研究生《数值分析》练习题
研究生《数值分析》练习题
硕士研究生 《数值分析》练习题一、判断题1、用Newton 切线法求解非线性线性方程可以任选初值。
（F ）2、求解非线性线性方程，Newton 切线法比弦截法迭代次数多。
（F ）3、若n n A R ⨯∈非奇异，用Jacobi 迭代法求解线性方程组Ax b =必收敛。
（F ）4、Lagrange 插值法与Newton 插值法得到同一个插值多项式。
（ ）二、填空题1、近似数 3.14108937a =关于π具 位有效数字。
2、双点弦截法具有 1.618 阶收敛速度。
3、求方程x x e =根的单点弦截法迭代公式是 。
4、设2112A ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，则()A ρ= 3 。
5、对于()0,n n f R x R ∀∈∀∈，迭代公式()()1k k x Gx f +=+产生的迭代向量序列收敛的充分必要条件是 ()1G ρ 。
6、拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C的直线是y = 。
7、由下数据表确定的代数插值多项式的不超过 次。
三、分析与计算题1、设()14,2,3515TA x -⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，求∞=,2,1,,p x A p p 和()1A cond 。
2、1001012,20253A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，试计算pp xA ,，p=1,2,∞，和1)(A c o n d 。
3、线性方程组,0Ax b b =≠用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中122111221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭4、设有线性方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，对于初值()()00,0,0T x =，试问用Gauss-Seidel 迭代所产生的向量序列(){}k x 是否收敛，为什么？ 5、已知函数表如下:⑴ ()111.75ln11.75L ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字； ⑵ ()211.75ln11.75N ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字。
研究生数值分析试卷.docx
2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・a 0、a 0 ,说明对任意实数。
工0,方程组AX=b 都是0 Q,非病态的。
（范数用||・|L ）四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。
五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分(2a 三、（8分）若矩阵A = 0J(a, /?) = !] [ax2取得最小值。
七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—Ln-1（兀）（斤=1, 2,…）试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分go ） = y （）儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +hk ｛）（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
数值分析(研究生)试卷
华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：_______________________ 课程类别考核形式数值分析学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ □公共课□专业课√□开卷□√闭卷2009.5.6学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 为避免有效数字的损失，应将,1,ln )1ln(>>-+x x x 改写为_____________。
2. 设其三阶差商,200720082009)(3++=x x x f =]3,2,1,0[f _____________，四阶差商____________。
=]4,3,2,1,0[f 3. 设是上带权b x x x +-=22)(?]1,0[1)(=x ρ的正交多项式，则=b ___________。
4. 对于常微分方程数值解，若某算法的局部截断误差为，则称该算法有_____________阶精度；显式欧拉法有____________阶精度。
)O(h1p+5. 设是的二重根。
*x 0)(=x f )(x f ′′在邻近连续，则用迭代公式________________*x 求此根的近似值所产生的序列至少具有二阶收敛性。
6. ，当a 满足条件___________时，A 可作LU 分解，当a 满足条件__________时，必有分解式，这种分解唯一吗？ _____________ ??????+=1221a A TL L A ?=二、（10分）函数在上有三阶连续导数，作一个不高于二次的多项式满足)(x f ],[10x x )(x P .)()(),()(),()(110000x f x P x f x p x f x P =′=′=证明其唯一性，并写出它的余项的表达式。
研究生数值分析习题
1. 五个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度为______，五个节点的求积公式最高代数精度为___________。
（即Gauss 型求积公式）2. 已知数值求积公式为311()[(1)4(2)(3)]3f x dx f f f ≈++⎰ ，则其代数精度为______。
3. 数值积分公式1'12()[(1)8(0)(1)]9f x dx f f f -≈-++⎰的代数精度为_________。
4. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度，则1x =___,1A =___。
5. 在Newton-Cotes 求积公式：()()()()nbn i i a i f x dx b a C f x =≈-∑⎰中，当系数()n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当___________时的Newton-Cotes 求积公式不能使用。
