高二数学选修2-2导数的计算

导数的计算

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用

一、用定义计算导数

问题 1：如何求函数y f ( x) c 的导数？

2．求函数y f (x)x 的导数

3．函数y f (x)x2的导数

1

4．函数y f ( x)的导数

x

5．函数y x 的导数

二

1.基本初等函数的导数公式表

函数

y c

y f (x) x n (n Q* )

y sin x

y cos x

y f ( x) a x

y f ( x)e x

f ( x)lo

g a x

f ( x) ln x

分几类1、幂函数 2.三角函数

导数

y'0

'n 1

y nx

y'sin x

y' a x ln a (a0)

y'e x

1

f ' ( x)(a0且 a 1)

x ln a

f ' ( x)1

x

3 指数函数 4.对数函数

补充 f ( x)

1

x f ' (x)1

x2

f x 1

x

'

1

f ( x)

2公式的应用

典型题一、求导数

例、求下列函数的导数

1

A (1)y x5(2)y5(3)y1

x ( 4)y ln x(5)y log 2 x(6)y cosx

思考求 f ( x)的方法有哪些？

3.导数的四则运算法则：

问题x ln x 如何求？

1、2、f ( x)g ( x)

f ( x)

'

g( x)

导数运算法则

'

' (x) g'(x)

f

f ' ( x) g( x) f ( x)

g ' ( x) f (x)

3、

g( x)推论：cf (x) 'cf ' (x)'

' (x) g( x) f ( x) g' (x)

f

(g( x) 0)

2

g(x)

提示：积法则 ,商法则 , 都是前导后不导,前不导后导 , 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号 .。

常见错误： f (x)

'

' ( x)g ' ( x)

g (x)f

'

f '

(x)

(g(x) 0)

f ( x)

g( x)g'( x)

典型题二、导数的四则运算法则

例题 3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（ 1）y x32x3

（2）y x sin x；（ 3）y(2 x25x 1) e x；

（ 4）y

x cos x lnx

A 变式练习1

1

y x

x

y cos x

+lnx x

sin x

y

cos x

A变式 2.求下列函数的导数y sin x(cosx e x ) y x2 sin x

（ 1） y=2 x3 +3cosx,(2)y=(1+2x)(2x-3)

(3)y= x sin x(4)y=ln x1 x2

A 变式 3．已知 f （ x） =xcosx ﹣ sinx，则 f ′（ x）=（）解：∵f （ x） =xcosx ﹣ sinx，

∴f′（ x）=cosx﹣ xsinx ﹣ cosx=﹣xsinx ，

已知函数 f （ x） = x2lnx ，则 f （′x）等于（）

函数 y=e x

sinx 的导数等于（）

x x x x

（ sinx+cosx ）A ． e cosx B． e sinx C．﹣ e cosx D． e

分析：利用导数乘法法则进行计算，其中（e x

）′=e

x

， sin′x=cosx ．

解答：解：∵y=e x

sinx ，

∴y′=（ e x

）′sinx+ （ e

x

）?（ sinx）′

x x

=e sinx+e cosx

=e x

（ sinx+cosx ）．

故选 D ．

4.函数

的导数值为 0 时， x 等于（ ）

解：∵

= ，∴

令 y ′=0，即

，解得 x= ±a ．

A 变式练习 4

若函数 y=f （x ）的导数 f ′（x ） =6x 2

+5，则

2

3

A ． 3x +5x

B ． 2x +5x+6

2

解答：解：∵f' （x ） =6x +5

3

∴f （ x ） =2x +5x+c （ c 为常数）

函数 f （ x ） =xsinx+cosx 的导数是（ ）

解：∵f （ x ） =xsinx+cosx

f （ x ）可以是（

）

3

2

C ． 2x +5

D ． 6x +5x+6

∴f ′（ x ）=（ xsinx+cosx ）′=（ xsinx ）′+（ cosx ）′

=x ′sinx+x （ sinx ）′﹣ sinx =sinx+xcosx ﹣ sinx=xcosx

ln x 1

2

x

xx

）

若 f ′（ x ） =2e +xe （其中 e 为自然对数的底数） ，则 f （ x ）可以是（

x

x

+1

x

x

A ． xe +x

B ． （ x+1） e

C ． xe

D ． （ x+1 ）e +x

分析：利用导数的运算法则即可得出．

x xx

解答：解：利用导数的运算法则可得：

A ．（ xe +x ）′=e +xe +1 ，

x

x

x

x

B ． [ （ x+1） e +1]=e +（ x+1 ）e =（ x+2

）e ，

C ．（xe x ）′=e x +xe x

，

x

x

x

x

D ． [ （ x+1） e +x]′=e +（ x+1） e +1= （x+2 ） e +1 ． 故选 B ．

请默写出常见函数的导数

4、复合函数

问题

y (2 x 1)2 求导是多少？