2021-2022学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
上海复旦二附中2022年高二数学理模拟试卷含解析
上海复旦二附中2022年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在空间四边形ABCD中，AD = BC = 2a，E、F分别是AB、CD的中点，，则异面直线AD与BC所成的角为（）A．30 B．45 C．60 D．90参考答案：C略2. 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩Z={0，1，2}，则A∩Z中所有元素的和为0+1+2=3，故选：C3. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．70参考答案：B【考点】3T：函数的值；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．4. 设是椭圆的两焦点，为椭圆上的点，若，则的面积为A．４ B．８ C． D．参考答案：A略5. 设的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略6. 设都为正数，那么用反证法证明“三个数至少有一个不小于2“时，正确的反设是这三个数( )A．都不大于2 B．都不小于2 C.至少有一个不大于2 D．都小于2参考答案：D7. 设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若△是直角三角形，则△的面积等于（）A．48/5 B.36/5 C.16 D.48/5或16参考答案：A略8. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）参考答案：C略9. 复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：D10. 已知球O的表面积为16π，则球O的体积为A．B．C．D．参考答案：D因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果直线l将圆：x2+y2-2x -4y=0平分，且不经过第四象限，则l的斜率的取值范围是参考答案：[0，2] 2或-2 (－∞，9]略12. 设抛物线被直线所截得的弦长为，则．参考答案：-4略13. 若（2x﹣1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，则a7+a5+a3+a1=．参考答案：1094解答：解：在所给的等式中，令x=1可得a7 +a6 +…+a1 +a0 =1 ①，再令x=﹣1可得﹣a7 +a6 ﹣55+a4﹣a3+a2﹣a1 +a0 =﹣37②．把①减去②，两边再同时除以2求得a7+a5+a3+a1==1094，故答案为1094．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的14. 椭圆E： +=1的右焦点F，直线l与曲线x2+y2=4（x＞0）相切，且交椭圆E于A，B两点，记△FAB的周长为m，则实数m 的所有可能取值所成的集合为．参考答案：{2}【考点】椭圆的简单性质．【分析】确定AQ，BQ ，利用椭圆第二定义，即可求出实数m 的所有可能取值所成的集合【解答】解：设A （x1，y1），B（x2，y2），切点为Q，则同理可求得：由椭圆第二定义：故答案为：{2}．15. 命题“，”是命题(选填“真”或“假”).参考答案：真当时，成立，即命题“，”为真命题.16. 已知曲线C的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ，则其直角坐标方程为．参考答案：x2+（y+1）2=1【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先将极坐标方程ρ=2sinθ两边同乘以ρ后，即可化成直角坐标方程．【解答】解：将极坐标方程ρ=﹣2sinθ两边同乘ρ，化为：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为：x2+y2+2y=0，即x2+（y+1）2=1．故答案为：x2+（y+1）2=1．17. 若a＞b＞0，则比较，的大小是．参考答案：＞【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，∴＜1＜，∴＞，故答案为：＞．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海复旦大学第二附属中学 2021-2022学年高二数学文模拟试题含解析
上海复旦大学第二附属中学 2021-2022学年高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.参考答案：BA，，故错误；B，，正确；C，，故错误；D，，故错误.故选B.点睛：常用求导公式：.2. 定义域的奇函数,当时恒成立,若,,,则( )A. B. C. D.参考答案：B3. 两个数 1与5的等差中项是( )A．1 B． 3 C．2 D．参考答案：B4. 已知，则（）A．e2 B．e C． D．不确定参考答案：B略5. “”是“”的什么条件？ ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件参考答案：A考点：充分必要条件6. 若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（）A．B。
C。
D参考答案：C略7. 是等比数列，且，则（）A．8 B．-8 C．8或-8 D．10参考答案：A略8. 设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A．a﹣b＜0 B．0＜＜1 C．D．ab＞a+b参考答案：C【考点】基本不等式；不等式比较大小．【分析】由不等式的性质易判A、B、D错误，由基本不等式可得C正确．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，故A错误；由a＞b＞0可得＞1，故B错误；当a=，b=时，有ab＜a+b，故D错误；由基本不等式可得≤，由a＞b＞0可知取不到等号，故C正确．故选：C9. 在△ABC中，若∠B为钝角，则sinB﹣sinA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定参考答案：A【考点】三角函数值的符号．【分析】由三角形内角和定理得到A+B+C=π，表示出B，代入原式利用诱导公式化简，根据B为钝角，得到A+C的范围，利用正弦函数的单调性确定出原式的正负即可．【解答】解：∵在△ABC中，A+B+C=π，∴B=π﹣（A+C），∴sinB﹣sinA=sin[π﹣（A+C）]﹣sinA=sin（A+C）﹣sinA，∵B为钝角，∴A＜A+C＜，∵正弦函数在（0，）是增函数，∴sin（A+C）＞sinA，即sin（A+C）﹣sinA＞0，则sinB﹣sinA大于零，故选：A．10. 函数y=的定义域为（）A．(，＋∞) B．［1，＋∞C．( ，1D．(－∞，1)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2=a2+ac+c2，则角B= ．参考答案：120°【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】根据题意由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可求得cosB的值，再利用B为△ABC中的角，即可求得B．【解答】解：∵在△ABC中，b2=a2+ac+c2，又b2=a2+c2﹣2accosB∴﹣2accosB=ac，∴cosB=﹣，又∠A为△ABC中的角，∴A=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查余弦定理，考查学生记忆与应用公示的能力，属于基础题．12. 已知x>0，y>0，且x+4y=1,则的最小值为▲参考答案：13. 函数的定义域是____________参考答案：【分析】无次幂，对数的真数大于，分母不为 ，结合上述原则列式求解即可。
上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)word
复旦大学附属中学2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.一个方向向量为()1,3d =u r的直线的倾斜角的大小是__________． 2.抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .3.已知复数1z i =+，则z z=__________． 4.已知复数()()312a i i ++是纯虚数，则实数a 的值为__________．5.若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，则b =__________．6.曲线4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[)0,2θ∈π）的焦距等于__________． 7.直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______8.如图所示，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =.以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，若该椭圆的焦距为4，则其短轴的长为______．9.已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅u u u r u u u u r 最小值为 ． 10.