积分第二中值定理的证明

上一篇文章讲了积分第一中值定理的证明，并给出了积分第一中值定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明。

积分第二中值定理：

f(x)在区间[a,b]上可积，(x)在区间[a,b]上单调，那么在[a,b]上存在内点，使得：

baf(x)(x)dx(a0)f(x)dx(b0)f(x)dxa b特别的，当(x)在区间[a,b]两端连续时，有baf(x)(x)dx(a)af(x)dx(b)f(x)dx b 积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍Abel引理。

Abel引理：

数列{an}和{bn}，对于任意的n2n2n n10，有

an n1(bn bn1)bn n1n(an an1)an21bn2an1bn11实际上：

n2an n1n(bn bn1)an1(bn1bn11)an11(bn11bn1)... an2(bn2bn21)an1bn11bn1(an1an11)bn11(an11an12) ...bn21(an21an2)an2bn2an1bn11bn1(an1an11)bn1 1(an11an12)...bn21(an21an2)bn2(an2an21)an21b n2bn n1n(an an1)an21bn2an1bn11下面给出Abel引理的一个理解方式，便于记忆。

众所周知，积分与求和，微分与差分有许多相似之处，一个是对连续函数而言，一个是对离散的数列而言，只要把函数与数列的一些定理放在一起比较，就会发现异曲同工之处。

那么就来回顾一下分部积分的方法：

区间[a,b]上的连续函数f(x)与(x)，有

baf(x)d(x)f(x)(x)|(x)df(x)abn2再看上面的Abel引理，an对应

f(x)，bn对应(x)，符号对n n1应ba，d(x)对应bn bn1，df(x)对应an an1，最后你会发现上面的Abel引理就对应了分部积分的这种形式。

我们在计算积分的时候，适时使用分部积分会给计算带来很多好处，同样对于数列的处理，利用Abel引理进行变换也能带来很多好处，下面就进入正题，证明积分第二中值定理。

用T表示区间[a,b]上的一个划分x0,x1,x

2...xn，lT表示划分的最大长度，接下来设(x)非负且单调不增。

将得到：

n()kk1xk1f(x)dx baf(x)(x)dx，其中xk1k xk。

用表示，令|f(x)|在区间nk[ab,xk1的上确界

baf(x)(x)dx nxk1()k1f(x)dx，则：

|||n k1[(k)(x)]f(x)dx|[(xk1k1)(xk)](xk xk1)lT[(a)(b)]n因为lT0)，则0，即

(kk1xk1(f)xdx()f()x xdx。

ab下面将用Abel引理变换上面的式子：

令Ak n kxkaf(x)dx，(k0,1,2,..,n)，那么，

xk1n()k1n1f(x)dx(k1k)(Ak Ak1)k1Ak[(k) (k1)]An(n)x分别用M和m来表示f(u)du的在区间[a,b]的上下确界，显然an1有m Ak M，令

S Ak1k[(k)(k1)]An(n)，由于(x)单调不增且非负，则有：

m(1)S M(1)，当lT0时，有(1)(a0)，

S m(a0)baf(x)(x)dx，不等式可写为：

x baf(x)(x)dx M(a0)，根据f(u)duab的连续性，区间[a,b]存在内点，使得f(x)(x)dx(a0)f(x)dx。

aa如果(x)非负且单调不减，令x b y，则，

baf(x)(x)dx bb b a0f(b y)(b y)dy(b0)f(b y)dy0( b0)f(x)dxbb其中a b b，因此f(x)(x)dx(b0)f(x)dx，a综合可得，当(x)在区间[a,b]上单调，积分第二中值定理可表述为：

baf(x)(x)dx(a0)f(x)dx(b0)f(x)dxa b。

特别地，若(x)在区间[a,b]上单调且连续，则

baf(x)(x)dx(a)f(x)dx(b)f(x)dxa b这种情况可以用分部积分给出推导过程，尽管不是严格的证明，但是从这个过程中应该能加深对积分第二中值定理的理解。

令F(x)xaf(u)du，可知F(a)0，则，

ba baf(x)(x)dx ba(x)dF(x)F(x)(x)|F(x)d(x)F(b)(b)baF(x) '(x)dx在区间[a,b]上，当(x)单调不减时，'(x)0，

m'(x)F(x)'(x)M'(x)，

baf(x)(x)dx F(b)(b)b af(x)dx[(b)(a)](b)f(x)dx(b) f(x)dx(a)f(x)dxaaa(a)f(x)dx(b)f(x)dxa b(x)单调不增的情况同理可得。