幂级数解法-本征值问题
幂级数解法
幂级数解法《幂级数解法》是数学中常用的一种数值解法，它既可以用来计算数值解，也可以用来求解解析解。
它广泛应用于物理学、工程学、统计学等领域，其原理和方法能够有效解决复杂的数值模拟问题。
本文将从简介、正式定义、求解、应用及优点等方面对幂级数解法进行介绍，以期让读者更加深入的了解这种数值解法。
一、简介幂级数解法是一种用来解决数学问题的解法，它主要是利用了“幂级数”的性质，可以将复杂的问题化简为多项式，再求解。
二、正式定义幂级数解法是一种由多项式组成的数列，它具有自然界现象的性质，在求解数值问题时，可以将它用来表示物理量，并以尽可能高精度的形式求出未知物理量的数值解。
三、求解求解幂级数通常要经过三个步骤：首先，将问题转化为多项式的形式；其次，通过恰当的拆分多项式，可以将问题分解为更容易求解的子问题；最后，利用化简法、分解法和拆分法等算法，逐步求解。
四、应用幂级数解法在计算机科学领域有着广泛的应用，主要用于以下几种情况：1、非线性问题的求解：例如常见的微分方程，在数值解法上通常都采用幂级数解法来求解。
2、离散数学和抽象代数问题的求解：幂级数解法将问题从离散的表达形式转化为多项式的形式，通过对函数的分析、转换和处理，让问题更加容易解决。
3、函数逼近：采用幂级数解法可以进行函数逼近，也是一种精确地数值拟合方法，能够有效减少数据的误差。
五、优点1、计算简单：幂级数解法可以有效的缩小多项式的规模，使计算更加简单，具有高精度的数值计算能力，适合求解复杂的数值模拟问题。
2、易于理解：幂级数解法比较容易理解，步骤简单，过程易懂，很容易用数学公式表达出来，非常合适于实验室等场合使用。
3、可以精确到想要的范围：采用幂级数解法可以将函数表示为一系列多项式，可以进行精确的推导，而不像使用其他数值方法时，往往会受限于计算范围的限制。
综上所述，幂级数解法是一种有效的数值解法，它在物理学、工程学、统计学等领域也有着广泛的应用，它具有计算简单易懂、精确度高等优点，能够帮助我们有效地解决复杂的数值模拟问题。
幂级数解法
线性微分方程的幂级数解法常系数齐次线性微分方程可以用代数的方法进行求解，然而，对于变系数线性微分方程来说，由于方程的系数是自变量的函数，就不能用代数的方法求解。
微积分学的知识告诉我们，在满足某一些条件下，可以用幂级数表示一个函数，由此自然想到能否用幂级数表示微分方程的解呢？本章以二阶方程为例，讨论线性微分方程的幂级数解法。
考虑变系数线性微分方程 (5.1)0)()()(22=++y x c dxdy x b dxy d x a 其中)(),(),(x c x b x a 均为x 的解析函数。
如果系数函数)(),(),(x c x b x a 中含有公因子)(0x x -，那么可把其削去，考虑原方程的同解方程即可。
因此，不妨假设系数函数没有公因子)(0x x -。
下面分两种情况考虑方程)1.5(的初值问题解的存在唯一性。
)1( 0)(0≠x a ，则由)(x a 的解析性，在0x x =的某一邻域内0)(≠x a 。
此时，可把方程)1.5(改写成如下形式(5.2)0)()(22=++y x q dxdy x p dxy d 其中)()()( ,)()()(x a x c x q x a x b x p ==在0x x =的某一邻域内是解析函数。
考虑方程)2.5(的初值条件）（是给定的常数）其中3.5 ,()( ,)(2120'10y y y x y y x y ==则初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。
此时，称0x x =为方程)1.5(的一个常点。
)2( 0)(0=x a ，由于)(),(),(x c x b x a 中不含有公因子)(0x x -，则)(0x b 和)(0x c 中至少有一个不等于零。
因此，在|)(|0x p 和|)(|0x q 中至少有一个为∞+。
此时，无法确定初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。
在这一种情况下称0x x =为方程)1.5(的一个奇点。
幂级数运算
幂级数运算幂级数是一种非常重要的数学工具，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
幂级数的运算是幂级数理论的核心，下面我们来详细了解一下幂级数的运算。
我们需要了解什么是幂级数。
幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中a和an是常数，x是变量。
幂级数的收敛半径R是一个非负实数，它表示幂级数在哪些点上收敛，而在哪些点上发散。
当x-a的绝对值小于R时，幂级数收敛；当x-a的绝对值大于R时，幂级数发散；当x-a的绝对值等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。
接下来，我们来看看幂级数的加法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相加，即∑(an+bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相加，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相加。
