第8讲[1].抽屉原理(二).学生版

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．

二、抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义

一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题

苹果÷抽屉＝商……余数

余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n - ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

【例 1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以

从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？

【巩固】 11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借

两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同

【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，

最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？

【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要

有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？

【例 2】 红、蓝两种颜色将一个25⨯方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是

第八讲：抽屉原理（二）

否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

第二行

第一行第五列第四列第三列第

二

列

第一列

【例 3】 从2、4、6、8、 、

50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？

【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.

【巩固】 从1，4，7，10，…，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41.

【巩固】 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34．

【例 4】 从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差

都不等于9．

【巩固】 从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两

个数，它们的差是12．

【巩固】 从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等

于4．

【例 5】 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出 个数，使得在选出

的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．

【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．

【巩固】 从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一

个数的倍数?

【巩固】从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.

【例6】从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？

【例7】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9

个数，它们的最大公约数大于1．

【例8】有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?

【例9】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？

【例10】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

【例11】在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？

【巩固】在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米．

【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米．

【例12】在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．

【巩固】 在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的

面积不超过1平方米．

【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形

中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

【例 13】 在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘米

【巩固】 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：

在这17个点中必

有9个点可以落在同一半径为1的圆内。

【例 14】 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条

直线中至少有3 条通过同一个点。

N M

Q

P

H

G F

E D

C

B

A

【例 15】 如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及

对角线上8个数的和互不相同？并说明理由．