若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________．11.已知抛物线22y px =（0p >）焦点为F ，准线为l ，过点F 3M （M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若6MD =，则抛物线的方程是__________．12.已知点()0,2P ，椭圆221168x y +=上两点()11,A x y ，()22,B x y 满足AP PB λ=u u u r u u u r （R λ∈），则112312x y +-+222312x y +-的最大值为__________．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）13.双曲线22124x y -=的两条渐近线的夹角的大小为（ ）A. arctanB.C. π-D. π-14.在复数范围内，下列命题中为假命题的是（ ）A. 复数z R ∈的充要条件是z z =.B. 若z z =-，则z R ∈.C. 若1z z=，则1z =±或z i =± D. 对任意z C ∈，22z z =都成立. 15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅I ，则a ，b 之间的关系是（ ）A. 1a b +>B. 1a b +<C. 221a b +<D. 221a b +> 16.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r时，ABC ∆有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 有限个，但多于4个 D. 无限多个 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知关于x 的一元二次方程2230x kx k +-=()k R ∈的虚根为12,x x .（1）求k 的取值范围，并解该方程；（2）若123321i x x i=++，求k 的值. 18.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为22110025x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、640,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为顶点的抛物线的实线部分，降落点为()8,0D .观测点()4,0A 、()6,0B 同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19.设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z z z z++为纯虚数，求z . 20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的长轴长是短轴长的2倍，点13,2M ⎫⎪⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆的左焦点的直线l 与椭圆C 相交所得弦长为2，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0P 的任意直线与椭圆C 交于A 、B 两点，设点A 、B 到直线0l ：()002x x x =>的距离分别为,A B d d .若A B PA d d PB=，求0x 的值. 21.已知动圆P 过点()22,0F ，并且与圆1F ：()2224x y ++=相外切，设动圆的圆心P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）过动点P 作直线与曲线2230x y -=交于,A B 两点，当P 为AB中点时，求OA OB ⋅的值； （3）过点2F 的直线1l 与曲线C 交于,E F 两点，设直线l ：12x =，点()1,0D -，直线ED 交l 于点M ，求证：直线FM 经过定点，并求出该定点的坐标.复旦大学附属中学2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.一个方向向量为()1,3d =u r的直线的倾斜角的大小是__________． 【答案】60︒【解析】【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线的方向向量为()1,3d =u r，所以直线的斜率为3k =， 所以直线的倾斜角的大小是60︒.故答案为：60︒.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .【答案】2【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.3.已知复数1z i =+，则z z=__________． 【答案】i -【解析】【分析】 先求解z ，再利用复数的除法进行求解.【详解】因1z i =+，所以1z i =-；所以()()()21i 1i i 1i 1i 1i z z --===-++-. 故答案为：i -.【点睛】本题主要考查复数的除法运算及共轭复数，明确复数的除法规则—分母实数化，侧重考查数学运算的核心素养.4.已知复数()()312a i i ++是纯虚数，则实数a 的值为__________．【答案】6【解析】【分析】先对复数()()312a i i ++进行化简，结合纯虚数可求实数a 的值.【详解】因为()()3126(23)i a i i a a ++=-++为纯虚数，所以60a -=且230a +≠，即6a =.故答案为：6.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及纯虚数的概念，侧重考查数学运算的核心素养.5.若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，则b =__________．【答案】2-【解析】【分析】把12i +代入方程，结合复数相等可求b .【详解】因为12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，所以()()212i 12i 0b c ++++=，即()324i 0b c b +-++=， 所以2b =-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查复数的运算及相等的条件，两个复数相等时，实部与虚部都要相等，侧重考查数学运算的核心素养.6.曲线4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[)0,2θ∈π）的焦距等于__________． 【答案】27 【解析】 【分析】 消去参数，化为标准方程，然后求解焦距.【详解】因为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，所以221169x y +=， 由方程可知曲线为椭圆，且2216,9a b ==，所以2227c a b =-=，即7c =； 故焦距为27.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化，明确常见的消参方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.7.直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______【答案】45【解析】试题分析：圆转化为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，设直线被圆截得的弦长为，则． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.弦长公式．8.如图所示，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =.以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，若该椭圆的焦距为4，则其短轴的长为______．【答案】43 【解析】 【分析】 根据直角三角形的性质及焦距可得,AC BC ，结合椭圆的定义可得短轴的长.【详解】因为在ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，4AB =， 所以3AC =，225BC AB AC =+=，由椭圆的定义得2AC BC a +=，所以4a =，因为2c =，所以2223b a c =-=，故答案为：43.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，明确椭圆中长轴长、短轴长、焦距间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅u u u r u u u u r 最小值为 ． 【答案】－2【解析】12(1,0),(2,0)A F -，设(,)(1)P x y x ≥，12(1,)(2,)PA PF x y x y ⋅=--⋅-u u u r u u u u r，又2213y x -=，故223(1)y x =-，于是21245PA PF x x ⋅=--u u u r u u u u r 21145816x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当1x =时，取到最小值2-． 10.若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________．【答案】[0,7)【解析】【分析】根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围.