接下来，我们来看看幂级数的减法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相减，即∑(an-bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相减，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相减。
接下来，我们来看看幂级数的乘法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
它们的乘积为∑cn(x-a)n，其中cn=∑an-kbk，k从0到n。
幂级数的乘法运算比较复杂，需要注意的是，幂级数的乘积的收敛半径不一定等于两个幂级数的收敛半径之积。
我们来看看幂级数的除法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相除，即∑an/bn(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相除，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相除。
需要注意的是，幂级数的除法运算只有在bn≠0时才有意义。
苏教版高中数学高一必修一2.4《幂函数含参问题求解方法》素材
幂函数含参问题的求解方法
幂函数是一种比较重要的基本初等函数，含参问题是其常见题型，归纳起来有以下三种常见求法：
一、利用定义求解
例1已知函数 是幂函数，求m的值。
解：因为 是幂函数，所以 ，解得 。又当 时，有 ， ，所以m的值为－1或2。
评注：幂函数 （χ为自变量，α是常数）的定义强调形式：系数为1，幂指数为常数，本题应用幂函数的定义确定出参数m是解题的关键。
三、利用性质求解
例3已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在 上是减函数，求满足 的a的取值范围。
解：由题意，得 ，即 ，又 ，且 为偶数，所以p=1.所以不等式为 。又因为 ，所以 ，既 。故a的取值范围是 。
评注：求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键。解含参数问题有时还要注意分类讨论。
随堂小练：
1、若 为幂函数，求a的值。
2、已知幂函数 的图象与x轴，y轴都无交点，且关于关于y轴对称，试确定 解析式。
3、已知幂函数 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，求函数 的解析式。
参考答案：
1、若是幂函数，则a-1=1,即a=2.
2、由题意得 且 是偶函数，所以m=-1,1,3。当m=-1和3时，解析式为 = =1，x≠0；当m=1时，解析式为 。
二象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值。
解：因为函数的图象与x轴，y轴都无交点，所以 。解得 。又因为图象关于原点对称，且 ，所以m=0.此时 。
评注：解决与幂函数有关的综合问题时，应抓住突破口，此题的突破口是图象特征，只要抓住图象特征，将其转化为代数语言，就能顺利解题。
4.6.2 幂级数解法的举例和注意问题
第五讲幂级数解法的举例和注意问题例1 求方程 x y dxdy -=的满足初始条件 00=)(y 的解。
解： 设 +++++=n n x a x a x a a y 2210为方程的解0)0(=y 00=a+++++=n n x a x a x a x a y 33221 +++++++='+-n n n n x a n xna x a x a a y 112321132)(x x a x a x a nn -++++=)( 221 ++++-=nn x a x a x a 2211)(++++++++-n n n n x a n xna x a x a a 112321132)(++++-=nn x a x a x a 2211)(,01=a ,122-=a 212-=a n n a a n =++11)( ,3,2,11=+=+n n a a n n )!()()(113111111211+-=+=+=+=-+n a n n a n n a n a n n n !n a n 1-=,,32=n!n a n 1-= ,,32=n )!!!( ++++-=n x x x y n 3232x n x x x n +++++++-=12112)!!!( x ex -+=1)()(c xdx e e c xdx e e y x x dxdx +-=+⋅⎰-⎰=⎰⎰--x x x x cex c e x e e ++=+-=--1)(1,010)0(-==+⇒=c c y 1++-=x e y x 另解：例2 求方程 042=-'-''y y x y 的满足初始条件00=)(y 10=')(y 的解。
