第十讲 简单抽屉原理
抽屉原理的三个公式
抽屉原理的三个公式抽屉原理（也称为鸽笼原理）是离散数学中的一项基本原理，用于解决一类关于集合和计数的问题。
该原理指出，当将n+1个物体放入n个容器中时，至少有一个容器中必然有两个或两个以上的物体。
这个原理虽然看似简单，却被广泛应用于各个领域，如图论、计算机科学等。
在本文中，我们将通过阐述抽屉原理的三个公式来进一步理解和应用这一原理。
公式一：抽屉问题公式在抽屉问题中，我们要研究的是如何将n个物体放入m个抽屉中，使得至少有一个抽屉中装有k个或更多的物体。
那么根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：n ≥ (k-1) * m + 1这个公式告诉我们，当抽屉的数量m不足以容纳k个物体时，至少有一个抽屉中会有k个以上的物体。
公式二：鸽笼问题公式鸽笼问题是抽屉原理的一种特殊形式，它要求从n个物体中选择m 个物体，保证至少有一个物体被选中两次。
根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：m ≥ n这个公式告诉我们，当鸽笼的数量m小于等于物体的数量n时，至少有一个鸽笼会被分配到两个或更多的物体。
公式三：化简公式在某些情况下，我们需要对抽屉原理进行化简，以求得更简洁的表达式。
当物体的数量n不足以填满抽屉的数量m时，我们可以利用抽屉原理进行化简，得到如下公式：n ≤ (k-1) * m这个公式告诉我们，当抽屉的数量m过多时，至少会有一个抽屉为空。
同时，它也提醒我们在实际问题中进行有效的资源利用，避免抽屉的浪费。
综上所述，抽屉原理是离散数学中一项重要的原理，通过公式的运用，我们能够更好地理解和应用这一原理。
通过抽屉问题公式，我们可以确定至少某抽屉中装有一定数量的物体；通过鸽笼问题公式，我们可以确定至少某个物体会被选中两次；通过化简公式，我们可以对抽屉原理进行简化，提醒我们有效利用资源。
无论是在理论还是实践中，抽屉原理的三个公式都具有重要的指导意义。
所以，我们应该深入学习和掌握这些公式，并能够在适当的时候灵活运用，解决实际问题。
简单点的抽屉原理yyf
13、班上有 50 名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本 或两本以上的书。
14、有若干堆分币，每堆分币中没有币值相同的分币。任意挑选多少堆分币，才能保证一定有两 堆分币的组成是相同的？
7
龙文教育·教务管理部
解：∵26÷25=1(个)„„1(个)，有一个抽屉被抽出了两个数
∴从 1，3，5，„„，99 中任选 26 个数，其中必有两个数的和是 100。
练习 6：从前 25 个自然数中任意取出 7 个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不
超过小数的 1.5 倍。
3
龙文教育·教务管理部
中小学 1 对 1 课外辅导专家
2、某班有 16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任 意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?
3、上体育课时，21 名男、女学生排成 3 行 7 列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长
4 龙文教育·教务管理部
中小学 1 对 1 课外辅导专家
方形，使得站在这个长方形 4 个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果 不能，请举出实例．
6、从 1，2，3，…，99，100 这 100 个数中任意选出 51 个数．证明： (1)在这 51 个数中，一定有两个数互质； (2)在这 51 个数中，一定有两个数的差等于 50； (3)在这 51 个数中，一定存在 9 个数，它们的最大公约数大于 1．
7、从 1，2，3，…，49，50 这 50 个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除， 则最多能取出多少个数?
