研究生数值分析(11)雅可比(Jacobi)迭代法
雅可比迭代公式
雅可比迭代公式雅可比迭代公式是一种在数值分析中用于求解线性方程组的迭代方法。
咱先来说说这个雅可比迭代公式到底是啥。
比如说，咱有一个线性方程组，像这样：\[\begin{cases}3x - y + z = 7 \\x + 2y - z = 1 \\x - y + 3z = 3\end{cases}\]雅可比迭代公式就是通过一次次的计算来逐渐逼近这个方程组的解。
咱们把这个方程组改写成下面这样：\[\begin{cases}x = \frac{1}{3}(7 + y - z) \\y = \frac{1}{2}(1 - x + z) \\z = \frac{1}{3}(3 - x + y)\end{cases}\]然后，咱就可以开始迭代啦。
先随便给 x、y、z 赋个初值，比如说都设成 0 。
第一次迭代，把初值代入上面的式子算新的值。
就这么一次次算下去，慢慢地，x、y、z 的值就会越来越接近真正的解。
我记得之前给学生们讲这个雅可比迭代公式的时候，有个学生特别有意思。
那是个挺机灵的小男孩，叫小明。
刚开始讲的时候，他一脸迷茫，完全没听懂。
我就给他举了个买糖果的例子。
假设小明有一笔零花钱，准备去买三种糖果，巧克力、水果糖和牛奶糖。
巧克力糖3 块钱一颗，水果糖2 块钱一颗，牛奶糖3 块钱一颗。
小明一共只有 11 块钱，而且他有个想法，就是买的巧克力糖的数量是水果糖和牛奶糖数量总和的三分之一，水果糖的数量是巧克力糖和牛奶糖数量总和的二分之一，牛奶糖的数量是巧克力糖和水果糖数量总和的三分之一。
这时候，咱们不知道每种糖到底买多少颗，那就先随便猜个数。
比如说，先猜巧克力糖买 0 颗，水果糖买 0 颗，牛奶糖也买 0 颗。
然后按照前面说的关系来调整。
第一次调整，算出来巧克力糖应该买 11/3 颗，水果糖应该买 11/4 颗，牛奶糖应该买 11/9 颗。
当然啦，糖可不能买零点几颗，这只是个计算过程。
就这么一次次调整，最后就能算出比较接近真实情况的答案啦。
研究生数值分析(11)雅可比(Jacobi)迭代法
则 AX=b 的系数矩阵 为A=D-L-U , 雅可比迭代公式的矩阵表示形式为 X ( k 1) D1 ( L U ) X ( k ) D 1b 其中 D 1 ( L U ) 称为雅可比迭代矩阵。 记为 BJ D 1 ( L U )
我们用定理2来判断雅可比迭代公式是否收敛
需要考虑雅可比迭代矩阵
特征方程 又可以写成 因为
D 1 0
D 1 ( L U )
I D 1 ( L U ) 0
D 1 D L U 0
，所以 D L U 0
上式左端为将系数矩阵 A 的对角元同乘以λ 后所得新矩阵的行列式。
例8 用雅可比迭代法求解方程组
取初始向量
X (0) ( x1(0) , x2(0) ,, xn (0) )T
{X (k )}
利用(4)反复迭代可以得到一个向量序列
称式(4)为雅可比迭Jacobi代公式。
若记
a11 a22 D ann a1n 0 0 a12 a 0 0 a2n 21 U L a31 a32 0 an1,n an1 an 2 an1 0 0
个方程解出得到一个同解方程组雅可比jacobi迭代法获得相应的迭代公式1121223132则axb的系数矩阵为adlu记为我们用定理2来判断雅可比迭代公式是否收敛需要考虑雅可比迭代矩阵上式左端为将系数矩阵a的对角元同乘以后所得新矩阵的行列式
1 雅可比（Jacobi）迭代法 由方程组 AX=b 的第 i 个方程解出 xi
可以看出，当迭代次数增加时，迭代结果 越来越接近准确解.