解： 设级数解为+++++=n n x a x a x a a y 2210由于 00=)(y 10=')(y 所以1 010==a a , +++++=+=∑∞=n n n n n x a x a x a x x a x y 33222∑∞=-+='211n n n xna y ∑∞=--=''221n n n x a n n y )(∑∑∑∞=∞=-∞=-=+-+--2212204121n n n n n n n n nx a x x na x x a n n )()()(∑∑∞=∞=-=+---22204261n n n n n n nx a na x x a n n )()(0次项系数 022=a !02=a 1次项系数0633=-a !13=a 次项系数 2≥042122=+-+++n n a n a n n )())((原方程变为n n n a n a n n n a )())(()(1212422+=+++=+n 为偶数时，即 n = 2 k ，由上述递推公式得22==a a k n 为奇数时，即 n = 2 k+112123211122++++=+=k k k a k a k a )(11211211-++++=)()()(k k a k a 12121-+=k k a ka!!)(k a k a k k a k a k k k 111113321212===-==--+ 02=k a !k a k 112=+)!1!31!21!11(12753 ++++++=+k x k x x x x y 所求解为)!!!( ++++++=k x k x x x x 26421312112x xe =例3 求初值问题 x y dx dy x -=200=)(y 解： 设 ,1∑∞==n n n x a y ∑∞=-='11n n n x na y ∑∑∞=∞=+-=111n n n n n nx x a x na 1次项系数 ；11=a 2≥次项系数 1+=n n a na )!()!()(11111-=-=-=-n a n a n a n n +++++=-=+∞=∑132121n n n x n x x x x n y !!)!(对任给 0≠x 级数发散，因此不存在幂级数形式之解。
幂级数解方程(偏微分方程)
pl ( x) ql ( x)
pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次
幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法) 为：
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的
常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解
析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解
(11.1.1)
( z0 ) C0
( z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数，
称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选
定的点，C0和C1为复常数。 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
析，则称点z0 为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称
为方程的非正则奇点。
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为 点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。 定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为
…………….
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) a2 k 1 a1 (2k 1)!
幂级数的运算
s(x) =
( x − 1)′ 2− x
=
1 (2 − x)2
.
∑ 例 5
求
∞ n=
1
n(
n+ 2n
1)
的和.
∞
解 考虑级数 ∑ n(n + 1)xn , 收敛区间(-1,1),
n=1
∑ ∑ ∞
∞
则 s( x) = n(n + 1)xn = x( x n+1 )′′
n=1
n=1
= x( x2 )′′ 1− x
∞
(3) 除法
(收敛域内 ∑ bn xn ≠ 0)
∞
n=0
∑an xn ∞
n=0
∑ ∞
= cn xn .
∑ bn x n n=0
(相除后的收敛区间比原来 两级数的收敛区间小得多)
n=0
2.和函数的分析运算性质:
∞
∑ (1) 幂级数 an x n 的和函数s( x)在收敛区间 n=0
(− R, R)内连续.
2
−2≤ x <0∪0< x < 2 x=0
∞
例4 求级数 ∑(n + 1)( x − 1)n 收敛域及和函数. n=0 ∞
解 Q ∑(n + 1)( x − 1)n 的收敛半径为 R = 1, n=0 收敛域为 − 1 < x − 1 < 1, 即 0 < x < 2,
设此级数的和函数为 s( x), 则有
1
x
2
n−2dx
)′
=
∞
(
n=1
x 2n−1 2n
)′
∑ = ( 1 ∞ ( x2 )n )′
x n=1 2
第11章 幂级数解法 课后习题及补充题解答
第11章 幂级数解法――本征值问题习题及答案补充作业：1、在x 0=0的邻域上求解埃尔米特方程：2(1)0y xy y λ'''−+−=，λ取什么数值可使级数退化为多项式？这些多项式乘以适当常数使最高幂项成为(2x )n 形式,记作H n (x )，写出前几个H n (x )。