重点、难点
难点 【内容概述】
抽屉原理 1 将多于 n 件物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。 抽屉原理 2 将多于 m×n 件物品任意放到到 n 个抽屉中， 那么至少有一个抽屉中的物品不少于 （m+1） 件。 理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数 的倍数多，至于多多少，这倒无妨。 （2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有 些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。 （3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能 有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。 （4）将 a 件物品放入 n 个抽屉中，如果 a÷n=m„„b，其中 b 是自然数，那么由抽屉原理 2 就可 得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
《抽屉原理》(PPT课件
在算法分析中，抽屉原理可以用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以及确 定算法的最坏情况下的性能。
在日常生活中的应用
资源分配
在资源分配问题中，可以将资源视为抽屉，将待分配的物品 或任务视为物体，根据抽屉原理得出最优的分配方案。
排队理论
在排队理论中，抽屉原理可以用于分析排队系统的性能和稳 定性，以及确定最优的排队策略。
有限制的抽屉原理的证明
有限制的抽屉原理是指
如果 n+1 个物体要放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n），那么至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n+1 个物体放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n）。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们可以将这个物体放入另一个 容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
在数论中的应用
质数分布
根据抽屉原理，如果将自然数按 照质数和非质数进行分类，则质 数在自然数中的比例趋近于 $frac{1}{2}$。
同余方程
在解同余方程时，可以将模数视 为抽屉，方程的解为物体，根据 抽屉原理得出解的存在性和个数 。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于各种数据结构的设计和分析，如数组、链 表、哈希表等。
现代研究
现代数学研究中对抽屉原理进行了深入的探讨和研究，不断拓展其 应用范围和理论体系。
02
抽屉原理的证明特殊形式，其基本思想是
如果 n 个物体要放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体，则至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n 个物体放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们 可以将这个物体放入另一个容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
六年级数学数学广角抽屉原理
六年级数学数学广角抽屉原理抽屉原理是数学中的一条重要原理，它在解决计数问题中起到了至关重要的作用。
在数学广角中，抽屉原理被广泛应用于解决各种排列组合、鸽巢原理等问题。
本文将详细介绍六年级数学中的抽屉原理以及其应用。
一、抽屉原理的概述抽屉原理，又称鸽巢原理或箱子原理，是由数学家约翰·拉默尔（Joseph-Louis Lagrange）在18世纪末提出的。
它基本思想是：如果有n+1个物体放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉里会放置多于一个物体。
这条原理旨在说明当物体数量超过容器数量时，必然存在容器里有多个物体的情况。
二、六年级数学中的抽屉原理应用1. 排列组合问题在六年级数学中，有很多排列组合问题可以通过抽屉原理来解决。
例如，考虑如下问题：将8个苹果放入3个篮子里，每个篮子至少要放2个苹果，问有多少种放置方式？通过抽屉原理，我们可以将这个问题转化为将8-2×3=2个苹果放入3个篮子里的问题，即将2个相同的苹果和3个篮子进行排列组合，解得答案。
这个问题的解题思路正是基于抽屉原理的应用。
2. 数字盒子问题在六年级数学中，常常会涉及到将数字放入盒子的问题。
例如，有一组数字{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，我们需要从中选取至少5个数字，使得选取的数字之和能够被3整除。
这个问题可以通过抽屉原理来解决。
我们将这组数字中的每个数字除以3得到的余数作为抽屉，将数字放入对应的抽屉中，根据抽屉原理，至少存在一个抽屉里放置了至少5个数字。
将这些数字相加即可得到满足条件的数字之和。
3. 奇偶数问题六年级数学中，奇偶数问题也是抽屉原理的常见应用之一。
例如，考虑以下问题：将六个不同的奇数放入三个盒子里，使得每个盒子里的数字之和都是偶数，问有多少种放置方式。
通过抽屉原理，我们可以将这个问题转化为将三个偶数和六个奇数放入三个盒子里，并满足每个盒子里的数字之和都是偶数的问题。
然后通过排列组合的思路，得到问题的解答。
抽屉原理的讲解和应用
抽屉原理的讲解和应用1. 什么是抽屉原理？抽屉原理，又称为鸽巢原理、鸽笼原理，是一种数学上的原理。
简单来说，抽屉原理指的是将n+1个物体放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放置两个物体。
2. 抽屉原理的简单解释抽屉原理可以通过一个简单的例子来解释。
假设有10对袜子，每对袜子的颜色不同，共有10种颜色。
现在你要从这些袜子中选择11只袜子，无论怎么选择，必然会有两只袜子的颜色相同。
这是因为我们抽取的数量多于可供选择的不同颜色数目。
3. 抽屉原理的数学证明抽屉原理有一个简单的数学证明。
假设有n个抽屉和k个物体，如果每个抽屉中物体的平均数目为m，则总物体数恰好为n * m。
考虑特殊情况，假设所有抽屉中物体的数目都小于m，则总物体数小于n * m，与实际情况相矛盾。
因此，至少存在一个抽屉中物体的数目大于等于m。
4. 抽屉原理的应用抽屉原理在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是一些常见的抽屉原理的应用场景：4.1. 数据库概念在数据库中，抽屉原理被应用于关系型模型的设计和查询优化。
关系型数据库的设计需要将数据存储在不同的表中，通过关系连接来实现数据的关联。
抽屉原理可以帮助我们确定存储数据的表结构，以及进行查询性能的优化。
4.2. 数学概念在数学中，抽屉原理经常被用于证明或推导数学定理。
例如，鸽巢原理可以用来证明素数的存在性，即任意大于1的整数集中，一定存在无穷多个素数。
4.3. 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理常常被用于解决算法和数据结构中的问题。
例如，Hash函数中的哈希冲突问题是一个经典的抽屉原理应用。
当一组键被映射到有限的哈希表时，很可能会出现不同的键被映射到同一个槽位的情况。
4.4. 加密算法在加密算法中，抽屉原理被用于解决碰撞问题。
碰撞问题指的是存在不同的输入数据，但在加密过程中却生成相同的输出。
通过抽屉原理，我们可以证明在某种情况下，无论算法多么复杂，总会存在碰撞问题。
5. 总结抽屉原理是一种简单而强大的数学原理，通过它我们可以解决各种实际问题。
抽屉原理PPT课件
例5 五年一班共有学生53人，他们 的年龄都相同，请你证明至少有两个 小朋友出生在一周。
1年有52周 53个生日 52个 53个
例6 有十只鸽笼，为保证每只鸽笼中最多住
一只鸽子（可以不住鸽子），那么鸽子总数最多
能有几只？请你用抽屉原理说明你的结论。
最不利原则: ⑴ 保证发生的最少情况 ⑵ 保证＝最倒霉＋1
求证：对于任意的8个自然数，一定 能从中找到6个数 a、b、c、d、e、f，使得(a－b)(c－ d)(e－f)是105的倍数.