【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以03i 4z -<， 根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部， 数形结合可得07z <.故答案：[0,7)【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11.已知抛物线22y px=（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过点F M （M在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若MD =，则抛物线的方程是__________．【答案】2y =【解析】【分析】作出图形，根据三角形MNF 的形状可得MN ，从而得到抛物线的方程. 【详解】如图，由抛物线的定义可知MN MF =，因为MF //MN OF ，所以60NMF ∠=︒，即MNF ∆为等边三角形，在ANF ∆中易知D 为NF 的中点，因为MD =MN MF ==2p M ；由62)2p p =可得p =，故答案为：2y =.【点睛】本题主要考查抛物线的方程及性质，合理利用抛物线的定义式能简化解题过程，侧重考查直观想象的核心素养.12.已知点()0,2P ，椭圆221168x y +=上两点()11,A x y ，()22,B x y 满足AP PB λ=u u u r u u u r （R λ∈），则112312x y +-+222312x y +-的最大值为__________． 【答案】1817+【解析】【分析】 由112312x y +-+222312x y +-联想到点到直线的距离，结合中位线和换元法求解.【详解】由AP PB λ=u u u r u u u r 知,,A B P 三点共线，当直线AB 的斜率不存在时，(0,22),(0,22)A B -，此时112312x y +-+22231224x y +-=. 当直线AB 的斜率存在时，设:2AB y kx =+， 联立2221168y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)880k x kx ++-=， 1212122284,()41212k x x y y k x x k k+=-+=++=++， 设AB 的中点()00,M x y ，则002242,1212k x y k k =-=++， 消去参数k 可得()2200112x y +-=，其中00y >；令001sinx y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，其中2,2k kθπ≠π-∈Z，则点()00,M x y到直线23120x y+-=的距离为d==所以d≤因为由梯形的中位线性质可得,A B到直线23120x y+-=的距离之和为点()00,M x y到直线23120x y+-=的距离的2倍.所以112312xy+-+22231218x y+-=≤+综上可得112312x y+-+222312x y+-的最大值为18+【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，综合性较强，难度较大，侧重考查了换元的意识及数学运算的核心素养.二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）13.双曲线22124x y-=的两条渐近线的夹角的大小为（）A.B. C.π- D. π-【答案】D【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，结合斜率可求夹角.【详解】因为双曲线22124x y-=的两条渐近线为y=，所以y=的倾斜角为，因为45>︒，所以两条渐近线的夹角的大小为π-故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的方程及性质，注意夹角的范围是易错点，侧重考查数学运算的核心素养.14.在复数范围内，下列命题中为假命题的是（ ）A. 复数z R ∈的充要条件是z z =.B. 若z z =-，则z R ∈.C. 若1z z=，则1z =±或z i =± D. 对任意z C ∈，22z z =都成立. 【答案】C【解析】【分析】结合复数的性质及运算规则可以进行求解.【详解】对于选项A ，设z a bi =+，若z R ∈，则0b =，此时z z =；反之，z z =，即a bi a bi +=-，解得0b =，此时z R ∈；故A 正确；对于选项B ，因为z 是实数，z z =-，所以z R ∈；故B 正确；对于选项C ，设z a bi =+，因为1z z =，所以()222i =2i 1a b a b ab +-+=，解得1,0a b =±=，所以1z =±；故C 不正确；对于选项D ，222222,2i z a b z a b ab =+=--=22a b ==+，所以D 正确；故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算，明确复数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅I ，则a ，b 之间的关系是（ ）A. 1a b +>B. 1a b +<C. 221a b +<D. 221a b +>【答案】C【解析】【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆x2+y2=1的点集，若A∩B＝∅，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=1没有交点，1d=，即a2+b2＜1故选C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．16.已知F为抛物线24y x=的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当0FA FB FC++=u u u r u u u r u u u r r时，ABC∆有（）A. 2个 B. 4个 C. 有限个，但多于4个 D. 无限多个【答案】D【解析】【分析】根据0FA FB FC++=u u u r u u u r u u u r r可得F为△ABC的重心，结合解的情况可求.【详解】因为0FA FB FC++=u u u r u u u r u u u r r，所以F为△ABC的重心，设00(,)A x y，BC的中点为M，则3AM MF=-u u u u r u u u r，可得003,22x yM-⎛⎫--⎪⎝⎭，只要满足点M在抛物线内部，即2003422y x-⎛⎫⎛⎫-<⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得002x≤<，所以ABC∆有无限多个.故选：D.【点睛】本题主要考查抛物线的性质，明确点的取值范围是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知关于x的一元二次方程2230x kx k+-=()k R∈的虚根为12,x x.（1）求k的取值范围，并解该方程；（2）若123321ix xi=++，求k的值.【答案】（1）30k-<<，1x k=-，2x k=-+；（2）k=.【解析】【分析】（1）利用方程有两个虚根可以得出判别式的符号，可得k 的取值范围，利用求根公式可得方程的解； （2）利用共轭复数模长相等，化简已知条件，结合模长公式可求.【详解】（1）因为一元二次方程2230x kx k +-=有两个虚根，所以24120k k ∆=+<，解得30k -<<； 由求根公式可得，221223i 3i 2k k k x k k k --+==--+，223i x k k k =-++. （2）因为12,x x 互为共轭复数，所以12x x =，因为123321i x x i =++，所以133212i x i ==+， 所以22932k k k ++=，解得353k +=-或353k -=（舍）. 故353k +=-. 【点睛】本题主要考查实系数方程复数根的求解，明确求根公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为22110025x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、640,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为顶点的抛物线的实线部分，降落点为()8,0D .观测点()4,0A 、()6,0B 同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【答案】（1） 216477y x =-+（[6,8]x ∈）；（2） 观测点A 、B测得离航天器的距离分别为4时，应向航天器发出变轨指令.【解析】【分析】（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点求出方程；（2）先求解变轨时的点的坐标，结合两点间的距离可求.【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为2647y ax =-+， 因为抛物线经过点(8,0)D ，所以646407a -+=，解得17a =； 联立22211002516477x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得64x y =⎧⎨=⎩， 故航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程216477y x =-+（[6,8]x ∈）. （2）当6x =时，分别代入椭圆方程和抛物线方程均得到4y =，所以在观测点B 处测得离航天器的距离为4时，应向航天器发出变轨指令；=所以在观测点A 处测得离航天器的距离为应向航天器发出变轨指令. 