解: x 0=0为方程的常点，所以可设0()k k k y x a x ∞==∑，代入方程，比较系数得:22(1)(2)(1)k k k a a k k λ++−=++已知，a 0,a 1,可得方程两个线性无关的特解：224020240()m m m y x a x a a x a x ∞===++∑ 21351211350()m m m y x a x a x a x a x ∞++===++∑其中，20(44)(1)(48)(1)2(1)(1)2(21)(22)(23)4321m m m a a m m m m λλλλ−+−−+−+−−=⋅⋅⋅−−⋅−⋅⋅211(42)(1)(46)(1)2(1)(1)(21)2(21)(22)5432m m m a a m m m m λλλλ+−+−−+−+−−=⋅⋅+⋅−⋅−⋅⋅可以看到，当21k λ=+时，2k a +=0，若2k m =，即41m λ=+时，220m a +=，0()y x 退化为多项式，20(4)!2m m m a a m −=！若21k m =+，即43m λ=+时，230m a +=，1()y x 退化为多项式，211(4)!(21)m m m a a m +−=+！当1λ=时，000()(2)1H x a x ===当3λ=时，111()(2)2H x a x x x === 当5λ=时，2220()(12)(2)2H x a x x =−=−当7λ=时，33312()()(2)123H x a x x x x =−=− 当9λ=时，2442404()(14)(2)4823H x a x x x x =−+=−+当11λ=时，35535144()()(2)160120315H x a x x x x x x =−+=−+2、在x 0=0的邻域上求解；拉盖尔方程：(1)0xy x y y λ'''+−+=，λ取什么数值可使级数退化为多项式？这些多项式乘以适当常数使最高幂项成为(-x )n 形式,记作L n (x )，写出前几个L n (x )。
幂级数解法
幂级数解法在数学中，幂级数解法是指将一类复杂的数学问题转化成一系列的简单的计算问题，从而解决复杂问题的数学方法。
它可以通过计算把一个一般性函数表示成一系列的均匀分布参数，从而用最简单、最全面的方法解决复杂问题，它在数学与物理等科学领域有着重要的应用。
幂级数解法是根据数学定义来有效处理复杂问题的方法。
它可以将一个复杂函数分解为一系列简单的函数，每一步都能够获得有效的计算结果。
它一般分为几步：第一步，将函数的定义矩阵按顺序排列，然后将每行参数和每列参数的乘积累加计算，从而得出函数的一阶导数值；第二步，根据一阶导数的变化规律，分别计算出二阶的导数值和三阶的导数值，以此类推；第三步，从每一阶导数中求出函数的幂级数系数，以及它们之间的关系；第四步，根据计算出的系数和关系，将函数表示成一系列的幂级数，从而实现函数的幂级数分解。
幂级数解法不仅可以实现复杂函数的分解，而且可以计算出函数的在某些特定点的取值。
它的优点是可以很完整地分析复杂函数的变化趋势，可以根据系数和关系，对复杂的函数进行完整的分析，用最全面的方法来解决复杂问题。
幂级数解法在数学、统计学、物理学、工程学等学科领域有着广泛的应用。
它可以用来分析函数随时间变化的规律，可以用来计算非常复杂的多项式函数，也可以用来研究特殊的解析数学问题。
例如，在统计学中，幂级数解法可以用来求解偏差方程，从而确定特定数据集的参数估计；在工程学中，幂级数解法可以用来近似计算复杂的几何图形的变化趋势；在物理学中，幂级数解法可以用来解决模拟电路、混沌系统等问题；在地理学中，幂级数解法可以用来表示地形。
总之，幂级数解法是一种通过计算实现复杂问题分解的数学方法，它不仅能帮助我们解决数学问题，而且还能为科学研究带来全新的思路和刺激。
只要加以运用，就可以迅速发现解决各种复杂问题的有效方法，并使我们更加深入地了解各种问题的发展趋势。
如何通过幂级数解决高考数学中的问题
如何通过幂级数解决高考数学中的问题数学是一门严谨的科学，能够深入探究自然现象和人类活动的数学定律，已经成为现代理工科学的基石。
高考数学是贯穿于基础教育的核心课程，也是一个对于广大高中生来说，比较难以驾驭的考纲。
而幂级数则是数学中一种重要的方法与工具，它的应用可以解决很多比较复杂的数学问题。
在高考数学中，幂级数更是成为了探讨数学问题的有用途径。
本文将就如何通过幂级数解决高考数学中的问题展开阐述。
一、幂级数基础知识解析幂级数就是由各个整数幂次项所组成的一个级数。
通常为了求出这个级数的值,需要利用其中的收敛性质.在高考数学中,常常利用幂级数进行展开或者求和。
一个简单的例子如下所示：$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...$如何证明这个等式是真的呢？其实有很多方法来证明这个等式，其中一种是利用导数的概念证明。
我们对左边式子进行求导，有：$\dfrac{d}{dx}\left (\dfrac{1}{1-x}\right )=\dfrac{1}{(1-x)^2}$对于右边的式子，每一项分别求导，有：$\dfrac{d}{dx}\left(1+x+x^2+x^3+...\right )=1+2x+3x^2+4x^3+...$观察两边，我们发现这两个式子结果相等，那么就说明了原来的等式是成立的了。
二、幂级数的应用通过上面例子的讲解，我们可以初步了解一下幂级数的基本概念与知识点。
接下来，我们将深入探讨这些知识点在高考数学中的应用。
