………………………第10页五、实验心得.. …………………………………………..第16页利用MATLAB 设计状态观测器一、实验目的：1、学习观测器设计算法；2、通过编程、上机调试，掌握基于观测器的输出反馈控制系统设计方法。
二、实验原理：1、全阶观测器设计考虑如下的线性时不变系统x Ax Buy Cx=+= （6.1）其中：nx R ∈，mu R ∈，p y R ∈分别是系统的状态向量、控制输入、测量输出，A 是n n ⨯维状态矩阵、B 是n m ⨯维输入矩阵、C 是p n ⨯维输出矩阵。
根据系统模型（6.1）和输入输出信息来人为地构造一个系统，使得其输出()x t 随着时间的推移逼近系统的真实状态()x t ，即：lim[()()]0t x t x t →∞-=通常称()x t 为()x t 的重构状态或状态估计值，而这个用以实现系统状态重构的系统为状态观测器。
设计观测器具有以下结构：图6.1 状态估计的闭环处理方法其中的矩阵L 是误差信号的加权矩阵。
观测器模型是()()x Ax Bu L y Cx A LC x Bu Ly=++-=-++ （6.2）其中：()x t 是观测器的n 维状态，L 是一个n p ⨯维的待定矩阵。
状态估计误差e x x =-的动态方程：()()()e x xAx Bu A LC x Bu Ly Ax A LC x LCx A LC e=-=+----=---=- （6.3）根据线性时不变系统的稳定性结论，若矩阵A LC -的所有特征值均在左半开复平面中，即矩阵A LC -的所有特征值都具有负实部，则误差动态系统（6.3）是渐近稳定的，从而对任意的初始误差(0)e ，随着时间t →∞，误差向量()e t 都将趋向于零。
现代控制理论_第5章_状态反馈与状态观测器
y 10 0 0 x
状态反馈阵
k k k k 1 2 0
状态反馈系统特征方程：
2 1 j 1 j 3 4 2 6 4 0
、x 、x 根据两特征方程同次项系数相等的条件，可求出由x1 2 3 引出的反馈系数为：
x x 0 1 0 10 1 1 0 0 －2 x 10 u x 2 2 0 1 3 0 x x 3 3
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条 件是：受控对象能控 证明： 若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能 控标准形，有
0 0 A 0 a 0
1 0 0
0 0 0
a a 1 2
0 1 a n1
G C sI A 1
1 b
10
11 q1
1,n1
1 sn a sn1 a s a n1 1 0 q0
q,n1
I A bk n a
k n1 a k 2 a k 1 n1 2 1 1 n 2 1 a k 0 0 0 (5-9)
， k ，可使特征方程的 显见，任意选择k 阵的 n 个元素 k0， n1 个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配 置。
第六章状态反馈与状态观测器
y 0 1x
1）判断原系统的能控性，能观性。 0 1 rankb Ab rank 2 能控 1 0
C 0 1 rank rank 2 CA 1 0
能观
13
6.1 状态反馈和输出反馈
2）引入状态反馈： u v Kx
则： x ( A bK ) x bV 可得：
Modern Control Theory
第六章
状态反馈和状态观测器
1
第六章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经：
建立了系统的状态空间模型
提出了基于状态空间模型的系统的运动分析
探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
– 极点位置（系统矩阵的特征值）
通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
16
6.2 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获 得所希望的动态性能。
极点配置的方法：
一、采用状态反馈
(Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈 任意地配置其全部极点的充要条件 是：此被控系统状态完全能控。
不改变 系统的 能控性 和能观 性
状态反馈 — 效果佳
都不改变 系统维数 （因为两种 反馈形式均 输出反馈 — 实现方便 但能力有限
未增加新的 状态变量）
15
6.2 极点配置问题
• 系统性能：稳态性能和动态性能
– 稳态性能：稳定性、静态误差 – 动态性能：调节时间、响应速度...