1、把15个球放进4个箱子 里，至少有（ 4 ）个球 要放进同一个箱子里。
15÷4=3……3 3+1=4（个）
2、六（1）班有54位同学， 至少有（ ）人是同一个 5 月过生日的。
例7 在一只口袋中有红色与黄色球各4只， 现有4个小朋友，每人可从口袋中随意取出2个 小球，请你证明必有两个小朋友，他们取出的 两个小球的颜色完全一样。
每个小朋友取出两种颜色的球的颜色组合只有3种可 能：
例8 从电影院中任意找来13个观众， 至少有两个人属相相同。
12属
12个抽屉
13人
13个苹果
将3个苹果放到2个抽屉里，可以肯定一定有 一个抽屉里至少有2个苹果，5只鸽子飞进4个鸽 笼，那么一定有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子， 这两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉 原理”，也叫“鸽笼原理”。 抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽 屉里，那么至少有一个抽屉里的物品不少于2件。
鸽笼原理
54÷12=4……6 4+1=5（人）
3、把红、黄两种颜色的球 各6个放到一个袋子里，任 意取出5个，至少有（ 3） 个同色。
5÷2=2……1 2+1=3（人）
12_第十讲_抽屉原理
巨人学校数学尖子、实验班 ○五年级上学期第十讲_抽屉原理 姓名：知识点1. 简单的抽屉原理：把多于n 个苹果放入n 个抽屉里，则至少会有一个抽屉有2个或2个以上的苹果；2. 加强的抽屉原理：把多于m ⨯n 个苹果放入n 个抽屉里，则至少会有一个抽屉有m +1个或m +1个以上的苹果；3. 学会运用最不利原则解题．注：回家后把“例题与练习”尽量完成．．．．，独立思考．．．．，“思考题”根据兴趣和能力完成。
巩固本讲内容，可参考《导引》五年级上学期09讲；《课本》五年级上学期11、12讲。
例题与练习1. 10个人参加一次集会，请说明：必然有两个人握手的次数相同．2. 某省有4千万人口，每个人的头发根数不超过15万根，那么该省中至少有______人的头发根数一样多．3. 有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗放在同一个口袋里，为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，一次至少要取_______颗．4. 一副扑克牌共有54张（包括大王、小王），至少从中取_____张牌，才能保证其中必有3种花色．5. 1~20这些自然数中：（1）任意取出13个数，其中两个数之差是6的至少有_____对；（2）任意取出15个数，其中两个数之差是6的至少有_____对．6. 1~2008这些自然数中，最多能选出_____个数，使得其中任意两个的差都不等于6．7. 能否在8⨯8的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1或2或3，使每行、每列及两条对角线上的数字之和互不相同？请说明理由．8. 在边长为1的正方形内部任取51个点。
求证：一定可以从中找出3点，以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50．思考题9. 九位科学家在一次国际会议上相遇，他们之中的任意三个人中，至少有两个人会说同一种语言。
假设每位科学家最多会说三种语言，试说明：至少三位科学家会说同一种语言．。
抽屉原理课件
抽屉原理课件抽屉原理课件抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是一个在离散数学中被广泛应用的概念。
它的基本思想是：如果有十个苹果放入九个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会有两个苹果。
虽然这个原理看起来很简单，但它在解决很多实际问题中起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨抽屉原理的应用以及它对我们日常生活的影响。
抽屉原理最早由德国数学家约瑟夫·斯图尔特在19世纪末提出。
他认为，当我们将苹果放入抽屉中时，我们可以将苹果视为物体，抽屉视为容器。
这个原理可以用来解决很多实际问题，比如密码学、计算机科学、概率论等等。
在密码学中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组随机生成的密码中，总会有一些密码是相同的。
在计算机科学中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组数据中，总会有一些数据具有相同的特征。
在概率论中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组随机事件中，总会有一些事件具有相同的概率。
抽屉原理的应用不仅限于数学领域，它还可以用来解释一些日常生活中的现象。
比如，我们常常会发现，当我们去购买衣服时，总会有一些衣服的尺寸不合适。
这可以用抽屉原理来解释，因为在一组不同尺寸的衣服中，总会有一些尺寸与我们的身体尺寸相匹配。
又比如，当我们在超市购买水果时，总会发现一些水果有瑕疵。
这可以用抽屉原理来解释，因为在一组水果中，总会有一些水果因为各种原因而变质或者损坏。
抽屉原理的深层次含义在于，它告诉我们世界上的事物是有规律可循的。
无论是数学中的问题，还是生活中的现象，都可以通过抽屉原理来解释和理解。
这也意味着我们需要保持警觉，不要被表面现象所迷惑，而要去寻找问题的本质和规律。
只有这样，我们才能更好地应对挑战和解决问题。
在教育领域，抽屉原理也有着重要的应用价值。
通过将抽屉原理引入课堂教学，可以帮助学生培养逻辑思维和问题解决能力。
例如，在数学课上，老师可以通过抽屉原理的例子来教授概率论，让学生更好地理解概率的概念和计算方法。
在物理课上，老师可以通过抽屉原理的例子来教授力学的基本原理，让学生了解物体在受力作用下的运动规律。
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例题6：国王让阿凡提在8×8的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒．结 果每个格子里至少放一粒米， 无论怎么放都至少有3个格子里的米粒 一样多， 那么至多有多少个米粒？