1. 幂级数展开有时候我们会发现有一些比较复杂的函数，如何对其进行求导与积分呢？甚至有些函数是没有确定的积分公式，这时候幂级数的展开就可以派上用场了。
幂级数展开的基本原则就是对目标函数进行泰勒展开或者麦克劳林展开，并根据展开式的形式求解其幂级数，从而找到一种表达形式来计算这个函数。
下面是一个幂级数展开的例子：$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+...$知道了这个展开式之后，我们可以利用它进行计算，如：$\ln2=\ln(1+1)=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...$这个级数被称为总和是开始的序列的幂级数或者调和幂级数，它们经常用于数学和物理中。
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dx Ql ( x) = Pl ( x)∫ 2 2 (1- x )[P l ( x)]
经过计算后，Q l ( x ) 可以通过对数函数及勒让德多项式
Pl ( x ) 表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为
l [ ] 2
1 1+ x 2l − 4k + 3 Ql ( x) = Pl ( x)ln −∑ Pl −2 k +1 ( x) 2 1 − x k =0 (2k − 1)(l − k + 1)
d 2w ( z ) dw ( z ) 0 + p( z ) + q ( z )w ( z ) = （ 13.1.1） 2 dz dz
ω ( z0 ) = C0
ω ′( z 0 ) = C1
其中
z
为复变数， 0 为选定的点，
z
C 0 C1
为复常数． 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出， 但可用幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某个任 意点
我们已经指出，在 基本解组
l = n 是非负整数时，勒让德方程的 p n ( x) q n ( x ) 中只有一个多项式，这个多项式
勒让德多项式 Pn ( x ) ，也称为第一类勒让德函数；
另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数 记为大写的
Q n ( x．可以得出它们的关系 )
（13.1.14）
其中
pl ( x ) ql ( x )
分别是偶次项和奇次项组成的级数，
l 不是整数时
pl ( x ) ql ( x )
无穷级数，容易求 得其收敛半径均为1
x = ±1 时，pl ( x ) ql ( x ) 发散于无穷
l=n
，
递推公式（13.1.4）
是非负整数
n 是偶数时，pl ( x)是一个 n
注意在贝塞尔方程中，因为
1 ν p(x) = , q(x) = 1 − 2 x x
故
2
x = 0 为 p ( x), q ( x)
的奇点
下面介绍奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解． 设方程（13.1.18）的一个特解具有下列幂级数形式：
y = x ( a 0 + a1 x + a 2 x + " a k x + ")
第十三章 幂级数解法 本征值问题
13.1二阶常微分方程的幂级数解法
13.1.1幂级数解法理论概述
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输
运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、 贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标
系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出 现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性常 微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常 微分方程定解问题.不失一般性，我们讨论复变函数 w ( z ) 的线性二阶常微分方程
x
k
（13.1.3）
泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的
递推关系
ak + 2
(l − k )(l + k + 1) =− ak , (k + 1)(k + 2)
k = 0,1, 2," （13.1.4）
因此，由任意常数
a 0 , a1
可计算出任一系数
a k , k = 2,3, "
．首先在（13.1.4）中令 可得偶次项的系数
x0 = 0
l 阶勒让德方程
2
(1 − x) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0
即为
2x l (l + 1) ′ y=0 y + y ′′ − 2 2 1− x 1− x
故方程的系数
2x p ( x) = − 2 1− x
在
l (l + 1) q( x) = 2 1− x
z 0 的邻域
z − z0 < R
w (z) =
其中
上存在唯一的解析解，
故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.