故观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为4时，应向航天器发出变轨指令.【点睛】本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.19.设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z z z z ++为纯虚数，求z . 【答案】（1）1,z =Rez 的取值范围为1(,1)2-；（2）122z =+或122z =-. 【解析】【分析】（1）先设出复数，结合1w z z=+是实数可求出z 的值及Rez 的取值范围； （2）先设出复数，结合2z z z z++为纯虚数可求. 【详解】（1）设z x yi =+，其中,x y R ∈且0y ≠，222211i ()i i x y w z x y x y z x y x y x y=+=++=++-+++， 因为1w z z =+是实数，所以220y y x y-=+，解得221x y +=，所以1z ==； 因为12w -<<，所以222(1,2)x x x x y +=∈-+，即1(,1)2x ∈-； 所以Rez 的取值范围为1(,1)2-. （2）由（1）知221x y +=，()2222i i (2)i i i 2x y x y z z x y x xy y x y x y x z z++++-+++==++-+， 因为2z z z z++为纯虚数，所以220x y x -+=且20xy y +≠，0x ≠， 联立222201x y x x y ⎧-+=⎨+=⎩可得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以122z =+或122z =-. 【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的长轴长是短轴长的2倍，点12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆的左焦点的直线l 与椭圆C 相交所得弦长为2，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0P 的任意直线与椭圆C 交于A 、B 两点，设点A 、B 到直线0l ：()002x x x =>的距离分别为,A B d d .若A B PA d d PB=，求0x 的值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）2±；（3）4. 【解析】【分析】（1）利用长轴长是短轴长的2倍，点12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上，建立方程组求解； （2）联立方程，结合弦长可求直线l 的斜率；（3）把A B PA d d PB=转化为,A B 坐标间的关系，结合韦达定理可求. 【详解】（1）由题意2a b =，则方程化为222214x y b b+=， 因为点12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2231144b b+=，解得21b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设直线l的方程为(y k x =，联立(2214y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2222(14)1240k x x k +++-=， 设直线l 与椭圆C 相交于1122(,),(,)M x y N x y ，则()()22224(14)1240k k ∆=-+->，21212212414k x x x x k -+==+， MN ==()2224121414k k k+===++， 解得2k =±，故直线l 的斜率为2±.（3）当直线AB 的斜率不存在时，A B PA d d PB=恒成立； 当直线AB 的斜率为0时，由A B PA d d PB =得002132x x -=+，即04x =； 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设():1AB y k x =-，0k ≠.联立()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y <>，则()()222284(14)440k k k ∆=--+->，22121222844,1414k k x x x x k k -+==++， 因为12PA y PB y =，所以1122A B y d y d y y -==，即()()1011022211k x x x y x x y k x ----==--， 整理可得()()0121201220x x x x x x ++--=，()2200228441221414k k x x k k -+-⨯=++ 解得04x =.综上可得04x =.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的关系，长度关系的巧妙转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.21.已知动圆P 过点()22,0F ，并且与圆1F ：()2224x y ++=相外切，设动圆的圆心P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）过动点P 作直线与曲线2230x y -=交于,A B 两点，当P 为AB 的中点时，求OA OB ⋅的值；（3）过点2F 的直线1l 与曲线C 交于,E F 两点，设直线l ：12x =，点()1,0D -，直线ED 交l 于点M ，求证：直线FM 经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）221(0)3y x x -=>；（2）4；（3）证明见解析，定点的坐标为(1,0). 【解析】【分析】（1）利用动圆经过的点及外切关系可求；（2）设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到OA OB ⋅u u u r u u u r ，进而可求OA OB ⋅；（3）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线FM 经过定点. 【详解】（1）设动圆的圆心(,)P x y ，半径为r ，则由题意可得212PF r PF r ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即122PF PF -=， 因为1242F F =>，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线的右支，且1,2a c ==， 所以曲线C 的方程为221(0)3y x x -=>. （2）当直线的斜率不存在时，(1,0),(1,P A B ，此时4OA OB ⋅=；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立2230y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得222(3)20k x kmx m ---=， 230k -≠，21212222,33km m x x x x k k +==---， ()()222121212121222632,33m m y y k x x m y y k x x km x x m k k+=++==+++=--. 因为P 为AB 的中点，所以223(,)33km m P k k --，代入曲线方程得()()22222223133k m m k k -=--； 整理可得223m k =-； 2221212222322333m m m OA OB x x y y k k k-⋅=+=+==----u u u r u u u r ， 因为2230x y -=恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线y =的倾斜角为60︒， 所以1cos12022OA OB OA OB OA OB ⋅=︒=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以4OA OB =u u u r u u u r . 综上可得4OA OB =u u u r u u u r .（3）证明：当直线1l 的斜率不存在时，(2,3),(2,3)E F -,13(,)22M ，直线:330FM x y +-=经过点(1,0). 当直线1l 的斜率存在时，设直线1:(2)l y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ，直线11:(1)1y ED y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+， ()1131(,)221y M x +，联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得2222(3)4(34)0k x k x k -+-+=， 230k -≠，22121222434,33k k x x x x k k ++=-=---， 下面证明直线FM 经过点()1,0Q ，即证FQ MQ k k =， 1212311y y x x -=+-， 把()112y k x =-，()222y k x =-代入整理得()12124540x x x x -++=， 即22222223441216204544440333k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫++-⨯--⨯-+=+=-+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以直线FM 经过点()1,0.【点睛】本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重考查数学运算的核心素养.。
