研究生数值分析(21-22)数值积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析课件第八章-数值积分
数值积分在金融学中用于计算金融工具的定价和风险管理。
计算机图形学
数值积分在计算机图形学中用于渲染算法，如光线跟踪和体积渲染。
数值积分的实际案例分析
我们将通过一些实际案例来展示数值积分的应用。从计算物体的表面积和体 积，到求解定积分的数值解，数值积分在各个领域都发挥着重要的作用。
数值积分的优缺点
数值分析课件第八章-数 值积分
欢迎来到数值分析课件第八章的演示！今天我们将学习数值积分，探讨其定 义、基本方法、误差分析、应用领域，以及优缺点。让我们一起深入了解这 个有趣而重要的主题吧！
数值积分的定义和概念
数值积分是一种计算数学中广泛应用的技术，通过离散化连续函数来估计曲线下的面积。它通过将曲线 划分为小矩形、小梯形或小区间，并计算其面积来实现。
数值积分的基本方法
1
矩形法
矩形法是最简单的数值积分方法之一，将曲线划分为多个小矩形，并计算每个小 矩形的面积后累加。
2
梯形法
梯形法将曲线划分为多个小梯形，并计算每个小梯形的面积后累加。它比矩形法 更精确，但仍然是一种近似方法。
3
辛普森法
辛普森法通过将曲线划分为多个小区间，并使用二次多项式拟合每个小区间的曲 线来计算积分。它比矩形法和梯形法更准确。
1 优点：快速准确
数值积分可以快速计算曲线下的面积，并提供较准确的结果。
2 缺点：近似误差
由于离散化和近似计算的原因，数值积分结果可能存在一定的误差。
总结和展望
通过本次课程，我们深入了解了数值积分的定义、基本方法、误差分析、应 用领域和优缺点。希望这些知识能够帮助您更好地理解和应用数值积分技术。
数值积分的误差分析
1 截断误差
数值积分的截断误差是由将连续函数离散化为小区间所引入的误差。它可以通过控制小 区间的大小来减小。
数值分析-数值积分
b
n
f (x)dx (b a)
a
i f (xi )
i0
或写成:
求积节点
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
数值积分公式
求积系数
记
n
In ( f ) Ak f (xk ) k 0
称为数值 求积公式
b
n
R( f ) I ( f ) In ( f ) a f (x)dx Ak f (xk ),
(n 1)!
n
(x xk ) dx
k 0
§3 Newton-Cotes公式
一、Cotes系数
取节点为等距分布：
xi
a i h,
h
ba, n
i 0,1, ... , n
由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此
时求积系数：
Ai
xn
(x xj ) dx
x0 ji (xi x j )
其中，
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
wn 1 ( x)
为插值余项。
于是有：
b
b
b
a f (x)dx a Ln (x)dx a Rn (x)dx
n j0
b a
l
j
(
x)dx
f
(
x
j
)
b
R( x)dx
a
取 b
n
b
f ( x)dx
a
f ( xk ) a lk ( x)dx
➢ 复化 Cotes公式：
h ba, n
xk
akh
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
工科研究生“数值分析”课程教学大纲及教学日历
工科研究生“数值分析”课程的教学大纲序号：课程编号：课程名称：数值分析/ Numerical Analysis学时：40 学分： 2.5责任教师：王开荣，何光辉，董海云，李东，温罗生适用专业：工科研究生各专业先修课程：高等数学、线性代数课程教材：《应用数值分析》，王开荣，杨大地，高等教育出版社，2010年7月参考教材：1. 关治, 陆金甫，《数值方法》清华大学出版社，2006.2.2. Numerical Analysis Using MATLAB,Fourth Edition,电子工业出版社(影印版)，2005年7月。
一、课程的性质、目的和任务学习数值分析课程能培养学生运用数学的方法和借助计算机解决工程计算问题的能力。
其任务是通过近似计算，使得许多难以求解的数学问题得以简化、可行。
并得到满足误差要求的近似解。
本课程的目的和任务是使工科研究生掌握工程应用中的数值计算方法，为具有不同工程背景的学生能运用这些近似计算方法处理在工程技术及其科学研究中出现的计算问题奠定坚实的基础。
通过学习要求学生能正确理解数值分析的所有的概念和算法，掌握算法的构造思想及其基本算法的步骤。
能应用工具软件Matlab独立完成常用的算法的编程及数值计算。
通过典型的数值算例验证所编程序的正确性，并且应用到实际问题中。