∑a
k =0
∞
k
(z −
13.1.2） z 0 （ )
k
a0 , a1 , a2 ," , ak ,"
为待定系数
为了确定级数解（13.1.2）中的系数，具体的做法是以 （13.1.2）代入方程（13.1.1），合并同幂项，令合并后的系数 分别为零，找出系数
所以不妨设
l
是非负整数
n
（因在实际问题中一般总要求有界解）． 导出这个多项式的表达式 ,把系数递推公式（13.1.4）改写成
(k + 1)(k + 2) ak = − ak + 2 (n − k )(n + k + 1)
于是可由多项式的最高次项系数 来表示其它各低阶项系数
(k ≤ n − 2)
(13.1.8)
综合可得如下结论：
（1）当
l
不是整数时，勒让德方程在区间
[ − 1 ,1 ]
上无有界的解．
（2）当
l = n 为整数时，勒让德方程的通解为
，其中 称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式）， 称为第二类勒让德函数. 为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在
y ( x) = c1Pn ( x) + c2 Q n ( x)
z0 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，
代入方程以逐个确定系数．
幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广， 可借助于解析函数的理论进行讨论．
求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题
尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的 求解问题中．
1．方程的常点和奇点概念
定义 13.1.1 常点 奇点
m
(13.1.6) 将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式
l(l +1) 2 l(l − 2)(l +1)(l + 3) 4 y(x) = a0[1− x + x −"] 2! 4! (l −1)(l + 2) 3 (l −1)(l − 3)(l + 2)(l + 4) 5 + a1[x − x + x −"] 3! 5! =pl (x) + ql (x) (13.1.7)
Pl ( x )
的递推公式具有相同的形式．而且在一般情况下勒让德方程
d dy 2 [(1 − x ) ] + l ( l + 1) y = 0 dx dx
的通解为两个独立解的线性叠加
y ( x) = c1Pl ( x) + c2 Ql ( x)
Ql ( x)
的形式容易看出，它在端点
（13.1.17）
(13.1.9)
这样取主要是为了使所得多项式在 处取值为1，即实现归一化.
x =1
可得系数的一般式为
(2n −2k)! an−2k = (−1) n , 2 k!(n −k)!(n −2k)!
k
(2k ≤ n)
(13.1.10)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因此，我们得出结论：
l = 2n
是非负偶数时，勒让德方程有解
(2l )! l (2l − 2)! pl ( x) = l 2 x − l xl − 2 + " 2 (l !) 2 (l − 1)!(l − 2)!
a
n
a n−2
n ( n − 1) = − an 2 ( 2 n − 1)
n(n−1)(n−2)(n−3) (n−2)(n−3) an an−2 = an−4 = − 4(2n−3) 2⋅ 4(2n−1)(2n−3)
取多项式最高次项系数为
(2n)! an = n , 2 2 (n!)
n = 1, 2,3,"
但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）
x = ±1 处是无界的，
故必须取常数
c2 = 0
．从而勒让德方程的解就只有
第一类勒让德函数即勒让德多项式：
Pl ( x)
注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre 1725～1833）最早 专门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的 一类特殊函数．由于这类函数具有多项式形式，所以命名这 类函数为勒让德函数.
q ( x0 ) = l (l + 1) p( x0 ) = 0 ，
x0 = 0，单值函数
0
均为有限值，它们必然在 x
= 0 解析．
y ( x) = ∑ a k x k
k =0
点
x0 = 0是方程的常点．根据常点邻域上解的定理，
y(x) =
解具有泰勒级数形式.
故可设勒让德方程具有
∑a
k =0
+∞
k
ql ( x ) 为在 x = ±1
是奇数时， ql ( x ) 是
an+2 = an+4 = " = 0
次多项式，但函数 处发散至无穷的无穷级数
l
n 仍然是在 x = ±1
n次多项式，而 p ( x)
处无界的无穷级数． 一个是多项式，另一个 是无界的无穷级数
l
是负整数时 pl ( x )
ql ( x )
a0 , a1 , a2 ," , ak ," 之间的递推关系，
最后用已给的初值 C 0 ， C1 来确定各个系数 从而求得确定的级数解． 下面以
a k ( k = 0,1,2, "
l 阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤．
15．1．2常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解