2021-2022学年上海市复旦实验中学高二下学期期末数学试题
2021学年度复旦实验中学第二学期期末考试高二数学一、填空题：1.若b 是2，8的等差中项，则b =______；2.化循环小数为分数：0.13= ______；3.过点()2,3A -且法向量()4,3m =- 的直线的点法向式方程是______；4.若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______5.函数()231=+-f x x x 的导数()f x '=______；6.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12.PF PF ⊥ 若12PF F △的面积为9，则b =__________．7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为)，则双曲线的标准方程为______．8.过点()1,2且与22y x =相切的直线方程为______.9.已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，则{}n a 通项n a =______；10.已知在等差数{}n a 中，若100a =，则1231219n n a a a a a a a -+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+对于一切小于19的正整数n 都成立；类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则______；二、选择题：11.若a ，b ，c 成等差数列，则1()3a ，1(3b ，1(3c 一定（）A.成等差数列B.成等比数列C.既成等差数列也成等比数列D.既不成等差数列也不成等比数列12.在用数学归纳法求证：()()()()12213521n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，（n 为正整数）的过程中，从“k 到1k +”左边需增乘的代数式为（）A.22k + B.()()2122k k ++C .2221k k ++ D.()221k +13.已知命题:,,p a b c 成等比数列，命题2:q b ac =，则p 是q 的（）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A.72 B.132 C. D.三．简答题：15.在等差数列{}n a 中，10216a a -=，且36a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若4n an b =，证明：数列{}n b 为等比数列，并求其前n 项和n S ．16.已知圆C ：22680x y x y m +--+=，其中R m ∈．（1）已知圆C 与圆：221x y +=外切，求m 的值；（2）如果直线30x y +-=与C 相交所得的弦长为m 的值．17.已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围.18.已知数列{}n a 的前n 项和为28n S n n =-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n H 的公式．19.已知数列{}n a 满足：11a =，且211n n n a a na n +=-++，（n 为正整数）．（1）计算：2a ，3a ，4a 的值；（2）猜测{}n a 的通项公式，并证明；（3）设n b =，问是否存在使不等式12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于一切2n ≥的正整数均成立的最大整数p ，若存在请求出，若不存在，请说明理由．2021学年度复旦实验中学第二学期期末考试高二数学一、填空题：【1题答案】【答案】5【2题答案】【答案】1399【3题答案】【答案】()()42330x y --+=【4题答案】【答案】1【5题答案】【答案】23x +【6题答案】【答案】3【7题答案】【答案】2214y x -=【8题答案】【答案】42y x =-【9题答案】【答案】21n -【10题答案】【答案】1231217n n b b b b b b b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅对于一切小于17的正整数n 都成立二、选择题：【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】D【13题答案】【答案】A【14题答案】【答案】A三．简答题：【15题答案】【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析，1161615n n S +-=．【16题答案】【答案】（1）9m =；（2）3m =-.【17题答案】【答案】（1）22n S n n =+；（2）()31,00,4⎛⎫- ⎪⎝⎭；【18题答案】【答案】（1）()29*=-∈n a n n N （2）()228,5832,5n n n n H n n n n *⎧-<=∈⎨-+≥⎩N 【19题答案】【答案】（1）22a =，33a =，44a =（2）()N n a n n *=∈，证明见解析（3）最大整数1p =。
2021-2022学年上海市崇明区高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市崇明区高二上学期期末数学试题一、填空题1．已知球的半径等于1，则该球的体积等于______.【答案】##4π34π3【分析】由球体体积公式直接求解.【详解】由球的体积公式.34π4π33V R ==故答案为：4π32．计算：______（i 为虚数单位）.()i 1i +=【答案】##1i -+i 1-【分析】根据复数四则运算即可得出结果【详解】由题意得.2i(1i)i i 1i +=+=-+故答案为：1i-+3．某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示.胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数30712073则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______.【答案】##0.614307500【分析】根据经验概率的定义可求出结果.【详解】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为，又试验总次数为，307500所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于.307500故答案为：3075004．已知复数，则z 的共轭复数______.12i 3iz =++z =##3i -【分析】利用向量的摸公式及共轭复数的概念即可求解.【详解】，所以.12i 3i 3iz =++=3i z =.3i -5．已知点和点，若向量对应的复数是，则点对应的复数______.()2,4A B AB 3i --B z =【答案】13i-+【分析】根据复数的几何意义计算即可.【详解】由题知，,(),(3,1)2,4AB OA ==--所以，(2,4)(3,1)(1,3)OB OA AB =+=+--=- 所以点对应的复数.B 13i z =-+故答案为：.13i -+6．已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成角的m n l α2π,3m n =l α大小是______.【答案】##π630︒【分析】若直线与平面所成角为，则直线方向向量与平面法向量的夹角为或，由此计θπ2θ-π2θ+算即可.【详解】设直线与平面所成角为（），l αθπ0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则直线的方向向量与平面的法向量的夹角为或，l m αn π2θ-π2θ+由题意，∵且，2π,3m n = π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴，2ππ,32m n θ==+ ∴，2πππ326θ=-=∴与所成角的大小是.l απ6故答案为：.π67．已知矩形中，，，以为旋转轴，将矩形旋转一周所形成的空间ABCD 1AB =2BC =AB ABCD 封闭几何体的表面积等于______.【答案】12π【分析】由旋转体定义可知所得几何体为圆柱，根据圆柱表面积求法可求得结果.【详解】由旋转体定义可知：所形成的空间封闭几何体为底面半径，母线长的圆柱，2r =1l =该几何体的表面积.∴22π2π8π4π12πS r rl =+=+=故答案为：.12π8．同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．【答案】16【分析】应用列表法求点数相等的概率即可.【详解】同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数组合如下表：1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)由上表知：所有可能组合有36种，其中点数相等有6种，所以所得点数相等的概率为.16故答案为：169．