二、课程的教学内容和基本要求1．误差(4学时)(1)了解误差的来源和误差的概念;(2)理解误差的传播和算法中应避免的问题;2．线性方程组的直接解法(6学时)(1)掌握Guass消去法，理解范数的概念;(2)熟练运用Gauss列主元素法，三角分解法，追赶法;3．线性方程组的迭代法(4学时)(1)理解迭代法的收敛条件，掌握Jacobi迭代法;(2)熟练运用Seidel，SOR迭代法;4．方阵的特征值与特征向量的计算(2学时)(1)了解QR方法;(2)熟练运用乘幂法和反幂法，Jacobi方法;5．非线性方程求根(4学时)(1)掌握二分法;(2)熟练使用Newton法;6．插值法(6时)(1)掌握Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值；(2)熟练运用分段插值，样条插值；7．函数逼近与数据拟合(2时)(1)掌握多项式逼近，拟合；(2)熟练运用正交多项式逼近，拟合;8．数值积分(6时)(1)掌握Newton-Cotes公式，Gauss求积公式；(2) 熟练运用Romberg积分公式，复化Gauss型公式;9．常微分方程初值问题的数值解法(4时)(1)掌握Euler方法，Runge-kutta方法，Admas预测-校正法；(2)了解稳定性、收敛性和计算误差估计，高阶方程及方程组.10．总复习(2时)四、考试方式考试以笔试、闭卷的方式进行。
数值分析21求积分的蒙特卡罗方法
) I 1(
h 2
) 2(
2
h
) k(
4
h
)
2k
2k 2
所以
[ 4T (
h 2
) T ( h )] / 3 I O ( h )
4
记
4T ( ) T ( h ) 2 T1 ( h ) 41
4 6 2k
h
T1 ( h ) I 2 h 3 h k h
m
0
1
2
3
4
5
h 3
[ f ( x 2 k 2 ) 4 f ( x 2 k 1 ) f ( x 2 k )]
k 1
复合Simpson公式
Sm
S1
h 3
h1 3
[ f (a ) f (b ) 2 f ( x 2 k ) 4 f ( x 2 k 1 )]
3/16
R[ f ]
f
(4)
( )
4!
x2 x0
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x 2 ) dx
2
令 h =(b – a)/2, x = x0+ t h ,则
x2 x0
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x 2 ) dx h
2
5
2 0
《数值分析》 21
Simpson公式的误差
格林公式中曲线积分处理 右矩形公式应用 求积分的蒙特卡罗方法
龙贝格外推计算公式
I[ f ]
S[ f ]
b
R[ f ]=I[ f ] – S[ f ]
f ( x ) dx
数值分析重点公式
数值分析重点公式下面是一些数值分析中的重点公式：1.最大值和最小值：- 最大值：记作 max(a, b) 表示 a 和 b 中较大的值。
- 最小值：记作 min(a, b) 表示 a 和 b 中较小的值。
2.线性插值：-线性插值：对于给定的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，如果希望在这两个点之间的x值为x的位置计算对应的y值，可以使用线性插值：y=y1+(y2-y1)*((x-x1)/(x2-x1))。
3.数值微分：-前向差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数，其中h是一个小的正数。
-后向差商：用f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。
-中心差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2*h)的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。
4.数值积分：-矩形法则：使用函数在每个小矩形中的平均值作为矩形高度来计算定积分的近似值。
-梯形法则：使用底边为区间长度的梯形面积的一半来计算定积分的近似值。
-辛普森法则：使用函数在每个小区间上的平均值和两个端点值的加权平均来计算定积分的近似值。
5.数值解线性方程组：-高斯消元法：将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解各个未知数。
-LU分解：将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，再通过回代求解各个未知数。
-追赶法（托马斯算法）：适用于解三对角系数矩阵的线性方程组，通过追赶的方式求解。
6.数值解非线性方程：-二分法：通过计算函数在区间端点的值的符号来确定函数在区间内的根的存在，并迭代缩小区间直至满足精度要求。
-牛顿法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用切线来逼近根的位置。
-弦截法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用割线来逼近根的位置。
7.数值解常微分方程：-欧拉方法：使用函数在当前点的导数值来估计下一个点的函数值。
重庆大学研究生数值分析试题解析
是Gauss公式。 六、(12分)设初值问题
y f( x ,y ) y ( a ) a x b
(1)试证单步法
2 2 K f ( x , y ) , K f ( x h , y hK ) 1 n n 2 n n 1 3 3 h y y ( K 3 K ) n 0 , 1 , 2 ,... n 1 n 1 2 4 y 0
( 4 ) f ( ) 2 x R ( x ) x ( x 1 ) ( x 2 ) 4 !