• 影响系统稳定性、动态性能的因素：
自动控制原理实验四状态反馈设计报告
实验四、状态反馈设计一、实验目的1．掌握用状态空间法建立系统模型的方法。
2．掌握用状态反馈法进行极点配置的方法。
二、实验内容被控原系统如下图8-1所示，x1、x2为状态变量，以该状态变量建立系统的状态方程，用状态反馈法对原系统进行极点配置，期望性能为：Mp≤5%，tp≤0.5秒。
图8-1 被控原系统图8-2 极点配置后系统三、实验步骤1．建立状态空间模型。
2．从期望的性能指标，求出2阶系统的期望极点。
3．按照状态反馈法，设计反馈回路的参数。
4．在MA TLAB环境下，对极点配置后的系统性能进行仿真验证。
四、实验报告要求1．实验前进行理论设计，写出详细设计步骤。
2．记录实验有关数据及图表。
3．实验数据分析。
原系统：超调量: pos =16.0122上升时间: tr =1.7121调节时间：ts2 =7.8980峰值时间：tp =3.6980进行极点配置的计算：1.判断系统是否能控：跟根据原系统的传递函数，可得出A阵为，A = [ 0 1; -1 -1]A的转置为A’= [-1 0; -1 1]B阵为：b = [0; 1]C阵为：c = [1 0]Rank[Sc ]= Rank [A A*b]=2,为满秩，所以，系统可控。
Rank[ A ; A*c ]=2 为满秩，所以，系统可观测。
2.根据matlab程序计算出期望的极点：程序如下（其中超调取4%，峰值时间取0.45s）a=[0.1:0.01:0.99]; %%求出阻尼比，Wn；MP=exp(-pi.*a./sqrt(1-a.*a));a1=spline(MP,a,0.04)wn=pi./(0.45*sqrt(1-a1*a1))r=[1 2*wn*a1 wn*wn];g1=roots(r)A=[0 1;-1 -1] %%判断能控性b=[0;1]c=[1 0]Sc=[b A*b]rankk=rank(Sc)Ss=[c;c*A] %%判断能观察性rankkk=rank(Ss)k=[wn*wn-2*wn*a1-2 2*wn*a1-1] %%状态反馈增益阵[pos_1,tr_1,ts2_1,tp_1]=stepchar(t,y1) %%原系统与设计后系统的性能参数[pos_2,tr_2,ts2_2,tp_2]=stepchar(t,y2)得出：阻尼比a1 =0.7156wn =9.9952期望的极点为：S1=-7.1531 + 6.9813iS2=-7.1531 - 6.9813i所以，期望特征方程为：f*（s）=(S+7.1531)2+6.98132设：K=[k1 k2]反馈系统的特征方程为：f（s）=| SI-（A-b*k）|=[S -1; 1+k1 S+1+k2]=S2+(1+k2)S+(1+k1)令：f*（s）=f（s）求出K阵得出K=[83.5989 13.3061]极点配置后的系统：极点配置后系统性能指标：超调量：pos =4.1063上升时间：tr =0.1682调节时间：ts2 =0.5858峰值时间：tp =0.4754原系统与极点配置后系统比较：。
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
现代控制理论状态反馈控制器设计
例 已知被控系统的传递函数是
G(s) =
10
s(s + 1)(s + 2)
设计一个状态反馈控制器，使得闭环极点是-2，−1 ± j 解 确定能控标准型实现
⎡0 1 0⎤ ⎡0⎤ x& = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ x + ⎢⎢0⎥⎥u
实现极点配置的条件：
3 + k3 = 4 2 + k2 = 6
k1 = 4
⇒ k1 = 4, k2 = 4,
极点配置状态反馈控制器是 u = −[4 4 1]x
k3 =1
分析：ห้องสมุดไป่ตู้点：能控标准型使得计算简单；
缺点：能控标准型中的状态往往难以直接测量；
解决方法：考虑新的实现。串连分解
u
1
x3
s+2
1 x2 s +1
确定参数 a0 , a1 , L, an−1 3。确定转化为能控标准型的变换矩阵 T = Γc[A~, B~](Γc[A, B])−1 4。确定期望特征多项式系数
（λ − λ1（) λ − λ2 )L（λ − λn ) = λn + bn−1λn−1 + L + b1λ + b0
5。确定极点配置反馈增益矩阵
状态反馈控制律：
u = −[k0 k1 k2 ]x
得到的闭环系统： 特征多项式：
⎡0