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白2172子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.162【答案】2942【分析】任意取出粒棋子，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能，2223其概率之和为，由此求解即可.1【详解】由题意，任意取出粒棋子，不考虑先后顺序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一222粒黑子一粒白子种可能，3设事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一A 2B 2C 2粒白子，则，，两两互斥，A B C 由已知有，，()17P A =()16P B =∵，()()()()1P A B C P A P B P C ⋃⋃=++=∴，()()()1129117642P C P A P B =--=--=∴从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是.22942故答案为：.294210．已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与ABCD 2AB CD ==E F BC AD AB 所成的角为，则____.CD 3πEF =【答案】1【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，，或，由此πEOF 3∠=2πEOF 3∠=能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为，π3∴EO ∥CD ，且EO，FO ∥AB ，且FO 1，1CD 12==1AB 2==∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角，∴，或，πEOF 3∠=2πEOF 3∠=当∠EOF 时，△EOF 是等边三角形，∴EF ＝1．π3=当时，EF 2πEOF 3∠===故答案为1【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题11．如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，A ，B 是底面圆周上两点，，，6PB =4OA =，C 为线段PB 的中点.一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A 爬到点C 经过的最短距离是90AOB ∠=︒______.【答案】【分析】将圆锥的侧面沿母线展开成扇形，判断出最短距离是线段，利用余弦定理解PA APA 'AC 三角形即可求解.【详解】将圆锥的侧面沿母线展开成扇形，如图示：PA APA '所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A 爬到点C 经过的最短距离是线段.AC 则弧长为，248ππ⨯=所以，因为，所以，8463APA ππ'∠==90AOB ∠=︒ 14AB AA '=所以在扇形中，，又C 为线段PB 的中点，.APA '3APB π∠=3PC =所以在中，,,,由余弦定理得：，APC △3APC π∠=3PC =6PA =AC ==所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A 爬到点C 经过的最短距离是故答案为：12．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼2a 345a a a ，，0a >成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是a _______．【答案】0a <<【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a 的范围.【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：将上下底面对接,其全面积为：；()21423434512482S a a a a a a a =⨯⨯⨯+++⨯=+三棱柱表面积3a 边可以合在一起时, ；()212223425424362S a a a a a a =⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积4a 边合在一起时， .()212223425324322S a a a a a a =⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a ,4a ,5a 所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=()224536a a a +⨯=()223532a a a +⨯=，()223428a a a +⨯=显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：.()212223423424282S a a a a a a =⨯⨯⨯⨯++⨯=+四棱柱表面积由题意得：，解得：2224281248a a +<+0a <<故答案为 ：0a <<【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．二、单选题13．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）1x 20x bx c ++=A ．B ．2,3b c ==2,1b c ==-C ．D ．2,1b c =-=-2,3b c =-=【答案】D【分析】把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.1x =+【详解】由题意1i 是关于的实系数方程x 2x bx c ++=∴，即2(1(10b c ++=()1i 0b c -++++=∴，解得.100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩23b c =-⎧⎨=⎩故选：D ．14．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．11009910019912【答案】D【分析】根据随机事件每次发生的概率是相等的，即可得出第99次抛掷出现反面的概率.【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷一次，出现正面，还是反面，是随机事件，且是等可能的，∴无论抛多少次，每一次抛掷出现反面的概率都为.12∴第99次抛掷出现反面的概率是.12故选：D.15．在棱长为的正方体中，P 为左侧面上一点，已知点P 到的距离101111ABCD A B C D -11ADD A 11A D 为，P 到的距离为，则过点P 且与平行的直线相交的面是（ ）31AA 21A CA ．ABCDB ．C ．D ．11BB C C11CC D D11AA B B【答案】A【分析】由图可知点在内，过作，且，，在平面P 1AA D △P 1EF A D ∥1EF E AA = EF AD F = 中，过作，，由平面与平面平行的判定可得平面平面ABCD F FG CD ∥FG BC G ⋂=EFG ；连接，交，连接，再由平面与平面平行的性质得，在1A DCAC AC FG M = EM 1EM A C∥中，过作，且，可得，由此说明过点且与平行的EFM △P ∥PQ EM PQ FM Q = 1PQ A C ∥P 1A C 直线相交的面是平面.ABCD 【详解】如图，由点到的距离为，到的距离为2，可得在内，P 11A D 3P 1AA P 1AA D △过作，且，，P 1EF A D ∥1EF E AA = EF AD F = 又平面，平面，所以平面；1A D ⊂1A DC EF ⊄1A DC EF 1A DC 在平面中，过作，，ABCD F FG CD ∥FG BC G ⋂=又平面，平面，所以平面；CD ⊂1A DC FG ⊄1A DC FG 1A DC 因为，、平面，则平面平面．EF FG F ⋂=EF FG ⊂EFG EFG 1A DC 连接，交于，连接，AC FG M EM 则由平面平面，EFG 1A DC平面平面，平面平面，则，1A AC ⋂11A DC A C =1A AC ⋂EFM EM =1EM A C ∥在中，过作，且，则．EFM △P ∥PQ EM PQ FM Q = 1PQ A C ∥∵线段在四边形内，在线段上，∴在四边形内．FM ABCD Q FM Q ABCD 所以过点P 且与平行的直线相交的面是平面．1A C ABCD 故选：A ．16．已知正四棱柱中，底面边长，是长方体表面上一点，则1111ABCD A B C D -1AB =1AA =P 的取值范围是（ ）1PA PC ⋅ A ．B ．C ．D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】取中点，将所求数量积转化为，根据的取值范围可求得结果.1AC O22PO OA - PO 【详解】取中点，1AC O 则，()()()()2211PA PC PO OA PO OC PO OA PO OA PO OA⋅=+⋅+=+⋅-=- 当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，P 11ABB A min12PO=PO 1，，1=()223,04PO OA ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦ 即的取值范围为.1PA PC ⋅3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.三、解答题17．求实数m 的值或取值范围，使得复数分别满足：()2221iz m m m =+-+-(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数；(3)z 是复平面中对应的点位于第二象限.【答案】(1)1m =±(2)2m =-(3)21m -<<-【分析】（1）根据复数的概念列式可求出结果；（2）根据复数的概念列式可求出结果；（3）根据复数的几何意义可求出结果.