巩固练习
1、口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个。小华闭着眼睛从 口袋里往外摸球，每次摸出1个球．他至少要摸出多少个球，才能保 证摸出的球中每种颜色的球都有？
练习4：口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个．要想保 证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少 要摸出多少个珠子？
例题5：大头把一副围棋子混装在一个盒子中（围棋子有黑、白两种颜 色），然后每次从盒子中摸出4 枚棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几 次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑 每次摸出的 4 枚棋子的顺序）
2、小钱的存钱罐中有 4 种硬币： 1分、 2 分、5 分、1角，这四种 硬币分别有 5 个、10个、 15 个、20个。小钱闭着眼睛向外摸硬币， 他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的面 值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有 5 分硬币也 有 1 角硬币？
3、如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有 10 根．在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多 少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的筷子，最少要取多少根 才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）
第十讲 简单抽屉原理
知识精讲
抽屉原理 I
把一些苹果随意放入若干个抽屉， 如果苹果个数多于抽屉个 数， 那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．
抽屉原理 II 把m个苹果放入n个抽屉 （m 大于 n），结果有两种可能： （1）如果 m÷n 没有余数，那么就一定有抽屉至少放了 “ m÷n ” 个苹果； （2）如果m÷n 有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n的商再 加 1”个苹果。
练习2：爷爷给小明买了一盒糖， 这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种 口味， 每种口味各30颗． 小明特别喜欢吃苹果味的， 他闭着眼睛， 至少需 要摸出多少颗糖， 才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少需要摸出多少颗 糖，才能保证能拿到两种口味的糖？
例题3：将 1 只白袜子、2 只黑袜子、3 只红袜子、8 只黄袜子和 9 只绿 袜子放入一个布袋里。 请问： （1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？ （2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？ （两只袜子颜色相同即为一双）
4、盒子里一共有 4 种不同形状的零件，分别有 9、10、11 和 12 个，至 少要从中摸出多少个零件，才能保证有 3 种不同形状的零件，并且这三种 零件中每种至少有 3 个？
5、中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的 菜．至少有多少名学生，才能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同？
练习3：袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只．现在闭着眼睛从袋子 中摸袜子，请问： （1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？ （2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？
例题4：一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草 花和方块4种花色的牌各13张．现在要从中随意取出一些牌，如果 要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至 少都有3张，那么最少要取出多少张牌？
练习1：一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很 多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同颜色的彩 球？
例题2：一个布袋里有大小相同颜色不同的木球，其中红色的有 10 个，黄色 的有 8 个，蓝色的有 3 个，绿色的有1个．现在闭着眼睛从中摸球，请问： （1）至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？ （2）至少要取出多少个球， 才能保证其中必有红球和黄球？
练一练： 如果把96个苹果放人8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了
如果把97片培根放在8个盘子里，那么一定有盘子至少放了
如果把98只鸡放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了
个苹果； 片培根；
只鸡。Βιβλιοθήκη 例题1：一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条．至少要捞出 多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？