一元二次函数的图像和性质—讲义

2.5（1） 一元二次函数的图象和性质

一、【课程要求】

1．掌握二次函数的图像和性质，结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2．通过三个“二次”掌握函数、方程、不等式之间的关系

二、【重点难点】

①二次函数的图象和性质，②一元二次方程根的存在性及根的个数，函数最值问题。

三、【命题规律】

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。本节在高考中，重点考察数形结合与等价转化数学思想，通过三个“二次”之间的相互转化，考查函数的方程思想，对于二次函数的区间最值，尤其是含有参数的区间最值问题，要求选择合理的标准分类讨论，。

四、【知识回顾】

(一) 二次函数基本知识

1.二次函数的定义：形如2(0,,)y ax bx c a a b c =++≠且为常数的函数叫关于x 的二次函数。

2.二次函数的解析式的三种形式

（1）一般式（三点式）：2(0)y ax bx c a =++≠，配方后为 。

其中顶点坐标为 ，对称轴为 。

（2）顶点式（配方式）：2

0()()y a x h k a ≠=-+，其中顶点坐标为 ，对称轴为 。 （3）两根式（零点式）：120()()()y a x x x x a ≠=--，其中12,x x 是方程2

0ax bx c ++=的两个

根，同时也是二次函数的图像与x 轴交点()()12,00x x ，，的横坐标。 求函数解析式时，一般采用 待定系数法

3.二次函数的图像和性质

（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像是一条 ，其对称轴为 ，顶点坐标

为 ，开口方向由 决定。

（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的单调性以对称轴为分界。

当0a >时，函数图像开口向 ，当x ∈ 时，()f x 单调递增，

当x ∈ 时，()f x 单调递减，

当x = 时，()f x 有最小值。min y =

当0a <时，函数图像开口向 ，当x ∈ 时，()f x 单调递增，

当x ∈ 时，()f x 单调递减，

当x = 时，()f x 有最大值。max y =

在作二次函数草图时，往往抓住：开口方向，对称轴，与x 轴交点，与y 轴交点，顶点等。 （3）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当2

40b ac ∆=->时，图像与x 轴有两个交点11(,0)M x ，

22(,0)M x ，则12M M =21||

x x a -===

（4）关于二次函数()y f x =的对称轴的判断方法：

①若二次函数对定义域内所有x ，都有12()()f x f x =，则其对称轴为12

2

x x x +=

②若二次函数对定义域内所有x ，都有()()f m x f m x +=-，则其对称轴为x m =。

③若二次函数对定义域内所有x ，都有()()f m x f n x +=-，则对称轴为2

m n

x +=

④.若二次函数对应方程为()0f x =两根为12,x x ,则对称轴方程为：12

2

x x x +=

4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值

（1）在(,)-∞+∞上的最值

当0a >时，min

y =()2f b a -=244ac b a -，当0a <时，max y =()2f b

a

-=

244ac b a - （2）在闭区间[],m n 上的最值————“轴变区间定”

二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在闭区间[],m n 上的最值问题，一般情况下，需要分三种情况讨论，依据对称轴与区间的位置关系：2b m a <-

，2b n a m ≤≤-,2b

n a

>-。再结合图像分析。 对于二次函数2

0()()y a x h k a =-+>在闭区间[],m n 上的最值问题，有以下结论： ①若[],h m n ∈，则min ()f k y h ==，{}max max (),()y f m f n =

②若[],h m n ∉，则{}min min (),()y f m f n =，{}max max (),()y f m f n = （0a <时可仿此讨论）

【典例精讲】

题型一：二次函数的解析式的求法

例1．已知二次函数()f x 满足(2)1,(1)1f f =--=-且()f x 的最大值是8，求此二次函数的解析式。

例2．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()0f x =的两实数根平方和为10，图象过点

(0,3),求()f x 的解析式.

题型二：二次函数最值或值域问题

例3．已知函数21

42

a y x ax =-+-+在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值.

例4．已知函数2(21)3(0)()a x a f x ax +--≠=在区间322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，

上的最大值为1，求实数a 的值。 例5.

已知函数2

8()x f x x +=-，求函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值()h t

例6.函数

24()4f x x x -=-在闭区间[],1()t t t R +∈上的最小值为()g t

（1）试写出()g t 的函数表达式 （2）求()g t 的最小值

【方法归纳】

1. 解二次函数最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为2

()y a x h k =-+的形式，得顶点

(,)h k 或对称轴方程x h =

2. 对含有参数的二次函数在闭区间上的值域与最值问题，主要考虑其对称轴与定义域区间的位

置关系，由此进行分类讨论。如果利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图像对称轴与闭区间的位置关系。

3. 二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域区间左侧，②对

称轴在定义域区间右侧，③对称轴在定义域区间内。

题型三：已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求

参数的范围，这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图像。

例7．已知二次函数24(1)3y ax a x =++-在[)2,+∞上递减，则a 的取值范围是

题型四：二次函数的综合应用

例8．已知二次函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，且 ,32||=AB 它在y 轴上的截距 为4,又对任意的x 都有(1)(1)f x f x +=-。 （1）求二次函数的表达式；

（2）若二次函数的图象都在直线:l y x c =+的下方，求c 的取值范围.