【详解】（1）由题意得，所以；210m -=1m =±（2）由题意得，所以；222010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩2m =-（3）由题意得，所以.222010m m m ⎧+-<⎨->⎩21m -<<-18．在直三棱柱中，，.111ABC A B C -AC BC ⊥12AC BC CC ===(1)求四棱锥的体积V ；11A BCC B -(2)求直线与平面所成角的大小；1AB 11ACC A (3)求异面直线与所成角的大小.1AB 11A C【答案】(1)83(2)(3)【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质可得平面，进而根据锥体体积公式求解即可；AC ⊥11CC B （2）根据线面角的性质可得即为直线与平面所成的角，再在直角三角形中求出11B AC ∠1AB 11ACC A即可；11tan B AC ∠=（3）根据线线角的定义可得就是异面直线与所成的角（或其补角），再根据余弦定1B AC ∠1AB 11A C 理求解即可.【详解】（1）因为是直棱柱，所以平面，111ABC A B C -1CC ⊥ABC 又平面，得，AC ⊂ABC 1CC AC ⊥又因为，，且平面，所以平面.AC BC ⊥1CC BC C ⋂=1,CC BC ⊂11CC B AC ⊥11CC B 所以三棱锥的体积，11A BCC B -1113BCC B V AC S =⨯⨯ 得.18=22233V ⨯⨯⨯=（2）因为，所以， AC BC ⊥1111B C A C ⊥因为是直棱柱，所以平面，111ABC A B C -1CC ⊥111A B C 又平面，进而，所以平面，11B C ⊂111A B C 111CC B C ⊥11B C ⊥11ACC A 所以即为直线与平面所成的角. 11B AC ∠1AB 11ACC A在中，，，11Rt B AC 1AC =112B C =所以，11tan B AC ∠=所以直线与平面所成角的大小是1AB 11ACC A（3）因为，11AC A C ∥所以就是异面直线与所成的角（或其补角）1B AC ∠1AB 11A C 在中，，，1B AC△1AB =1BC =2AC =所以2221111cos 2AB AC B C B AC AB AC +-∠==⋅所以异面直线与所成的角大小是1AB 11A C 19．命中环数10987概 率0.320.280.180.12求：(1)该选手射击一次，命中不足9环的概率；(2)该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环的概率；(3)该选手射击两次（两次结果互不影响），两次命中之和不低于18环的概率.【答案】(1)0.4(2)0.1152(3)0.4752【分析】(1) 用表示该选手射击一次命中环数为的概率，利用计算即()P i i (9)1(10)(9)P i P P <=--可；(2)分“第一次命中10环，第二次命中8环”，或者“第一次命中8环，第二次命中10环”，再根据互斥事件的概率计算公式计算即可；(3)要使两次命中之和不低于18环，则包含两次命中的环数为：10，10；10，9；9，10；9，9；10，8；8，10共6种情况，再根据互斥事件的概率公式计算即可.【详解】（1）解：用表示该选手射击一次命中环数为的概率（）()P i i 010,N i i ≤≤∈则该选手射击一次，命中不足9环的概率为:;(9)1(10)(9)0.4P i P P <=--=（2）解：该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环，分为两种情形：“第一次命中10环，第二次命中8环”，或者“第一次命中8环，第二次命中10环”，将上述事件分别记作事件A 和事件B ，则A 、B 互斥，又事件A 中“第一次命中10环”与“第二次命中8环”相互独立，所以，同理.()(10)(8)0.0576P A P P =⋅=()0.0576P B =所以该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环的概率是；()()0.1152P A P B +=（3）解：该选手射击两次（两次结果互不影响），两次命中之和不低于18环的概率.(10)(10)(10)(9)(10)(8)(9)(10)P P P P P P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅(9)(9)(8)(10)0.4752P P P P +⋅+⋅=20．如图，在棱长为2的正方体中，点E 是棱AB 上的动点.1111ABCD A B C D -(1)求证：；11A D D E ⊥(2)点F 、G 分别是BC 、CD 的中点，求二面角的大小.1B B F G --【答案】(1)证明见解析(2)2arccos 3π-【分析】(1)建立空间坐标系，利用向量垂直的定义即可判断；(2)先分别求出两个面的法向量，求出向量角大小，观察图像，得出空间角与向量角的关系.【详解】（1）如图，以为坐标原点，以射线、、分别为轴、D DA DC 1DD x 轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系.yz 则，，，1(2,0,2)A (0,0,0)D 1(0,0,2)D 设，则，(2,,0)E y [0,2]y ∈∴，.1(2,0,2)DA = 1(2,,2)D E y =- ∴，114040DA D E ⋅=+-= ∴11A D D E⊥（2）易得,,(1,2,0)F (0,1,0)G ，，(1,1,0)GF = 1(1,0,2)FB = 设平面的法向量为，1GB F (,,)n u v w = ∴，即100n GF n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020u v u w +=⎧⎨+=⎩取，解得，1w =-2,2u v ==-从而平面的一个法向量为.1GB F (2,2,1)n =-- 平面的一个法向量为，1BB F (0,1,0)m =-从而. 2cos ,3||||m n m n m n ⋅<>== 经观察，二面角为钝角，1B B F G --所以二面角的大小是.1B B F G --2arccos 3π-21．如图，已知是正三角形，直角梯形ACDE 所在平面垂直于平面ABC ，且，ABC //CD AE ，，，F 是BE 的中点.2ACD π∠=2AE AB ==1DC =(1)求证：平面ABC ；//DF (2)求证：平面平面BDE .ABE ⊥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由题意可知，取中点构建平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）AB 由面面垂直的性质定理可得平面，即可得，再根据以及勾股定理，CD ⊥ABC AE AB ⊥2AE AB ==即可证明平面，再根据面面垂直的判定定理便可得出证明.AF ⊥BDE 【详解】（1）取中点，连接，如图所示；AB G ,FG CG则且.//FG AE 112FG AE ==因为，所以，//CD AE //FG CD 又，所以四边形是平行四边形，于是.1DC FG ==CDFG //DF CG 因为平面，平面，CG ⊂ABC DF ⊄ABC 所以平面.//DF ABC（2）因为直角梯形所在平面垂直于平面，，ACDE ABC 2ACD π∠=所以平面，所以，CD ⊥ABC CD AB ⊥因为，所以.//CD AE AE AB ⊥因为，是的中点，所以，且.2AE AB ==F BE AF =AF BE ⊥又是正三角形，，ABC 2AB =所以，，DF CG ==AD ===所以，从而，222AF DF AD +=AF DF ⊥又平面，平面，且，BE ⊂BDE DF ⊂BDE BE DF F ⋂=所以平面.AF ⊥BDE 因为平面，AF ⊂ABE 所以平面平面.ABE ⊥BDE。
上海市交大附中2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷含详解
当 时， 单调递增；
所以 不是 上的严格增函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除ACD，
对于B：当 时， 值域是 ；
当 时， 的值域是 ；
故函数 的值域为 ，故B正确，
故选：B
14.已知甲､乙两袋中分别装有编号为 的四个球.从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件 ：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件 ：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件 ：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件 与事件 相互独立；②事件 与事件 相互独立；③事件 与事件 相互独立.那么这三个命题中真命题的个数为（）
A 0个B.1个C.2个D.3个
15.已知 为定义在 上的函数，则“存在 ，使得 ”是“ 既不是奇函数也不是偶函数”的（）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
16.函数 在 上严格增，设 ，若 ，则 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
三､解答题（共5题，满分76分）.
故答案为： .
3.某学校模拟社区共有250名成员，其中高一学生88名，高二学生112名，高三学生50名.为了了解成员的情况，需要采用分层抽样的方式抽取50名学生进行调查，那么需要在高三年级抽取___________名.
【答案】
【分析】根据分层抽样的比例，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意可知，需要在高三年级抽取 名，
（3）已知函数 ，对任意 ， 恒成立，若由“ 具有 性质”能推出“ 恒等于 ”，求正整数 的取值的集合.