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
f ( x ) dx Af ( ) Bf ( 0 ) Cf ( ) 2 有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是
2 ,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7. 7 2 1 1 a a 2.设矩阵A= a 1 0 ,当a取______值时,A可以唯一分解 a 0 1 1 3 -1 又A =
为GGT,其中G为下三角矩阵.
解
令
1 a a 1 a 1 1 2 2 1 a 0 ,a 1 0 1 2 a 0 , 得： a a 1 2 2 a 01
3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向
是 量范数______, 而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数不是 _____.
4.求 3 a 解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a. 1 5.设(x)=x3+x2-3,则差商[3,32,33,34]=_______.
因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. (2)构造迭代格式: x 1 sin x k 0 , 1 , 2 ,... k 1 k 由于|(x)|=| cos |<1,故此迭代法收敛. x / 2 1 sin x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
但是在工程技术和科学研究当中，往 往遇到如下困难，而不能使用牛顿—莱布 尼兹公式。
1、 找不到用初等函数表示的原函数 例如：f (x) 为
sin x , e x2 , 1 , 1 x3
x
ln x
等等
2、 虽然找到了原函数，但因表达式过
于复杂而不便于计算
例如：
a bu cu2 du 2cu b a bu cu2 4c
a b
可惜的是ξ值不易找到，因而难以求出
f(ξ )的准确值。
但若能对 f(ξ )提供一种近似算法， 也可以得到一种数值积分公式。
若取 a ，则得到
b
a f (x)dx f (a)(b a)
如取 a b ，则得到
2
b f (x)dx f ( a b )(b a)
b a
f ( (n1) )
(n 1)!
n 1
(
x)dx
n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ), (a, b)
此时，R n = 0，因而等式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
成立，其中
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
(k 0,1, , n)
根据代数精度的定义，可知定理的结论
成立。
证毕
定理2 数值积分公式
b
n
I ( f ) f (x)dx a
也准确成立
但当 f (x) x4 时，左边≠右边，
故所得求积公式的代数精度 m=3。
例2
给定求积节点
x0
1, 4
x1
3 4
，试推出
计算积分01 f (x)dx 的插值型求积公式，
并写出它的截断误差。
解：由公式
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
n
Ln ( x)
f ( xk )lk ( x)
k 0
其中
lk (x)
n j0
x xj xk xj
jk
(k 0,1, , n)
为节点 x0 , x1, , xn 的基本插值多项式。
用 Ln (x) 近似代替被积函数 f(x) ，则得
b
b
n
b
f (x)dx
0
24
4
由公式
b
n
b
b
R[ f ] f (x)dx a
Ak f (xk ) a f (x)dx a Ln (x)dx
k 0
b
a ( f (x) Ln (x))dx
b a
f ( (n1) )
(n 1)!