(9) (9) (9) 因此， x1 0.9998, x2 1.9998, x3 2.9998
jacobi迭代法原理
jacobi迭代法原理一、引言Jacobi迭代法是一种数值方法，用于解线性方程组。
它是一种简单而又实用的方法，可以在计算机上高效地实现。
本文将详细介绍Jacobi 迭代法的原理。
二、线性方程组在介绍Jacobi迭代法之前，我们先来了解一下线性方程组。
一个线性方程组可以表示为：A*x = b其中A是一个n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
我们的目标是求解x。
三、Jacobi迭代法的基本思想Jacobi迭代法的基本思想是将矩阵A分解为两个部分：D和R。
其中D是A的对角线部分，R是除对角线外的部分。
例如，对于下面这个3×3的矩阵：A = [4 1 0; 1 4 1; 0 1 4]我们可以将其分解为：D = [4 0 0; 0 4 0; 0 0 4]R = [0 -1 0; -1 0 -1; 0 -1 0]然后我们可以将原方程组表示为：(D+R)*x = b进一步化简得到：D*x = b - R*x这就是Jacobi迭代法的基本式子。
四、Jacobi迭代法的算法流程Jacobi迭代法的算法流程如下：1. 将矩阵A分解为D和R。
2. 初始化x为一个任意的向量。
3. 对于每个迭代步骤，计算新的x值：x(i) = (b(i) - R(i)*x(i-1)) / D(i,i)4. 重复第3步，直到收敛。
五、Jacobi迭代法的收敛性Jacobi迭代法并不总是能够收敛。
如果矩阵A不满足对角线严格占优条件，则可能会出现发散的情况。
对于一个n×n的矩阵A，如果它满足以下条件之一，则称其为对角线严格占优：1. 对于所有i=1,2,...,n，有|a(i,i)| > ∑|a(i,j)| (j≠i)2. 对于所有i=1,2,...,n，有|a(i,i)| > ∑|a(j,i)| (j≠i)如果矩阵A满足对角线严格占优条件，则Jacobi迭代法一定会收敛。
六、Jacobi迭代法的优缺点Jacobi迭代法具有以下优点：1. 简单易懂：相较于其他数值方法，Jacobi迭代法更加简单易懂。
jacobi迭代法原理
jacobi迭代法原理Jacobi迭代法是一种解线性方程组的方法，用于求解形如Ax=b的线性方程组。
其基本原理是通过迭代逼近的方法逐步优化解的精度，直至满足所需的精度要求。
假设我们要求解的线性方程组为n个未知数，即有n个方程。
Jacobi迭代法的关键思想是将每个未知数的解按照某种次序进行更新，并且在更新过程中以当前的解作为项的更新依据，而不是使用“全局”的解。
首先，我们将线性方程组表示为一个矩阵形式：Ax=b，其中A是n×n的系数矩阵，x是n×1的未知数向量，b是n×1的常数向量。
然后，我们将A矩阵分解为两个矩阵D和R，其中D是A的对角线矩阵，R是A去掉对角线元素后的剩余矩阵。
即A=D+R。
接下来，我们将方程组改写为迭代的形式：Dx^{(k+1)} = -R*x^{(k)} + b，其中x^{(k)}表示第k次迭代的解。
根据上述迭代公式，我们可以得到每次迭代的更新公式为x_i^{(k+1)} = (-1/D_{ii}) * (Sum(R_{ij} * x_j^{(k)}) - b_i)，其中Sum表示对j的求和，i表示第i个未知数。
Jacobi迭代法的迭代过程就是根据上述更新公式，依次对每个未知数进行更新，直至解满足所需精度要求或达到最大迭代次数。
需要注意的是，为了Jacobi迭代法的收敛，系数矩阵A中的对角线元素必须非零，并且非对角线元素的绝对值之和必须小于每个对角线元素的绝对值。
总的来说，Jacobi迭代法通过逐个更新未知数的解，通过迭代逼近的方式求解线性方程组。
它的优点是易于理解和实现，但缺点是收敛速度较慢，对于大型问题可能需要较多的迭代次数。
雅可比迭代法原理
雅可比迭代法原理雅可比迭代法（Jacobi Iteration Method）是一种用于线性方程组迭代求解的方法。
它广泛应用于数值计算和科学工程领域，特别在计算机模拟和科学计算中得到了广泛应用。
雅可比迭代法通过将线性方程组表达为矩阵形式，并不断迭代更新估计解向量，最终求得线性方程组的精确解或者近似解。
设有一个n阶方程组表达为Ax=b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n维向量，b是一个n维向量。
雅可比迭代法的思想是通过迭代过程逐步逼近方程组的解。
首先，我们将方程组转化为x的显式表达式。
假设矩阵A对角线上的元素都不为0（这是雅可比迭代法的一个限制条件），方程组的第i个方程可以表达为：xi = (bi - Σaijxj) / aii其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。
然后，我们假定一个初始解向量x^(0)。