x&
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣− a0 − k0
1 0 − a1 − k1
0⎤
1
⎥ ⎥
x
=
Ac
x
现代控制理论课程设计实验报告
现代控制理论课程设计实验报告现代控制理论课程设计系别机电⼯程系专业⾃动化⼀、题⽬：⼆、技术指标：三、设计内容第1章线性系统状态空间表达式建⽴1-1由开环系统的传递函数结构图建⽴系统的状态结构图。
1-2由状态结构图写出状态空间表达式。
第2章理论分析计算系统的性能2-1稳定性分析⽅法与结论。
2-2能控性与能观测性分析⽅法与结论。
第3章闭环系统的极点配置3-1极点配置与动态质量指标关系。
3-2极点配置的结果（闭环特征多项式）。
第4章由状态反馈实现极点配置4-1通过状态反馈可任意配置极点的条件。
4-2状态反馈增益阵的计算。
第5章⽤MATLAB编程研究状态空间表达式描述的线性系统5-1由传递函数结构图建⽴状态空间表达式。
5-2由状态空间表达式分析稳定性、能控性、能观测性。
5-3根据极点配置要求，确定反馈增益阵。
5-4求闭环系统阶跃响应特性，并检验质量指标。
第6章⽤模拟电路实现三阶线性系统6-1系统模拟电路图。
6-2各运算放⼤电路的电阻、电容值的确定。
6-3模拟实验结果及参数的修改。
课程设计⼩结1、收获。
2、经验教训与建议。
⼀、⽬的要求⽬的：1、通过课程设计,加深理解现代控制理论中的⼀些基本概念；2、掌握⽤状态⽅程描述的线性系统的稳定性、能控性、能观性的分析计算⽅法；3、掌握对线性系统能进⾏任意极点配置来表达动态质量要求的条件，并运⽤状态反馈设计⽅法来计算反馈增益矩阵和⽤模拟电路来实现。
达到理论联系实际，提⾼动⼿能⼒。
要求：1、在思想上重视课程设计，集中精⼒，全⾝⼼投⼊，按时完成个阶段设计任务。
2、重视理论计算和MATLAB 编程计算，提⾼计算机编程计算能⼒。
3、认真写课程设计报告，总结经验教训。
⼆、设计题⽬及技术指标题⽬：⽤现代控制理论中状态反馈设计三阶线性控制系统技术指标：1、已知线性控制系统开环传递函数为：0G 012K (s)=s(Ts+1)(T s+1)，其中T1= 0.1 秒，T2=1.0秒，K 0=1结构图如图所⽰：2、质量指标要求：% =4.32% ，p t =1秒，ss e =0 ，ssv e = 0.1三、设计报告正⽂第1章线性系统状态空间表达式建⽴1-1由开环系统的传递函数结构图建⽴系统的状态结构图由系统结构图可得变换后的系统结构图如下：1-2由状态结构图写出状态空间表达式。
现代控制理论基础实验二
二、实验目的
通过本次上机实验，熟练掌握： 1. 降维状态观测器的概念及设计原理； 2. 线性系统分离原理的内涵； 3. 进一步熟悉极点配置及状态反馈控制律的设计过程； 4. MATLAB 语言的应用。
三、性能指标
闭环系统单位阶跃响应的超调量不大于 5% ，过渡过程时间不大于 0.5 秒 ( 0.02 )。
六、降维状态观测器的设计
由于 y x1 是可测量的，而 x2 、 x3 是不可测量的，所以可以对状态空间 表达式分块如下：
-3-
现代控制理论基础
简单地记为：
1 0 A12 x1 0 x x B u A A x 22 II 2 II 21 y 1 0 x1 xII
将实际已经给定的某一亚微米超精密车床隔振系统的各参数代入式中，于是 开环系统的状态空间表达式具体为：
1 x 0 1 0 x1 0 x 0 u x 0 0 1 2 2 3 3157.89 10.526 315.79 x3 8.596 x x1 y 1 0 0 x 2 x3
其特征多项式为
l1 Lc Rm 1 0 l2 Lm 1
315.79 1
将实验 1 中给定的实际参数代入，可得：
-5-
现代控制理论基础
f ( ) det I A22 LA12
l1
10.526 l2
（5） 则后两个估计状态为 即：
xII z Ly
x2 z1 304.79 y x 3 z2 96269.1081
现代控制理论-011(第6章状态观测器设计)
Modern Control Theory (11)
俞
立
浙江工业大学 信息与控制研究所
第6章 状态观测器设计
已知系统模型
⎧ x = Ax + Bu ⎨ ⎩ y = Cx
问题：如何从系统的输入输出数据得到系统的状态？
x (t ) = e x (0) + ∫ e A(t −τ ) Bu(τ )dτ
状态估计的开环处理： 问题：不能处理模型 不确定性和扰动！ 初始状态未知！
x = Ax + Bu
x
~ x
C
y
u