n 1
(
x)dx
n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ), (a, b)
充分性 设
I (g0 ) In (g0 ), I (g1) In (g1),, I (gm ) In (gm ),
I ( gm1) I n ( gm1) 。
任一 m 次多项式，可表示为
m
m
pm (x) ak xk ak gk (x)
k 0
k 0
m
m
m
于是 I ( pm ) I ( ak gk ) ak I (gk ) ak In (gk )
a
2
如取 b ，则得到
b
a f (x)dx f (b)(b a)
以上三个公式分别称为左矩形公式， 中矩形公式和右矩形公式。
由定积分的定义
b
n1
f (x)dx lim
a
n
f (xk )xk
max xk 0 k 0
可以得到定积分的一个近似计算公式
b
A
y L1(x) B
0a
bx
一个数值积分公式的代数精度越高，就
越能对更多的被积函数准确地或较准确地成
立， 从而具有更好的实际计算意义。
利用待定系数法，可以得到具有尽可能
高的代数精度的数值积分公式。
例1 确定求积公式
1
1 f (x)dx A1 f (1) A0 f (0) A1 f (1)
n 1
f ( x)dx
a
f ( xk )xk
k 0
进一步，我们设想更一般的求积公式为
b
n
f (x)dx
a
Ak f ( xk )
①
k 0
称 xk 为求积结点， Ak 为求积系数，
它们均与f(x)的具体形式无关。
这类数值积分的方法通常称为机械求 积法，主要有插值型和外推型两种。它们 均是应用被积函数 f(x)在一些节点上的函 数值得线性组合得出积分的近似值。
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
对于次数≤m 的代数多项式均能准确地成立，
但至少对一个 m+1 次多项式不能准确地成
立，则称该数值积分公式具有 m 次代数精
度。
关于代数精度有如下结论：
定理1 含有n+1个节点的插值型数值积分公式
b2 4ac 8c3/2 ln(2cu b 2
c
a bu cu2 ) C1
原函数的计算复杂性大大超过被积函数。
3、f(x) 是由测量和计算得到的函数列 表，即给出的是 f(x) 的一张数据表。
由于这些困难，我们必须研究积分 的数值计算问题。回顾积分中值定理
b
a f (x)dx (b a) f ( )
(k 0,1, , n)
证 当 f(x)为任何次数不高于n的多项式时，
f (n1) (x) 0
根据插值型求积公式的截断误差不断式
b
n
b
b
R[ f ] f (x)dx a
Ak f (xk ) a f (x)dx a Ln (x)dx
k 0
b
a ( f (x) Ln (x))dx
计算求积系数
A(1) 0
1 x x1 dx 1
0 x0 x1
2
1
1
(4x 3)dx
0
2
A(1) 1
1 x x0 dx 1
0 x1 x0
2
1
(4x
1)dx
1
0
2
故求积公式为
1 f (x)dx 1 [ f ( 1 ) f ( 3)]
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
至少具有 n 次代数精度。
其中
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
具有m次代数精度的充分必要条件
为该公式对 f ( x) 1, x, , xm
精确成立，而对 f ( x) xm1
不精确成立。
证 记 gk (x) xk , k 0,1,2,, m 1
必要性 设
b
I ( f ) f (x)dx a
我们称由系数式确定 Ak 的数值积分公式① 为插值型求积公式。
（2）插值型求积公式的截断误差与代数精度
记插值型求积公式
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
的截断误差为R[ f ] ，则有
b
n
b
b
R[ f ] f (x)dx a
Ak f (xk ) a f (x)dx a Ln (x)dx
k 0
b
a ( f (x) Ln (x))dx
b a
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
dx
②
其中 n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ), (a,b)
但是，当 f (x) x2 时，
左端=
b x2dx 1 (b3 a3 )
a
3
右端=
b a [a2 b2] 2
左端≠右端
这表明梯形公式 当 f (x) 1, x 时是准确成立的， 当 f(x)的次数高于1时，
梯形公式却不准确地成立。
即梯形公式的代数精度 m=1。
y
y f (x)
1 x2dx 2
1
3
解得 A1
A1
1 3 , A0
4 3
故
1 f (x)dx 1 f (1) 4 f (0) 1 f (1)
1
3
3
3
该求积公式对f (x) 1, x, x2 都准确成立，
至少具有2次代数精度。