迭代过程则是通过反复使用上述方程表达式，不断更新解向量x，直到收敛到一个满足精度要求的近似解。
雅可比迭代法的公式表达为：x^(k+1)_i = (bi - Σa_ijx^k_j) / a_ii其中，k表示迭代过程的次数，k+1表示迭代的下一步。
雅可比迭代法的收敛原理是基于对角元素主支配性的分析。
如果A的对角元素主支配于其它元素，即对于每个i，都有，a_ii，> Σ，a_ij，(i ≠j)，那么雅可比迭代法是收敛的。
在实际应用中，我们通常会通过编写程序或者使用现有的数值计算软件来求解方程组，并进行相应的误差分析。
雅可比迭代法的优点之一是简单易实现，容易理解。
它不需要对矩阵进行变换，只需要进行一系列的矩阵乘法和向量加法操作，因此它的计算量相对较小。
此外，雅可比迭代法还能有效解决病态问题，即系数矩阵A 的条件数很大的情况。
然而，雅可比迭代法也有一些缺点。
首先，它的收敛速度相对较慢，特别是对于条件数很大的矩阵。
其次，迭代过程必须保证A的对角元素都不为0，否则无法进行迭代。
并且，迭代的停止条件需要合适地选择，不然可能陷入无限循环。
jacobi迭代计算式
jacobi迭代计算式Jacobi迭代是一种求解线性方程组的迭代方法。
它可以用于求解大规模的线性方程组，并且具有较好的收敛性和稳定性。
在这篇文章中，我们将介绍Jacobi迭代的原理和应用。
我们来看一下Jacobi迭代的基本原理。
对于一个n阶线性方程组Ax=b，其中A为方阵，b为常向量，Jacobi迭代的基本思想是将方程组转化为x=D^{-1}(b-Rx)，其中D为A的对角矩阵，R为A 的非对角矩阵。
然后，我们可以通过不断迭代的方式求解x的近似解。
Jacobi迭代的迭代公式为x^{(k+1)}=D^{-1}(b-Rx^{(k)})，其中x^{(k)}为第k次迭代的近似解，k为迭代次数。
通过不断迭代，我们可以得到x的逼近解。
接下来，我们来看一下Jacobi迭代的应用。
Jacobi迭代广泛应用于科学计算和工程领域，特别是在求解大规模线性方程组时具有一定的优势。
它可以用于求解电力系统潮流计算、结构力学计算、流体力学计算等领域的问题。
例如，在电力系统潮流计算中，Jacobi迭代可以用于求解节点电压和节点功率的关系。
通过迭代计算，可以得到电力系统各个节点的电压和功率的近似值，从而分析电力系统的稳定性和安全性。
Jacobi迭代还可以应用于结构力学计算中的应力分析。
通过迭代计算，可以得到结构体系中各个节点的应力分布情况，从而分析结构的强度和稳定性。
在流体力学计算中，Jacobi迭代可以用于求解流体流动的速度场和压力场。
通过迭代计算，可以得到流体流动过程中各个位置的流速和压力的近似值，从而分析流体流动的规律和特性。
需要注意的是，Jacobi迭代的收敛性和稳定性与矩阵A的特征值有关。
如果矩阵A的特征值分布不合理，Jacobi迭代可能会出现不收敛或收敛速度很慢的情况。
因此，在实际应用中，需要对矩阵A进行合理的预处理，以提高迭代的收敛性和稳定性。
Jacobi迭代是一种求解线性方程组的有效方法。
它具有较好的收敛性和稳定性，并且可以广泛应用于科学计算和工程领域。
研究生数值分析练习题答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。
研究生数值分析(11)---雅可比(Jacobi)迭代法
a x (k) n,n1 n1
bn )
取初始向量
X
(0)
(
x (0) 1
,
x (0) 2
,
,
x (0) n
)T
利用（4）反复迭代可以得到一个向量序列 {X (k)}
称式（4）为雅可比迭Jacobi代公式。
若记
a11
D
a22
0
a21 0
0 a12
0
L a31
a32
0
U
特征方程 I D1(L U ) 0
又可以写成 D1 D L U 0 因为 D1 0 ，所以 D L U 0 上式左端为将系数矩阵 A 的对角元同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例8 用雅可比迭代法求解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
由迭代矩阵的特征方程
10 2 1 2 10 1 0 1 2 5
展开得到
(10 2)(50 2 10 3) 0
解得
1
1 5
, 2
1 10
7
, 3
1 10
7
于是 (J ) 1 7 0.3646 1
10
因而雅可比迭代公式是收敛的。
练习:考察用雅可比Jacobi迭代法解方程组 AX=b的收敛性，
解：相应的雅可比迭代公式为
x1(
k
1)
1 10
(2x2(k )
x (k) 3
3)
x2(k
1)
1 10
(2
x1(
k
)
x (k) 3
15)
x3(k
1)
1 5
(
x1(
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