交大附中高二期末数学试卷
2022.06
一､填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每題5分，满分54分）.
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2021-2022学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷
1.（填空题，4分）化简：i366+i384+i500=___ ．
2.（填空题，4分）在极坐标系中，以点A(3，π
2
)、B（4，0）和极点O为顶点的三角形的面积为 ___ ．
3.（填空题，4分）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取一个容量为40的样本，用分层抽样法应抽取50岁以上年龄段的职工 ___ 人．
4.（填空题，4分）从7名老师中选取4人，分别带领四
组学生去鲁迅小道、大观园、历史博物馆、练塘古镇这4
处景点外出考察，每组1名带队老师，则共有 ___ 种安排
方式（用数字作答）．
5.（填空题，4分）在4个复数a+bi（a，b∈{1，2}）中随机取出两个不同的复数z、ω，则zω为纯虚数的概率为 ___ ．
6.（填空题，4分）两个事件A、B满足P(A)=P(B)=1
3
，且A和B独立，则P（A∪B）
=___ ．
7.（填空题，5分）某次高一年级数学期末考试的填空题第六题，答对得4分，答错得0分，全年级480人的正确率高达90%，则全年级该题得分的标准差为 ___ ．
8.（填空题，5分）参数方程{x=4cosθ
y=2sinθ（θ为参数）所表示的曲线为Γ，椭圆Γ'以Γ的焦点
为顶点、且以Γ的其中两个顶点为焦点，则椭圆Γ'的标准方程为 ___ ．
9.（填空题，5分）过点M（1，1）作斜率为1
2的直线与双曲线Γ：x2
a2
−y2
b2
=1（a＞0，b＞0）
相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则双曲线Γ的离心率为 ___ ．
10.（填空题，5分）已知复数z1、z2满足|z1|=3，|z2|=1，若z1和z2的幅角之差为π
3
，则
|z1−z2
z1+z2
| =___ ．
11.（填空题，5分）对任意复数z1，z2，定义z1∗z2=z1z2，其中z2是z2的共轭复数．对任意复数z1，z2，z3，有如下结论：
① （z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）；
② z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）；
③ （z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；
④ z1*z2=z2*z1．
则其中正确结论的序号为 ___ ．
12.（填空题，5分）已知平面上两个点集M={（x，y）||x+y+1|≥ √2(x2+y2)，x，y∈R}，N={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1，x，y∈R}．若M∩N≠∅，则a的取值范围是___ ．
13.（单选题，5分）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z-3|=|z-i|，则动点Z的轨迹为（）．
A.直线
B.线段
C.两条射线
D.圆
14.（单选题，5分）已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（）
A.事件A发生一定导致事件C发生
B.事件B发生一定导致事件C发生
C.事件A发生不一定导致事件C发生
D.事件C发生不一定导致事件B发生
15.（单选题，5分）2021年12月29日19时13分，长征二号丁遥四十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将天绘-4卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．已知天绘-4卫星的运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，距地球表面最近点的距离为m千米，距地球表面最远点的距离为n千米，地球可近似地看作一个半径为R千米的球体，则天绘-4卫星的运动轨道的短轴长为（）千米．
A.m+n+2R
B. 2√(m+R)(n+R)
C. m+n+2R
2
D. √(m+R)(n+R)
16.（单选题，5分）如图所示，甲、乙两人同时出发，甲从点A到B，乙从点C到D，且每人每次都只能向上或向右走一格．则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为（）
A. 3
7
B. 5
7
C. 5
14
D. 13
21
17.（问答题，14分）“FMC”是由复旦大学附属中学联合浦东分校、青浦分校、复旦中学举行的数学学科知识竞赛，欢迎在数学上有所特长、或是对数学学科感兴趣的同学们报名参加，现
将某次参加“FMC”的学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考察该次竞赛的成绩分布．将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组．各小组的小长方形的高的比为1：3：6：4：2，第五组的频数为12．
请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：
（1）该样本的容量是多少？
（2）成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率；
（3）该样本的第75百分位数在第几组中？
18.（问答题，14分）已知关于x 的方程x 2-2ax+a 2-4a+4=0（a∈R ）在复数范围内的两根分别为α、β．
（1）若该方程没有实根，求实数a 的取值范围；并在复数范围内对x 2-2ax+a 2-4a+4进行因式分解；
（2）若|α|+|β|=3，求实数a 的值．
19.（问答题，14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知两定点A （1，0）、B （0，-1），动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +（m-1） OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m∈R ）．当m 发生变化时，动点P 的轨迹记为L ．
（1）求轨迹L 的方程；
（2）若L 与圆C ：x 2+y 2-ax+2ay-1=0交于D 1、D 2两点，求弦D 1D 2长的最小值．
20.（问答题，16分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，满足|z+5|-|z-5|=2a （a ＞0）的复数z=x+yi （x ，y∈R ）对应的动点P （x ，y ）的轨迹记为Γ．
（1）若Γ为双曲线，求该双曲线的焦距和a 的取值范围；
（2）若a=1，且直线l 1：y=x+1与Γ交于A 、B 两点，求△OAB 的面积S △OAB ；
（3）若a=3，过点M （0，2）的直线l 2与Γ有且仅有一个公共点，求l 2与Γ的公共点坐标．
21.（问答题，18分）给出如下的定义和定理：
定义：若直线l 与抛物线Γ有且仅有一个公共点P ，且l 与Γ的对称轴不平行，则称直线l 与抛物线Γ相切，公共点P 称为切点．
定理：过抛物线y 2=2px 上一点（x 0，y 0）处的切线方程为y 0y=px 0+px ．
完成下述问题：
如图所示，设E 、F 是抛物线Γ：y 2=2px （p ＞0）上两点．过点E 、F 分别作抛物线Γ的两条
切线l 1、l 2，直线l 1、l 2交于点C ，点A 、B 分别在线段EC 、CF 的延长线上，且满足 EC
⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF
⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ＞0． （1）若点E 、F 的纵坐标分别为y 1、y 2，用y 1、y 2和p 表示点C 的坐标；
（2）证明：直线AB 与抛物线Γ相切；
（3）设直线AB 与抛物线Γ相切于点G ，求 S
△EFG S △ABC ．。