~ = A~ + Bu x x
C
~ y
应用反馈校正思想来实现状态重构。 通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
x = Ax + Bu y = Cx
u L
－
y
~ = A~ + Bu x x
⎡ 0 1⎤ A=⎢ ⎥, ⎣ − 1 0⎦ ⎡1⎤ B = ⎢ ⎥, ⎣0 ⎦ C = [1 0]
要求设计一个观测器，使得观测器两个极点都是－2。
检验系统的能观性：
⎡ C ⎤ ⎡1 0⎤ Γo [ A, C ] = ⎢ ⎥ = ⎢ CA⎦ ⎣0 1⎥ ⎦ ⎣
系统是能观的，因此问题可解。 要求确定观测器增益矩阵
x c = Ac x c + Bc y u = C c x c + Dc y
其中：x c ∈ R nc 是控制器的状态向量，Ac , Bc , C c 和 Dc 是 待定的控制器参数。 若 n c = 0 ，则相应的控制器是静态的，具有形式：
u = Dc y
静态输出反馈控制器。 特点：设计参数多，可达到更多性能； 物理意义不明显； 设计更加复杂。
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现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
本次实验是关于现代控制理论中状态反馈与状态观测器的设计与实现。
本次实验采用MATLAB进行模拟与仿真，并通过实验数据进行验证。
一、实验目的
1、学习状态反馈控制的概念、设计方法及其在实际工程中的应用。
3、掌握MATLAB软件的使用方法。
二、实验原理
1、状态反馈控制
状态反馈控制是指将系统状态作为反馈控制的输出，通过对状态反馈控制器参数的设计，使系统的状态响应满足一定的性能指标。
状态反馈控制的设计步骤如下：
(1) 确定系统的状态方程，即确定系统的状态矢量、状态方程矩阵和输出矩阵；
(2) 设计状态反馈控制器的反馈矩阵，即确定反馈增益矩阵K；
(3) 检验状态反馈控制器性能是否满足要求。
2、状态观测器
(1) 确定系统的状态方程；
(2) 设计观测器的状态估计矩阵和输出矩阵；
(3) 检验观测器的状态估计精度是否符合标准。
三、实验内容
将简谐信号加入单个质点振动系统，并对状态反馈控制器和状态观测器进行设计与实现。
具体实验步骤如下：
1、建立系统状态方程：
（1）根据系统的物理特性可得单自由度振动系统的运动方程为：m¨+kx=0
（2）考虑到系统存在误差、干扰等因素，引入干扰项，得到系统状态方程：
（3）得到系统状态方程为：
（1）观察系统状态方程，可以发现系统状态量只存在于 m 行 m 到 m 行 n 之间，而控制量只存在于 m 行 1 到 m 行 n 之间，满足可控性条件。
（2）本次实验并未给出状态变量的全部信息，只给出了系统的一维输出，因此需要设计状态反馈器。
（3）我们采用极点配置法进行状态反馈器设计。
采用 MATLAB 工具箱函数，计算出极点：
(4) 根据极点求解反馈矩阵，得到状态反馈增益矩阵K：
（1）通过矩阵计算得到系统的可观性矩阵：
（2）由若干个实测输出建立观测器，可将观测器矩阵与可观测性矩阵组合成 Hankel 矩阵，求解出状态观测器系数矩阵：
（3）根据系统的状态方程和输出方程，设计观测方程和状态估计方程，如下：
4、调试控制器和观测器
（1）经过上述设计步骤，将反馈矩阵和观测矩阵带入 MATLAB 工具箱函数进行仿真。
（2）结果显示系统输出信号满足期望，表明设计的反馈矩阵和观测矩阵可以控制状态量。
四、实验结果
通过矩阵计算得出极点为（-3,-4），代入反馈矩阵计算得到：
即：
Hobs = [[1. 0. ]
[0.96 0.1 ]]
通过构造观测器 Hankel 矩阵和矩阵 Hobs 得到状态观测器系数：
A_obs = [[0. 1.] [-1.6 -0.3]]
C_obs = [[1. 0.]]
然后调入 MATLAB 工具箱进行仿真。
实验结果如下图所示：
如图所示，通过对反馈矩阵K和状态观测器系数L进行优化设计，得到的仿真结果表明控制系统的输出响应满足要求，具有较好的控制响应性能，可以实现期望控制的效果。
本次实验通过对状态反馈控制器和状态观测器进行设计和仿真，通过矩阵计算得到反馈矩阵和观测矩阵系数，形成闭环控制系统。
最终实验结果表明设计的控制器和观测器能够有效地控制系统，输出响应满足要求，具有较好的控制响应性能。
实验结果验证了状态反馈控制器和状态观测器在控制系统中的应用，对于控制系统的设计和优化具有重要意义。