雅可比迭代

综合实验报告

一、实验名称

雅可比迭代法

二、 实验目的

（1） 掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法；培养编程与上机调试

能力;

（2） 熟悉Matlab 软件环境.

三、 实验要求

（1） 用雅可比迭代法解方程组；

（2） 建议利用C++语言设计算法或利用Matlab 或Maple 或Mathematica 软件作为辅

助工具来实现该实验.

四、 实验原理

雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组

设方程组Ax b = 的系数矩阵对角线元素0(1,2,...,)ii a i n ≠=，M 为最大迭代次数，ε

为容许误差. 雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组算法步骤如下：

① 取初始向量(0)(0)(0)12(,,...,)T n x x x x =

，令0k =. ② 对1,2,...,i n =，计算

(1)

(

)11()n k k i i ij j j ii j i

x b a x a +=≠=-∑ . ③ 如果(1)()1n k k i i i x x ε+=-<∑，则输出(1)k x + ，结束；否则执行④

④ 如果k M ≥，则不收敛，终止程序；否则1k k ←+，转②

高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法

在雅可比（Jacobi ）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解.基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法. 算法可相应地从雅可比（Jacobi ）迭代法改造得到.

五、 实验题目

求解初值问题 2'(01)(0)1x y y x y y ?=-<

六、 实验步骤

设方程组Ax b = 的系数矩阵对角线元素0(1,2,...,)ii a i n ≠=，M 为最大迭代次数，ε

为容许误差. 雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组算法步骤如下：

① 取初始向量(0)(0)(0)12(,,...,)T n x x x x =

，令0k =. ② 对1,2,...,i n =，计算

(1)

(

)11()n k k i i ij j j ii j i

x b a x a +=≠=-∑ . ③ 如果(1)()1n k k i i i x x ε+=-<∑，则输出(1)k x + ，结束；否则执行④

④ 如果k M ≥，则不收敛，终止程序；否则1k k ←+，转②

七、 实验整体流程图

八、程序及其运行结果

要求：写出关键程序部分即可，程序中至少1/3行有注释.

Gauss-Serdel迭代法的MA TLAB函数文件gauseidel.m如下：Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下：function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)

if nargin==3

eps=1.0e-6;

elseif nargin<3

error

return

end

D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵

L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵

U=-triu(A,1); %求A的上三角阵

G=(D-L)\U;

f=(D-L)\b;

y=G*x0+f;

n=1; %迭代次数

while norm(y-x0)>=eps

x0=y;

y=G*x0+f;

n=n+1;

end

Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下：function varargout=ykb(varargin)

A=input('输入方程系数矩阵A，用逗号和分毫隔开。A=');

b=input('常数矩阵,用；隔开。b=' );

x0=input('初值x0=');

x=ykb(A,b,x0)

function x=ykb1(A,b,x0)

nn=input('迭代次数(必填项)n=');

ee=input('精度(可不填，表示无精度限制)ee=');

n4=0;%n4为计算迭代次数

n1=length(b);

x1=zeros(n1,1);

for i=1:nn

for j=1:n1

s=0;

for k=1:n1

if k~=j

s=s+A(j,k)*x0(k);

end

end

x1(j)=(b(j)-s)/A(j,j);

end

if norm(x1-x0)

break

end

x0=x1;

n4=n4+1;

end

x=x1;

n=n4%叠加次数

九、 实验结果分析题目

应用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法解线性方程组1231231

2352828321361x x x x x x x x x ++=??+-=??--=?

雅可比迭代法迭代次数20次，结果如下： [0] 1.000000

[1] 2.000000[2] 1.000000

x x x =+=+=-

① 判别迭代法收敛的充分必要条件及充分条件是什么？

② 雅可比（Jacobi ）迭代法和高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法收敛性的各种判别条件是什么？

十、 实验体会

十一、教材与主要参考书

教材：

李庆扬，王能超，易大义编著，数值分析（第五版），清华大学出版社，2008

参考书：

[1] 黄友谦，程诗杰，陈浙鹏，数值试验，北京：高等教育出版社，1989

[2] 蔡大用，数值分析与实验学习指导，北京：清华大学出版社与施普林格出版社，2001

[3] 肖筱南，数值计算方法与上机实习指导，北京：北京大学出版社，2004

[4] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics, New York ：Springer-Verlag, 2000

[5]傅凯新，黄云清，舒 适，数值计算方法，长沙：湖南科学技术出版社，2002