()8()7()10()6A n B n C n D n ≥≥≥≥6. 若用复化梯形公式计算10x e dx ⎰，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用______个求积节点。
7. 对于Gauss 型求积公式31()()()bk k a k f x x dx A f x ρ=≈∑⎰，其中()x ρ为权函数，下列说法错误的是_________。
（A ）该求积公式一定是稳定的； （B ）31()k k k A f x b a ==-∑；（C ）该求积公式的代数精度为5；（D ）2(35)()()0ba x x x x dx ωρ-=⎰ ，其中31()()k k x x x ω==∏-。
8. 0{()}k k x ϕ∞=是区间[0,1]上权函数()x x ρ=的最高系数为1的正交多项式族，其中0()1x ϕ=，则140()_______x x dx ϕ=⎰。
9. 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰10. 数值积分公式形如1()()(0)(1)(0)(1)xf x dx S x Af Bf Cf Df ''≈=+++⎰（1）试确定参数A 、B 、C 、D ，使公式的代数精度尽量高； （2）设4()[0,1]f x C ∈，推导余项公式10()()()R x xf x dx S x =-⎰，并估计误差。
硕士研究生数值分析试卷
数值分析（研究生，2008-12-15）1.（10分）求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=10,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式x e a x a a x 210)(++=φ。
2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。
同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。
3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。
用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。
4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。
请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]Tx =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。
就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。
7.（10分） 求解矛盾方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++232328.12221321321321321x x x x x x x x x x x x8. （10分）用复合Simpson 公式计算积分⎰=21sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。
研究生数值分析练习题答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
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硕士研究生 《数值分析》练习题
一、判断题
1、用Newton 切线法求解非线性线性方程可以任选初值。
（ ）
2、求解非线性线性方程，Newton 切线法比弦截法迭代次数多。
（ ）
3、若n n A R ⨯∈非奇异，用Jacobi 迭代法求解线性方程组Ax b =必收敛。
（ ）
4、Lagrange 插值法与Newton 插值法得到同一个插值多项式。
（ ）
二、填空题
1、近似数 3.14108937a =关
于π具 位有效数字。
2、双点弦截法具有 阶收敛速度。
3、求方程x x e =根的单点弦截法迭代公式是 。
4、设2112A ⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝
⎭
，则()A ρ= 。
5、若(),0,1,2,3i l x i =是以01231,3,,x x x x ==为插值节点的Lagrange 插值基函数，则()()3
3012i i i x l =-=∑ 。
6、由下数据表确定的代数插值多项式的不超过 次。
7、若()8754321f x x x x =+-+，则差商[]0,1,2,,8f = 。
8、拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的
直线是y = 。
三、分析与计算题
1、设()14,2,3515T
A x -⎡⎤==-⎢⎥
-⎣⎦
，求∞=,2,1,,p x A p p 和()1A cond 。
2、1001012,20253A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，试计算p
p x
A ,，p=1,2,∞，和1)(A c o n d 。
3、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中
122111221A -⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭。
4、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中
2-11=11111-2A ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦。
5、已知函数表如下:
⑴ ()111.75ln11.75L ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字； ⑵ ()211.75ln11.75N ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字。
6、已知函数表
如下:
⑴用Lagrange 插值法求ln 0.55的近似值()10.55N 、估计截断误差并说明结果的有效数字；
⑵用Newton
插值法求ln 0.55的近似值()20.55N 、估计截断误差并说明结果的有效数字。
7、已知数据如下，求满足条件的Hermite 插值多项式。
8、求满足条件的Hermite插值多项式。
f x求[0,３]上的三次样条插值函数。
9、已知函数表如下，用三转角法求()
f x在[0,3]上的三次样条插值函数。
10、已知函数表如下，求()
11、试对如下已知数据进行线性拟合。